【2023屆新高考數(shù)學(xué)考前模擬沖刺卷】 模擬沖刺仿真卷05 （新高考）解析版

絕密★考試結(jié)束前

【2023屆新高考考前模擬沖刺卷】模擬沖刺仿真卷05（新高考通用）

數(shù)學(xué)

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

2023年高考臨近，在原有江蘇省、廣東省、湖南省、湖北省、山東省等10個(gè)省市納入新高考范

圍基礎(chǔ)上，浙江省高考數(shù)學(xué)今年從新高考自主命題卷調(diào)整為新高考全國(guó)卷，安徽省、山西省、吉林

省、黑龍江省、云南省，5省高考數(shù)學(xué)今年從老高考全國(guó)卷調(diào)整為新高考全國(guó)卷，針對(duì)新高考出題的

最新動(dòng)態(tài)和命題趨勢(shì)，特推出《2023屆新高考考前模擬沖刺卷》以供大家參考！

一、2023高考四大趨勢(shì)

?落實(shí)立德樹人，鮮明體現(xiàn)時(shí)代主題

?高考由“考知識(shí)”向“考能力”轉(zhuǎn)變

?聚焦“關(guān)鍵能力”和“思維品質(zhì)”的考察

?高考由“以綱定考”到“考教銜接”轉(zhuǎn)變

數(shù)學(xué)：出題方式發(fā)生重大變化，數(shù)學(xué)考試出題將加入復(fù)雜情景，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思維方法考察，比以往的數(shù)學(xué)難

度更大。

二、2023年新高考數(shù)學(xué)命題方向

□新高考數(shù)學(xué)卷以情境作為依托，呈現(xiàn)出新氣象，營(yíng)造出“理念新、內(nèi)容新、結(jié)構(gòu)新”的新氛圍。

□新高考卷預(yù)期會(huì)繼續(xù)強(qiáng)化情境類試題的命制，側(cè)重知識(shí)的應(yīng)用性:情境類試題可以分為:課程學(xué)習(xí)情境、探索

創(chuàng)新情境、生活實(shí)踐情境。

□任意板塊知識(shí)均有可能命制壓軸題，不固化試題的位置；

□小題的最后兩題不再是函數(shù)唱主角，數(shù)列、三角、立體幾何、新定義等內(nèi)容將登場(chǎng)

□舊教材有而新教材刪減的內(nèi)容，原則上不會(huì)考查，新高考主干知識(shí)的試題量明顯增加。

三、2022年新高考卷試題整體分析

今年數(shù)學(xué)新高考I卷，難度堪稱十幾年來的最高，今年數(shù)學(xué)新高考I卷試題難度大，主要體現(xiàn)在基礎(chǔ)性題型偏

少，難題量比往年增加，總體計(jì)算量比往年增加較大。今年新高考I卷題型難中易比例大概4:3:3,體現(xiàn)出綜合性、

創(chuàng)新性的考查。在考查學(xué)科素養(yǎng)方面，突出理性思維和數(shù)學(xué)運(yùn)算的考查。在試題的設(shè)置上，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的靈活

性以及數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，增加了綜合性、探究性和創(chuàng)造性試題內(nèi)容，突出數(shù)學(xué)學(xué)科在高考中的選拔性功能。今

年數(shù)學(xué)新高考I卷高考很好的貫徹了深化考試內(nèi)容改革.試題設(shè)置上，給人第一感覺就是中規(guī)中矩，考題中沒有出

怪題、偏題，但真正在兩個(gè)小時(shí)內(nèi)要完成考卷，考出理想分?jǐn)?shù)卻是非常不容易，其中，除了考題總體計(jì)算量偏大外，

更加體現(xiàn)了命題者在問題設(shè)置、考查的角度上非常有考究。試題從考查的知識(shí)點(diǎn)來看，都是高中數(shù)學(xué)的主干知識(shí)，

但題目的問法更加靈活，這就意味著我們更加需要重視學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和思維能力的培養(yǎng)。

四、2023年高考備考建議

?重視教考銜接

?研窕高考命題方向

?夯實(shí)基礎(chǔ)，落實(shí)“四基”

?加強(qiáng)學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)

?重視學(xué)生思維的訓(xùn)練

2022年新高考數(shù)學(xué)卷，很好地落實(shí)了“立德樹人，服務(wù)選才，引導(dǎo)教學(xué)”的核心功能，堅(jiān)持高考的核心價(jià)值，突

出學(xué)科特色，重視數(shù)學(xué)本質(zhì)，體現(xiàn)新課改理念.試卷的靈活性難度有所提高，計(jì)算量也相對(duì)偏大，對(duì)學(xué)生的心理素質(zhì)

要求較高。此外，試卷命題符合高考評(píng)價(jià)體系要求，很好地發(fā)揮了高考的選拔功能，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革發(fā)揮了積

極的導(dǎo)向作用。我們教師要指導(dǎo)學(xué)生從整體上架構(gòu)起高中知識(shí)體系，系統(tǒng)學(xué)習(xí)各章節(jié)知識(shí)，打通各個(gè)章節(jié)的聯(lián)系，

綜合學(xué)習(xí)和運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，才能在考試時(shí)游刃有余。2023年新高考數(shù)學(xué)備考中，大家一起加油，為學(xué)生決戰(zhàn)高考保

駕護(hù)航。

注意事項(xiàng):

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上寫

在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回

第□卷(選擇題)

一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的)

1.已知集合4={-2,-1,0,1,2},B={y|y=x2},則A&3)=()

A.{-2,-1)B.{-2,-1,0}C.{0,1,2)D.{1,2}

【答案】A

【解析】由二次函數(shù)的性質(zhì)求出集合B,先求補(bǔ)集再求交集即可.

