2020-2021學(xué)年湖北省黃岡市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2020-2021學(xué)年湖北省黃岡市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單項(xiàng)選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）.

1.已知，?為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z（3+力=2-i,則下列說法正確的是（）

A.復(fù)數(shù)z的模為返

復(fù)數(shù)z的共物復(fù)數(shù)為總十/i

復(fù)數(shù)Z的虛部為

2

復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限

在△ABC中，a=15,b—10,A=45°,則cos3=(

TB.哼c4D.4

3.不同的直線機(jī)和/i,不同的平面a,p,y,下列條件中能推出a〃0的是（）

A.aCly=n,0門丫=m,n//mB.a±Y?P-L-Y

C.n//m,D.n//a,m〃0,n//m

4.若圓錐的內(nèi)切球（球面與圓錐的側(cè)面以及底面都相切）的半徑為1,當(dāng)該圓錐體積是球

體積兩倍時(shí)，該圓錐的高為（）

D.2a

5.一個(gè)正方體有一個(gè)面為紅色，兩個(gè)面為綠色，三個(gè)面為黃色，另一個(gè)正方體有兩個(gè)面為

紅色，兩個(gè)面為綠色，兩個(gè)面為黃色，同時(shí)擲這兩個(gè)正方體，兩個(gè)正方體朝上的面顏色

不同的概率為（）

A.—B.—C.—D.—

36312

6.如圖，正三棱錐A-BC。中，ZBAD=20Q,側(cè)棱長為2,過點(diǎn)C的平面與側(cè)棱AB、

相交于以、則△C8Q1的周長的最小值為（）

A

A.2近B.2V3C.4D.2

7.如圖所示，AABC中，AB=3,AC=2,ZBAC=60°,。是2C的中點(diǎn)，B￡=2EA>則

AD-DE=()

8.歐幾里得在《幾何原本》中，以基本定義、公設(shè)和公理作為全書推理的出發(fā)點(diǎn).其中第

I命題47是著名的畢達(dá)哥拉斯定理（勾股定理），書中給出了一種證明思路：如圖，Rt

△ABC中，NBAC=90°,四邊形A8HL、ACFG.BCDE都是正方形，AN_LDE于點(diǎn)、N,

交8c于點(diǎn)M.先證明△ABE與△48C全等，繼而得到矩形BENM與正方形ABHZ,面積

相等；同理可得到矩形CDNM與正方形ACFG面積相等；進(jìn)一步推理得證.在該圖中,

)

A.返B.3匹C.運(yùn)D.Vio

1010510

二、多項(xiàng)選擇題.本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列各組向量中，可以作為基底的是（)

A.e1(0,2),eo)

24

B.el(0,0),e2(1,-2)

C.e]=(1,3),e2(-2,-6)

=

D.e1=（3,5）,e2（5，3）

10.下列關(guān)于復(fù)數(shù)z的四個(gè)命題中假命題為（）

A.若z+W=0,貝”為純虛數(shù)

B.若忻|=0|,則Z|=±Z2

C.若則|z|的最大值為2

D.若z3-1=0,則Z=1

11.如圖在三棱柱中，CG,底面ABC,ACLCB,點(diǎn)。是4B上的動(dòng)點(diǎn)，則

下列結(jié)論正確的是（）

A.BC1AC!

B.當(dāng)。為A8的中點(diǎn)時(shí)，平面CD8i_L平面

C.當(dāng)。為AB中點(diǎn)時(shí)，ACi//平面CDB\

D.三棱錐4-COS的體積是定值

12.在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,h,c,則下列說法中正確的是（）

A.c=acosB+bcosA

B.若acos4=6cos8,則△ABC為等腰三角形

C.ahanB—bhanA,貝!|a=>

D.若“3+分=夕，則△ABC為銳角三角形

三、填空題（本題共4個(gè)小題，每題5分，共20分）

13.一個(gè)口袋中裝有2個(gè)紅球，3個(gè)綠球，采用不放回的方式從中依次取出2個(gè)球，則第一

次取到綠球第二次取到紅球的概率為.

