2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末測(cè)試卷03（人教B版2019）(解析版)

2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末測(cè)試卷03

(考試范圍：必修第三冊(cè)第四冊(cè)考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名，考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。

如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。

寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

4i

1.若z=l+2i,則——=()

ZZ-]

A.1B.-1C.iD.-i

——4i4i

解析因?yàn)閦=l+2i,則z=l-2i,所以zz=(l+2i)(l-2i)=5,則一=—=：=i.

zz-14

故選C.

答案c

2.銳角三角形ABC中，b=\,c=2,則a的取值范圍是()

A.巾<〃<小B.l<a<V5

C.l<a<3D.不確定

解析因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以cosA>0,cosB>0,cosOO,

所以6+/一〃2>0,/+/—%2>0,<72+/?2—(?>0,所以1+4—〃>0,

屏+4—1>0,4+1—4>0,即3<。2<5,所以正<“<小.

(小VaV小，「r-

又萬+c,即l<aV3.由彳得小<a<小.

ll<a<3.

答案A

3.已知球的直徑SC=4,A,8是該球球面上的兩點(diǎn)，AB=2,ZASC=ZBSC=45°,

則棱錐S-ABC的體積為()

A"R逑,處口入自

A.333

解析如圖所示./ASC=NBSC=45。且05=08=04=0C=2,

.,.△SOB,△SOA為全等的等腰直角三角形，且SC_L08,SC±OA,

又0AD08=0,；.SC_L平面A08又；A8=08=0A=2,.,.△AOB為等邊三角再

VS-ABC=VS-AOH+VC-AOB=/SAAOB-SC=/X5*4=弧.

答案B

4.已知|而|=1,|加尸小，而V協(xié)=0,點(diǎn)C在NAOB內(nèi)，且NA0C=30。.設(shè)沆=根晶

-J7

+〃08（n〃￡R）,則而等于（）

A.小B.3C.坐D.1

解析如圖求?次=|沆H次卜cos30°=利。AF+”次?彷=，*①

獨(dú)流=|靈|兩cos6（T=〃蘇?彷+〃帝=3〃.②

答案D

5.等邊三角形A2C的邊長(zhǎng)為2,M、N分別為A&AC的中點(diǎn)，沿MN將△4MN折起,

使得面AMN與面MNCB所成的二面角為30。，則四棱錐4一MNC8的體積為（）

A.|B.*C.小D.1

解析在平面圖形中如圖（1）,過A作AL使ALJ_8C,AL交MN于K,則AKJ_yW/V,

KLLMN.

所以圖⑵中NAKL=30°.則四棱錐A-MNBC的高/?=AK?sin300=?4,S四邊冊(cè)BCNM=

明3立巨13s小3

"x22）9=十，VA_Mmc=-.^->^=-

答案D

6.甲船在A處，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B處，乙船以每小時(shí)10海里的

速度向正北方向行駛，而甲船同時(shí)以每小時(shí)8海里的速度由A處向北偏西60。方向行駛，則

甲、乙兩船相距最近，需要（）小時(shí)后。

510-2040

A.B.-C.~D.~=-

解析設(shè)甲、乙兩船經(jīng)r小時(shí)后相距最近且分別到達(dá)P、。兩處，因乙船到達(dá)A處需2

小時(shí).

①當(dāng)歸<2時(shí)，如圖①，

在八4/2中，AP=St,/I(2=20-10/,

所以PQ=yjA(22+AP2~2AQxAPxcos120°

=yj(20-10r)2+(8r)2-2x(20-10r)x8rx(-J

=-\/84/2-240/+400=2^2k2-60/+100;

②當(dāng)f=2時(shí)，PQ=8x2=16;

③當(dāng)/>2時(shí)，如圖②，

在△APQ中，AP=St,AQ=107-20,

二PQ=y]AQ2+AP2-2AQxAPxcos60°

=2^/21^-60f+100.

綜合①②③知，PQ=2y]2\t2-60t+100(/>0).

當(dāng)且僅當(dāng)r=1^=半時(shí)，PQ最小.

所以甲、乙兩船行駛3小時(shí)后，相距最近.

