第16講　機械能守恒定律及其應(yīng)用

第16講機械能守恒定律及其應(yīng)用機械能守恒的理解和判斷1.如圖所示,在高1.5m的光滑平臺上有一個質(zhì)量為2kg的小球被一細線拴在墻上,球與墻之間有一根被壓縮的輕質(zhì)彈簧.當燒斷細線時,小球被彈出,小球落地時的速度方向與水平方向成60°角,g取10m/s2.則彈簧被壓縮時具有的彈性勢能為 (A)A.10J B.15JC.20J D.25J[解析]由h=12gt2和vy=gt得vy=30m/s,落地時,有tan60°=vyv0,可得v0=vytan60°=10m/s,由機械能守恒定律得Ep=2.一根質(zhì)量為m、長為L的均勻鏈條一半放在光滑的水平桌面上,另一半懸在桌邊,桌面足夠高,如圖甲所示.若將一個質(zhì)量也為m的小球分別拴在鏈條左端或右端,如圖乙、圖丙所示,約束鏈條的擋板光滑,三種情況下鏈條均由靜止釋放,當整根鏈條剛離開桌面時,設(shè)它們的速度分別為va、vb、vc,則關(guān)于va、vb、vc的關(guān)系,下列判斷中正確的是 (C)A.va=vb=vc B.va<vb<vcC.vc>va>vb D.va>vb>vc[解析]設(shè)桌面下方L處為零勢能面.鏈條由靜止釋放之后,到整根剛離開桌面,由于桌面無摩擦,對三種情況,則釋放前,系統(tǒng)的重力勢能為:圖甲中,Ep1=12mgL+12mg·34L=78mgL,圖乙中,Ep2=12m+mgL+12mg·34L=15mgL8,圖丙中,Ep3=12mgL+12mg·34L+mg·L2=118mgL.釋放后,整根鏈條剛離開桌面時,系統(tǒng)的重力勢能為:圖甲中,E'p1=mgL2,圖乙中,E'p2=mgL+mg·L2=32mgL,圖丙中,Ep3'=12mgL.則系統(tǒng)損失的重力勢能ΔEp1=38mgL,ΔEp2=38mgL,ΔEp3=78mgL,而ΔEp1=12mva2,ΔEp2=12(2m)vb2,ΔEp3單物體的機械能守恒問題3.[2022·全國乙卷]固定于豎直平面內(nèi)的光滑大圓環(huán)上套有一個小環(huán).小環(huán)從大圓環(huán)頂端P點由靜止開始自由下滑,在下滑過程中,小環(huán)的速率正比于(C)A.它滑過的弧長B.它下降的高度C.它到P點的距離D.它與P點的連線掃過的面積[解析]如圖所示,設(shè)小環(huán)下降的高度為h,大圓環(huán)的半徑為R,小環(huán)到P點的距離為L,根據(jù)機械能守恒定律得mgh=12mv2,由幾何關(guān)系可得h=Lsinθ,而sinθ=L2R,所以h=L22R,解得v=LgR,故C正確多物體的機械能守恒問題4.如圖所示,有一光滑軌道ABC,AB部分為半徑為R的14圓,BC部分水平,質(zhì)量均為m的小球a、b固定在豎直輕桿的兩端,輕桿長為R,小球可視為質(zhì)點,開始時a球處于圓弧上端A點,由靜止開始釋放小球和輕桿,使其沿光滑弧面下滑,重力加速度為g,下列說法正確的是 (DA.a球下滑過程中機械能保持不變B.b球下滑過程中機械能保持不變C.a、b球都滑到水平軌道上時速度大小均為2D.從釋放a、b球到a、b球都滑到水平軌道上,整個過程中輕桿對a球做的功為12[解析]對于單個小球來說,桿的彈力做功,小球機械能不守恒,A、B錯誤;兩個小球組成的系統(tǒng)只有重力做功,所以系統(tǒng)的機械能守恒,故有mgR+mg(2R)=12·2mv2,解得v=3gR,選項C錯誤;a球在滑落過程中,桿對小球做功,重力對小球做功,故根據(jù)動能定理可得W+mgR=12mv2,聯(lián)立v=3gR,解得W=12mgR5.直放置的輕彈簧上端相連,輕彈簧下端固定在水平橫桿上.當輕桿與豎直方向的夾角α=30°時,彈簧處于原長狀態(tài),此時,將P由靜止釋放,P下降到最低點時,α=60°.整個運動過程中,P、Q始終在同一豎直平面內(nèi),滑塊P始終沒有離開豎直墻壁,彈簧始終在彈性限度內(nèi),忽略一切摩擦,重力加速度為g.