2020年初中數(shù)學(xué)中考株洲試題解析

湖南省株洲市2020年年中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（每小題有且只有一個正確答案，本題共8小題，每小題3分，共24分）

1.（2020年?株洲）一元一次方程2x=4的解是（）

A.x=lB.x=2C.x=3D.x=4

考點：解一元一次方程.

分析：方程兩邊都除以2即可得解.

解答：解：方程兩邊都除以2,系數(shù)化為1得，x=2.

故選B.

點評：本題考查了解一元一次方程，是基礎(chǔ)題.

2.（2020年?株洲）下列計算正確的是（）

A.x+x=2x2B.x3?x2=x5C.（x2）3=x5D.（2x）2=2x2

考點：幕的乘方與積的乘方；合并同類項；同底數(shù)基的乘法.

分析：根據(jù)合并同類項的法則，同底數(shù)嘉的乘法與除法以及事的乘方的知識求解即可求得答

案.

解答：解：A、x+x=2x#2x2,故本選項錯誤;

B、x3?x2=x5,故本選項正確；

C、（x2）3=x6?5,故本選項錯誤;

D、（2x）2=4X2*2X2,故本選項錯誤.

故選:B.

點評：此題考查了合并同類項的法則，同底數(shù)塞的乘法與除法以及事的乘方等知識，解題耍

注意細(xì)心.

3.（2020年?株洲）孔明同學(xué)參加暑假軍事訓(xùn)練的射擊成績?nèi)缦卤恚?/p>

射擊次序第一次第二次第三次第四次第五次

成績（環(huán)）98796

則孔明射擊成績的中位數(shù)是（）

A.6B.7C.8D.9

考點：中位數(shù).

分析：將數(shù)據(jù)從小到大排列，根據(jù)中位數(shù)的定義即可得出答案.

解答：解：將數(shù)據(jù)從小到大排列為：6,7,8,9,9,

中位數(shù)為8.

故選C.

點評：本題考查了中位數(shù)的定義，中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到小）重新排列后,

最中間的那個數(shù)（最中間兩個數(shù)的平均數(shù)），叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，如果中位數(shù)的

概念掌握得不好，不把數(shù)據(jù)按要求重新排列，就會出錯.

4.（2020年?株洲）下列幾何體中，有一個幾何體的俯視圖的形狀與其它三個不一樣，這個

幾何體是（）

A.B.C.D.

正方體圓錐球

考點：簡單幾何體的三視圖

分析：俯視圖是分別從物體上面看所得到的圖形.分別寫出四個幾何體的俯視圖即可得到答

案.

解答：解：正方體的俯視圖是正方形；圓柱體的俯視圖是圓；圓錐體的俯視圖是圓；球的俯

視圖是圓.

故選：A.

點評：本題主要考查了幾何體的三種視圖，掌握定義是關(guān)鍵.注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)

在三視圖中.

5.（2020年?株洲）如圖是株洲市的行政區(qū)域平面地圖，下列關(guān)于方位的說法明顯錯誤的是

A.炎陵位于株洲市區(qū)南偏東約35。的方向上

B.醴陵位于攸縣的北偏東約16。的方向上

C.株洲縣位于茶陵的南偏東約40。的方向上

D.株洲市區(qū)位于攸縣的北偏西約21。的方向上

考點：坐標(biāo)確定位置.

分析：根據(jù)坐標(biāo)確定位置以及方向角對各選項分析判斷后利用排除法求解.

解答：解：A、炎陵位于株洲市區(qū)南偏東約35。的方向上正確，故本選項錯誤;

B、醴陵位于攸縣的北偏東約16。的方向上正確，故本選項錯誤；

C、應(yīng)為株洲縣位于茶陵的北偏西約40。的方向上，故本選項正確；

D、株洲市區(qū)位于攸縣的北偏西約21。的方向上正確，故本選項錯誤.

故選C.

點評：本題考查了利用坐標(biāo)確定位置，方向角的定義，是基礎(chǔ)題，熟記方向角的概念并準(zhǔn)確

識圖是解題的關(guān)鍵.

6.(2020年?株洲)下列四種圖形都是軸對稱圖形，其中對稱軸條數(shù)最多的圖形是()

A.等邊三角形B.矩形C.菱形D.正方形

考點：軸對稱圖形.

分析：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱

圖形，這條直線叫做對稱軸，分別判斷出各圖形的對稱軸條數(shù)，繼而可得出答案.

解答：解：A、等邊三角形有3條對稱軸；

B、矩形有2條對稱軸；

C、菱形有2條對稱軸；

D、正方形有4條對稱軸；

故選D.

點評：本題考查了軸對稱圖形的知識，注意掌握軸對稱及對稱軸的定義.

7.(2020年?株洲)已知點A(1,yi)、B(2,y2)、C(-3,y3)都在反比例函數(shù)行出的

x

圖象上，則yi、y2、y3的大小關(guān)系是()

A.y3<yi<y2B.yi<y2<y3C.y2<yi<y3D.y3<y2<yi

考點：反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征.

專題：探究型.

分析：分別把各點代入反比例函數(shù)y=@求出yi、y2、，y3的值，再比較出其大小即可.

