第15講　動(dòng)能定理及其應(yīng)用

第15講動(dòng)能定理及其應(yīng)用動(dòng)能定理的理解與基本應(yīng)用1.(多選)物體沿直線運(yùn)動(dòng)的v-t圖像如圖所示,已知在第1s內(nèi)合力對(duì)物體做的功為W,則 (CD)A.從第1s末到第3s末合力做功為4WB.從第3s末到第5s末合力做功為-2WC.從第5s末到第7s末合力做功為WD.從第3s末到第4s末合力做功為-0.75W[解析]由圖像知,第1s末、第3s末、第7s末速度大小關(guān)系為v1=v3=v7,由動(dòng)能定理知W=12mv12-0,則第1s末到第3s末合力做功W2=12mv32-12mv12=0,選項(xiàng)A錯(cuò)誤;第3s末到第5s末合力做功W3=0-12mv32=-W,選項(xiàng)B錯(cuò)誤;第5s末到第7s末合力做功W4=12mv72-0=W,選項(xiàng)C正確;第3s末到第4s末合力做功W5=12mv42-12m2.滑梯是一種兒童運(yùn)動(dòng)器械,一邊是梯子,另一邊是傾斜的滑板,兒童登梯而上,從滑板上滑下.孩子玩滑梯可以培養(yǎng)他們的勇敢精神,能享受到成功的喜悅.某幼兒園要在空地上做一個(gè)如圖所示的滑梯,根據(jù)空地的大小,滑梯的水平跨度確定為6m.設(shè)計(jì)時(shí),滑梯和兒童褲料之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.3,為安全著想,孩子滑到底端時(shí),速度不得超過(guò)4m/s,重力加速度g取10m/s2,則滑梯的高度設(shè)計(jì)合理的是 (B)A.1.0m B.2.0mC.3.0m D.4.0m[解析]設(shè)滑梯與水平面的夾角為θ,根據(jù)動(dòng)能定理mgxtanθ-μmgcosθ·xcosθ=12mv2,解得tanθ=1330,則最大高度hmax=2.6m,考慮到人在滑梯上能滑下,需滿(mǎn)足mgsinθ≥μmgcosθ,解得滑梯傾角正切值為tanθ≥μ=0.3,根據(jù)幾何關(guān)系可知tanθ=hL≥0.3,可得滑梯的最小高度hmin=1.8m,則滑梯的高度設(shè)計(jì)合理的為3.從地面豎直向上拋出一物體,物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中除受到重力外,還受到一大小不變、方向始終與運(yùn)動(dòng)方向相反的阻力作用.距地面高度h在3m以?xún)?nèi)時(shí),物體上升、下落過(guò)程中動(dòng)能Ek隨h的變化如圖所示.重力加速度取10m/s2.以下說(shuō)法正確的是 (C)A.物體上升過(guò)程受到的阻力為1NB.物體下降過(guò)程所受合力為7NC.物體的質(zhì)量為1kgD.物體的質(zhì)量為0.5kg[解析]根據(jù)動(dòng)能定理得F合|Δh|=|ΔEk|,則Ek-h圖像的斜率的絕對(duì)值k=F合,上升過(guò)程中有mg+F阻=ΔEk1Δh1=72-363N=12N,下落過(guò)程中有mg-F阻=ΔEk2Δh2=48-243N=8N,聯(lián)立解得F阻=2N、m=應(yīng)用動(dòng)能定理求變力做功4.如圖所示,一半徑為R、粗糙程度處處相同的半圓形軌道豎直固定放置在水平面上,直徑POQ水平.一質(zhì)量為m的物塊(可視為質(zhì)點(diǎn))自P點(diǎn)上方2R處由靜止開(kāi)始下落,恰好從P點(diǎn)進(jìn)入軌道.已知物塊第一次飛離Q點(diǎn)后上升的最大高度為R,N點(diǎn)為軌道最低點(diǎn).用W表示物塊第一次從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)的過(guò)程中克服摩擦力所做的功(不計(jì)空氣阻力,重力加速度為g),則(D)A.W=12mgR,物塊第一次回落后恰能返回到PB.W>12mgR,物塊第一次回落后恰能返回到PC.W=12mgR,物塊第一次回落,經(jīng)P點(diǎn)后,D.W>12mgR,物塊第一次回落,經(jīng)P點(diǎn)后,[解析]物塊從靜止下落到飛離Q點(diǎn)后上升到最大高度的過(guò)程,由動(dòng)能定理得mgR-Wf=0,可得克服摩擦力做的功為Wf=mgR,由于物塊從N運(yùn)動(dòng)到Q的過(guò)程與從P運(yùn)動(dòng)到N的過(guò)程相比,經(jīng)過(guò)同一高度處的速度小,向心力小,則軌道對(duì)物塊的支持力小,摩擦力也小,所以WfPN>WfNQ,所以物塊第一次從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)的過(guò)程中克服摩擦力所做的功W>12mgR,故A、C錯(cuò)誤;物塊從Q返回到P點(diǎn)的過(guò)程中克服摩擦力所做的功W'f<mgR,從右側(cè)最高點(diǎn)返回到P點(diǎn)的過(guò)程,根據(jù)動(dòng)能定理得mgR-W'f=12mv2,可知v>0,所以物塊到達(dá)P后,將繼續(xù)上升一段距離,故B錯(cuò)誤,D5.如圖所示為遙控玩具小車(chē)比賽軌道的示意圖,第一部分由斜面軌道AB、圓弧軌道BCD與斜面軌道DE拼接而成,圓弧BCD的圓心恰在O點(diǎn),第二部分由水平軌道EF、圓形軌道FGF與特殊材料制成的水平軌道FH組成,直線軌道與圓軌道相切,圓軌道F處前后略有錯(cuò)開(kāi),小車(chē)可從一側(cè)滑上再?gòu)牧硪粋?cè)滑出.已知軌道AB與DE的傾角均為θ=37°,長(zhǎng)度均為L(zhǎng)=2m,軌道FGF的半徑r=1m,玩具車(chē)在AB與DE軌道上受到的阻力為支持力的14,在FH軌道上受到的阻力為支持力的1.5倍,其余軌道摩擦阻力及空氣阻力均不計(jì).已知玩具車(chē)輸出功率恒為P=10W,電動(dòng)機(jī)工作時(shí)間可調(diào)控,玩具車(chē)質(zhì)量m=1kg,可視為質(zhì)點(diǎn).sin37°=0.6,cos37°=0.8,g取10m/s2(1)玩具車(chē)以多大的初速度從A點(diǎn)彈出,恰好能沿軌道自行上滑到C點(diǎn)?(2)玩具車(chē)以恒定功率P=10W從A點(diǎn)由靜止啟動(dòng),電動(dòng)機(jī)至少工作多長(zhǎng)時(shí)間才能完成完整的圓周運(yùn)動(dòng)?(3)已知軌道“受力因子k”是車(chē)對(duì)軌道的壓力與車(chē)重力的比值,要求滿(mǎn)足在圓周內(nèi)k≤9且玩具車(chē)能無(wú)動(dòng)力完成完整比賽,求玩具車(chē)的停止點(diǎn)I與F點(diǎn)的距離x范圍.[答案](1)38m/s(2)3.3s(3)53m≤x≤83m

