2020-2021學年江蘇省如東某中學泰州某中學高二11月聯考數學解析版

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2020-2021學年江蘇省如東高級中學泰州高級中學高二11月聯考數學

一、選擇題(本大題共8小題，共40分)

1.已知函數y=V-%2+2x+3的定義域為集合M,集合N={x|0WxW2},則

MCIN=()

A.[-1,3]B.[0,2]C.[0,1]D.[-1,4]

【答案】B

【解析】令一/+24+3》。得一l《x43,

所以M={x|-1<%<3},所以MCN={x|04x42},

故選B.

2.命題[2,+8),刀224”的否定為()

A.VxG[2,+oo),X2<4B.VxG(-00,2),x2>4

e

C.3x0e[2,+oo),XQ<4D.3x0[2,+8),就24

【答案】C

【解析】???命題"Vxe[2,+8),X2>4",

???命題的否定是三支06[2,+8),XQ<4

故選C.

3.已知二次函數f(x)=(x-m)(x-n)+l,且%i，%2是方程/(x)=0的兩個根，則

X2>W,"的大小關系可能是()

A.x1<x2<m<nB.<m<x2<n

C.m<n<xx<x2D.m<<x2<n

【答案】D

【解析】/(x)=(x-m)(x-n)+1,并且%i，%2是方程/(x)=0的兩根，

即有f(m)=/(n)=1./(%!)=f(x2)=0,

由于拋物線y=/(x)開口向上，可得加，〃在兩根&之外，

可得A,B,C均錯，。正確，

故選：D.

4,已知圓C:/+y2-2%+4y=0關于直線3x—2ay-11=0對稱，則圓C中以

己一夕為中點的弦長為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

依題意可知直線過圓心（1,一2）,即3+4。-11=0,。=2.故（泉—卞=（1,-1）.

圓方程配方得（x-1）2+（y+2）2=5,（1,一1）與圓心距離為1,

故弦長為2臼=1=4.

故選：D.

5.正確使用遠光燈對于夜間行車很重要.已知某家用汽車遠光

燈（如圖）的縱斷面是拋物線的一部分，光源在拋物線的焦點

處，若燈口直徑是20am燈深10。〃，則光源到反光鏡頂

點的距離是（）

A.2.5cmB.3.5cmC.4.5cmD.5.5cm

【答案】A

【解析】

設對應拋物線的標準方程為y2=2px,由題意知拋物線過點（10,10）,

得100=2px10.得p=5,

則々=2.5,即焦點坐標為（2.5,0）,

則光源到反光鏡頂點的距離是2.5.

故選A.

6.平流層是指地球表面以上10和1到50府的區(qū)域，下述不等式中，x能表示平流層高

度的是（）

A.|%+10|<50B.|x-10|<50C.|x+30|<20D.|x-30|<20

【答案】D

【解析】

解：由題意知10cx<50,

4選項，不等式可化為-50<x+10<50,即—60<x<40,不正確；

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8選項，不等式可化為一5010<50,即—40<x<60,不正確；

C選項，不等式可化為-20<x+30<20,即-50<x<-10,不正確；

。選項，不等式可化為一20<》一30<20,即10cx<50,正確；

故選D.

7.在公比為q的正項等比數列｛用｝中，a4=l,則當2a2+取得最小值時，1咤2勺等

于（）

A.；B.C.iD.-i

【答案】A

22

【解析】由。4=4，及等比數列的性質可得2a2+a6=2X4xQ-+4q>

2,8q-2義4q2=訴

當且僅當q=好時取得最小值.

所以log2q=3故選A.

8.設a>0,b>0,且2a+b=l,則三+--（）

A.有最小值為2夜+1B.有最小值為e+1

C.有最小值為gD.有最小值為4

【答案】A

【解析】a>0,b>0,且2a+b=1,則0<a<土

12a12a

:.__?=__|

aa+ba1-a

1—2（1—CL）+212

=—I---------------------=—F----------2

a1—aa1-a

又！+W=G+E）（a+l-a）

=3+^+—>3+2V2,

a1-a

當且僅當與士=言，即當且僅當a=a-1時等號成立，

所以2+g的最小值為2夜+L故選人

aa+b

二、不定項選擇題（本大題共4小題，共16分）

9.下列不等式成立的是（）

A.若a<Z?<0,則a2>b2B.若ab=4,則a+Z?>4

C.若a>b,則ac2>be2D.若a>b>0,m>0,則&<竺上

aa+m

【答案】AD

【解析】對于A,若QVbvO,根據不等式的性質則Q2>〃，故A正確；

對于8,當Q=—2,b=—2時，a4-h=—4<4,顯然B錯誤；

22

對于C當c=0時，ac=bcf故于錯誤;