X

解答：解：???點A(1,yi)、B(2,y2)、C(-3,y3)都在反比例函數(shù)產(chǎn)圖的圖象上，

X

y尸包6;丫2=13;y3=-L=-2,

12-3

???6>3>-2,

yi>y2>y3.

故選D.

點評：本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點，熟知反比例函數(shù)圖象上各點的坐標(biāo)一

定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵.

8.(2020年?株洲)二次函數(shù)y=2x2+mx+8的圖象如圖所示，則m的值是()

考點：拋物線與X軸的交點.

分析：根據(jù)拋物線與X軸只有一個交點，△=（）,列式求出m的值，再根據(jù)對稱軸在y軸的

左邊求出m的取值范圍，從而得解.

解答：解：由圖可知，拋物線與x軸只有一個交點，

所以，△=m2-4x2x8=0,

解得m=±8,

V對稱軸為直線x=--5LV0,

2X2

m>0?

Am的值為8.

故選B.

點評：本題考查了二次函數(shù)圖象與x軸的交點問題，本題易錯點在于要根據(jù)對稱軸確定出m

是正數(shù).

二、填空題（本題共2小題，每小題0分，共24分）

9.（2020年?株洲）在平面直角坐標(biāo)系中，點（1,2）位于第一象限.

考點：點的坐標(biāo).

分析：根據(jù)各象限的點的坐標(biāo)特征解答.

解答：解：點（1,2）位于第一象限.

故答案為：一.

點評：本題考查了各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的符號特征，記住各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的符號是解決的關(guān)

鍵，四個象限的符號特點分別是：第一象限（+,+）;第二象限（-,+）;第三象限

（-,-）；第四象限（+,-）.

10.（2020年?株洲）某招聘考試分筆試和面試兩種，其中筆試按60%、面試按40%計算加

權(quán)平均數(shù)，作為總成績.孔明筆試成績90分，面試成績85分，那么孔明的總成績是

分.

考點：加權(quán)平均數(shù).

分析：根據(jù)筆試和面試所占的百分比以及筆試成績和面試成績，列出算式，進行計算即可.

解答：解：..,筆試按60%、面試按40%,

...總成績是（90x60%+85x40%）=88分，

故答案為：88.

點評：此題考查了加權(quán)平均數(shù)，關(guān)鍵是根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計算公式列出算式，用到的知識點

是加權(quán)平均數(shù).

11.（2020年?株洲）計算：&2=2

x+1x+1-

考點：分式的加減法.

分析：分母不變，直接把分子相加即可.

解答：解：原式=區(qū)22（x+D

x+1x+1

-2.

故答案為：2.

點評：本題考查的是分式的加減法，即同分母的分式想加減，分母不變，把分子相加減.

12.（2020年?株洲）如圖，直線hllhll13,點A、B、C分別在直線h、12、13上.若N1=70。,

Z2=50°,則NABC=120度.

考點：平行線的性質(zhì).

分析：根據(jù)兩直線平行，同位角相等求出N3,再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出N4,然

后相加即可得解.

解答：解:如圖，［Tillhll13,Z1=70。，2=50°,

Z3=N1=70°,Z4=N2=50°,

ZABC=Z3+Z4=70°+50°=120°.

點評：本題考查了兩直線平行，同位角相等，兩直線平行，內(nèi)錯角相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

13.（2020年?株洲）如圖AB是。O的直徑，ZBAC=42°,點D是弦AC的中點，則NDOC

的度數(shù)是48度.

D

考點：垂徑定理.

分析：根據(jù)點D是弦AC的中點，得到ODLAC,然后根據(jù)NDOONDOA即可求得答案.

解答:解：:AB是。。的直徑，

/.OA=OC

?「ZA=42°

ZACO=ZA=42°

?「D為AC的中點，

?,.OD±AC,

ZDOC=90°-ZDCO=90°-42°=48°.

故答案為：48.

點評：本題考查了垂徑定理的知識，解題的關(guān)鍵是根的弦的中點得到弦的垂線.

14.（2020年?株洲）一元一次不等式組的解集是2<x<；

x-l<0-3-'

考點：解一元一次不等式組.

分析：求出每個不等式的解集，根據(jù)找不等式組解集的規(guī)律找出即可.

解答％f3x-2〉0①

解：—/

x-l<0②

???解不等式①得：x>|,

解不等式②得：X<1,

不等式組的解集為：2<x§,

3

故答案為：.?<x<l

3

點評：本題考查了解一元一次不等式（組）的應(yīng)用，關(guān)鍵是能根據(jù)不等式的解集找出不等式

組的解集.

15.（2020年?株洲）多項式x2+mx+5因式分解得（x+5）（x+n）,則m=6,n=1.

考點：因式分解的意義.

專題：計算題.

分析：將（x+5）（x+n）展開，得到，使得x?+（n+5）x+5n與x2+mx+5的系數(shù)對應(yīng)相等即

可.

解答：解：（x+5）（x+n）=x2+（n+5）x+5n,

x2+mx+5=x2+（n+5）x+5n

.（n+5=m

l5n=5

IITF6

故答案為6,1.

