“什么是周長(zhǎng)”大單元教學(xué)設(shè)計(jì)

“什么是周長(zhǎng)”大單元教學(xué)設(shè)計(jì)一、單元教學(xué)設(shè)計(jì)說明（一）周長(zhǎng)定義“周長(zhǎng)”是有關(guān)長(zhǎng)度的概念，即“繞有限面積的區(qū)域邊緣的長(zhǎng)度積分，叫作周長(zhǎng)”。從此定義中不難看出，周長(zhǎng)是一維空間的度量，但卻需要從二維的面上剝離出來。因此，在周長(zhǎng)的教學(xué)中，邊線不可與面割裂開來。可以說，周長(zhǎng)與面積是一對(duì)孿生概念，周長(zhǎng)有長(zhǎng)短之分，面積有大小之別。并且，學(xué)生對(duì)周長(zhǎng)的感知是內(nèi)隱的，對(duì)面的感知是顯性的。在度量學(xué)習(xí)時(shí)，若不及時(shí)將二者加以區(qū)分，就極有可能出現(xiàn)混淆面積與周長(zhǎng)的現(xiàn)象。并且，從某種程度上來講，周長(zhǎng)是個(gè)有點(diǎn)“復(fù)雜”的概念，因?yàn)樗旧砑燃婢摺靶巍保ㄖ荛L(zhǎng)是對(duì)封閉圖形一周的直觀表達(dá)），又兼具“數(shù)”（即度量）的特征。周長(zhǎng)所具有的這兩方面的特性，說明它可借助度量工具、度量方法，通過測(cè)量而確定。因此在教學(xué)中，既要重視對(duì)“周”的理解，更不能忽視對(duì)“長(zhǎng)”的體驗(yàn)，使學(xué)生充分感受周長(zhǎng)的本質(zhì)是邊線的累加。（二）周長(zhǎng)單元大觀念在對(duì)教學(xué)和學(xué)情進(jìn)行分析之后，明確了本單元的大觀念：1.周長(zhǎng)是從現(xiàn)實(shí)背景中抽象出來的數(shù)學(xué)概念，它是由周界邊線累加得到的總和。2.周長(zhǎng)是認(rèn)識(shí)圖形的一個(gè)維度，從面中剝離出線，直觀、量化圖形的周長(zhǎng)，根據(jù)邊的特征選擇合適的累加策略。3.以上過程發(fā)展了學(xué)生的量化思維和直觀想象。因此，在周長(zhǎng)這個(gè)單元的教學(xué)中，利用公式計(jì)算周長(zhǎng)并不是重點(diǎn)，應(yīng)把對(duì)周長(zhǎng)的理解應(yīng)放在首位，學(xué)習(xí)的路徑遵循著“從面上剝離出邊線”→“周長(zhǎng)本質(zhì)是邊線的累加”。（三）周長(zhǎng)單元內(nèi)容重組在對(duì)教材和學(xué)情進(jìn)行充分分析之后，將本單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行了重組，將第二課時(shí)的學(xué)習(xí)內(nèi)容“計(jì)算多邊形周長(zhǎng)”調(diào)整至第一課時(shí)。在第二課時(shí)中，主要利用方格圖這個(gè)面和邊線都能看到的測(cè)量工具，來幫助學(xué)生深化理解周長(zhǎng)和面之間的關(guān)系，明晰二者之間的區(qū)別與聯(lián)系。下面，將簡(jiǎn)要描述這三課時(shí)的學(xué)習(xí)任務(wù)。在第一課時(shí)中，認(rèn)識(shí)什么是周長(zhǎng)。從現(xiàn)實(shí)背景（飛鏢盤）剝離出周長(zhǎng)，繼而選擇合適的工具測(cè)量周長(zhǎng)，感受周長(zhǎng)的本質(zhì)是邊線的累加，初步感受周長(zhǎng)與面的區(qū)別和聯(lián)系。在第二課時(shí)中，通過方格紙的使用感受面的大小與周長(zhǎng)的長(zhǎng)短沒有必然的聯(lián)系，明確從面上剝離出邊線，明確研究的對(duì)象是邊線，而不是面。在第三課時(shí)中，在計(jì)算長(zhǎng)、正方形的周長(zhǎng)時(shí)根據(jù)邊的特征選擇合適的累加策略，再次感受度量的對(duì)象即邊線。因此，本單元的教學(xué)應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注面和邊線的不斷剝離，并且這種剝離是貫穿始終的。從最開始能從現(xiàn)實(shí)背景中剝離出周長(zhǎng)，到在線的干擾下如何剝離周長(zhǎng)，最后則是在從面上剝離出周長(zhǎng)，并能將面與周長(zhǎng)進(jìn)行區(qū)別和聯(lián)系，并在此過程中不斷感受邊線的累加就是圖形的周長(zhǎng)。