在P下降的過程中(D)A.P、Q組成的系統(tǒng)機械能守恒B.輕桿始終對Q做正功C.彈簧彈性勢能的最大值為2(3-1)mgLD.P和彈簧組成的系統(tǒng)機械能最小時,Q受到水平橫桿的支持力大小等于mg[解析]由于不計一切摩擦,所以P、Q和彈簧三者組成的系統(tǒng)機械能守恒,但P、Q組成的系統(tǒng)機械能不守恒,故選項A錯誤;初始時P、Q的速度均為零,在P下降的過程中,Q一直沿著桿向左運動,P下降至最低點時,P的速度為零,Q速度也為零,所以Q一定經(jīng)歷先加速后減速的過程,由受力分析知,Q加速的過程,輕桿對其做正功,Q減速的過程,輕桿對其做負功,故選項B錯誤;P下降至最低點時,彈簧彈性勢能最大,此時P、Q的速度都為零,由于P、Q和彈簧三者組成的系統(tǒng)機械能守恒,故此時彈簧彈性勢能等于系統(tǒng)減少的重力勢能,即Ep=3mgL(cos30°-cos60°)=32(3-1)mgL,故選項C錯誤;經(jīng)分析可知,P和彈簧組成的系統(tǒng)機械能最小時,Q的動能最大,速度最大,加速度為零,輕桿對Q的作用力為零,水平橫桿對Q的支持力大小等于Q的重力mg,故選項D正確6.如圖所示,可視為質(zhì)點的小球1、2由不可伸長的細繩相連,小球1懸掛在定滑輪O的下方,小球2在半徑為R的半球形固定容器內(nèi),定滑輪O與容器的邊緣D及球心C在同一水平線上.系統(tǒng)靜止時,小球1在定滑輪正下方R處的A點,小球2位于B點,B、D間的細繩與水平方向的夾角θ=60°.已知小球1的質(zhì)量為m,重力加速度為g,不計一切摩擦,忽略細繩的質(zhì)量.(1)求小球2的質(zhì)量;(2)現(xiàn)將小球2置于D處由靜止釋放(小球1未觸及地面),求小球1到達A點時的動能;(3)在第(2)問中,小球2經(jīng)過B點時,突然剪斷細繩,求小球2經(jīng)過容器最低點時對容器的壓力.[答案](1)3m(2)43-326mgR(3)[解析](1)設(shè)系統(tǒng)靜止時細繩中的拉力大小為FT.小球2受到容器的支持力FB方向沿BC.由幾何關(guān)系知△DBC為正三角形,所以∠DBC=θ對小球1、小球2,根據(jù)共點力的平衡條件知FT=mgFTcosθ=FBcosθFTsinθ+FBsinθ=m2g解得m2=3m(2)設(shè)經(jīng)過題中圖示位置時小球1的速度為v1,小球2的速度為v2.v1沿繩豎直向上,v2沿圓弧切線斜向下.由幾何關(guān)系知,v2與DB延長線的夾角為90°-θ由運動關(guān)系可知,v1與v2應(yīng)滿足v2sinθ=v1由幾何關(guān)系知BD=R根據(jù)機械能守恒定律得m2gRsinθ-mgR=12mv12此時小球1的動能Ek=12m解得Ek=3mgR(3)細繩被剪斷后,小球2以v2為初速度,從B點沿圓弧運動到最低點,設(shè)經(jīng)過最低點的速度為v3,根據(jù)機械能守恒定律得12m2v22+m2g(R-Rsinθ)=1設(shè)小球2經(jīng)過容器最低點時受到的支持力為FN,根據(jù)牛頓第二定律得FN-m2g=m2v解得FN=353由牛頓第三定律知,小球2對容器的壓力大小為353-23137.如圖所示,在傾角為θ=30°的光滑斜面上,一勁度系數(shù)為k=200N/m的輕質(zhì)彈簧一端固定在擋板C上,另一端連接一質(zhì)量為m=4kg的物體A,一輕細繩通過定滑輪,一端系在物體A上,另一端與質(zhì)量也為m的物體B相連,細繩與斜面平行,斜面足夠長,B距地面足夠高.用手托住物體B使繩子剛好伸直且沒有拉力,然后由靜止釋放.重力加速度g取10m/s2.求:(1)彈簧恢復(fù)原長時細繩上的拉力大小;(2)物體A沿斜面向上運動多遠時獲得最大速度;(3)物體A的最大速度的大小.[答案](1)30N(2)20cm(3)1m/s[解析](1)彈簧恢復(fù)原長時,對B有mg-FT=ma對A有FT-mgsin30°=ma解得FT=30N.(2)初態(tài)彈