點評：本題考查了因式分解的意義，使得系數(shù)對應(yīng)相等即可.

16.（2020年?株洲）已知a、b可以取-2、-1、1、2中任意一個值（axb）,則直線y=ax+b

的圖象不經(jīng)過第四象限的概率是1.

~<r

考點：列表法與樹狀圖法；一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.

分析：列表得出所有等可能的結(jié)果數(shù)，找出a與b都為正數(shù)，即為直線丫=2*+1）不經(jīng)過第四

象限的情況數(shù)，即可求出所求的概率.

解答:解:列表如下：

-2-112

-2(-1,-2)(1,-2)(2,-2)

-1(-2,-1)(1,-1)(2,-1)

1(-2,1)(-1,1)(2,1)

2(-2,2)(-1,2)(1,2)

所有等可能的情況數(shù)有12種，其中直線y=ax+b不經(jīng)過第四象限情況數(shù)有2種，

則P=_L=1.

126

故答案為：-1

6

點評：此題考查了列表法與樹狀圖法，以及一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，用到的知識點為：

概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

三、解答題（本大題共8小題，共52分）

17.（4分）（2020年?株洲）計算：V4+1~31~2sin300.

考點：實數(shù)的運算；特殊角的三角函數(shù)值.

專題：計算題.

分析：分別根據(jù)算術(shù)平方根、絕對值的性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值計算出各數(shù)，再根據(jù)實數(shù)

混合運算的法則進行計算即可.

解答：解：原式=2+3-2x1

2

=5-1

=4.

點評：本題考查的是實數(shù)的運算，熟知算術(shù)平方根、絕對值的性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值是

解答此題的關(guān)鍵.

18.(4分)(2020年?株洲)先化簡，再求值：(x-1)(x+1)-x(x-3),其中x=3.

考點：整式的混合運算一化簡求值.

專題：計算題.

分析：原式第一項利用平方差公式化簡，第二項利用單項式乘多項式法則計算，去括號合并

得到最簡結(jié)果，將x的值代入計算即可求出值.

解答：解：原式=x?-1-X2+3X=3X-1,

當(dāng)x=3時，原式=9-1=8.

點評：此題考查了整式的混合運算-化簡求值，涉及的知識有：平方差公式，去括號法則，

以及合并同類項法則，熟練掌握公式及法則是解本題的關(guān)鍵.

19.(6分)(2020年?株洲)某生物小組觀察一植物生長，得到植物高度y(單位：厘米)

與觀察時間x(單位：天)的關(guān)系，并畫出如圖所示的圖象(AC是線段，直線CD平行x

軸).

(1)該植物從觀察時起，多少天以后停止長高？

(2)求直線AC的解析式，并求該植物最高長多少厘米？

考點：一次函數(shù)的應(yīng)用.

分析：(1)根據(jù)平行線間的距離相等可知50天后植物的高度不變，也就是停止長高；

(2)設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b(kwO),然后利用待定系數(shù)法求出直線AC的解

析式，再把x=50代入進行計算即可得解.

解答：解：(1)1381x軸，

.-?從第50天開始植物的高度不變，

答：該植物從觀察時起，50天以后停止長高；

(2)設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b(kwO),

經(jīng)過點A(0,6),B(30,12),

.(b=6,

"130k+b=12，

解得.k=5.

b=6

所以，直線AC的解析式為y)x+6(0<x<50),

當(dāng)x=50時,y=—x50+6=16cm.

答：直線AC的解析式為y=1x+6(04x450),該植物最高長16cm.

5

點評：本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，主耍利用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，已知自變量

求函數(shù)值，仔細(xì)觀察圖象，準(zhǔn)確獲取信息是解題的關(guān)鍵.

20.(6分)(2020年?株洲)已知AB是OO的直徑，直線BC與。。相切于點B,ZABC

的平分線BD交。O于點D,AD的延長線交BC于點C.

(1)求NBAC的度數(shù)；

(2)求證：AD=CD.

考點：切線的性質(zhì)；等腰直角三角形：圓周角定理.

分析：(1)由AB是。。的直徑，易證得NADB=90。，又由NABC的平分線BD交。。于

點D,易證得△ABD2△CBD,即可得△ABC是等腰直角三角形，即可求得NBAC

的度數(shù)；

(2)由AB=CB,BD_LAC,利用三線合一的知識，即可證得AD=CD.

解答：解：(1),JAB是。O的直徑，

ZADB=90°,

ZCDB=90°,BD_LAC,

...BD平分/ABC,

ZABD=ZCBD,

在4ABD和小CBD中，

，ZADB=ZCDB

,BD=BD，

ZABD=ZCBD

，△ABDSACBD(ASA),

AB=CB.

V直線BC與相切于點B,

ZABC=90°,

ZBAC=NC=45°；

(2)證明：,；AB=CB,BD±AC,

AD=CD.

點評：此題考查了切線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì).此

題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

21.（6分）（2020年?株洲）某學(xué)校開展課外體育活動，決定開設(shè)A：籃球、B：乒乓球、C：

踢毯子、D：跑步四種活動項目.為了解學(xué)生最喜歡哪一種活動項目（每人只選取一種）,

隨機抽取了部分學(xué)生進行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪成如甲、乙所示的統(tǒng)計圖，請你結(jié)合圖中信

息解答下列問題.