【詳解】因?yàn)樵?{-2,-1,0,1,2},8={y|y=f}=[(),□),

所以金B(yǎng)=(e,0),A&8)={-2,-1},

故選：A.

2.若函數(shù)/(x)=4士為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的值為()

2-a

A.1B.2C.—1D.±1

【答案】D

【分析】根據(jù)題意可得/(-x)+/(x)=0,計(jì)算可得。=±1,經(jīng)檢驗(yàn)均符合題意，即可得解.

【詳解】由/")為奇函數(shù),

1+。?2、2'+〃

所以〃一力+〃》)=產(chǎn)+產(chǎn)-----------h-------

22一。l-a-2'2x-a

所以22-2/2=0,可得/=1,

解得。=±1,

當(dāng)。=一1時(shí)，/⑴的定義域?yàn)镽,符合題意,

當(dāng)a=1時(shí)，/a)的定義域?yàn)?田,0)U(0,M)符合題意，

故選：D

3.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布NJ,。?)，有下列四個(gè)命題:

甲：P(X>m+1)>P(X<m-2)；

乙：P(X>m)=0.5；

丙：P（X4〃?）=0.5；

丁：P(m—1<X<m)<P(m+\<X<m+2)

如果只有一個(gè)假命題，則該命題為()

A.甲B.乙C.丙D.丁

【答案】D

【分析】根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性可判定乙、丙一定都正確，繼而根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性可判斷甲和丁，即得答案.

【詳解】因?yàn)橹挥幸粋€(gè)假命題，故乙、丙只要有一個(gè)錯(cuò)，另一個(gè)一定錯(cuò)，不合題意，

所以乙、丙一定都正確,則〃=m,P(X>m+l)=P(X<m-r)>P(X<m-2),

故甲正確，

根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性可得P(〃?T<X<機(jī))=P[m<X<m+Y)>P{m+\<X<m+2),故丁錯(cuò).

故選：D.

4.將函數(shù)y=2sin(x+§的圖象向左平移加(，〃>0)個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則m的最小值是()

A.巴B.2C.土D.生

12633

【答案】B

【分析】先求出平移后的函數(shù)解析式，利用對(duì)稱性可得的最小值.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=2sin(x+?)的圖象向左平移m(機(jī)>0)個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得函數(shù)解析式為y=2sin(x+〃?+g)；

由函數(shù)y=2sin(x+m+9的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以+^eZ,

71

即〃2=攵4+一,

6

因?yàn)榧?gt;0,所以當(dāng)左=0時(shí)，加取到最小值

6

故選：B.

5.在三棱錐尸-ABC中，PA=BC=4,PB=AC=5,PC==，則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為()

A.26兀B.12兀C.8兀D.24n

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造面對(duì)角線長(zhǎng)分別為4,5,"I的長(zhǎng)方體，求出其體對(duì)角線長(zhǎng)即可求解作答.

【詳解】三棱錐P-A5C中，處=3。=4,PB=AC=5,PC=AB=y/u,

構(gòu)造長(zhǎng)方體，使得面上的對(duì)角線長(zhǎng)分別為4,5,而，則長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)等于三棱錐尸-ABC外接球的直徑，如

圖，

設(shè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)分別為x，V，z,則f+y?=]6,/+z2=25,x2+z2=11,則/+y?+z?=26,

因此三.棱錐P-ABC外接球的直徑為圓，

所以三棱錐P-ABC外接球的表面積為4兀.（率）2=26兀.

故選：A

6.對(duì)于無窮數(shù)列｛〃“｝,給出下列命題：

□若｛%｝既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則｛a,,｝是常數(shù)列；

口若等差數(shù)列｛an｝滿足㈤42022,則｛4｝是常數(shù)列；

口若等比數(shù)列｛??｝滿足|?,,|<2022,則｛4｝是常數(shù)列；

□若各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝滿足144,42022,則｛q｝是常數(shù)列.

其中正確的命題個(gè)數(shù)是（）.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】設(shè)出公差和公比，列出方程，求出公差為0,公比為1,得到｛《,｝是常數(shù)列；

口假設(shè)dMO,得到以|無最大值，推出矛盾，從而得到｛。“｝是常數(shù)列；

□舉出反例即可；

□首先推出“21國(guó)21,假設(shè)4>1,得到凡無最大值，所以4=1,｛4｝是常數(shù)列.