14.在△ABC中，。是BC的中點(diǎn)，AB=1,AC=2,AD=近,則△ABC的面積

2

為.

15.如圖，正方體ABC。-AliGOi中，。是AC的中點(diǎn)，直線30與平面AC￡h所成角的

正弦值為

16.如圖等腰梯形A8CQ中，AB//CD,CD*AD]AB=2,。是梯形A8CZ）的外接圓的圓

40

心，M是邊8c上的中點(diǎn)，則正?.您的值為.

三、解答題:本大題共6個(gè)小題，共70分,解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或驗(yàn)算步驟.

17.復(fù)數(shù)z滿足|z|=&,z2為純虛數(shù)，若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限.

（1）求復(fù)數(shù)Z；

（2）復(fù)數(shù)z,W，z2所對(duì)應(yīng)的向量為Z，E，c＞已知（Aa+b）±（入E+3），求人的值?

18.aABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為〃，b,c,已知acoscQc=b，

（1）求角A；

（2）若。=百,ZvlBC的面積為之耍，求△ABC的周長.

19.黃岡市一中學(xué)高一年級(jí)統(tǒng)計(jì)學(xué)生本學(xué)期20次數(shù)學(xué)周測成績（滿分150）,抽取了甲乙

兩位同學(xué)的20次成績記錄如下：

甲：92,96,99,103,104,105,113,114,117,117,121,123,124,126,129,

132,134,136,142,141

乙：102,105,113,114,116,117,125,125,127,128,128,131,131,135,136,

138,139,142,145,150

（1）根據(jù)以上記錄數(shù)據(jù)求甲乙兩位同學(xué)成績的中位數(shù)，并據(jù)此判斷甲乙兩位同學(xué)的成績

誰更好？

（2）將同學(xué)乙的成績分成[100,110）,[120130）[130,140）[140,150）,完成下

列頻率分布表，并畫出頻率分布直方圖；

(3)現(xiàn)從甲乙兩位同學(xué)的不低于140分的成績中任意取出2個(gè)成績，求取出的2個(gè)成績

不是同一個(gè)人的且沒有滿分的概率.

分組頻數(shù)頻率

[100,110)

1110,120)

[120,130)

[130,140)

[140,150]

合計(jì)201

20.如圖，已知在四棱錐P-ABC。中，底面ABC。是梯形，BC〃AO且8c=24。，平面

PAC_L平面ABC￡>,PA=PC,PALAB.

(1)證明：ABA.PC；

(2)若PB=2PC=4,求四棱錐P-ABC。的體積.

21.如圖，四邊形ABC。中，ZBAC=90°,/A8C=60°,ADLCD,設(shè)NAC￡)=。.

(1)若△ABC面積是△AC。面積的4倍，求sin2。；

(2)若tan/A￡)B=」，求tanO.

2

22.如圖①梯形ABC。中AD〃BC,AB=M，BC=\,CD=&，2E_LA。且BE=1,將梯

形沿BE折疊得到圖②，使平面ABEL平面BCOE,CE與8C相交于。，點(diǎn)尸在AB上,

且AP=2PB,R是CD的中點(diǎn)，過。，P,R三點(diǎn)的平面交4c于。.

①②

(1)證明：。是的中點(diǎn)；

(2)證明：AOJ_平面BEQ；

(3)M是上一點(diǎn)，已知二面角M-EC-B為45°,求”?的值.

AB

參考答案

一、單項(xiàng)選擇題(共8小題，每小題5分，共40分).

1.己知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z(3+/)=2-i,則下列說法正確的是()

A.復(fù)數(shù)z的模為返

2

B.復(fù)數(shù)z的共規(guī)復(fù)數(shù)為總卷1

C.復(fù)數(shù)z的虛部為

D.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限

【分析】直接利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算，復(fù)數(shù)的共軌運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模，復(fù)數(shù)表示的幾何意義的應(yīng)

用判斷A、B、a。的結(jié)論.

