2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章解析幾何初步2.2圓與圓的方程2.2.3.2圓與圓的位置關(guān)系學(xué)案含解析北師大版必修2

PAGE2．3.2圓與圓的位置關(guān)系考綱定位重難突破1.能依據(jù)兩個圓的方程，推斷兩個圓的位置關(guān)系．2.能依據(jù)兩圓的位置關(guān)系，求有關(guān)直線或圓的方程．3.了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想.重點：對兩圓內(nèi)切、外切時位置關(guān)系的推斷和應(yīng)用．難點：常與方程、有關(guān)圓的平面幾何學(xué)問結(jié)合命題方法：用坐標法解決與圓有關(guān)的平面幾何問題.授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第53頁[自主梳理]圓與圓的位置關(guān)系及判定已知兩圓C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝req\o\al(2,1)，C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝req\o\al(2,2)，則圓心分別為C1(x1，y1)，C2(x2，y2)，半徑分別為r1，r2，圓心距d＝|C1C2|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22).則兩圓C1，C2有以下位置關(guān)系位置關(guān)系公共點個數(shù)圓心距與半徑圖形表示兩圓相離0,d>r1＋r2兩圓內(nèi)含d<|r1－r2|兩圓相交,2|r1－r2|<d<r1＋r2兩圓內(nèi)切1d＝|r1－r2|兩圓外切d＝r1＋r2,[雙基自測]1．圓(x－2)2＋(y＋2)2＝9與圓x2＋y2＝1的位置關(guān)系是()A．相離 B．外切C．相交 D．內(nèi)含解析：兩圓的圓心分別是(2，－2)，(0,0)，半徑分別是3和1，所以圓心距為eq\r(2－02＋－2－02)＝2eq\r(2)，2<2eq\r(2)<4，所以兩圓相交．答案：C2．若兩圓x2＋y2＝m和x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共點，則實數(shù)m的取值范圍是()A．(1,121) B．[1,121]C．(1,11) D．[1,11]解析：兩圓的圓心分別為(0,0)，(－3,4)，半徑分別為eq\r(m)和6，它們有公共點，所以兩圓相切或相交．∴|eq\r(m)－6|≤eq\r(32＋42)≤eq\r(m)＋6，解得1≤m≤121.答案：B3．兩圓(x－1)2＋(y－1)2＝2和(x＋2)2＋(y－4)2＝3的公切線的條數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4解析：兩圓的圓心分別是(1,1)，(－2,4)，半徑分別是eq\r(2)和eq\r(3)，圓心距為eq\r(－2－12＋4－12)＝3eq\r(2)，因為3eq\r(2)>eq\r(2)＋eq\r(3)，所以兩圓相離，所以兩圓有4條公切線．答案：D4．已知兩圓x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝30相交于A，B兩點，則直線AB的方程是________．解析：把圓(x－1)2＋(y－3)2＝30的方程化為x2＋y2－2x－6y＝20，與圓x2＋y2＝10兩邊相減，得2x＋6y＝－10，即x＋3y＋5＝0為直線AB的方程．答案：x＋3y＋5＝05．已知兩圓x2＋y2＝1和(x＋2)2＋(y－a)2＝25沒有公共點，則實數(shù)a的取值范圍為____________．解析：由已知，得兩圓的圓心分別為(0,0)，(－2，a)，半徑分別為1,5，圓心距d＝eq\r(0＋22＋0－a2)＝eq\r(a2＋4).∵兩圓沒有公共點，∴eq\r(a2＋4)＜5－1或eq\r(a2＋4)＞5＋1，解得－2eq\r(3)＜a＜2eq\r(3)或a＜－4eq\r(2)或a＞4eq\r(2).答案：(－∞，－4eq\r(2))∪(－2eq\r(3)，2eq\r(3))∪(4eq\r(2)，＋∞)授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第54頁探究一圓與圓的位置關(guān)系判定[典例1]已知圓C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0與圓C2：x2＋y2＋2x＝0.(1)當m＝1時，圓C1與圓C2是什么關(guān)系？(2)當m＝4時，圓C1與圓C2是什么關(guān)系？(3)若兩圓有三條公切線，求實數(shù)m的值；(4)是否存在m使得圓C1與圓C2內(nèi)含？[解析](1)∵m＝1.∴兩圓的方程分別可化為C1：(x－1)2＋(y＋2)2＝9.C2：(x＋1)2＋y2＝1.兩圓的圓心距d＝eq\r(1＋12＋－22)＝2eq\r(2)，又∵r1＋r2＝3＋1＝4，|r1－r2|＝|3－1|＝2，∴|r1－r2|<d<r1＋r2.∴圓C1與圓C2相交．