答案B

7.已知xG[0,兀],:x)=sin(cosx)的最大值為a,最小值為/?,g(x)=cos(siiu)的最大值

為c,最小值為d,貝女)

A.b<d<a<cB.d<b<c<aC.b<d<c<aD.d<b<a<c

解析[0,7t],.,.sinx^[0,1],COSJI￡[—1,1],sin(coscr)[sin(_1),sinl],

即a=sinl,/?=-sinl,cos(siru)G[cosl,l],

/.c=1,d=cosl.又sinl>cosl,b<d<a<c.

答案A

8.設(shè)O是AABC的重心，且市次sinA+3訪sinB+3巾比sinC=0,則/B的值為()

A.30°B.45°C.60°D.75°

解析：；0是4ABC的重心，，況+加+求=0.又：巾溫sinA+3彷sinB+3由比sinC=0,

可得市況sinA+3加sinB-3由(況+協(xié))sinC=0。化簡(jiǎn)可得市況(sinA-3sinC)+3O^(sinB-

市sinC)=0。VOA,仍不共線。，sinA-3sinC=sinB—^sinC=0。根據(jù)正弦定理可得“=3c,

(3c)2—i

bfpc。根據(jù)余弦定理可得cosB1一/汽J',",法。.?.NB=60°。

答案c

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.

9.如果△All。的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于△A26C2的三個(gè)內(nèi)角的正弦值，則()

A.山Ci是銳角三角形B.△AiSG是鈍角三角形

C.△4&C2是銳角三角形D.282c2是鈍角三角形

解析由條件知，AAISG的三個(gè)內(nèi)角的余弦值均大于0,則△48|C|是銳角三角形，

假設(shè)△A282c2是銳角三角形，由

r7tr7i

sinA2=cosAi=sin（2-Ai）Ai=~j-A\

<sinfi2=cosBi=sin（^—Bi）,得<B2=^—B\,

7T7C

—

<sinC2=cosCi=sin（2Ci）1。2=]—G

jr

那么，4+&+。2=爹，這與三角形內(nèi)南和為180。相矛盾，故假設(shè)不成立，

即△A2&C2是鈍角三角形，故選AD.

答案AD

10.關(guān)于函數(shù),/（x）=cos（2x—亨）+8$（2%+聿），有下列說法：

A.y=/（x）的最大值為吸；

B.y=?r）是以兀為最小正周期的周期函數(shù)；

C.y=_/（x）在區(qū)間信，詈）上單調(diào)遞減；

D.將函數(shù)y=d5cos2x的圖象向左平移點(diǎn)個(gè)單位后，將與已知函數(shù)的圖象重合.

其中正確說法的是（）

解析/U）=cos（2x-§+cos（2r+彳一?=cos（2r-—sin（2j=V5cos（2x-，

?\AX）max=啦，即A正確.T=^=y=7l,即B正確.

jrjr13

/（x）的遞減區(qū)間為2Eg2x—y^2E+7r（&￡Z）,即lai+^<x<kir+^7t（Z：eZ）,

%=o時(shí)，立人貴，所以C正確.

將函數(shù)y=V2cos2x向左平移/個(gè)單位得y=^cos12[+立）

;.D不正確.

答案ABC

11.對(duì)于直線"7、〃和平面a,下列命題中的假命題是（）

A.如果〃zUa,nCa,相是異面直線，那么〃〃a

B.如果mUa,ma,m、〃是異面直線，那么〃與a相交

C.如果mUa,n//a,m、〃共面，那么勿2〃〃

D.如果加〃a,〃〃a,m、〃共面，那么相〃幾

解析如果〃?ua,";、〃是異面直線，那么〃〃a或〃與a:相交，故A、B均不對(duì).對(duì)

于命題C,若不正確，即加不平行于〃，則由小、〃共面條件知?m與n必相交，而mu/

則〃一定不平行于a,這與已知“〃a矛盾，故假設(shè)不成立.此命題正確.對(duì)于選項(xiàng)

若m〃a,n//a,m、〃共面，那么〃?〃“或，”與〃相交且，〃與“確定的平面與平面a平行.