解：復(fù)數(shù)Z滿足z(3+i)=2-i,整理得：Z號(hào)考擊蕓;。名,

對(duì)「A：|z|=Jg)?+(2)故A正確；

對(duì)于治復(fù)數(shù)z的共軌復(fù)數(shù)為處得力故3錯(cuò)誤；

對(duì)于C復(fù)數(shù)z的虛部為一故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，故。錯(cuò)誤.

故選：4.

2.在△A8C中，〃=15,2=10,A=45°,則cos8=()

A,返B.-退C.叵D.-且

3333

【分析】根據(jù)正弦定理可得：5吊8=垣辿=返，由“=15>6=10,由大邊對(duì)大角可

a3

得：0VB<A=45°,故可求cosB的值.

解：根據(jù)正弦定理可得：sin8=回蟲=也咨獸匚=返，

a153

?：a=15>b=10,

???由大邊對(duì)大角可得：0<BVA=45°,

.?.c°sB=hsir?B=冬

故選：C.

3.不同的直線”和人不同的平面a,p,Y，下列條件中能推出a〃0的是（)

A.aOy=n,0rl丫=加,n//mB.a±y,p±y

C.n〃m,"_La,/n_L0D.n//a,m//p,n//m

【分析】利用平面平行的判定定理，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)分別進(jìn)行判斷，能夠得到正確答案.

解：由不同的直線機(jī)和〃，不同的平面a,p,Y，知：

若0［門丫=〃，00丫=〃2,n//in,則a與0相交或平行，故A不正確；

若aJLy,ply,則a與0相交或平行，故8不正確；

若〃〃"?，?±a,w±p,則由平面平行的判定定理知a〃由故C正確；

若幾〃a,機(jī)〃0,n//m,則a與0相交或平行，故。不正確.

故選：C.

4.若圓錐的內(nèi)切球（球面與圓錐的側(cè)面以及底面都相切）的半徑為1,當(dāng)該圓錐體積是球

體積兩倍時(shí)，該圓錐的高為（）

A.2B.4C.73D.273

【分析】利用體積公式求出圓錐底面圓半徑r與高人的關(guān)系，再通過球與圓錐相切，利

用等面積法列出，與/?的另一組關(guān)系，通過解方程組求解.

解：如圖，圓錐的軸截面為等腰△SA8,且內(nèi)切圓為球的大圓.設(shè)圓錐底面圓周的半徑為

r,高為〃，球的半徑為R,R=\.

則由條件有義兀了八二？?三兀R3,整理得出=8①

OO

在ASAB中，SA=SB=Vr2+h2,*（Vr2+h2+Vr2+h2+2r）*l=-|-,h,2r@>

聯(lián)立①②，解得「二用，h=4.

故選：B.

5.一個(gè)正方體有一個(gè)面為紅色，兩個(gè)面為綠色，三個(gè)面為黃色，另一個(gè)正方體有兩個(gè)面為

紅色，兩個(gè)面為綠色，兩個(gè)面為黃色，同時(shí)擲這兩個(gè)正方體，兩個(gè)正方體朝上的面顏色

不同的概率為（）

A.—B.—C.—D.—

36312

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合古典概型的概率公式，可得兩個(gè)正方體朝上的面顏色相同

的概率，再求其對(duì)立事件的概率，即可求解.

解：第一個(gè)正方體出現(xiàn)紅色，綠色，黃色的概率分別為士，!，《，第二個(gè)正方體出現(xiàn)

632

紅色，綠色，黃色的概率分別為［■,卷，

ooO

?.?兩個(gè)正方體朝上的面顏色相同的概率為《W4，

6333233

兩個(gè)正方體朝上的面顏色不同的概率為1-《=3.

33

故選：C.

6.如圖，正三棱錐A-88中，/區(qū)4。=20°,側(cè)棱長為2,過點(diǎn)C的平面與側(cè)棱48、

4。相交于8、A,則△CBQi的周長的最小值為（)

A

【分析】首先，展開三棱錐，然后，兩點(diǎn)間的連接線CC即是截面周長的最小值，然后,

求解其距離即可.