[解析](1)玩具車(chē)剛好到達(dá)C點(diǎn)時(shí),速度為0,由動(dòng)能定理得

-mgR-0.25mgcos37°·L=0-12mv02

由題圖可知Lsin37°=Rcos37°

聯(lián)立解得初速度v0=38m/s

(2)玩具車(chē)剛好通過(guò)圓軌道最高點(diǎn)G時(shí),由重力提供向心力,有mg=mvG2r

從A點(diǎn)恰好運(yùn)動(dòng)到G的過(guò)程,由動(dòng)能定理得

Pt-mg·2r-2×0.25mgcos37°·L=12mvG2-0

聯(lián)立解得電動(dòng)機(jī)工作時(shí)間t=3.3s

(3)玩具車(chē)恰好完成完整比賽的條件下,從最高點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)F的過(guò)程,由機(jī)械能守恒定律得12mvG2+mg·2r=12mvF2

在F點(diǎn)時(shí),由牛頓運(yùn)動(dòng)定律得FN-mg=mvF2r

解得FN=6mg

由牛頓第三定律可知,車(chē)對(duì)軌道的壓力

F'N=FN=6mg

此時(shí)受力因子k=F'

Nmg=6

從F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到I點(diǎn)過(guò)程,由動(dòng)能定理得-1.5mgx1=0-12mvF2

解得x1=53m

當(dāng)k=9時(shí),有9mg-mg=mv動(dòng)能定理與圖像問(wèn)題的結(jié)合6.[2020·江蘇卷]如圖所示,一小物塊由靜止開(kāi)始沿斜面向下滑動(dòng),最后停在水平地面上.斜面和地面平滑連接,且物塊與斜面、物塊與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為常數(shù).該過(guò)程中,物塊的動(dòng)能Ek與水平位移x關(guān)系的圖像是 (A)[解析]對(duì)小物塊進(jìn)行受力分析可得,小物塊先沿斜面向下做勻加速直線運(yùn)動(dòng),再在水平地面上做勻減速直線運(yùn)動(dòng)直至停下來(lái),假設(shè)斜面的傾角為θ,則在斜面上有mgh-μmglcosθ=Ek-0,因?yàn)閔x=tanθ,xl=cosθ,所以有mgxtanθ-μmgx=Ek,即(mgtanθ-μmg)x=Ek,可得Ek-x圖像為過(guò)原點(diǎn)的一條傾斜直線,故選項(xiàng)B、D錯(cuò)誤;設(shè)剛到達(dá)斜面底端(x=x0)時(shí)小物塊的動(dòng)能為Ek0,則在水平地面上有-μmg(x-x0)=Ek-Ek0,整理可得Ek=-μmgx+μmgx0+Ek0,可得Ek-x圖像為一條向下傾斜的直線,故選項(xiàng)A正確,C錯(cuò)誤.