【詳解】因?yàn)椋?｝既是等差數(shù)列，設(shè)｛a“｝的公差為d，

則相鄰的三項(xiàng)為4,見+44+24,

因?yàn)椋?｝又是等比數(shù)列，則4聲0,設(shè)公比為9，

則相鄰的三項(xiàng)為4,44,4/，

所以《+d=%q,

2

ak+2d=akq,

兩式相減得：d=%q（q-l）,

將代入'中，ak+akq（q-1）=akq,

因?yàn)?X。，

所以l+4（q-l）=q,

解得：9=1，則d=0,

所以｛q｝是常數(shù)列，正確；

□因?yàn)榈炔顢?shù)列｛4｝為無窮數(shù)列，假設(shè)dHO,則同無最大值，不滿足同42022,

所以假設(shè)不成立，即"=0,所以｛。“｝是常數(shù)列，正確；

考慮能夠滿足同42022,而｛%｝不是常數(shù)列，匚錯(cuò)誤；

設(shè)各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列｛《,｝的公比為9,

因?yàn)?4q42022,

所以14m42022,則421M21,

若4>1,則凡無最大值，不合題意，

所以4=1,進(jìn)而｛4｝是常數(shù)列，正確.

故選：C

22

7.已知橢圓E：寧+方=l（a>b>0）的兩條弦ABCD相交于點(diǎn)尸（點(diǎn)尸在第一象限），且ABIx軸，C￡>，y軸.

若|四:儼用:忸1：歸。|=1:3:1:5,則橢圓E的離心率為（）

A。RV10「2石n2710

5555

【答案】B

【分析】設(shè)P（m,〃）,|P4|=f，進(jìn)而得A8,C,￡>的坐標(biāo),進(jìn)而根據(jù)對(duì)稱性得4（30），C⑵2）,再代入橢圓方程整理

A24

得最后求解離心率即可.

【詳解】解:設(shè)=f,則A（犯一3r）,C（m+t,n）,D（m-5t,n）,

由題知AB關(guān)于x軸對(duì)稱,CD關(guān)于y軸對(duì)稱,

所以〃+r+=(),m+t+m-5t=G,即〃=，，m=2t,

所以。(3f,r),A⑵2),

2

|9/前H---=1

2

所

以b固9J_44

4產(chǎn)’“/+乒―/+記'

2

|4/京

+L

所以即*g,

所以橢圓E的離心率為e=

8.設(shè)。=/-2",6=717-1,c=21nl.l,則()

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b

【答案】A

【分析】利用'幕函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷的范圍，。利用基本不等式判斷〃的范圍，構(gòu)造新函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)討論

函數(shù)的單調(diào)性求出c的范圍，進(jìn)而得出結(jié)果.

【詳解】由e“<28,得,即e；<2"77,所以e"<e"=「,

所以8」<2近，則e"-2近<0,即a<0;

_______14,2

由VE5-1=小排1.2-1<1^----1<0.184,即6<0.84；

設(shè)f(x)=lnx-^^(x>0),則/(%)=--—^-7=號(hào)。>0,

x+1x(x+1)2x(x+l)2

所以/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，目"(1)=0,

所以當(dāng)X€(l,+oo)時(shí)/(x)>0,即lnx>40，

X+1

當(dāng)xe(0,l)時(shí)f(x)<0,即lnx<2、T),

x+\

X1.1>1,則lnl.l>2".T>0.095,

1.1+1

所以c=21nl.l>0.19,即c>0.19,

綜上，a<h<c.

故選：A

二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部

選對(duì)得5分，有選錯(cuò)得0分，部分選對(duì)得2分）

9.新中國(guó)成立以來，我國(guó)共進(jìn)行了7次人口普查，這7次人口普查的城鄉(xiāng)人口數(shù)據(jù)如下：

根據(jù)該圖數(shù)據(jù)，這7次人口普查中（）

A.城鎮(zhèn)人口數(shù)均少于鄉(xiāng)村人口數(shù)

B.鄉(xiāng)村人口數(shù)達(dá)到最高峰是第4次

C.和前一次相比，城鎮(zhèn)人口比重增量最大的是第7次

D.城鎮(zhèn)人口總數(shù)逐次增加

【答案】BCD

【分析】根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，逐一分析選項(xiàng)，即可得答案.

【詳解】對(duì)于A：2020年，城鎮(zhèn)人口比重為63.89%>50%,即城鎮(zhèn)人口數(shù)高于鄉(xiāng)村人口數(shù)，故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B：由圖可得，鄉(xiāng)村人口數(shù)達(dá)到最高峰是第4次，故B正確；

時(shí)于C：第二次與第一次相比，城鎮(zhèn)人口比重增量為18.30%-13.26%=5.04%,

第三次與第二次相比，城鎮(zhèn)人口比重增量為20.91%-18.30%=2.61%,

第四次與第?:次相比，城鎮(zhèn)人口比重增量為26.44%-2（）.91%=5.53%,

第五次與第四次相比，城鎮(zhèn)人口比重增量為36.22%-26.44%=9.78%,

第六次與第五次相比，城鎮(zhèn)人口比重增量為49.68%-36.22%=13.46%,

第七次與第六次相比，城鎮(zhèn)人口比重增量為63.89%-49.68%=14.21%,

所以和前一次相比，城鎮(zhèn)人口比重增量最大的是第7次，故C正確；

對(duì)于D：由圖象可得：城鎮(zhèn)人口總數(shù)逐次增加，故D正確.