解：把正三棱錐A-BCD的側(cè)面展開，

兩點(diǎn)間的連接線CC即是截面周長的最小值.

正三棱錐4-BCZ）中，NBAD=20°,所以，ACAC=60°,AC=2,

：.CC'=2,

截面周長最小值是CC'=2.

故選：D.

A

c

BD

7.如圖所示，△ABC中，AB=3,AC7=2,ZBAC=6Q°,。是8c的中點(diǎn)，瓦=2忌，則

AD-DE=<）

.11R11C.-D.工

4422

【分析】根據(jù)已知條件代入化簡，通過向量的數(shù)量積的定義求解即可.

解：「△ABC中，4B=3,4c=2,ZBAC=60°,。是BC的中點(diǎn)，gg=2EA,

?■?AD'DE=-^（標(biāo)+菽），（AE-AD）忖（AB+AC）*（標(biāo)+菽））忖

(AB+AC)*(-4-AB-yAC)=_^AB2-TAC2-^AB*AC='''7X22

U乙，乙TtO3

--X3X2X—=--.

324

故選：B.

8.歐幾里得在《幾何原本》中，以基本定義、公設(shè)和公理作為全書推理的出發(fā)點(diǎn).其中第

I命題47是著名的畢達(dá)哥拉斯定理(勾股定理)，書中給出了一種證明思路：如圖，Rt

△ABC中，NBAC=90°,四邊形AB/7L、ACFG、8CQE都是正方形，ANLQE于點(diǎn)N,

交2C于點(diǎn)M.先證明△ABE與△HBC全等，繼而得到矩形BENM與正方形4BHL面積

相等；同理可得到矩形COMW與正方形4CFG面積相等；進(jìn)一步推理得證.在該圖中，

若tan/BAR=~^~，則sin/BEA=()

【分析】設(shè)AB=Z,AC^m,BC=〃,由勾股定理可得N+4=〃2,由同角的基本關(guān)系式

求得sin/BAE,cosZBAE,在△ABE中，求得AE,分別運(yùn)用余弦定理和正弦定理，計(jì)

算可得所求值.

解：設(shè)AB=A,AC—m,BC=n,可得&2+"2=〃2,

'：BH//CL,

:.NBHC=NHCL,

又△ABE2HBC,

可得NBHC=N8AE,

J.ZHCL^ZBAE,

?'?tanZHCL=^->

即上$

k+m2

：.m=k,

n=V2k>

tanZBAE^-'得sin/BAE^-^，

在△ABE中，

2V5

ABBE

在△ABE中，

sinNBEAsin/BAE

k_

即sinNBEA1，可得uin/BRA=>

7?10

故選：D.

二、多項(xiàng)選擇題.本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列各組向量中，可以作為基底的是()

??2

A.e|=(0,2),巳2=(彳，0)

B.巳］=(0,0),日2=(1，-2)

C.61=(1,3),%=(-2,-6)

D.e|=(3,5),巳2=⑸3)

【分析】利用基底的定義，判斷兩個(gè)向量是否共線，即可得到結(jié)果.

解：???0X0關(guān)：2x￡,，與e2不共線，正確，

VOX(-2)=0X1,與司共線，錯(cuò)誤，

V1X(-6)=3X(-2),與司共線，，C錯(cuò)誤，

73X3^5X5,與同不共線，正確，

故選：AD.

10.下列關(guān)于復(fù)數(shù)z的四個(gè)命題中假命題為（)

A.若z+W=0,貝IJz為純虛數(shù)

B.若團(tuán)|=比|,則Z1=±Z2

C.若則|z|的最大值為2

D.若z3-1=0,則z=l

【分析】選項(xiàng)4設(shè)2=4+歷，（?,人為實(shí)數(shù)），然后求出共軌復(fù)數(shù)，進(jìn)而可以判斷：選

項(xiàng)B：舉出反例即可判斷，選項(xiàng)C：根據(jù)復(fù)數(shù)的兒何意義即可判斷，選項(xiàng)》舉出反例即

可判斷.

