2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4.4.2對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)課時(shí)跟蹤訓(xùn)練含解析新人教A版必修第一冊(cè)

PAGE對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)一、復(fù)習(xí)鞏固1．函數(shù)y＝2＋log2x(x≥1)的值域?yàn)?)A．(2，＋∞) B．(－∞，2)C．[2，＋∞) D．[3，＋∞)解析：∵y＝log2x在[1，＋∞)是增函數(shù)，∴當(dāng)x≥1時(shí)，log2x≥log21＝0，∴y＝2＋log2x≥2.答案：C2．與函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的函數(shù)是()A．y＝4x B．y＝4－xC．y＝logeq\f(1,4)x D．y＝log4x解析：y＝ax與y＝logax互為反函數(shù)，圖象關(guān)于y＝x對(duì)稱．答案：C3．設(shè)a＝log54，b＝log53，c＝logeq\f(1,3)5，則()A．a(chǎn)<c<b B．c<a<bC．b<a<c D．c<b<a答案：D4．函數(shù)f(x)＝|logeq\f(1,2)x|的單調(diào)遞增區(qū)間是()A．(0，eq\f(1,2)] B．(0,1]C．(0，＋∞) D．[1，＋∞)解析：f(x)的圖象如圖所示，由圖象可知單調(diào)遞增區(qū)間為[1，＋∞)．答案：D5．設(shè)a＝log54，b＝log53，c＝log45，則()A．a(chǎn)<c<b B．b<c<aC．a(chǎn)<b<c D．b<a<c解析：∵y＝log5x是增函數(shù)，∴l(xiāng)og53<log54<log55＝1，y＝log4x是增函數(shù)，∴l(xiāng)og45>log44＝1，∴l(xiāng)og53<log54<log45.答案：D6．若loga(a2＋1)<loga2a<0，則a的取值范圍是A．(0,1) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D．(1，＋∞)解析：∵a≠1，∴a2＋1－2a＝(a－1)2>0，∴l(xiāng)ogax是減函數(shù)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1,2a>1))得eq\f(1,2)<a<1.答案：B7．定義在R上的函數(shù)f(x)＝ln(eq\r(1＋x2)＋x)是()A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D．不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)解析：f(x)＋f(－x)＝ln(eq\r(1＋x2)＋x)＋ln(eq\r(1＋x2)－x)＝ln[(eq\r(1＋x2)＋x)(eq\r(1＋x2)－x)]＝ln(1＋x2－x2)＝ln1＝0，∴f(x)是定義在R上的奇函數(shù)．答案：A8．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(21－x，x≤1，,1－log2x，x>1，))則滿意f(x)≤2的x的取值范圍是()A．[－1,2] B．[0,2]C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)解析：當(dāng)x≤1時(shí)，解21－x≤2，得0≤x≤1.當(dāng)x>1時(shí)，解1－log2x≤2，得x≥eq\f(1,2)，與x>1取交集得x>1.因此，滿意f(x)≤2的x的取值范圍是x≥0，故選D.答案：D9．函數(shù)y＝logaeq\f(2x－3,x－1)＋1過(guò)定點(diǎn)________．解析：令eq\f(2x－3,x－1)＝1，得x＝2.答案：(2,1)10．已知log0.45(x＋2)＞log0.45(1－x)，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是________．解析：原不等式等價(jià)于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2＞0，,x＋2＜1－x，))解得－2＜x＜－eq\f(1,2).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2)))二、綜合應(yīng)用11．已知x＝lnπ，y＝log52，z＝e－eq\f(1,2)，則()A．x<y<z B．z<x<yC．z<y<x D．y<z<x解析：∵x＝lnπ>lne，∴x>1.∵y＝log52<log5eq\r(5)，∴0<y<eq\f(1,2).∴z＝e－eq\f(1,2)＝eq\f(1,\r(e))>eq\f(1,\r(4))＝eq\f(1,2)，∴eq\f(1,2)<z<1.綜上可得，y<z<x.答案：D12．已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)，設(shè)a＝f(－eq\r(3))，b＝f(log3eq\f(1,2))，c＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)＜c＜b B．