7.(多選)如圖甲所示,長(zhǎng)為l、傾角為α的斜面固定在水平地面上,一質(zhì)量為m的物塊從斜面頂端由靜止釋放并沿斜面向下滑動(dòng).已知物塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ與下滑距離x的變化關(guān)系圖像如圖乙所示,μ0已知,重力加速度為g.則 (BCA.μ0>tanαB.物塊下滑的加速度逐漸增大C.物塊下滑到斜面底端的過(guò)程中克服摩擦力做功為12μ0mglcosD.物塊下滑到底端時(shí)的速度大小為2[解析]物塊在斜面頂端由靜止釋放后能夠下滑,應(yīng)滿(mǎn)足mgsinα>μ0mgcosα,即μ0<tanα,選項(xiàng)A錯(cuò)誤;根據(jù)牛頓第二定律得a=gsinα-μgcosα,可知物塊下滑過(guò)程中,隨著μ的減小,a在增大,選項(xiàng)B正確;摩擦力Ff=μmgcosα=μ0-μ0lxmgcosα,可知Ff與x成線性關(guān)系,如圖所示,其中Ff0=μ0mgcosα,則物塊下滑到斜面底端的過(guò)程中克服摩擦力做功Wf=Ff0l2=12μ0mglcosα,選項(xiàng)C正確;由動(dòng)能定理得mglsinα-12μ0mglcosα=12素養(yǎng)提升動(dòng)能定理在多過(guò)程問(wèn)題中的應(yīng)用8.如圖所示,在豎直平面內(nèi)有一探究裝置.裝置由三個(gè)圓弧形管道和三條直軌道組成.三個(gè)圓弧形管道O、O1、O2的內(nèi)半徑均為R,管道很細(xì),可忽略外半徑和內(nèi)半徑的差別;水平直軌道D1D2與圓軌道O1和O2分別相切于D1和D2,D1D2的長(zhǎng)度L=6R,傾斜直軌道A1B1、A2B2與圓軌道O、O1和O2分別相切于A1、B1、A2、B2,A1B1、A2B2與水平方向的夾角均為θ(兩傾斜直軌道A1B1、A2B2略微錯(cuò)開(kāi),不考慮其影響).整個(gè)裝置關(guān)于過(guò)O點(diǎn)的豎直線對(duì)稱(chēng),T為軌道最高點(diǎn),C1和C2在圓弧軌道上,與圓心O1和O2等高.有一質(zhì)量為m的小滑塊從D2點(diǎn)以水平向右的初速度v0出發(fā),沿著軌道運(yùn)動(dòng),小滑塊可看作質(zhì)點(diǎn).小滑塊與D1D2軌道和A1B1軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)分別為μ1和μ2,其余軌道視作光滑.已知m=1kg,R=1m,μ1=56,μ2=521,θ=37°,sin37°=0.6,cos37°=0.8,g取10m/s(1)若v0=30m/s,求小滑塊第一次經(jīng)過(guò)C2時(shí)對(duì)軌道的作用力;(2)若小滑塊第一次經(jīng)過(guò)T點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道外側(cè)的作用力大小為FT=10N,求小滑塊最終停止的位置與D2點(diǎn)的距離;(3)若小滑塊以適當(dāng)?shù)某跛俣葀0開(kāi)始運(yùn)動(dòng),最多經(jīng)過(guò)T點(diǎn)一次,最終正好停在D1D2的中點(diǎn),試求滿(mǎn)足題意的v0的大小.[答案](1)10N,方向水平向右(2)在D2左邊2.1m處(3)52m/s或170m/s[解析](1)從D2到C2過(guò)程,根據(jù)動(dòng)能定理有-mgR=12mvC22在C2時(shí),根據(jù)牛頓第二定律有FN=mv聯(lián)立解得FN=10N根據(jù)牛頓第三定律可知,小滑塊第一次經(jīng)過(guò)C2時(shí)對(duì)軌道的作用力大小為10N,方向水平向右.(2)由幾何關(guān)系可得A1B1=2Rtanθ+3RcosθhT=2R+2Rcosθ+A1B1sinθ=274根據(jù)牛頓第二定律可得mg+FT=mv假設(shè)第一次經(jīng)過(guò)T后下滑且第一次到D1D2段正好能停下,則從第一次經(jīng)過(guò)T到剛好停下的過(guò)程中,根據(jù)動(dòng)能定理可得mghT-μ2mgcosθ·A1B1-μ1mgx=0-12m解得x=8.1m由于x>L,因此滑塊第一次回到D2點(diǎn)時(shí)仍有速度,滑塊繼續(xù)沿軌道O2運(yùn)動(dòng),設(shè)能運(yùn)動(dòng)的最大高度為H,由動(dòng)能定理得mghT-μ2mgcosθ·A1B1-μ1mgL-mgH=0-12m解得H=3.5m由于H<hT,因此滑塊不會(huì)再過(guò)T點(diǎn),而是從軌道O2下滑經(jīng)過(guò)D2向左運(yùn)動(dòng),最終停在D2左邊2.1m處.(3)若滑塊恰能運(yùn)動(dòng)至T點(diǎn)且返回,則