故選：BCD

10.已知Z為復(fù)數(shù)，設(shè)z,三，iz在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為/,B,C,其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則()

A.|OA|=|OB|B.OA±OC

c.|AC|=|BC|D.OB//AC

【答案】AB

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義、共蛹復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可以表示出A,fi,C三點(diǎn)的坐標(biāo)，通過向量的模長(zhǎng)、

向量的平行和垂直知識(shí)進(jìn)而可以判斷.

【詳解】^z=a+bi(a,bGR),:.A(a,b),

z=〃-Z?i(a,Z?￡R),/.,

\z=i(a+Z?i)="+而，/.C,

OA=(a,b),OB=(〃,"),OC=(-Z?,a),AC=(-b-a,a-b),BC=(-b-a,a+b)

對(duì)于A,J,+肥=M+(-b)2pA|=PH,故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于B,a(4)+%=0,.?6_LOC,故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于C,.\AC\=^-b-af+(a-b)\|BC|=J-b-a)2+(a+,

當(dāng)"wo時(shí)，|AC卜Re],故選項(xiàng)c錯(cuò)誤；

i1

對(duì)于D,a{<a-t>)-^-b)(-b-a)=a-lab-b,

〃一2"-〃可以為零，也可以不為零，所以O(shè)B不一定平行于AC，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選:AB.

11.已知點(diǎn)A(TO),B(LO),點(diǎn)尸為圓C：f+y2-6x—8y+17=0上的動(dòng)點(diǎn)，則()

A...PA8面積的最小值為8-4正B.AP的最小值為2夜

5元

c.NPAS的最大值為五D.4?.AP的最大值為8+4a

【答案】BCD

【分析】對(duì)于A,點(diǎn)尸動(dòng)到圓C的最低點(diǎn)A/時(shí)，.上旬面積的最小值，利用三角形面積公式；對(duì)于B,當(dāng)點(diǎn)尸動(dòng)到

R點(diǎn)時(shí)，AP取到最小值，通過兩點(diǎn)間距離公式即可求解；對(duì)于C,當(dāng)AP運(yùn)動(dòng)到與圓C相切時(shí)，-R鉆取得最大

值，利用正弦值，求角即可求解；對(duì)于D,利用平面向量數(shù)量積的幾何意義進(jìn)行求解.

【詳解】1+丫2_6》f+i7=0o(x可+(y-4)2=8,

圓C是以(3,4)為圓心，2板為半徑的圓.

對(duì)于A,..B4B面積的最小值為點(diǎn)尸動(dòng)到圓C的最低點(diǎn)〃時(shí)，yM=4-2應(yīng)，

S.MB——,AB-yM=萬x2x(4—20)=4—20,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,連接AC交圓于R點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)尸動(dòng)到R點(diǎn)時(shí)，AP取至IJ最小值為AC-RC=&3+以+4-20=2&,故選項(xiàng)B

正確；

對(duì)于C,當(dāng)好運(yùn)動(dòng)到與圓C相切時(shí)，/口鉆取得最大值，設(shè)切點(diǎn)為Q、sinNCAQ=2Q=2，=L,...“4Q=￥,

AC4x/226

CN47i

sin/CANZCAN=-,

AN44

57c

ZPAB=ZCAQ+/CAN=—,故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于D,AB-AP=\AB\]AP\-cos^PAB,擊點(diǎn)P動(dòng)到S點(diǎn)時(shí)，,斗cos/%8取得最大值，即而在公上的投影,

AB-AP=\AB\-\AP\-cosZPAB=|AB|-|AW|=2X(1+3+2>/2)=8+4^,故選項(xiàng)D正確；

故選：BCD.

12.已知"e)=cos40+cos3，，且q,%,%是/■⑻在(0㈤內(nèi)的三個(gè)不同零點(diǎn),則()

儀％

A.34?}B.a+a+a=兀

C.cos^cos0cos^=—gcos。1+cos0,+cos4=g

2D.

【答案】ACD

【分析】根據(jù)題意結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)，解出4，%,4,即可判斷選項(xiàng)A、B,將cosqcosacosq根據(jù)誘導(dǎo)

TT2元4冗JT

公式化為cos3cos/cos^,分子分母同乘sin],結(jié)合倍角公式即可判斷C,將cos^+cos2+cos%通過誘導(dǎo)公式

化為-COS孑-cos萼-cos”，再將分子分母同乘Sin^,結(jié)合積化和差公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可判斷D.