(2)當m＝4時，兩圓的方程分別可化為C1：(x－4)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋y2＝1.兩圓的圓心距d＝eq\r(4＋12＋－22)＝eq\r(29)，又∵r1＋r2＝3＋1，∴d>r1＋r2.∴圓C1與圓C2相離．(3)圓C1的方程為(x－m)2＋(y＋2)2＝9，∴圓心C1(m，－2)，半徑r1＝3，圓C2的方程為(x＋1)2＋y2＝1，∴圓心C2(－1,0)，半徑r2＝1，當兩圓有三條公切線時，它們相外切，因此|C1C2|＝r1＋r2，即eq\r(m＋12＋－22)＝4，解得m＝－1±2eq\r(3).(4)假設(shè)存在m使得圓C1與圓C2內(nèi)含，則eq\r(m＋12＋－22)<3－1，即(m＋1)2<－2<0，明顯不等式無解．故不存在m使得圓C1與圓C2內(nèi)含．1．推斷兩圓的位置關(guān)系，通常采納幾何法，而不是用兩圓公共點的個數(shù)來推斷，因為它們之間并不是一一對應(yīng)關(guān)系，如兩圓只有一個公共點時，兩圓可能內(nèi)切，也可能外切；兩圓沒有公共點時，它們可能相離，也可能內(nèi)含，無法確定是哪一種位置關(guān)系．2．利用幾何法推斷兩圓位置關(guān)系可按如下步驟進行：(1)計算兩圓的半徑r1，r2；(2)計算兩圓的圓心距d;(3)得出d，r1，r2之間的等量(不等量)關(guān)系；(4)推斷兩圓的位置關(guān)系．1．當a為何值時，兩圓C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0的位置關(guān)系為：(1)外切？(2)相交？(3)外離？解析：將兩圓的一般方程寫成標準方程得，C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4，所以兩圓的圓心和半徑分別為：C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1，a)，r2＝2.設(shè)兩圓的圓心距為d，則d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5.(1)當d＝5，即2a2＋6此時a＝－5或a＝2.(2)當1＜d＜5，即1＜2a2＋6此時－5＜a＜－2或－1＜a＜2.(3)當d＞5，即2a2＋6a＋5＞25時，兩圓外離，此時a＞2或探究二圓與圓相切的問題[典例2]試求與圓(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于點(4，－1)，且半徑等于1的圓的方程．[解析]設(shè)所求圓的圓心為P(a，b)，所以eq\r(a－42＋b＋12)＝1.①若兩圓外切，則有eq\r(a－22＋b＋12)＝1＋2＝3.②由①②，解得a＝5，b＝－1.所以所求圓的方程為(x－5)2＋(y＋1)2＝1.若兩圓內(nèi)切，則有eq\r(a－22＋b＋12)＝2－1＝1.③由①③，解得a＝3，b＝－1.所以所求圓的方程為(x－3)2＋(y＋1)2＝1.綜上，可知所求圓的方程為(x－5)2＋(y＋1)2＝1或(x－3)2＋(y＋1)2＝1.求公切線的五個步驟(1)推斷公切線的條數(shù)．(2)設(shè)出公切線的方程．(3)利用切線性質(zhì)建立所設(shè)字母的方程，求解字母的值．(4)驗證特別狀況下的直線是否為公切線．(5)歸納總結(jié)．留意對于求公切線問題，不要漏解，應(yīng)先依據(jù)兩圓的位置關(guān)系來推斷公切線的條數(shù)．2．求與圓M：(x－1)2＋y2＝1外切，且與直線x＋eq\r(3)y＝0相切于點Q(3，－eq\r(3))的圓N的方程．解析：設(shè)所求圓N的圓心為N(a，b)，半徑為r.因為所求圓N與直線x＋eq\r(3)y＝0相切于點Q(3，－eq\r(3))，所以直線NQ垂直于直線x＋eq\r(3)y＝0，所以kNQ＝eq\f(b＋\r(3),a－3)＝eq\r(3)，即b＝eq\r(3)a－4eq\r(3)，圓N的半徑r＝|NQ|＝eq\r(a－32＋b＋\r(3)2)＝eq\r(a－32＋\r(3)a－4\r(3)＋\r(3)2)＝2|a－3|.因為圓N與圓M：(x－1)2＋y2＝1外切，所以|MN|＝eq\r(a－12＋b2)＝1＋r＝1＋2|a－3|，即eq\r(a－12＋3a－42)＝1＋2|a－3|.對該式探討如下：①當a≥3時，可得a＝4，b＝0，r＝2，所以圓N的方程為(x－4)2＋y2＝4；②當a＜3時，可得a＝0，b＝－4eq\r(3)，r＝6，所以圓N的方程為x2＋(y＋4eq\r(3))2＝36.于是所求圓N的方程為(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4eq\r(3))2＝36.探究三圓與圓相交的問題[典例3]已知圓O：x2＋y2＝25和圓C：x2＋y2－4x－2y－20＝0相交于A，B兩點．(1)求線段AB的垂直平分線的方程；(2)求AB所在直線的方程；(3)求公共弦AB的長度．[解析](1)由于兩圓相交于A，B兩點，所以線段AB的垂直平分線就是兩圓的圓心的連線．又圓O：x2＋y2＝25的圓心O(0,0)，圓C：(x－2)2＋(y－1)2＝25的圓心C(2,1)，所以kOC＝eq\f(1,2)，由點斜式得y＝eq\f(1,2)x，即x－2y＝0.故AB的垂直平分線的方程為x－2y＝0.(2)將兩圓方程相減即得公共弦AB所在直線的方程為4x＋2y－5＝0.