答案ABD

12.如圖所示，正六邊形ABCDEF中，有下列四個(gè)命題，其中真命題的序號(hào)是（）

A.AC+AF=2BCB.AD=2AB+2AF

C.ACAD=ADABD.（而時(shí)譯=病（而函

解析At+Ap=Ab=2Bt,A正確：2霜+2/=2（輻+砧=2茄=勸，B正確;

由圖顯見企/彷?屈二?祀?用=|祀|?閔MCOSNDAC.

Ab-Ah=\At）\\Aii\cosZDAB,而|油>|亦|

cosZDAOcosZDAB>0：.祀?力US.

也可以由數(shù)量積的幾何意義知，油在顯）上的投影小于At在顯）上的投影，

...初,初<戲?/，故CC錯(cuò)；

盡管向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，但本題中（A力?時(shí)?芬=力（#?兩成立

VAt>=-2Ep,；.（而宿祥=（-2或#）.#=-2（濟(jì)?彷百

力（#?兩=-2成#?明，；.D成立.

答案ABD

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中的橫線上.

13.［（l+2i）.產(chǎn)+（曷5卜情卜=-------------。

（1+2紈°°+（高5卜（制2。

解析=[(1+2i)-l+(-i)5]2-i'°=(l+i)2-i'0=1+2i.

14.三角形的一邊長(zhǎng)為14,這條邊所對(duì)的角為60°,另兩邊之比為8:5,則這個(gè)三角

形的面積為.

—196

解析設(shè)另兩邊長(zhǎng)分別為87,5々＞0）,由余弦定理，得cos6（r=-----礪-----

解得f=2.則另兩邊長(zhǎng)分別為16和10,則這個(gè)三角彩的面積為3xi6X10sin60o=40，I

答案4(hj3

15.有一個(gè)軸截面為正三角形的圓錐容器，內(nèi)放一個(gè)半徑為R的內(nèi)切球，然后將容器

注滿水，現(xiàn)把球從容器中取出，水不損耗，且取出球后水面與圓錐底面平行形成一個(gè)圓臺(tái)體,

問容器中水的高度為

解析作出圓錐和球的軸截面（如右圖所示），設(shè)圓錐底面半徑為r,母線長(zhǎng)為/,高為幾

則I=2r=2yf3r,h—y[3r=3R,

，V水=￥。一專/?3=與3a3/?一專/?3=,R3

球取出后，水形成一個(gè)圓臺(tái)，設(shè)圓臺(tái)上底面半徑為/,高為農(nóng)，

則下底面半徑「=小尺T=（/一，）tan60。=/（5/?一，）,

?,?冷/?3=?'（r+rr2+rrf）,/.5R3=y[3（yf3R—rf）（/2+y[3Rr,+3/?2）,

：?5R3=小（3小R3-b3）,解得/

03

：.hf=(3—m)R.答案(3-y[12)R

16.已知〃，為單位向量，且。"=0,若c=2a—小b,則cos〈a,c)=,

角單析a<=0(2〃一小b)=2&2一小0。=2,

Vc2=(2a—y/5b)2=4a2—4鄧a乃+5〃=9,/.|c|=3,

Cl-C2

/.COS〈4,c)=

⑷Id3-

2

答案3

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演

算步驟.

17.(10分)已知z是復(fù)數(shù)，z+2i,言7均為實(shí)數(shù)(i為虛數(shù)單位)，且復(fù)數(shù)(z+ai)2在復(fù)

平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)?的取值范圍.

解析設(shè)z=x+yi(x,yWR),

則z+2i=x+(y+2)i,_Z_=￡t2*=l(x+ji)(2+i)=1(2x-y)+1(2y+x)i.

N,141JJJ

y+2=o，(x=4,

由題意知〈1/..\z=4-2i.

?2y+x)=0,b=-2,

；(z+“i)2=[4+(a—2)ip=(12+4”一/)+8(“一2)i,

[12+4fl-iZ2>0,

由已知得：.2<a<6.

8(a-2)>0,

二實(shí)數(shù)”的取值范圍是(2,6).

答案(2,6)

18.(12分)在△A8C中，a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊長(zhǎng)，己知msin4=口3cosA.

