遼寧省部分名校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月聯(lián)合質(zhì)量檢測(cè)試題 數(shù)學(xué)含解析

遼寧省部分名校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月聯(lián)合質(zhì)量檢測(cè)試題高二考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教B版必修第四冊(cè)第十一章，選擇性必修第一冊(cè)第一章。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.十三棱錐的頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)為A.13 B.14 C.20 D.262.已知空間向量，.若，則A.12 B.10 C.-10 D.-123.已知為空間的一個(gè)基底，則下列各組向量中能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的是A.，， B.，，C.，， D.，，4.在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，為整數(shù)，則的最小值為A.3 B.4 C.5 D.65.某三棱錐的體積為，表面積為，則該三棱錐的內(nèi)切球的直徑為A. B. C. D.6.已知空間向量，，滿足，，，，則與的夾角為A. B. C. D.7.刻畫空間彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，用“曲率”刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制）.例如：正四面體每個(gè)頂點(diǎn)均有3個(gè)面角，每個(gè)面角均為，則其各個(gè)頂點(diǎn)的曲率均為.若正四棱錐的側(cè)面與底面所成角的正切值為，則四棱錐在頂點(diǎn)處的曲率為A. B. C. D.8.在三棱錐中，為的重心，，，，，，若交平面于點(diǎn)，且，則的最小值為A.1 B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知幾何體為長(zhǎng)方體，則A.在方向上的投影向量為B.在方向上的投影向量為C.在方向上的投影向量為D.在方向上的投影向量為10.在空間直角坐標(biāo)系中，，，，，則A.點(diǎn)在平面內(nèi) B.四面體為正四面體C.點(diǎn)到直線的距離為 D.點(diǎn)到平面的距離為11.如圖，現(xiàn)有一個(gè)底面直徑為，高為的圓錐形容器，已知此刻容器內(nèi)液體的高度為，忽略容器的厚度，則A.此刻容器內(nèi)液體的體積與容器的容積的比值為B.容器內(nèi)液體倒去一半后，容器內(nèi)液體的高度為C.當(dāng)容器內(nèi)液體的高度增加時(shí)，需要增加的液體的體積為D.當(dāng)容器內(nèi)沉入一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體鐵塊時(shí)，容器內(nèi)液體的高度為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12若空間向量，若則_____.13.已知，，，四點(diǎn)都在球的球面上，且，，三點(diǎn)所在平面經(jīng)過球心，，，則點(diǎn)到平面的距離的最大值為_____，球的表面積為__________.14.在直四棱柱中，底面為菱形，，，為棱的中點(diǎn)，，分別為直線，上的動(dòng)點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度的最小值為_________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（13分）在正四棱錐中，為底面中心，，，分別為，，的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且.（1）證明：平面.（2）證明：平面平面.16.（15分）在正四棱臺(tái)中，.（1）若，四棱臺(tái)的體積為，求該四棱臺(tái)的高；（2）若，求的值.17.（15分）如圖，在四棱錐中，底面，平面，.（1）證明：平面平面.（2）若，，且異面直線與所成角的正切值為，求平面與平面所成二面角的正弦值.18.（17分）如圖，在正方體中，，.（1）當(dāng)取得最小值時(shí)，求與的值.（2）設(shè)與平面所成的角為.①若，求的值；②證明：存在常數(shù)，使得為定值，并求該定值.19.（17分）空間向量的叉乘是三維歐幾里得空間中定義的一種新運(yùn)算，它可以用來描述空間向量之間的垂直關(guān)系.設(shè)空間向量，，則叉乘的運(yùn)算公式為（1）證明：.（2）設(shè)，，是平面內(nèi)不共線的三個(gè)不同的點(diǎn).①證明：是平面的一個(gè)法向量.②說明的幾何意義（即說明的長(zhǎng)度與方向的幾何意義）.

高二考試數(shù)學(xué)試卷參考答案1.B十三棱錐的頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.2.A依題意得，解得，，.3.C，A錯(cuò)誤.，B錯(cuò)誤.易得，，三個(gè)向量不共面，C正確.，D錯(cuò)誤.4.C，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，所以，因?yàn)闉檎麛?shù)，所以的最小值為.5.B設(shè)該三棱錐的體積為，表面積為，該三棱錐的內(nèi)切球的半徑為，則，所以，故該三棱錐的內(nèi)切球的直徑為.6.D設(shè)與的夾角為，由，得，兩邊同時(shí)平方得，所以1，解得，又，所以.7.D如圖，連接,，設(shè)，連接，則平面.取的中點(diǎn)，連接，，則為側(cè)面與底面所成的角.設(shè)，則，在中，，所以，又，所以，所以正四棱錐的每個(gè)側(cè)面均為正三角形，所以頂點(diǎn)的每個(gè)面角均為，故正四棱錐在頂點(diǎn)處的曲率為.8.A因?yàn)?，所?因?yàn)椋?，所?因?yàn)?，，，四點(diǎn)共面，所以，即.因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為1.9.AC在長(zhǎng)方體中，因?yàn)槠矫?，所以，所以A正確，B錯(cuò)誤.因?yàn)椋?，所以C正確，D錯(cuò)誤.10.ABD因?yàn)?，所以為線段的中點(diǎn)，所以點(diǎn)在平面內(nèi)，A正確.因?yàn)?，所以四面體為正四面體，B正確.因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，且為線段的中點(diǎn)，所以點(diǎn)到直線的距離為，C錯(cuò)誤.設(shè)平面的法向量為，則令，得，因?yàn)椋渣c(diǎn)到平面的距離為，D正確.11.BCD此刻容器內(nèi)液體的體積與容器的容積的比值為，A錯(cuò)誤.設(shè)容器內(nèi)液體倒去一半后液體的高度為，則，解得，B正確.因?yàn)?，，所以?dāng)容器內(nèi)液體的高度增加時(shí)，需要增加的液體的體積為，C正確.當(dāng)容器內(nèi)沉入一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體鐵塊時(shí)，設(shè)容器內(nèi)液體的高度為，體積，則，，D正確.12.-2依題意得，解得.13.4；設(shè)球的半徑為，由正弦定理得，則，則點(diǎn)到平面的距離的最大值為4，球的表面積為.14.連接，，設(shè)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的方向分別為，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，.設(shè)與，都垂直的向量為，則，即令，得，則線段的長(zhǎng)度的最小值為.15.證明：（1）連接，則為的中點(diǎn).因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?因?yàn)辄c(diǎn)在棱上，且，所以，由題意易得，則，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?因?yàn)槠矫?，平面，，所以平面平?16.解：（1）設(shè)該正四棱臺(tái)的高為，則，解得.（2）在正四棱臺(tái)中，底面與底面均為正方形，且對(duì)應(yīng)邊互相平行，所以，，過作，垂足為（圖略），易得，所以，所以.故.17.（1）證明：底面，.，，平面.平面，平面平面，，平面.又平面，平面平面.（2）解：，直線與直線所成的角為.底面，，，即.設(shè)為2個(gè)單位長(zhǎng)度，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，.設(shè)平面的法向量為，則取，則，，得.易知平面的一個(gè)法向量為，則.故平面與平面所成二面角的正弦值為.18.（1）解：以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，.，，，所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí).因?yàn)?，所?（2）①解：，設(shè)平面的法向量為，則即令，得.因?yàn)椋?/p>