（1）樣本中最喜歡A項目的人數(shù)所占的百分比為40%,其所在扇形統(tǒng)計圖中對應(yīng)的圓

心角度數(shù)是144度;

（2）請把條形統(tǒng)計圖補充完整；

（3）若該校有學(xué)生1000人，請根據(jù)樣本估計全校最喜歡踢健子的學(xué)生人數(shù)約是多少？

考點：條形統(tǒng)計圖；用樣本估計總體；扇形統(tǒng)計圖.

分析：（1）利用100%減去D、C、B三部分所占百分比即可得到最喜歡A項目的人數(shù)所占

的百分比；所在扇形統(tǒng)計圖中對應(yīng)的圓心角度數(shù)用36（Fx40%即可；

（2）根據(jù)頻數(shù)=總數(shù)x百分比可算出總?cè)藬?shù)，再利用總?cè)藬?shù)減去D、C、B三部分的人

數(shù)即可得到A部分的人數(shù)，再補全圖形即可；

（3）利用樣本估計總每個體的方法用1000x樣本中喜歡踢健子的人數(shù)所占百分比即

可.

解答：解：⑴100%-20%-10%-30%=40%,

360°x40%=144°；

（2）抽查的學(xué)生總?cè)藬?shù)：15+30%=50,

50-15-5-10=20（人）.如圖所示：

（3）1000x10%=100（人）.

答：全校最喜歡踢毯子的學(xué)生人數(shù)約是100人.

點評：此題主要考查了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要

的信息是解決問題的關(guān)鍵.條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù)：扇形統(tǒng)計圖

直接反映部分占總體的百分比大小.

22.（8分）（2020年?株洲）己知四邊形ABCD是邊長為2的菱形，ZBAD=60°,對角線

AC與BD交于點O,過點O的直線EF交AD于點E,交BC于點F.

（1）求證：△AOE空△COF；

（2）若NEOD=30。，求CE的長.

考點：菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直

角三角形；勾股定理.

分析：（1）根據(jù)菱形的對角線互相平分可得AO=CO,對邊平行可得ADIIBC,再利用兩直

線平行，內(nèi)錯角相等可得NOAE=ZOCF,然后利用"角邊角"證明△AOE和^COF全

等；

（2）根據(jù)菱形的對角線平分一組對角求出NDAO=30。，然后求出NAEF=90。，然后

求出AO的長，再求出EF的長，然后在RSCEF中，利用勾股定理列式計算即可得

解.

解答：（1）證明：?.?西邊形ABCD是菱形，

AO=CO,ADIIBC,

:.ZOAE=ZOCF,

，Z0AE=Z0CF

在仆AOE和仆COF中，＜A0=C0，

,ZAOE=ZCOF

AAO叫ACOF（ASA）；

(2)解：ZBAD=60。，

ZDAO=lzBAD=lx60°=30°,

22

???ZEOD=30°,

ZAOE=90°-30°=60°,

ZAEF=1800-ZBOD-ZAOE=180°-30°-60°=90°,

菱形的邊長為2,ZDAO=30。，

OD=1AD=1X2=1,

22

A0=7AD2-0D-

AE=CF=?x返衛(wèi)，

22

菱形的邊長為2,ZBAD=60°,

高EF=2x2/^="y^,

2

在RfCEF中，CER^(^)\(V3)嗯

點評：本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形30。角所對的直角邊

等于斜邊的一半的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，(2)求出ACEF是直角三角形是解題的關(guān)

鍵，也是難點.

23.(8分)(2020年?株洲)已知在△ABC中，ZABC=90°,AB=3,BC=4.點Q是線段

AC上的一個動點，過點Q作AC的垂線交線段AB(如圖1)或線段AB的延長線(如圖2)

于點P.

(1)當(dāng)點P在線段AB上時，求證：△APQSAABC：

(2)當(dāng)aPQB為等腰三角形時，求AP的長.

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理.

分析：(1)由兩對角相等(NAPQ=NC,ZA=ZA),證明ZiAPQsAABC；

(2)當(dāng)小PQB為等腰三角形時，有兩種情況，需要分類討論.

(I)當(dāng)點P在線段AB上時，如題圖1所示.由三角形相似(AAPQSAABC)關(guān)

系計算AP的長；

(II)當(dāng)點P在線段AB的延長線上時，如題圖2所示.利用角之間的關(guān)系，證明點

B為線段AP的中點，從而可以求出AP.

解答：(1)證明：NA+ZAPQ=90。，ZA+ZC=90。，

.1.ZAPQ=ZC.

在4APQ與4ABC中，

ZAPQ=ZC,ZA=ZA,

:&APQ-AABC.

(2)解：在RSABC中，AB=3,BC=4,由勾股定理得：AC=5.

??1ZBPQ為鈍角，

當(dāng)^PQB為等腰三角形時，只可能是PB=PQ.

(I)當(dāng)點P在線段AB上時，如題圖1所示.