(1)若/—02=/?2—求實(shí)數(shù)，*的值；

(2)若a=小,求△ABC面積的最大值.

解析(1)由正sinA=#3cosA兩邊平方,

得2sin2A=3cosA,即(2cosA—l)(cosA+2)=0.

解得cosA=g>0,0<A<^,<,.A=^.

82+/一/九"I]

而a2—c2=h2-mhc可以變形為---Tj-----=y,即cos4=5=5,???根=1.

LUCL4L

1濟(jì)+/一層1

(2)由(1)知cosA=],則sinA=T5>,又---荻---=],

hc=h2+c2—cr^lhc—a2,即hc<cr.

故底44°=今<nA好.羋=邛^,/./\ABC面積的最大值為eg.

答案(1)1(2)乎

19.(12分)有三個(gè)球，第一個(gè)球內(nèi)切于正方體六個(gè)面，第二個(gè)球與這個(gè)正方體各條棱

相切，第三個(gè)球過這個(gè)正方體的各個(gè)頂點(diǎn)，求這三個(gè)球的表面積之比.

解析設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為

(1)正方體的內(nèi)切球球心是正方體的中心，切點(diǎn)是六個(gè)面的中心,

經(jīng)過四個(gè)切點(diǎn)及球心作截面如圖①，所以有2r|="，n=^.

所以Si=4兀1=?！?.

(2)球與正方體的各棱的切點(diǎn)在每條棱的中點(diǎn)，

過球心作正方體的對(duì)角面得截面，如圖②，2r2=,a，"2=孚”，

所以52=4兀6=2兀辟.

(3)正方體的各個(gè)頂點(diǎn)在球面上，

過球心作正方體的對(duì)角面得截面，

如圖③，所以有2/3=小“，〃3=坐”，

所以53=4兀6=3兀/.

由上知：Si：S2'.53=1：2：3.

答案1：2：3

20.(12分)如圖，在海岸4處發(fā)現(xiàn)北偏東45。方向，距4點(diǎn)(小一1)海里的B處有一

艘走私船.在A處北偏西75。方向，與A距離2海里的C處的我方緝私船，奉命以海

里/時(shí)的速度追截走私船,此時(shí)走私船正以10海里/時(shí)的速度，從B處向北偏東30。方向逃竄,

問：緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船？并求出所需時(shí)間.

解析設(shè)緝私船應(yīng)沿CD方向行駛/小時(shí)，才能最快截獲(在。點(diǎn))走私船.

則CO=10\/5f海里，80=10/海里

'：BC2=AB2+AC2~lABACcosA

=(A/3-1)2+22-2(A/3-1)-2cos1200=6

:.BC=限

..BC_AC

sirtA-sinZABC,

ACsinA2sinl20°^2

：.sinZABC=

BC~^=2

：.NA8C=45°,

：.B點(diǎn)在C點(diǎn)的正東方向上,

ZCBD=90°+30°=120°

一BD_CD

,sinZBC￡>=sinZCBD,

BDsinNCBD1Orsini20°1

：.sinZBCD=

CDl(h/3r2-

/.ZBCD=30°,又/C8Z)=120°得NQ=30°,

：.BD=BC,即10/=#,.?./=當(dāng)小時(shí)R5(分鐘).

答案緝私船沿北偏東60。的方向行駛，才能最快截獲走私船，約需15分鐘時(shí)間.

21.(12分)已知xWR,向量不l=(〃?cos2x,l),勵(lì)=(2,yf3msm2x-m),j{x}^OAOB,

mWO.

(1)求函數(shù)yw的解析式，并求當(dāng)機(jī)>o時(shí)，./?的單調(diào)增區(qū)間；

(2)當(dāng)xd[0,芻時(shí)，/)的最大值為5,求機(jī)的值.

解析(1=2/?zcos2x+A/3wsin2x—2A+AHCOS2x=2加sin(2x+。

IT7TIT

當(dāng)/w>0時(shí)，由2E—4辦:+不二2%兀+/(攵￡Z),

兀71

得E一鏟心E+那WZ).

7T7T

故函數(shù)/(x)的單調(diào)增區(qū)間為[E—E+q/eZ).