(3)圓x2＋y2＝25的圓心到直線AB的距離d＝eq\f(|5|,\r(20))＝eq\f(\r(5),2)，所以公共弦AB的長|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(25－\f(5,4))＝eq\r(95).1．兩圓相交時，公共弦所在的直線方程的求法：若圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則兩圓公共弦所在直線的方程為(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0，即兩圓方程相減即得．2．公共弦長的求法：(1)代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出交點坐標，利用兩點間的距離公式求出弦長．(2)幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長、弦心距構(gòu)成的直角三角形，依據(jù)勾股定理求解．3．已知圓C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圓C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，求兩圓的公共弦所在的直線方程及公共弦長．解析：設(shè)兩圓的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點坐標是方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋2x－6y＋1＝0①,x2＋y2－4x＋2y－11＝0②))的解，①－②得：3x－4y＋6＝0.∵A，B兩點的坐標都滿意此方程，∴3x－4y＋6＝0即為兩圓公共弦所在的直線方程．易知圓C1的圓心(－1,3)，半徑r＝3.又C1到直線AB的距離為d＝eq\f(|－1×3－4×3＋6|,\r(32＋42))＝eq\f(9,5).∴|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(32－\f(9,5)2)＝eq\f(24,5).即兩圓的公共弦長為eq\f(24,5).巧用圓系方程解題[典例]求圓心在直線x＋y＝0上，且過兩圓x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的交點的圓的方程．[解析]設(shè)所求圓的方程為x2＋y2－2x＋10y－24＋λ(x2＋y2＋2x＋2y－8)＝0，即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋(2λ－2)x＋(2λ＋10)y－8λ－24＝0，同除以1＋λ可得，x2＋y2＋eq\f(2λ－2,1＋λ)x＋eq\f(2λ＋10,1＋λ)y－eq\f(8λ＋24,1＋λ)＝0，此圓的圓心Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(λ－1,1＋λ)，－\f(λ＋5,1＋λ))).又因為圓心在直線x＋y＝0上，所以－eq\f(λ－1,1＋λ)－eq\f(λ＋5,1＋λ)＝0，得λ＝－2.所以所求圓的方程為x2＋y2＋6x－6y＋8＝0.[感悟提高]1.一般地，過圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交點的圓的方程可設(shè)為：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，然后再由其他條件求出λ，即可得圓的方程．2．利用圓系，恰當設(shè)出所求圓的方程是解本題的關(guān)鍵，將方程整理后，圓心坐標的表示要精確．最終的結(jié)果要整理成圓的一般方程(或標準方程)．[隨堂訓(xùn)練]對應(yīng)學(xué)生用書第55頁1．圓C1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圓C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切線有()A．1條 B．3條C．4條 D．以上均不正確解析：∵C1(－2,2)，r1＝1，C2(2,5)，r2＝4，∴|C1C2|＝5＝r1＋r2，∴兩圓相外切，因此公切線有3條，因此選B.答案：B2．圓x2＋y2－2x－5＝0和圓x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交點為A、B，則線段AB的垂直平分線的方程為()A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0解析：圓x2＋y2－2x－5＝0化為標準方程是(x－1)2＋y2＝6，其圓心是(1,0)；圓x2＋y2＋2x－4y－4＝0化為標準方程是(x＋1)2＋(y－2)2＝9，其圓心是(－1,2)．線段AB的垂直平分線就是過兩圓圓心的直線，驗證可得A正確．答案：A3．已知半徑為1的動圓與圓(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，則動圓圓心的軌跡方程是()A．(x－5)2＋(y－7)2＝25B．(x－5)2＋(y－7)2＝17或(x－5)2＋(