7777

【詳解】解：由題知4，%，%是cos46+cos3e=0的三個(gè)根，

cos43+cos3,=0可彳名為cos40=-cos3,，即cos40=cos(兀+3。),

所以可得48=兀+39+2E或46+兀+36=2E,kwZ,

角軍得8=兀+2E或。=一四+^^,kwZ,

77

因?yàn)椋?0,兀），所以6=兀+2也不成立,

當(dāng)6=一]+與，ZeZ成立時(shí)，取女=1,解得6=]￡（0,兀）,

取氏=2,解得。=卑?0,兀），取&=3,解得6=手?0㈤,

取&=4,解得，=兀史（0,兀）（舍），

itzi兀zi3兀八5兀

故4=于冬=亍，4=亍

所以選項(xiàng)A正確;

因?yàn)?+4+4=半97c。兀，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤;

5兀714兀2兀

COSaCOS0COS4=COSyCOS年COS—=COS—COS71cos71--

277

八.兀兀2兀4兀

2sin—cos—cos——cos——

7t2兀4兀

=cos—cos—cos—=7777

777

2sin-

7

c.2兀2兀47c八.4兀4兀

2sin——cos--cos——2sm——cos——

77777

.71

44sm—8sin-

77

.8兀.兀

sin——-sin—

772_

8峭8si嗎8s嗚8

故選項(xiàng)C正確;

兀3兀5兀

而cosq+cos0+cosa-COS—+COS------FCOS——

2777

4兀2兀

=COS+COS兀------4-COS71--

2兀4n6兀

777

2兀4K67r

-sin'cos—+cos—+cos—

777

.兀

sin一

7

(.7T2兀.兀47c.兀6兀

-sincos+sincos+sincos

I777777

.7U

sin

7

根據(jù)積化和差公式：sincrcos[sin(a+>?)+sin(?-/?)],

所以原式可化為:

1.3K1.1.5兀1.1.7K1

sin+sin+sin+sinsm—+一

272272272

.兀

sin—

7

故選項(xiàng)DLE確.

2

故選：ACD

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：此題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)問題，屬于中難題，關(guān)于化簡(jiǎn)問題常用的思路有:

(1)利用誘導(dǎo)公式將角化為關(guān)系比較接近的；

(2)遇見cosa8s2acos3acos4a的形式，分子分母同乘sina,再用倍角公式化簡(jiǎn)；

(3)積化和差公式：sinacosp=；[sin(a+〃)+sin(a-77)],cosasinp=；[sin(a+〃)-sin(a-7?)],

sincrsin/3=g[cos(a+/Q-cos(a-77)],cosacos/?=g[cos(a+/7)+cos(a-/?)].

第□卷（非選擇題）

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13.強(qiáng)基聯(lián)盟體中A,B,C,。四所兄弟學(xué)校開展選考7個(gè)學(xué)科教研交流活動(dòng).A,B,C每校承擔(dān)兩個(gè)學(xué)科,

。校承擔(dān)技術(shù)學(xué)科，A校不承擔(dān)物理化學(xué)兩個(gè)學(xué)科，B校不承擔(dān)政治歷史兩個(gè)學(xué)科，則這次教研交流活動(dòng)不同的安

排方案共有種.

【答案】19

【分析】按照N校是否承擔(dān)政治、歷史學(xué)科分為四類，分別計(jì)數(shù)，最后利用加法計(jì)數(shù)原理求解.

【詳解】。校承擔(dān)技術(shù)學(xué)科，故只需再安排A,B,C每校承擔(dān)兩個(gè)學(xué)科即可.

當(dāng)A承擔(dān)政治與歷史兩個(gè)學(xué)科時(shí)，共C;種方案仍再?gòu)钠渌?科中選2科）；

當(dāng)N承擔(dān)政治，且不承擔(dān)歷史學(xué)科時(shí)，共C；C；種方案（/只能從生物與地理中任選1科，8也不選歷史，再?gòu)钠渌?

科中選2科）；

當(dāng)/承擔(dān)歷史，且不承擔(dān)政治學(xué)科時(shí)，也共C；C；種方案（與上一類相同）；

當(dāng)4不承擔(dān)歷史，且不承擔(dān)政治學(xué)科時(shí)，/只能承擔(dān)生物與地理，8只能承擔(dān)物理與化學(xué)，只1種情況;

綜上，共有c：+C；C；+C；C；+1=6x3+1=19種.

故答案為：19.

【點(diǎn)睛】應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理解決實(shí)際問題的步驟：

(1)審題：認(rèn)真閱讀題設(shè)條件，理清題目要求；

(2)分類：依據(jù)題設(shè)條件選擇分類標(biāo)準(zhǔn)，做到不漏不重；

(3)整合：整合各類情況利用加法計(jì)數(shù)原理得出結(jié)論.

14.已知向量|。+6|=后,|a|=2,|/”=3,則夾角的余弦值是.

【答案】|

0

【分析】利用向量數(shù)量積公式求出a為=5,從而求出8S(“力)=崩=焉.

【詳解】(a+b)=a+2ab-i-b=23,

因?yàn)閨a|=2,仍|=3,所以a6=5，

ab55

H=麗=詬二

故答案為：--

0

15.已知拋物線C:y2=2px(p>0),。為原點(diǎn)，尸為拋物線C的焦點(diǎn)，點(diǎn)Z,B為拋物線兩點(diǎn)，滿足OA_LO8,過

原點(diǎn)。作交Z8于點(diǎn)。，當(dāng)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(2,1),則p的值為.