周長(zhǎng)單元整體架構(gòu)：二、教學(xué)內(nèi)容分析（一）周長(zhǎng)所屬的學(xué)習(xí)領(lǐng)域本單元的教學(xué)內(nèi)容屬于“圖形與幾何”的領(lǐng)域，在該領(lǐng)域中，又包含“圖形的認(rèn)識(shí)”、“圖形的測(cè)量”、“圖形的運(yùn)動(dòng)”以及“圖形的位置”這四個(gè)方面。前三個(gè)方面都屬于認(rèn)識(shí)圖形的維度和方法，在此過程中來整體的認(rèn)識(shí)圖形，而“圖形的位置”則是刻畫圖形的新視角。“周長(zhǎng)”這一單元的學(xué)習(xí)屬于圖形的測(cè)量。在度量的學(xué)習(xí)中，一般是遵循著如下的學(xué)習(xí)路徑。具體展開來說，一年級(jí)開始是對(duì)“大小、多少”等的比較，二年級(jí)是對(duì)長(zhǎng)度的測(cè)量，三年級(jí)則是測(cè)量圖形的周長(zhǎng)、面積，四年級(jí)是對(duì)角進(jìn)行度量，五、六年級(jí)是度量體積和容積。測(cè)量對(duì)象從長(zhǎng)度、周長(zhǎng)延伸到面積、角，最后是體積、容積，測(cè)量的學(xué)習(xí)是從一維→二維→三維的發(fā)展過程?？梢赃@樣說，周長(zhǎng)開啟了對(duì)圖形的度量，刻畫的是二維圖形中的一維要素，需要從二維的面上剝離出一維的線，因此對(duì)于學(xué)生來說有一定的難度。研究“度量”主要涉及兩個(gè)方面：第一，要明確度量對(duì)象和度量屬性，沒有度量對(duì)象就談不上度量。最常見的“長(zhǎng)度”就是度量一維空間（沿一個(gè)方向的延展）即“線”的長(zhǎng)短，其基本度量對(duì)象是“線段”，當(dāng)是“曲線”時(shí)要以“直”代“曲”。像是在研究圖形的邊的長(zhǎng)度時(shí)，可以研究“周長(zhǎng)”（所有邊線的長(zhǎng)度和），也可以研究構(gòu)成圖形的各邊長(zhǎng)度之間的關(guān)系以及邊與邊所形成角的大小（例如，認(rèn)識(shí)三角形三邊的關(guān)系既有“兩邊之和大于第三邊”，也有在直角三角形中的“勾股定理”）。第二，明確度量的過程。在小學(xué)階段，獲得度量值大小的途徑主要有三種：一是度量法，即先確定度量單位，然后看度量對(duì)象中包含多少個(gè)度量單位，度量單位的個(gè)數(shù)就是度量值的大小，所以表述度量結(jié)果時(shí)一定要帶著“單位”。二是將不規(guī)則物體轉(zhuǎn)化為規(guī)則物體來度量，例如在測(cè)量曲邊圖形的周長(zhǎng)時(shí)，可將其“化曲為直”，測(cè)量直邊的長(zhǎng)度。由此可以看出，度量的核心要素是：度量的對(duì)象、度量單位、度量值（用度量單位的個(gè)數(shù)表示，即用有理數(shù)或者說分?jǐn)?shù)表示其大小）。研究一個(gè)平面圖形的度量特征，主要是研究這個(gè)圖形的“周長(zhǎng)”和“面積”?！敖恰笔遣环忾]平面圖形，既沒有周長(zhǎng)也沒有面積。對(duì)其他平面幾何圖形來說，它們的周長(zhǎng)和面積總是“混淆在一起”，因此可以從兩個(gè)維度刻畫這些圖形的特點(diǎn)：一是研究外邊緣線的長(zhǎng)短（周長(zhǎng)），另一個(gè)是所圍成平面區(qū)域的大?。娣e）。周長(zhǎng)是對(duì)“一維空間”（線）的度量，這時(shí)候的“線”既可以是以前學(xué)過的“直的”，也可以是沒有學(xué)過的“曲的”?！懊娣e”是對(duì)“二維空間”（面）的度量，同樣道理，“面”既可以是“平的”，也可以是“曲的”。其度量本質(zhì)與結(jié)構(gòu)完全相同，例如都蘊(yùn)涵“曲化直”或“以直代曲”的思想，都是“度量單位的累加”等。由前述分析可知，建立“周長(zhǎng)”的概念，首先要明確度量的對(duì)象，即圖形的“邊線”，然后再度量“邊線”的長(zhǎng)度。在比較長(zhǎng)短或度量時(shí)有可以用直尺直接測(cè)量的，還有一些不能直接用直尺測(cè)量的，這就需要學(xué)生想辦法將不能直接測(cè)量的轉(zhuǎn)化為能測(cè)量的，其思想就是“曲化直”和“以直代曲”。