解：選項(xiàng)A：設(shè)2=。+4，（a,6為實(shí)數(shù)），因?yàn)閃=a-bi，所以z+W=2a=0,則a=0,

所以z=bi,因?yàn)?可能為0,故A錯(cuò)誤，

選項(xiàng)8：當(dāng)zi=l+i,Z2=I-i時(shí)，|zi|=|z2|,故B錯(cuò)誤，

選項(xiàng)C當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以（0,1）為圓心，1為半徑的圓上，故|z|的

最大值為1+1=2,故C正確，

選項(xiàng)。：當(dāng)z=-1■專i時(shí)，z3=l,故。錯(cuò)誤，

故選：ABD.

11.如圖在三棱柱ABC-A山Ci中，CG,底面ABC,ACJ_C8,點(diǎn)。是AB上的動(dòng)點(diǎn)，則

下列結(jié)論正確的是（）

B.當(dāng)。為AB的中點(diǎn)時(shí)，平面平面出

C.當(dāng)。為A8中點(diǎn)時(shí)，ACi〃平面CO81

D.三棱錐Ai-CDBi的體積是定值

【分析】對(duì)于A,推導(dǎo)出BULCG,ACLCB,從而2C_L平面ACG4,進(jìn)而BC_LAG；

對(duì)于B,當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)。，使得平面CABi，平面AA山出，此時(shí)。不一定為中

點(diǎn)；

對(duì)于C,設(shè)BCin8C=0,連結(jié)0。，力是A3中點(diǎn)時(shí)，0Z)〃4G,得AG〃平面CDB；

對(duì)于。，△4BC的面積是定值，由知A8〃平面4BC,力到平面4BC的

距離是定值，進(jìn)而三棱錐Ai-CDBi的體積是定值.

解：對(duì)于A,?.?在三棱柱A8C-4BiG中，CCi_L底面ABC,

：.BCVCC\,XACLCB,CCiACA=C,CCiu平面ACC1A1,C8u平面ACCiA”：.BC

，平面ACG4,又AGu平面ACCAi,：.BCVAC\,故4正確；

對(duì)于B,?.,在三棱柱ABC-45G中，CCi_L底面ABC,

，A4iJ_C￡),...當(dāng)CQLAB時(shí)，由A4i,AB是平面A4iB山中的相交線，得到CC平面

A41B1B,平面CDBi,平面A4山山，此時(shí)。不一定為中點(diǎn)，故8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,設(shè)BGCBiC=。，則。是BG中點(diǎn)，連結(jié)00，則。是AB中點(diǎn)時(shí)，0￡>〃AC”

?.?AGC平面COBi,OOu平面CDB,；.ACi〃平面COBi,故C正確；

對(duì)于。，'..△A山C的面積是定值,AB//A\B\,ABC平面ABC,AiBu平面48C,

〃平面4&C,到平面ABC的距離是定值，，三棱錐4-CDBx的體積是定值，

故。正確.

故選：ACD.

12.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為小b,c,則下列說法中正確的是()

A.c=acosB+hcosA

B.若〃cosA=bcos3,則△ABC為等腰三角形

C.若42tan3=Z?2tanA,貝!Ja=/?

D.若〃+.3=c3,則△ABC為銳角三角形

【分析】由正弦定理以及三角恒等變換可得sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sin8cosA,即

可判斷A；

兀

由正弦定理可將條件轉(zhuǎn)換為sin2A=sin2B,進(jìn)而得到A=8或A+3=k，即可判斷脫

由正弦定理把a(bǔ)2tan8=62taM轉(zhuǎn)化為：sin2AlanB=sin2BtanA,化簡后可判斷C；

由蘇+爐=/變形得：（且）3+（電）3=y（A）2+（A）2,可判斷"