【答案】7

4

【分析】根據(jù)給定條件，求出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立借助韋達(dá)定理、向量垂直的坐標(biāo)表示求解作答.

【詳解】直線OD的斜率為g,而8_L,則直線的斜率為-2,直線Z8的方程為y-1=-2(x-2)，即y=-2x+5,

由廠2=7"5消去x并整理得：y2+py-5p=0,設(shè)4三J),8(事,%)，則y%=-5p,

[y-2px2P2P

因OA_LO3,則0408=密+X丫2=誓-5。=0,解得p=：,

4P.4/r4

所以p的值為9.

故答案為：I

4

2

16.從X軸上一點(diǎn)/分別向函數(shù)/(x)=-d與函數(shù)屋力=百7引不是水平方向的切線人和4,兩切線人4分別

與y軸相交于點(diǎn)8和點(diǎn)c,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，記一。的面積為S1,O4C的面積為52,則，+$2的最小值為.

【答案】8

【分析】分別求出兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)出兩切點(diǎn)坐標(biāo)，得到兩切線方程，設(shè)出力的坐標(biāo)并代入切線方程，把兩切

線與y軸的交點(diǎn)用4的坐標(biāo)表示，求出面積，然后利用導(dǎo)數(shù)求最小值.

【詳解】解:由〃力=一丁，g（x）=pp7=x"（x>°），得/3=-3,,g（x）=-3xY,

設(shè)點(diǎn)為A&,0）,則1t和12的方程分別為y+片=—3片（x—演）,yY=_3x]（xf）,

a3

分別代入A（即0）并整理得，4%-3%=0,2々-3%=0,解得：x,=|x0,x2=^x0.

.M，6與夕軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（。，磬/），（0,今片）

,S=1空嫣+2”

由S=0,解得￥=[.?，?當(dāng)/w1-8，_2f,+g）時(shí),S>0;

當(dāng)/一半當(dāng)時(shí),5<0.

\7

???當(dāng)X。=半時(shí)S有最小值為8.

故答案為：8.

四、解答題（本題共6小題，其中17題10分,18、19、2（）、21、22題各12分，共70分。

解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.已知ABC的內(nèi)角48c的對(duì)邊分別為a,b,c,K2sinC=sinB+cosBtanA

⑴求A;

⑵若欠4+吧C=2島mB，求ABC外接圓的半徑R

ac3sinC

【答案】（1）A=W

⑵3

sinA\

【分析】⑴將tanA寫為--代入化簡(jiǎn)可得cosA=彳,根據(jù)Ae（0,外，即可得A:

COSzi乙

⑵由正、余弦定理可將您4+￡2鋁=2#sinB化簡(jiǎn)為L(zhǎng)=2邑，進(jìn)一步化簡(jiǎn)可得a=顯、

ac3sinC2abc2abc3c2

結(jié)合A=],再根據(jù)正弦定理即可得外接圓半徑.

【詳解】(1)解:因?yàn)?sinC=sinB+cosBtanA,

「-ye?〃?nr,sinAsinBcosA+cosBsinA

n1以2sme=sin5+cosBx----=--------------------

cosAcosA

_sin(8+4)_sinC

cosAcosA

所以2sinCeosA=sinC,因?yàn)镃￡(0,兀)，

所以sinC>0,所以cosA=g及Ae(0,7r),

所以4=g；

.?.ucosAcosC2v3sinB

(2)因m為----+-----=——-----,

ac3sinC

所以在_ABC中，由」E、余弦定理得：

b2+c2-a2a2+b2-c22辰

----------1----------=-----,

2abc2abc3c

“a2b2b2也b痂G

月T以----=一=——，故〃=J,

2abcac3c2

由正弦定理三=2R得R=1,

sinA2

所以..ABC外接圓半徑為

18.設(shè)數(shù)列｛叫的前“項(xiàng)和為S”,已知S“=2a“-〃+l.

⑴證明：數(shù)列｛%+1｝是等比數(shù)列；

Q〃為j奇?數(shù)^

(2)若數(shù)列也｝滿足自=%，%="'八、j便物，求數(shù)列｛々｝的前14項(xiàng)的和.

a?-bn,〃為偶數(shù)

【答案】(1)證明見解析

(2)§々F。

【分析】（1）根據(jù)已知得出向-（〃+1）+1,結(jié)合前〃項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系將已知與得出的式子兩式做減，再化

簡(jiǎn)即可得出%1m=2,即可證明；

（2）根據(jù)（I）得出％=2"T-1,結(jié)合已知即可得出當(dāng)"為偶數(shù)時(shí)，即d+〃T=2"T-l,將數(shù)列｛4｝的前14項(xiàng)從

第2項(xiàng)開始兩兩分組，再結(jié)合等比數(shù)列求和公式即可得出答案.