-bb+mb(a+m)-a(b+m)(b-a)m

對于。，-------=-----;---;---=-----7,

aa+ma{a+m)a(a+m)

因為Q>b>0,m>0,所以b—aVO,a4-m>0,所以()<0

aia+m)

所以巴一處巴<o,即2<處及成立，故。正確.故選AZZ

aa+maa+m

10.下面命題正確的是()

A.“a>1”是叫<r的充分不必要條件

B.在△ABC中，asinA+cosA=sinB+cosBn是“A=B”的充要條件

C.設x,yeR,則“x>2且y>2”是“小+y2>4”的必要而不充分條件

D.設a,bGR,則“aH0”是“abH0”的必要不充分條件

【答案】AD

【解析】對于A,由三<1可得a>1或a<0,

a

所以“a>r是“5<1”的充分不必要條件，故A正確；

a

對于B,由sin/4+cosA=sinB+cosB,可得疝i(j+*)=sin(B+,

所以.A+g="+；或A+]+B+J=7T,即A=B或,4+B=1，

所以“sinA+cosA=sinB+cosB”是uA=Bn的必要不充分條件,故B錯誤;

對于C,設x,y6R,由x22且y22可得M+y224,反之不成立，

則“x22且y22”是+丫2>4”的充分不必要條件，故C錯誤；

對于。，由ab片0可得aH0,反之不成立，

所以“a短0”是“ab#0”的必要不充分條件，故。正確，

故選AD.

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11.已知雙曲線\一，=l（a〉O,b〉O）的左、右焦點分別為尺，F2,尸為雙曲線上一

點，且仍0|=2仍員1，若sin/FiPF2=半，則對雙曲線中a，b,c,e的有關結論

正確的是（）

A.e=V6B.e=4C.b=y/5aD.b=V3a

【答案】ACD

【解析】IPFJ=2\PF2\,

???由雙曲線定義可知:IPFJ-\PF2\=\PF2\=2a,AIPFJ=4a,

由sinNFiPEi=—，得cos乙&PF2=±；.

1

在APFiF2中，由余弦定理可得：絲*竺七空=±3,

12x2ax4a4

解得，底=4或a=6,

???c—2a或c=V6a>

:，b=y/c2—a2=百a或b=Vc2-a2=V5a?

e=~=2或幾，

.?.8選項的結論錯誤，故選ACD

12.在數列｛a"中，若嫌一嫌_1=2（7122/￡/7*/為常數），則稱｛6｝為“等方差數

列”,下列對“等方差數列”的判斷正確的是（）

A.若｛an｝是等差數列，則｛冊｝是等方差數列

B.｛（一1嚴｝｝是等方差數列

C.若｛an｝是等方差數列，則｛akn｝（keN*）,/c為常數）也是等方差數列

D.若｛a“｝既是等方差數列，又是等差數列，則該數列為常數列

【答案】BCD

【解析】對于4,若｛%｝是等差數列，如斯=心

則聯—an-i=n4—（n—I）4=（2n—l）（2n2—2n+1）不是常數,

故｛嗎｝不是等方差數列，故4錯誤；

對于8,數列｛（一1為中,成一碎_i=［（T）呼一［（一1）"-平=0（常數）,

｛（一1尸｝是等方差數列，故B正確；

對于C,數列｛6｝中的項列舉出來是，即，。2，…，ak'a2k'

數列｛akn｝中的項列舉出來是，ak^a2k>…，

（或+1-破）=（或+2-或+D=（或+3-或+2）=…=（喙-吸-1）=P，

二（成+1-al）+（磕+2—或+1）+（或+3-或+2）+…+（a金-a泉-1）=切，

（a金—或）=kp,■1?（dfc（n+i）—a短）=kp,

■■｛akn｝（/cGN*,k為常數）是等方差數列，故C正確；

對于是等差數列，

**,Q九=d9

???｛a"是等方差數列，

?n-Wt=p,

二（an+an-i）d=p，

1°當d=0時，數列｛a,J是常數列，

2。當dHO時，〃為偶數時，冊=畀裊〃為奇數時，an=；合數列5｝是常數歹U，

綜上數列｛aj是常數列，故。正確.