b＜a＜cC．b＜c＜a D．c＜b＜a解析：a＝f(－eq\r(3))＝f(eq\r(3))，b＝f(log3eq\f(1,2))＝f(log32)，c＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3))).∵0＜log32＜1,1＜eq\f(4,3)＜eq\r(3)，∴eq\r(3)＞eq\f(4,3)＞log32.∵f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，∴a＞c＞b.答案：C13．函數(shù)f(x)＝lg(2x－b)，若x≥1時(shí)，f(x)≥0恒成立，則b應(yīng)滿意的條件是________．解析：由題意得：當(dāng)x≥1時(shí)，2x－b≥1恒成立，又當(dāng)x≥1時(shí)，2x≥2，∴b≤1.答案：b≤114．若實(shí)數(shù)a滿意loga2>1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：當(dāng)a>1時(shí)，loga2>1＝logaa.∴2>a.∴1<a<2；當(dāng)0<a<1時(shí)，loga2<0.不滿意題意．答案：1<a<215．已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且x≤0時(shí)，f(x)＝logeq\f(1,2)(－x＋1)．(1)求f(0)，f(1)；(2)求函數(shù)f(x)的解析式；(3)若f(a－1)<－1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解析：(1)因?yàn)楫?dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝logeq\f(1,2)(－x＋1)，所以f(0)＝0.又函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，所以f(1)＝f(－1)＝logeq\f(1,2)[－(－1)＋1]＝logeq\f(1,2)2＝－1，即f(1)＝－1.(2)令x>0，則－x<0，從而f(－x)＝logeq\f(1,2)(x＋1)＝f(x)，∴x>0時(shí)，f(x)＝logeq\f(1,2)(x＋1)．∴函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log\f(1,2)x＋1，x>0，,log\f(1,2)－x＋1，x≤0.))(3)設(shè)x1，x2是隨意兩個(gè)值，且x1<x2≤0，則－x1>－x2≥0，∴1－x1>1－x2>0.∵f(x2)－f(x1)＝logeq\f(1,2)(－x2＋1)－logeq\f(1,2)(－x1＋1)＝logeq\f(1,2)eq\f(1－x2,1－x1)>logeq\f(1,2)1＝0，∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)＝logeq\f(1,2)(－x＋1)在(－∞，0]上為增函數(shù)．又f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，∴f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)．∵f(a－1)<－1＝f(1)，∴|a－1|>1，解得a>2或a<0.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，0)∪(2，＋∞)．16．已知函數(shù)f(x)＝loga(1＋x)，其中a＞1.(1)比較eq\f(1,2)[f(0)＋f(1)]與f(eq\f(1,2))的大小；(2)探究eq\f(1,2)[f(x1－1)＋f(x2－1)]≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)－1))對(duì)隨意x1＞0，x2＞0恒成立．解析：(1)∵eq\f(1,2)[f(0)＋f(1)]＝eq\f(1,2)(loga1＋loga2)＝logaeq\r(2)，又∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝logaeq\f(3,2)，且eq\f(3,2)＞eq\r(2)，由a＞1知函數(shù)y＝logax為增函數(shù)，所以logaeq\r(2)＜logaeq\f(3,2).即eq\f(1,2)[f(0)＋f(1)]＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))).(2)由(1)知，當(dāng)x1＝1，x2＝2時(shí)，不等式成立．接下來(lái)探究不等號(hào)左右兩邊的關(guān)系：eq\f(1,2)[f(x1－1)＋f(x2－1)]＝logaeq\r(x1x2)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)－1))＝logaeq\f(x1＋x2,2)，因?yàn)閤1＞0，x2＞0，所以eq\f(x1＋x2,2)－eq\r(x1x2)＝eq\f(