由(1)可知，△APQ-△ABC,

亂里，即22里解得：PB=W,

ACBC543

AP=AB-PB=3-工區(qū)

33

(ID當(dāng)點P在線段AB的延長線上時，如題圖2所示.

BP=BQ,ZBQP=NP,

???ZBQP+ZAQB=90°,ZA+ZP=90°,

ZAQB=ZA,

/.BQ=AB,

AB=BP,點B為線段AB中點，

AP=2AB=2x3=6.

綜上所述，當(dāng)△PQB為等腰三角形時，AP的長為3或6.

3

點評：本題考查相似三角形及分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度不大.第(2)問中，當(dāng)APQB為

等腰三角形時，有兩種情況，需要分類討論，避免漏解.

24.(10分)(2020年?株洲)已知拋物線Ci的頂點為P(1,0),且過點(0,1).將拋物

4

線Ci向下平移h個單位(h>0)得到拋物線C2.一條平行于x軸的直線與兩條拋物線交于

A、B、C、D四點(如圖)，且點A、C關(guān)于y軸對稱，直線AB與x軸的距離是m2(m>0).

(1)求拋物線Ci的解析式的一般形式；

(2)當(dāng)m=2時，求h的值；

(3)若拋物線Ci的對稱軸與直線AB交于點E,與拋物線C2交于點F.求證：tanNEDF

考點：二次函數(shù)綜合題.

專題：代數(shù)幾何綜合題.

分析：(1)設(shè)拋物線Ci的頂點式形式y(tǒng)=a(X-1)2,(awO),然后把點(0,1)代入求出

4

a的值，再化為一般形式即可；

(2)先根據(jù)m的值求出直線AB與x軸的距離，從而得到點B、C的縱坐標(biāo)，然后

利用拋物線解析式求出點C的橫坐標(biāo)，再根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點的橫坐標(biāo)互為相反數(shù),

縱坐標(biāo)相同求出點A的坐標(biāo)，然后根據(jù)平移的性質(zhì)設(shè)出拋物線C2的解析式，再把點

A的坐標(biāo)代入求出h的值即可；

(3)先把直線AB與x軸的距離是n?代入拋物線C1的解析式求出C的坐標(biāo)，從而

求出CE,再表示出點A的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的對稱性表示出ED,根據(jù)平移的性質(zhì)

設(shè)出拋物線C2的解析式，把點A的坐標(biāo)代入求出h的值，然后表示出EF,最后根據(jù)

銳角的正切值等于對邊比鄰邊列式整理即可得證.

解答：(1)解：設(shè)拋物線Ci的頂點式形式y(tǒng)=a(x-1)2,(awO),

拋物線過點(0,工)，

4

a(0-1)2=」，

4

解得a=］，

4

拋物線Ci的解析式為(x-1)2,

4

一般形式為y=-x2-Ax+A；

424

(2)解：當(dāng)m=2時,m2=4,

BCIIx軸，

.,.點B、C的縱坐標(biāo)為4,

—(x-1)2=4,

4

解得xi=5,X2=-3,

.,.點B(-3,4),C(5,4),

?.,點A、C關(guān)于y軸對稱，

；.點A的坐標(biāo)為(-5,4),

設(shè)拋物線C2的解析式為y=1(x-1)2-h,

4

則［(-5-1)2-h=4,

4

解得h=5；

(3)證明：?直線AB與x軸的距離是n?,

.,.點B、C的縱坐標(biāo)為n?,

A(x-1)2=m2,

4

解得xi=l+2m,X2=l-2m,

.??點C的坐標(biāo)為(l+2m,m2),

又拋物線Ci的對稱軸為直線x=l,

CE=l+2m-l=2m,

???點A、C關(guān)于y軸對稱，

???點A的坐標(biāo)為(-1-2m,m2),

AE=ED=1-(-1-2m)=2+2m,

設(shè)拋物線C2的解析式為y=l(x-1)2-h,

4

則(-1-2m-1)2-h=m2,

4

解得h=2m+1,

EF=h+m2=m2+2m+l,

22

tanZEDF-tanZECP=-^--E=_l,

EDCE2+2in2m222

tanZEDF-tanZECP

2

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象

與結(jié)合變換，關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)特征，拋物線上點的坐標(biāo)特征，銳角的正切的

定義，(3)用m表示出相應(yīng)的線段是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點.

1.列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟

(1)審題：弄清題意.

(2)找出等量關(guān)系：找出能夠表示本題含義的相等關(guān)系.

(3)設(shè)出未知數(shù)，列出方程：設(shè)出未知數(shù)后，表示出有關(guān)的含字母

的式子，然后利用已找出的等量關(guān)系列出方程.

(4)解方程：解所列的方程，求出未知數(shù)的值.

(5)檢驗，寫答案：檢驗所求出的未知數(shù)的值是否是方程的解，

是否符合實際，檢驗后寫出答案.

2.和差倍分問題：增長量=原有量X增長率現(xiàn)在量

=原有量+增長量

3.等積變形問題：常見幾何圖形的面積、體積、周長計算公式，

依據(jù)形雖變，但體積不變.