【詳解】（1）S.=2a“-〃+l①，

則S向=2a向-("+1)+1②，

妙①，得4+I=2〃“*1-2q-1,即4用=24,+1,

.4+l=2(4,+l),即可$2

/十]

令S“=2%-〃+1中"=1,得￡=4=2q_1+1,解得4=0,則q+1=1

?.?{4+1}是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列.

(2)由(1)知%+1=2"T,則q=2"T-1,

二%為偶數(shù)，且i=21=1,

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，b向=即b?+bn+l=

：.b}+b2++44=偽+02+4)+(d+々)++(/+%)+偽4，

=1+2'-1+23-1++2"-1+2I2-1，

*9_6+2J=^2.

1-43

19.為了檢測(cè)某種抗病毒疫苗的免疫效果，需要進(jìn)行動(dòng)物與人體試驗(yàn).研究人員將疫苗注射到200只小白鼠體內(nèi)，

一段時(shí)間后測(cè)量小白鼠的某項(xiàng)指標(biāo)值，按[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),忸0,100]分組，繪制頻率分布直方圖如圖所

示，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)小白鼠體內(nèi)產(chǎn)生抗體的共有160只，其中該項(xiàng)指標(biāo)值不小于60的有110只，假設(shè)小白鼠注射疫苗后

是否產(chǎn)生抗體相互獨(dú)立.

指標(biāo)值

小于不小

抗體合計(jì)

60于60

有抗

體

沒有

抗體

合計(jì)

a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷能否認(rèn)為注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指

標(biāo)值不小于60有關(guān).（單位：只）

（2）為檢驗(yàn)疫苗二次接種的免疫抗體性，對(duì)第一次注射疫苗后沒有產(chǎn)生抗體的40只小白鼠進(jìn)行第二次注射疫苗，結(jié)

果又有20只小自鼠產(chǎn)生抗體.

（i）用頻率估計(jì)概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率p；

（ii）以（i）中確定的概率p作為人體注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率，進(jìn)行人體接種試驗(yàn)，記〃個(gè)人注射2次疫

苗后產(chǎn)生抗體的數(shù)量為隨機(jī)變量X試驗(yàn)后統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，當(dāng)X=99時(shí)，P（X）取最大值，求參加人體接種試驗(yàn)的

人數(shù)n.

參考公式：=+（其中〃=?+c+d為樣本容量）

2

P(X>k0)0.500.400.250.150.1000.0500.025

女00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024

【答案】（1）表格見解析，可以認(rèn)為

（2）（i）p=0.9：（ii）109或110.

【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法求解即可；

（2）根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式列出不等式即可求解.

【詳解】（1）由頻率分布直方圖，知200只小白鼠按指標(biāo)值分布為:

在［0,20）內(nèi)有0.0025x20x200=10（只）：

在［20,40）內(nèi)有0.00625x20x200=25（:只）；

在［40,60）內(nèi)有0.00875x20x200=35（只）；

在［60,80）內(nèi)有0.025x20x200=100（只），

在［80,100］內(nèi)有0.0075x20x200=30（只）.

由題意，有抗體且指標(biāo)值小于60的有50只；

而指標(biāo)值小于60的小白鼠共有10+25+35=70只，

所以指標(biāo)值小于60且沒有抗體的小白鼠有20只，

同理，指標(biāo)值不小于60且沒有抗體的小白鼠有20只,

故列聯(lián)表如下：?jiǎn)挝唬褐?/p>

指標(biāo)值

抗體合計(jì)

小于不小

60于60

有抗

50110160

體

沒有

202040

抗體

合計(jì)70130200

零假設(shè)為：注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小于60無關(guān)聯(lián).

2

舊辛士■+,蚪陽(yáng)XE，，200x(50x20-20x110).,

根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，得/=--------------------4.945>3.841,

160x40x70x130

根據(jù)a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷”。不成立，

即認(rèn)為注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小于60有關(guān)，

此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05.

(2)(i)令事件/="小白鼠第一次注射疫苗產(chǎn)生抗體”，

事件8="小白鼠第二次注射疫苗產(chǎn)生抗體”，

事件C="小白鼠注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體”，

記事件4B,C發(fā)生的概率分別為尸(A),P(8),P(C),

貝”(A)="2=0.8,P(B|A)=—=0.5,

20040

P(C)=1-P(AB)=1-P(A)P(B|A)=1-0.2x0.5=0.9,

所以一只小白鼠注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率P=09,

(ii)由題意,知隨機(jī)變量X~8(”,0.9),

p(X=Q=C：x0.9*x0.1t(々=0,1,2,n),

因?yàn)镻(X=99)最大,

C：x0.9"x0.1"-">C：x0,998X0.1"-98

所以C>0.9"x0.1"-">C,xO.9,o°x0.1"”00

A?W109<n<H0-,

Q”是整數(shù)，所以”=109或〃=110,

二接受接種試驗(yàn)的人數(shù)為109或110.