CCCC

解：對(duì)A：VsinC=sin（A+8）=sin4cos8+sin8cosA,/.c=acosB+bcosA,所以A正確；

對(duì)B：VacosA=hcosB,/.sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,

JT

「△ABC的內(nèi)角A,B,C,?,.2A=2B或2A+2B=TT即A=B或A+B=—，故三角形可

2

能是等腰三角形或直角三角形，故B錯(cuò)誤；

對(duì)C:*.*a2tmB=&2tanA,?,?由正弦定理得：sinMtanB=sin2Btarb4,得：

sin2AsinBsin%sinA

---------------------------二----------------------------，

cosBcosA

jr

整理得：sinAcosA=sin^cosB,Asin2A=sin2B,.??A=8或A+8=----,故C錯(cuò)誤；

2

對(duì)O:由題意知：。、氏C中C是最大的正數(shù)，...由〃+加=°3變形得：（且）3+（k）3

CC

=1<（旦）2+（電）2,...a2+62>c2,r.c為銳角，又知C為最大角，.?.△ABC為銳角

CC

三角形，故。正確；

故選：AD.

三、填空題（本題共4個(gè)小題，每題5分，共20分）

13.一個(gè)口袋中裝有2個(gè)紅球，3個(gè)綠球，采用不放回的方式從中依次取出2個(gè)球，則第一

次取到綠球第二次取到紅球的概率為0.3.

【分析】根據(jù)已知條件，分別求出樣本空間的個(gè)數(shù)和第一次取到綠球第二次取到紅球的

樣本數(shù)，再結(jié)合古典概型的概率計(jì)算公式，即可求解.

解：由題意可得，樣本空間的總數(shù)為5X4=20,

第一次取到綠球第二次取到紅球的樣本數(shù)為3X2=6,

故所求的概率2=旦=0.3.

20

故答案為：03

14.在△ABC中，力是BC的中點(diǎn)，A8=l,AC=2,4。=返，則△4BC的面積為返.

2-2―

【分析】根據(jù)題意由=]■（AB+AC），兩邊平方即可求出標(biāo)了=-1,從而可求出cos

N8AC=-5，進(jìn)而求出sin/BAC=返，然后根據(jù)三角形的面積公式即可求出△ABC

22

的面積;

解：是8C中點(diǎn)，且AB=1,AC=2,A￡>=返，

2

AD=y(AB+AC5,則菽2得(AB+AC)2，即H(1+4+2AB-AC),

AB-AC=-1，

-1

cos/BAC=1AL1

IABI?IACI1X22

J3

...sinNBAC=",

2__

.'.S&ABC——AB*ACs,mZIiAC——X1X9X

2222

故答案為：返.

2

15.如圖，正方體ABC。-AiBCQi中，。是AC的中點(diǎn)，直線8。與平面ACA所成角的

正弦值為空0.

一3一

【分析】首先建立空間直角坐標(biāo)系且不妨設(shè)正方體ABC。-的邊長為1,于是寫

出各點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求出

平面ACD\的一個(gè)法向量為[=(x,y,z)，進(jìn)而由sine=

,——.一、B[0?n

cos<B,0.n>」一二一即可得出所求的答案.

1iBjLOHnl

解：以AB、AD,AAi所在的直線分別為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

不妨設(shè)正方體ABCD-481GU的邊長為1,

則A(0,0,0),8(1,0,0),D(0,1,0),

C(1,1,0),Bi(1,0,1),Ci(1,1,1),Di(0,1,1),O(」，工，0),所

22

?11

以B[0=(-—?—，-1)?

122

AC=(1,1,0)，杷=(0，1.1).

設(shè)平面ACQi的一個(gè)法向量為n=(x,y,z)，則

n-AC=0x+y=0

令尸1.則x=l=z,則==(1,-1,1).

n*ADj=0y+z=0

11,9

,----一、B<0'n5方-1—等-2加

于是，cos<B，0>n>-,----

1IB^I|n|773

所以sin8=|cos<Bi0,n>l=2匹.

13

其中e為直線810與平面AC。所成角.

所以直線SO與平面ACD^所成角的正弦值為2返.

3

故答案為：工返.

3

16.如圖等腰梯形4BCO中，AB//CD,CD^AD^AB=2'。是梯形ABC。的外接圓的圓

心，M是邊8c上的中點(diǎn)，則正,您的值為16.