（二）教材內(nèi)容安排1.橫向?qū)Ρ冉滩谋睅煷蟀娼滩暮颓鄭u版教材都將周長(zhǎng)的學(xué)習(xí)設(shè)置在三年級(jí)上冊(cè)，單元目標(biāo)也包含了三個(gè)方面：一是結(jié)合具體實(shí)物或圖形認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)；二是學(xué)會(huì)測(cè)量和計(jì)算簡(jiǎn)單圖形的周長(zhǎng)，探索并掌握長(zhǎng)方形、正方形和其他多邊形周長(zhǎng)的計(jì)算方法；三是結(jié)合具體情境運(yùn)用計(jì)算周長(zhǎng)的方法解決問題。而人教版和京教版教材沒有設(shè)置獨(dú)立的周長(zhǎng)單元，而是將其設(shè)置在“長(zhǎng)方形和正方形”這個(gè)單元的學(xué)習(xí)中，單元教學(xué)目標(biāo)也主要包含三個(gè)方面：一是認(rèn)識(shí)四邊形，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形、正方形的特征；二是結(jié)合實(shí)物或圖形知道周長(zhǎng)的含義，能測(cè)量簡(jiǎn)單圖形的周長(zhǎng)，探索并掌握長(zhǎng)方形、正方形的周長(zhǎng)計(jì)算公式；三是根據(jù)長(zhǎng)方形、正方形的周長(zhǎng)計(jì)算公式，解決實(shí)際問題。這四個(gè)版本教材的單元教學(xué)目標(biāo)，都明確提出要結(jié)合具體實(shí)例認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)，能簡(jiǎn)單計(jì)算周長(zhǎng)，且要掌握長(zhǎng)方形、正方形周長(zhǎng)的計(jì)算方法。可見，理解周長(zhǎng)概念是本單元教學(xué)的核心目標(biāo)。而對(duì)于周長(zhǎng)概念的提出，只有人教版教材是直接出示周長(zhǎng)概念，明確“封閉圖形一周的長(zhǎng)度是它的周長(zhǎng)”，這樣的教學(xué)方式會(huì)導(dǎo)致學(xué)生缺乏對(duì)周長(zhǎng)的直觀感知，以及缺失了將周長(zhǎng)從面上剝離出來的過程。因此，相對(duì)來說，另外三個(gè)版本的教材編寫更加適合學(xué)生的思維發(fā)展和進(jìn)階。2.縱向?qū)Ρ龋?）剝離的層次學(xué)生在學(xué)習(xí)周長(zhǎng)時(shí)，需要從圖形的面上將周長(zhǎng)剝離下來，實(shí)際上，這種剝離的經(jīng)驗(yàn)早就存在于孩子的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)中了。在一年級(jí)上冊(cè)時(shí)，學(xué)生首先認(rèn)識(shí)了圓柱、球、長(zhǎng)方體和正方體等立體圖形，到了一年級(jí)的下冊(cè)，學(xué)習(xí)則是認(rèn)識(shí)了平面圖形，學(xué)習(xí)的過程也很有意思，其實(shí)就是將二維的面從三維的圖形上剝離下來了。到了三年級(jí)學(xué)習(xí)周長(zhǎng)時(shí)，周長(zhǎng)的度量對(duì)象實(shí)際上就是邊線，那么邊線從何而來呢？邊線這個(gè)一維空間的度量就需要從二維的面上剝離下來。縱觀“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)過程，學(xué)生便是經(jīng)歷了從三維→二維→一維這樣不斷的剝離過程，將面從立體圖形上剝離下來，再將邊線從面上剝離下來。因此，在本單元的學(xué)習(xí)中，讓學(xué)生感受到這種剝離是非常關(guān)鍵的，這也有助于學(xué)生將周長(zhǎng)與面積進(jìn)行區(qū)別和聯(lián)系，避免出現(xiàn)混淆。（2）辨析面與周長(zhǎng)周長(zhǎng)與面積本就是一對(duì)孿生概念。如前所述，周是平面圖形的幾何要素，面亦如此。進(jìn)一步探究可知，面在圖形的內(nèi)部，周在圖形的邊緣；周將面圍了起來，面向外延伸至周而止；周將平面一分為三，即內(nèi)部、外部與周界。