故選BCD.

三、填空題（本大題共4小題，共20分）

13.已知正數x,y滿足3xy+y?-4=0,則3x+5y的最小值為。

【答案】8

【解析】

?.?正數x,y滿足3xy+y2-4=0,

C4

???3x=——y,

y

???3x+5y=（+4y>2J；?4y=8,

當且僅當j=4y,即y=i時取等號，

3x+5y的最小值為8.

故答案為8.

14.拋物線C:y2=2x的焦點坐標是；經過點P（4,l）的直線/與拋物線C相交

于4,8兩點，且點P恰為A8的中點，/為拋物線的焦點，則|而j+|FF|=

【答案】C，0）；9

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【解析】

由拋物線C：y2=2x,得2P=2,p=1,則］=J

???拋物線的焦點尸G，0).

過A作4M_L準線，BN_L準線，PK_L準線，M、N、K分別為垂足,

則由拋物線的定義可得|4M|+\BN\=\AF\+\BF\.

再根據P為線段A8的中點，有“|AM|+\BN\)=\PK\=l，

■.\AF\+\BF\=9,

故答案為：G，0），9.

15.過P(2,2)作圓C：(x—l)2+y2=i的切線，則其切線方程為

【答案】x=2或3K-4y+2=0

【解析】圓C：(x—l)2+y2=1的圓心為(1,0),半徑為1,

(1)當過點(2,2)的直線垂直于x軸時，

此時直線斜率不存在，方程是x=2,

???圓心。(1,0)到直線的距離為d=1=r,

???直線x=2符合題意；

(2)當過點(2,2)的直線不垂直于x軸時，

設直線方程為y—2=k(x—2),即kx-y-2k+2=0.

?.?直線是C(》一1)2+丫2=1的切線，

.??點。(1,0)到直線的距離為d==1,解之得k=

此時直線方程為3x-4y+2=0.

切線方程為x=2或3%-4y+2=0.

故答案為久=2或3%-4y+2=0.

16.若關于x的不等式ax-b<0的解集是(1,+8),則關于x的不等式誓>0的解集

X-Z

是.

【答案】(—1,2)

【解析】由題意得，ax-b<0的解集是(1,+8),

則廣1,

la<0

而不等式筆>0等價于a(%+1)(%-2)>0,

X—2

即(％+1)(%—2)<0,

解得—1<x<2,

所以不等式箸>0的解集是(-L2)；

故答案為(一1,2).

四、解答題(本大題共6小題，共72分)

17.已知圓C：(X-3尸+(y-4產=4.

(I)若直線/過點4(2,3)且被圓C截得的弦長為2次，求直線/的方程；

(U)若直線/過點與圓C相交于P,Q兩點，求ACPQ的面積的最大值，并求

此時直線/的方程.

【答案】(I)圓C的圓心坐標為C(3,4),半徑R=2,

???直線/被圓E截得的弦長為26，二圓心C到直線/的距離d=1.

(1)當直線/的斜率不存在時，/：x=2,顯然滿足d=l；

(2)當直線/的斜率存在時，設/：y-3=fc(x-2),即kx-y+3-2k=0,

由圓心C到直線/的距離d=l得：羋嗎=1，解得k=0,故/：y=3；

vl+fcz

綜上所述，直線/的方程為久=2或y=3

(!!)???直線與圓相交，的斜率一定存在且不為0,設直線/方程：y=k(x-l),

即kx-y—k=0,則圓心C到直線I的距離為d=警整，

/vl+kz

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又「△CPQ的面積S=1xdx2V4—d2=y/d2(4—d2)=(-(d2-2尸+4,

???當d=魚時，S取最大值2.由d=隼瞿=VL得k=l或k=7,

vl+fcz

二直線/的方程為x-y-1=0或7%-y-7=0.

18.在①%,。2成等差數列，②%，a2+l,。3成等比數列，③$3=：，三個條件

中任選一個，補充在下面的問題中，并作答.