【分析】根據(jù)題意，利用平面向量的線性運(yùn)算，即可求解結(jié)論.

解：設(shè)而=入前(0<入<1)，

是邊BC上的中點(diǎn)，

：0是△ABC的外心,

?—?1?2—?—?1—?2

???AtPABjAB=18A0*AD=yAD=&

??-AO-AM=AO-[^AD+(l-^-)AB]

=xAO'AD+(1--^-)AO'AB=8x+18(1-^-)=18-4X,人

OJ乙

即而?疝=16,

故答案為：16.

三、解答題:本大題共6個(gè)小題，共70分,解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或驗(yàn)算步驟.

17.復(fù)數(shù)z滿足|z|=&,z2為純虛數(shù)，若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限.

(1)求復(fù)數(shù)z；

(2)復(fù)數(shù)z,z，z2所對(duì)應(yīng)的向量為Z，E，%已知(入之+E)±(入E+3)，求人的值.

【分析】Q)gz=a+bi(?>0,b>0),由已知可得〃與匕的關(guān)系，列方程組求解a

與匕的最值，則z可求；

(2)由⑴中求得z可得工z2,得到：芯，％進(jìn)一步得到(Ag+fc)與(Xfo+c)的

坐標(biāo)，再由數(shù)量積為。列式求解入值.

解：(1)設(shè)2=白+4(a>0,b>0),

則|zTa2+b2=亞，即“2+拄，①

?：-b2+2abi為純虛數(shù)，-b2=0且lab^O,②

由①②解得。=1，b=l,

.\z=l+z；

(2)Vz=l+/

??z=l-i?z2=2i，

a=(1,1)，b=(1,T),c=(0,2),

?,akb=0,afcc=2,bc=_2,b2=2J

由(入a+b)J_(入b+c)，得(入a+b)k(入b+c)=0,

日n—?—?2

'入a'b+入a'c+入b+b?c=0，

；.4入-2=0,得入」.

2

18.4ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知acoscQc=b，

(1)求角A；

(2)若。=腦，ZvlBC的面積為求△48C的周長.

【分析】(1)由正弦定理可知sinAcosC+工sinC=sinB,,結(jié)合sinB=sin(A+C)=

2

sinAcosC+cos/4sinC,整理即可得到cosA,進(jìn)而可求出A；

(2)由余弦定理可求得(b+c)2-3^=7,結(jié)合面積公式得到兒，進(jìn)而可知b+c,即可

求出周長.

解：(1),**acosC+-"c=b?

由正弦定理得sirb4cosC+—sinC=sinB,

2

又,.,sin8=sin(A+C)=siivlcosC4-cosAsinC,

?**_~sinC=cosAsinC?

VsinOO,

.「I

??cosA=-?

22

(2)由余弦定理得：7=按+理-2/?ccos60°EPZ?+c-hc=lf

Cb+c)2-3bc=l,

又SAABC卷bcsinA=苧bc-^,

??Z?c=6,

(Z?+c)2-18=7,

b+c=59

.?.△ABC的周長為5+77

19.黃岡市一中學(xué)高一年級(jí)統(tǒng)計(jì)學(xué)生本學(xué)期20次數(shù)學(xué)周測成績(滿分150),抽取了甲乙

兩位同學(xué)的20次成績記錄如下：

甲：92,96,99,103,104,105,113,114,117,117,121,123,124,126,129,

132,134,136,142,141

乙：102,105,113,114,116,117,125,125,127,128,128,131,131,135,136,

138,139,142,145,150

(1)根據(jù)以上記錄數(shù)據(jù)求甲乙兩位同學(xué)成績的中位數(shù)，并據(jù)此判斷甲乙兩位同學(xué)的成績

誰更好？

(2)將同學(xué)乙的成績分成[100,110),[120,130)[130,140)[140,150),完成下

列頻率分布表，并畫出頻率分布直方圖；

(3)現(xiàn)從甲乙兩位同學(xué)的不低于140分的成績中任意取出2個(gè)成績，求取出的2個(gè)成績

不是同一個(gè)人的且沒有滿分的概率.