20.如圖，在圓臺(tái)。01中，A耳,AB分別為上、下底面直徑，且A8J/AB,AB=2A￡,CC,為異于4^,84的一

（1）若M為AC的中點(diǎn)，證明：儲(chǔ)///平面ABgA；

(2)若。01=3,AB=4,ZABC=30°,求二面角A-CQ-。的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

~i3~

【分析】（1）如圖根據(jù)題意和圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)可知平面45C〃平面ABIG，有面面平行的性質(zhì)可得AG〃4C,根據(jù)相

似三角形的性質(zhì)可得C1為PC中點(diǎn)，則GM//AA，結(jié)合線面平行的判定定理即可證明；

（2）建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出平面。CG、平面ACG的法向量，結(jié)合空間向量數(shù)量積的定

義和同角的三角函數(shù)關(guān)系計(jì)算即可求解.

【詳解】（1）如圖，連接AG.

因?yàn)樵趫A臺(tái)。。中，上、下底面直徑分別為A4，A8,且

所以AA，8片CC為圓臺(tái)母線且交于一點(diǎn)P,所以A,A,G,c四點(diǎn)共面.

在圓臺(tái)oq中，平面MC〃平面ABC，

由平面AAGC平面ABC=AC,平面A4,G。平面A4G=AG，得AG//AC.

又ABJ/AB,AB=2A/,所以空=幽=1,

PAAB2

所以.=普=孑，即G為PC中點(diǎn).

在△PAC中，又M為AC的中點(diǎn)，所以GM/MA.

因?yàn)锳Au平面ABBE，GMU平面ABBM，

所以CM//平面A88H：

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。8,。?分別為％z軸，過。且垂直于平面ABBM的直線為x軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-孫z.

因?yàn)閆A8C=30。，所以ZAOC=60。.

則A(0,—2,0),C(73,-1,O),0,(0,0,3).

因?yàn)镺C=(6,-1,0),所以℃=%c=(乎,4,0).

所以￡,-*3),所以cc=(當(dāng)

設(shè)平面。CG的法向量為4=(X],y,Z[),

外再_y=0

々?oc=o

所以所以V31._n

x

n}?GC=0~^\一］X_3zi=0

令尤1=1,則y=6,4=0,所以勺=(1,3,0),又4C=(6,1,0),

設(shè)平面ACC1的法向量為rty=(x29y2,z2)，

\fix2+y2=0

H<AC=0

2，所以

所以V31._n

XyZ

/i2C,C=0~Y2~22~^2=^

令W=1,則%=-6,22=,所以〃2=(1,-6,

…lxl+6x(-”0x3L

所以cos如%)a一場(chǎng)

13,

同時(shí)gxJl+3+；

設(shè)二面角M-GC-。的大小為巴則cos6=|..I屈

cos々4，,叫n2二~"jy，

所以sin/=—

所以二面角M-GC-O的正弦值為《遠(yuǎn).

13

21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線的離心率為0.斜率為2的直線機(jī)經(jīng)過點(diǎn)M(3,0),

點(diǎn)N是直線機(jī)與雙曲線E的交點(diǎn)，且|MN|=J5.

⑴求雙曲線E的方程；

(2)若經(jīng)過定點(diǎn)尸(1,1)的直線/與雙曲線E相交于A、B兩點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A斜率為-2的直線與直線小的交點(diǎn)為T,求證:

直線8T經(jīng)過x軸上的定點(diǎn).

【答案】

(2)直線8T經(jīng)過x軸上的定點(diǎn)證明見解析.

【分析】(1)由雙曲線的離心率為亞可得〃=6,則直線m方程為y=x-3,由=求出N點(diǎn)坐標(biāo)，代入

雙曲線方程求解即可；

(2)設(shè)4(爸,h)，Ba2,%)，經(jīng)過點(diǎn)A斜率為-2的直線方程與直線m聯(lián)立，求得T點(diǎn)坐標(biāo)，表示出直線BT的方程，

令y=0表示出x的算式，直線45的方程與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理代入x的算式，化簡(jiǎn)即可.

【詳解】(1)e=&=Jl+(",(0<?<3,fe>0),：.a=b,

h

又直線洲斜率為一，經(jīng)過點(diǎn)M(3,0),所以直線方程為y=x-3,

a

設(shè)N(x,x-3),由|MN|=J(x-3『+(x-3j=應(yīng),二N(4,l)或N(2,-l),

又0<〃<3,6>0,點(diǎn)N(4,l)代入雙曲線方程無解，

41

點(diǎn)N(2,—l)代入雙曲線方程，得r—=1,

aa

所以雙曲線E的方程為［-<=1.

(2)設(shè)A(x“y),B(x2,y2),

設(shè)直線”8的方程為尸乙-2+1,

￡._￡

聯(lián)立《33=1，消去y得(1一無2)/+(2/-2幻工一/+2左一4=0,

y=kx-k+l

2k2-2k2kE-2k+4

121-二k+\'-k2-l

經(jīng)過點(diǎn)A斜率為-2的直線方程為y-％=-2(x-x)),

2.+-+3_(2+Z)X|+4-：

y=x-33一3

111)'解得

2玉+y—6_(2+Z:)X1-5—A：

―S-

\2+k)xt+4-k(2+Z)X1-5-JI]

3'3'

(2+欠)%—5—4

§