已知％為數列｛須｝的前〃項和，3Sn=an+2ai，(n€N*),%片0,且____.

(1)求數列｛Qn｝的通項公式；

(2)記g=一log?成，求數列｛bn｝的前〃項和〃.

【答案】解：選①，

(1)?；口1，：,口2成等差數列，二。1+。2=5

v3sH=@九+2alf

???3(%+a2)=a2+2%,即%+2a2=0，

Y1

???Ql=1，@2=-5，

??,當n>2時，3Sn_i=Qn_i+2QI，

???3a=3S—3S_i=Qn—an-i??*,T-2-=-2,

nnnan-i』

二數列｛a,J是以1為首項，-沙公比的等比數列，

斯=(一曠:

2

(2)-bn=-log2an=-log2(-0=-log2=2n-2.

數列｛b｝的前n項和7；=0+2+4+…+(2律-2)=吟衛(wèi)=n2-n.

2

19.已知等差數列｛&J的前“項和為又，Sn=n+n+m.

⑴求m的值;

(2)已知%=^-+2an,求數列｛%｝的前"項和

2

【答案】(1)5rl=n+n+m,

當九>2時，Sn_1=(九一I)?+九一i+爪,

兩式相減可得Qn=2n,

???{an}為等差數列，

???當九=1時，%=2+m=2,

Am=0,

2

(2)由(1)可得Sn=n+n=n(n+1),

..飛弋+2斯=儡+22"=(^^)+4”，

11111114(1一4n)

A7^=(1--+---+---4-???4-------------)+

nk22334nn+Y1-4

Y1,1477+144n+111

1---------F-x4n+1——=-------------------

n+1333n+l3

20.已知p：%2—7%+10<0,q：x2—4mx+3m2<0其中m>0.

(1)已知m=4,若pAq為真，求x的取值范圍；

(2)若7?是"的充分不必要條件，求實數m的取值范圍.

【答案】解：(1)由M—7%+10V0,解得2VXV5,

所以p02cx<5；

對于不等式—4mx+3m2<o,

因為一：V2+：+24-；，解得M<%<3ni,

3A2

所以q<=>m<x<3m.

當一2V—4?」<一工時，，qQ4Vxe12,

33m2+4—2

又m2為真,p,q都為真,

所以4<x<5,

即x的取值范圍是(4,5)；

(2)由m<-卓是「p的充分不必要條件，

??.p為q的充分不必要條件，

由(l)p<=>2<x<5,q<=>m<x<3m,

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m<2①

3m>5(2),且①②不能同時取等號，

m>0③

/.-<m<2,

3

??.實數m的取值范圍是自21

21.設函數y=QM+%一匕(QcbER).

(1)求不等式y(tǒng)<(2a+2)x-b-2的解集;

(2)當Q>0,h>1時，記不等式y(tǒng)>0的解集為P,集合Q={%|-2-t<x<-2+

t}.若對于任意正數r,PCQ力。，求;一3的最大值.

【答案】

解(1)lily<(2a+2)x-b-2得a/_(2a+l)x+2V0,即(ax-l)(x-2)<0.

(/)當a>0時，不等式可以化為—2)<0.

①若0,則*2,此時不等式的解集為(2,*;

②若。=也則不等式為。一2￥<0,不等式的解集為a;

③若a>：,則5<2,此時不等式的解集為(%2).

(口)當a=0時，不等式即-x+2<0,此時不等式的解集為(2,+8).

(〃)當a<0時，不等式可以化為(x-》(x-2)>0,解集為(一8,》〃(2,+8).

綜上所述，第a<0時，不等式的解集為(-8,》U(2,+8)；

當Q=0時，不等式的解集為(2,+8)；

當0<a<襯，不等式的解集為(2,；);

當。=泄,不等式的解集為0；

當a>決寸,不等式的解集為(；,2).

(2)集合Q={x\-2-t<x<-2+t}

又PCQ手所以滿足當x=—2時，函數y>0,即4a-2-b>0,所以4a>b+2>3,

11,413b-2…6-?..t+2

正一/再？記t=3b-2>l,此u時匕=丁，

1141_3b-2_9t_91

則益~~b~~b+2~b~b(b+2)~~(t+2)(t+8)~~tTy+lO-