①圓柱體的體積公式V=底面積X高=S?h=%/h

②長方體的體積V=長義寬義高=abc

4.數(shù)字問題

一般可設(shè)個位數(shù)字為a,十位數(shù)字為b,百位數(shù)字為c.十位數(shù)

可表示為10b+a,百位數(shù)可表示為100c+10b+a.

然后抓住數(shù)字間或新數(shù)、原數(shù)之間的關(guān)系找等量關(guān)系列方程.

5.市場經(jīng)濟問題

（1）商品利潤=商品售價一商品成本價（2）商品利潤率=

商品利潤

X100%

商品成本價

（3）商品銷售額=商品銷售價X商品銷售量

（4）商品的銷售利潤=（銷售價一成本價）X銷售量

（5）商品打幾折出售，就是按原標(biāo)價的百分之幾十出售，如商品打

8折出售，即按原標(biāo)價的80%出售.

6.行程問題：路程=速度X時間時間=路程+速度速度=路

程?時間

（1）相遇問題：快行距+慢行距=原距

（2）追及問題：快行距一慢行距=原距

（3）航行問題：順?biāo)L(fēng)）速度=靜水（風(fēng)）速度+水流（風(fēng)）

速度

逆水（風(fēng)）速度=靜水（風(fēng)）速度一水流（風(fēng)）

速度

抓住兩碼頭間距離不變，水流速和船速（靜不速）不變的特點考

慮相等關(guān)系.

7.工程問題：工作量=工作效率義工作時間

完成某項任務(wù)的各工作量的和=總工作量=1

8.儲蓄問題

利潤=虹嗎典史蠅XI。。％利息=本金義利率義期數(shù)

本金

實際問題與二元一次方程組題型歸納(練習(xí)題答案)

類型一：列二元一次方程組解決一一行程問題

【變式1】甲、乙兩人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小時，

那么他們在乙出發(fā)2.5小時后相遇；如果乙比甲先走2小時，那么他們在甲出

發(fā)3小時后相遇，甲、乙兩人每小時各走多少千米？

解：設(shè)甲，乙速度分別為x,y千米/時，依題意得：

(2.5+2)x+2.5y=36

3x+(3+2)y=36

解得：x=6,y=3.6

答：甲的速度是6千米/每小時，乙的速度是3.6千米/每小時。

【變式2】兩地相距280千米，一艘船在其間航行，順流用14小時，逆流用

20小時，求船在靜水中的速度和水流速度。

解：設(shè)這艘輪船在靜水中的速度x千米/小時，則水流速度y千米/小時，有：

20(x-y)=280

14(x+y)=280

解得：x=17,y=3

答:這艘輪船在靜水中的速度17千米/小時、水流速度3千米/小時，

類型二：列二元一次方程組解決一一工程問題

【變式】小明家準(zhǔn)備裝修一套新住房，若甲、乙兩個裝飾公司合作6周完成需工錢5.2

萬元；若甲公司單獨做4周后，剩下的由乙公司來做，還需9周完成，需工錢4.8萬元.若

只選一個公司單獨完成，從節(jié)約開支的角度考慮，小明家應(yīng)選甲公司還是乙公司？請你說

明理由.

解：

設(shè)甲、乙兩公司每周完成工程的X和y,則

J+/=10

（6得，故1+工=10（周）11—工=15周

“c,11015

[4K+9,=1y=—

即甲、乙完成這項工程分別需10周，15周

又設(shè)需付甲、乙每周的工錢分別為3元，b萬元則

'_3

（6a+6&=5.2[10a=6（萬元）

|得，此時，__

14a+98=4.8_4=4②兀）

比莪知，從節(jié)約開支角度考慮，選乙公司劃算

類型三：列二元一次方程組解決一一商品銷售利潤問題

【變式1]（2011湖南衡陽）李大叔去年承包了10畝地種植甲、乙兩種蔬菜，

共獲利18000元，其中甲種蔬菜每畝獲利2000元，乙種蔬菜每畝獲利1500元,

李大叔去年甲、乙兩種蔬菜各種植了多少畝？

解：設(shè)甲、乙兩種蔬菜各種植了x、y畝，依題意得：

①x+y=10

②2000x+1500y=18000

解得：x=6,y=4

答：李大叔去年甲、乙兩種蔬菜各種植了6畝、4畝

【變式2】某商場用36萬元購進A、B兩種商品，銷售完后共獲利6萬元，其進價和售價

如下表：

AB

進價（元/件）12001000

售價（元/件）13801200

（注：獲利=售價一進價）求該商場購進A、B兩種商品各多少件;