分組頻數(shù)頻率

[100,110)

[110,120)

[120,130)

[130,140)

[140,150]

合計(jì)201

【分析】(1)分別求出甲、乙的中位數(shù)，從而得到乙的成績更好.

(2)完成頻率分布表，作出乙的頻率分布直方圖.

(3)甲乙兩位同學(xué)的不低于140分的成績共5個(gè)，甲兩個(gè)成績記作Ai、42,乙3個(gè)成績

記作5、星、&(其中以表示150分)，任意選出2個(gè)成績，利用列舉法，求出取出的

2個(gè)成績不是同一個(gè)人的且沒有滿分的概率.

解：(1)甲的中位數(shù)是口2|1紅=U9,

乙的中位數(shù)是當(dāng)產(chǎn)?=128〉119,

.?.乙的成績更好.

(2)完成頻率分布表如下：

分組頻數(shù)頻率

[100,110)20.1

[110,120)40.2

[120,130)50.25

[130,140)60.3

[140,150)30.15

合計(jì)201

乙的頻率分布直方圖如下圖所示:

(3)甲乙兩位同學(xué)的不低于140(分)的成績共5個(gè)，甲兩個(gè)成績記作4、4，

乙3個(gè)成績記作8、比、B3(其中以表示150分)，

任意選出2個(gè)成績所有的取法為：

(Ai,A2)?(Ai,Bi),(Ai,B2),(A”B3),(A2,B\),(A2,B2),

(4,B3),(Bi,B2),(Bi,B3),(&,B3),共10種取法，

其中兩個(gè)成績不是同一個(gè)人的且沒有滿分的是：

(Ai,Bi),(4,&),(A2,Bi),(A2,&),共4種取法，

取出的2個(gè)成績不是同一個(gè)人的且沒有滿分的概率尸=義路.

105

20.如圖，已知在四棱錐P-ABC。中，底面A8C力是梯形，8C〃A￡＞且BC=2AD,平面

PAC_L平面ABC。，PA=PC,PAIAB.

(1)證明：ABA.PC；

(2)若PAJ_PC,PB=2PC=4,求四棱錐P-A8CD的體積.

【分析】(1)取AC的中點(diǎn)。，連接PO,得出POA.AC,根據(jù)平面PACJ_平面ABCD

得出尸O_L平面ABCD,證明PO_LAB；再由AB_LA4證明A8_L平面PAC,即可證明A8

VPC.

(2)根據(jù)題意利用分割補(bǔ)形法計(jì)算四棱錐P-ABCD的體積，另一種解法是直接計(jì)算四

棱錐的體積即可.

【解答】(1)證明：取AC的中點(diǎn)0,連接尸0,如圖所示;

因?yàn)锳P=PC,所以P0L4C,

又因?yàn)槠矫鍼ACL平面A8C。，所以P。，平面ABCQ,

又因?yàn)?8u平面ABC。，所以P0LAB；......①

又因?yàn)锳B_LPA,......②

由①②可得A8J_平面PAC,所以A8_LPC.

(2)解：因?yàn)槭珺=2PC=4,所以PA=PC=2,

又ABLP4,所以A￥=PB2-P/,所以卷=2?：

又因?yàn)镻AL尸C,PA=PC=2,所以AC=2亞，P0=V2；

由(1)知A3,平面P4C,所以A8J_AC,

所以SAABC卷配依得x2FX2亞=2再

所以V三棱錐4ABC卷S/kABC尸°=/X2掂X、歷二/底;

又因?yàn)?C//A。，BC=2AD,所以SAABC=2SAXC。，

所以V三棱錐AMD得丫三棱錐P-ABC

所以四棱錐P-ABCD的體積是

另解：因?yàn)镾AABC=yAB-AC=-^-X2依X2M=2A

所以S2kADC=述，所以5梯形ABCD=3促，

計(jì)算四棱錐P-ABCD的體積是V四棱錐IBCD.X訴乂近