周有長(zhǎng)短之分，面有大小之別，自然就生發(fā)出周長(zhǎng)與面積這對(duì)孿生概念。當(dāng)然，學(xué)生對(duì)周的感知是內(nèi)隱的，對(duì)面的感知是顯性的。往往學(xué)生在學(xué)習(xí)周長(zhǎng)和面的概念時(shí)，極易將兩個(gè)概念相混淆。究其原因，主要是學(xué)生早在學(xué)習(xí)周長(zhǎng)時(shí)，對(duì)周與面、周長(zhǎng)與面積就有一定的生活經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知基礎(chǔ)，但是正確與錯(cuò)誤并存。而像教材這樣的“分+合”式編排，即先認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)，再學(xué)習(xí)面積，最后將二者放在一起加以區(qū)分，這樣的編排方式也沒有充分重視這一問題，也會(huì)導(dǎo)致教師在教學(xué)周長(zhǎng)時(shí)，會(huì)忽視學(xué)生關(guān)于周長(zhǎng)與面積的前經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而在教學(xué)面積時(shí)引發(fā)學(xué)生混淆面積與周長(zhǎng)。因此在對(duì)本課進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，便將“周長(zhǎng)”與“面”貫穿始終，在不斷的對(duì)比中在二者之間建立區(qū)別與聯(lián)系。三、學(xué)習(xí)者分析通過對(duì)周長(zhǎng)概念本身進(jìn)行研究，又對(duì)教材的內(nèi)容編排進(jìn)行了分析，周長(zhǎng)的學(xué)習(xí)不應(yīng)與面割裂開來，不僅是因?yàn)橹荛L(zhǎng)需要從面上剝離下來，還因?yàn)橹荛L(zhǎng)與面本就是一對(duì)“孿生兄弟”，學(xué)生對(duì)周的感知是內(nèi)隱的，對(duì)面的感知是顯性的。在度量學(xué)習(xí)時(shí)，若不及時(shí)將二者加以區(qū)分和聯(lián)系，就極有可能出現(xiàn)混淆面積與周長(zhǎng)的現(xiàn)象。調(diào)研目的：本次只用一道經(jīng)典的題目進(jìn)行前測(cè)，旨在了解能否不受面的影響來判斷周長(zhǎng)，能夠?qū)⒅荛L(zhǎng)從面上剝離下來。本次不僅對(duì)三年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行了前測(cè)，還對(duì)四、五年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行了后測(cè)。調(diào)研對(duì)象：三（1）37人、三（9）班40人、三（17）班41人、四（3）班35人、五（10）班35人調(diào)研題目：關(guān)于①的周長(zhǎng)和②的周長(zhǎng)，（

）說法是正確的。A.①的周長(zhǎng)更長(zhǎng)B.②的周長(zhǎng)更長(zhǎng)

C.兩個(gè)圖形的周長(zhǎng)一樣長(zhǎng)

D.無法判斷表1

①②圖形周長(zhǎng)比較答題情況通過學(xué)生調(diào)研可以發(fā)現(xiàn)，這道題的正確率很低。三年級(jí)正確率僅有48%。四、五年級(jí)學(xué)生雖然有過相關(guān)的學(xué)習(xí)和做題經(jīng)驗(yàn)，但是正確率只有74%、80%。通過訪談，了解到學(xué)生還是受圖形面積干擾，認(rèn)為面積大周長(zhǎng)就大。這就說明，學(xué)生對(duì)于周長(zhǎng)的學(xué)習(xí)有一定的基礎(chǔ)和直觀感知，但是易受面的影響，即無法將周長(zhǎng)從面上剝離出來，明確研究的對(duì)象是邊線，而不是面。因此，如果學(xué)生對(duì)周長(zhǎng)沒有深刻的感知，難免會(huì)與二維的面積概念相互干擾。三年級(jí)學(xué)生對(duì)于平面圖形的直覺是圖形的大小，即面積。當(dāng)兩個(gè)圖形放在一起比較時(shí)，