解：設(shè)購進A的數(shù)量為x件、購進B的數(shù)量為y件，依據(jù)題意列方程組

1200x+1000y=360000

（1380-1200）x+（1200-1000）y=60000

解得x=200,y=120

答：略

類型四：列二元一次方程組解決一一銀行儲蓄問題

【變式2】小敏的爸爸為了給她籌備上高中的費用，在銀行同時用兩種方式共

存了4000元錢.第一種，一年期整存整取，共反復(fù)存了3次，每次存款數(shù)都相

同，這種存款銀行利率為年息2.25%；第二種，三年期整存整取，這種存款銀行

年利率為2.70%.三年后同時取出共得利息303.75元（不計利息稅），問小敏的爸

爸兩種存款各存入了多少元？

解：設(shè)x為第一種存款的方式，丫第二種方式存款，則

X+Y=4000

X*2.25%*3+Y*2.7%*3=303.75

解得：X=1500,Y=2500o

答：略。

類型五：列二元一次方程組解決一一生產(chǎn)中的配套問題

【變式1】現(xiàn)有190張鐵皮做盒子，每張鐵皮做8個盒身或22個盒底，一個盒身與

兩個盒底配成一個完整盒子，問用多少張鐵皮制盒身，多少張鐵皮制盒底，可以正好制成

一批完整的盒子？

解：設(shè)x張做盒身，y張做盒底，則有盒身8x個，盒底22y個

x+y=190

8x=22y/2

解得x=110,y=80

即110張做盒身，80張做盒底

【變式2］某工廠有工人60人，生產(chǎn)某種由一個螺栓套兩個螺母的配套產(chǎn)品,

每人每天生產(chǎn)螺栓14個或螺母20個，應(yīng)分配多少人生產(chǎn)螺栓，多少人生產(chǎn)螺

母，才能使生產(chǎn)出的螺栓和螺母剛好配套。

解：設(shè)生產(chǎn)螺栓的工人為x人,生產(chǎn)螺母的工人為v人

x+y=60

28x=20y

解得x=25,y=35

答：略

【變式3】一張方桌由1個桌面、4條桌腿組成，如果1立方米木料可以做

桌面50個，或做桌腿300條?，F(xiàn)有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做

桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多

少張方桌？

解：設(shè)用X立方米做桌面，用丫立方米做桌腿

X+Y=5.........................⑴

50X：300Y=1：4.......................⑵

解得：Y=2,X=5-2=3

答：用3立方米做桌面，2立方米的木料做桌腿。

類型六：列二元一次方程組解決一一增長率問題

【變式2】某城市現(xiàn)有人口42萬，估計一年后城鎮(zhèn)人口增加0.8%,農(nóng)村人

口增加1.1%,這樣全市人口增加1%,求這個城市的城鎮(zhèn)人口與農(nóng)村人口。

解：設(shè)該城市現(xiàn)在的城鎮(zhèn)人口有x萬人，農(nóng)村人口有y萬人。

x+y=42

0.8%xX+l.l%xY=42x1%

解這個方程組，得：x=14,y=28

答：該市現(xiàn)在的城鎮(zhèn)人口有14萬人，農(nóng)村人口有28萬人。

類型七：列二元一次方程組解決一一和差倍分問題

【變式1】略

【變式2】游泳池中有一群小朋友，男孩戴藍(lán)色游泳帽，女孩戴紅色游泳帽。

如果每位男孩看到藍(lán)色與紅色的游泳帽一樣多，而每位女孩看到藍(lán)色的游泳帽

比紅色的多1倍，你知道男孩與女孩各有多少人嗎？

解：設(shè)：男有X人，女有丫人，則

X-1=Y

2(Y-1)=X

解得：x=4,y=3

答：略

類型八：列二元一次方程組解決一一數(shù)字問題

【變式1］一個兩位數(shù)，減去它的各位數(shù)字之和的3倍，結(jié)果是23；這個兩位數(shù)除以

它的各位數(shù)字之和，商是5,余數(shù)是1,這個兩位數(shù)是多少？

解：設(shè)這個兩位數(shù)十位數(shù)是X,個位數(shù)是y,則這個數(shù)是(10x+y)

10x+y-3(x+y)=23(1)

10x+y=5(x+y)+1⑵

由(1),(2)得

7x-2y=23

5x-4y=1

解得：x=5

y=6

答：這個兩位數(shù)是56

【變式2]一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字大5,如果把十位上的數(shù)字與個

位上的數(shù)字交換位置，那么得到的新兩位數(shù)比原來的兩位數(shù)的一半還少9,求這個兩位數(shù)？

解：設(shè)個位X,十位Y,有

X-Y=5

(10X+Y)+(10+X)=143

即

X-Y=5

X+Y=13

解得：X=9?Y=4

這個數(shù)就是49

【變式3】某三位數(shù)，中間數(shù)字為0,其余兩個數(shù)位上數(shù)字之和是9,如果百位

數(shù)字減1,個位數(shù)字加1,則所得新三位數(shù)正好是原三位數(shù)各位數(shù)字的倒序排列，

求原三位數(shù)。

解：設(shè)原數(shù)百位是x,個位是y那么

x+y=9

x-y=1

兩式相加得到2x=10=>x=5=>y=5-1=4

所以原數(shù)是504

類型九：列二元一次方程組解決一一濃度問題

【變式1】要配濃度是45%的鹽水12千克，現(xiàn)有10%的鹽水與85%的鹽水，這兩種鹽水

各需多少？

解：設(shè)10%的X克，85%的丫克

X+Y=12

X*10%+Y*85%=12*45%

即：X+Y=12

X+8.5Y=54

解得：丫=5.6

答：略

【變式2]一種35%的新農(nóng)藥，如稀釋到1.75%時，治蟲最有效。用多少千克濃度為35%

的農(nóng)藥加水多少千克，才能配成1.75%的農(nóng)藥800千克？

解：800千克1.75%的農(nóng)藥中含純農(nóng)藥的質(zhì)量為800x1.75%=14千克

含14千克純農(nóng)藥的35%的農(nóng)藥質(zhì)量為14+35%=40千克

由40千克農(nóng)藥稀釋為800千克農(nóng)藥應(yīng)加水的質(zhì)量為800-40=760千克

答：用40千克濃度為35%的農(nóng)藥添加760千克的水，才能配成濃度為1.75%的農(nóng)藥

800千克。

類型十：列二元一次方程組解決一一幾何問題

【變式1】用長48厘米的鐵絲彎成一個矩形，若將此矩形的長

邊剪掉3厘米，補到較短邊上去，則得到一個正方形，求正方形

的面積比矩形面積大多少？

解：設(shè)長方形的長寬分別為x和y厘米，則

2(x+y)=48

x-3=y+3

解得:x=15,y=9

正方形的面積比矩形面積大

(x-3)(y+3)-xy=(15-3)(9+3)-15*9=144-135=9(cm2)

答:略

【變式2]一塊矩形草坪的長比寬的2倍多10m,它的周長是132m,則長和寬分別為多少？

解：設(shè)草坪的長為遼，寬為ym，則

142

_132

x-v------X一-3

2解得V

_56

、2y+10=xV

3

所以寬和長分別為苧m、142

類型十一：列二元一次方程組解決一一年齡問題

【變式1】今年，小李的年齡是他爺爺?shù)奈宸种?小李發(fā)現(xiàn)，12年之后,

他的年齡變成爺爺?shù)娜种?試求出今年小李的年齡.

解：設(shè)小李X歲，爺爺丫歲，則

5X=Y

3(X+12)=Y+12

兩式聯(lián)立解得：X=12Y=60

所以小李今年12歲，爺爺今年60歲。

類型十二：列二元一次方程組解決一一優(yōu)化方案問題:

【變式】某商場計劃撥款9萬元從廠家購進50臺電視機，已知廠家生產(chǎn)三種不同

型號的電視機，出廠價分別為：甲種每臺1500元，乙種每臺2100元，丙種每臺2500元。

(1)若商場同時購進其中兩種不同型號的電視機50臺，用去9萬元，請你研究一下商

場的進貨方案；

(2)若商場銷售一臺甲、乙、丙電視機分別可獲利150元、200元、250元，在以上的

方案中，為使獲利最多，你選擇哪種進貨方案？

解：Q)分情況計算：設(shè)購進甲種電視機*臺，乙種電視機y臺，丙種電視機Z臺.

X+J=50,r=25,

15OOx+2100y=90000懈得‘y=25.

（I）購進甲、乙兩種電視機

Jx+z=50,r=35,

15OOx+25OOy=90000.解得“

（H）購進甲、丙兩種電視機y=15.

Jy+z=50,X=87J5,

【2100"2500z=90000.解得=-375（不合實際，舍去）

（m）購進乙、丙兩種電視機

故商場進貨方案為購進甲種25臺和乙種25臺；或購進甲種35臺和丙種15臺.

（2）按方案（I），獲利150x25+200x25=8750（元）;

按方案（U），獲利150x35+250xl5=9000（元）.

二選擇購進甲種35臺和丙種15臺.

三、列方程解應(yīng)用題

1.將一批工業(yè)最新動態(tài)信息輸入管理儲存網(wǎng)絡(luò)，甲獨做需6小時，乙獨做需4小時，甲先

做30分鐘，然后甲、乙一起做，則甲、乙一起做還需多少小時才能完成工作？

2.兄弟二人今年分別為15歲和9歲，多少年后兄的年齡是弟的年齡的2倍?

3.將一個裝滿水的內(nèi)部長、寬、高分別為300毫米，300毫米和80毫米的長方體鐵盒中的

水，倒入一個內(nèi)徑為200毫米的圓柱形水桶中，正好倒?jié)M，求圓柱形水桶的高（精確到

0.1毫米,14）.

4.有一火車以每分鐘600米的速度要過完第一、第二兩座鐵橋，過第二鐵橋比過第一鐵橋

需多5秒，又知第二鐵橋的長度比第一鐵橋長度的2倍短50米，試求各鐵橋的長.

5.有某種三色冰淇淋50克，咖啡色、紅色和白色配料的比是2：3：5,這種三色冰淇淋

中咖啡色、紅色和白色配料分別是多少克？

6.某車間有16名工人，每人每天可加工甲種零件5個或乙種零件4個.在這16名工人中,

一部分人加工甲種零件，其余的加工乙種零件.己知每加工一個甲種零件可獲利16元,

每加工一個乙種零件可獲利24元.若此車間一共獲利1440元，求這一天有幾個工人加

工甲種零件.

7.某地區(qū)居民生活用電基本價格為每千瓦時0.40元，若每月用電量超過a千瓦時，則超過

部分按基本電價的70%收費.

(1)某戶八月份用電84千瓦時，共交電費30.72元，求a.

(2)若該用戶九月份的平均電費為0.36元，則九月份共用電多少千瓦？應(yīng)交電費是

多少元？

8.