2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章不等式4.3簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用講義教案北師大版必修5

PAGE11-4．3簡潔線性規(guī)劃的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1．會從實際情境中抽象出一些簡潔的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決．(重點)2．培育學(xué)生應(yīng)用線性規(guī)劃的有關(guān)學(xué)問解決實際問題的意識．3．能夠找出實際問題的約束條件和目標(biāo)函數(shù)，利用圖解法求得最優(yōu)解．(難點)1．通過解決簡潔線性劃的應(yīng)用題，提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．2．通過求解實際問題的最優(yōu)解，培育數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．簡潔線性規(guī)劃的實際應(yīng)用閱讀教材P105～P107“練習(xí)”以上部分，完成下列問題．(1)簡潔線性規(guī)劃應(yīng)用問題的求解步驟：①設(shè)：設(shè)出變量x、y，寫出約束條件及目標(biāo)函數(shù)．②作：作出可行域．③移：作一條直線l，平移l，找最優(yōu)解．④解：聯(lián)立方程組求最優(yōu)解，并代入目標(biāo)函數(shù)，求出最值．⑤答：寫出答案．總之，求解線性規(guī)劃問題的基本程序是作可行域，畫平行線，解方程組，求最值．(2)若實際問題要求的最優(yōu)解是整數(shù)解，而我們利用圖解法得到的解為非整數(shù)解時，應(yīng)作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，其方法應(yīng)以與線性目標(biāo)函數(shù)的直線的距離為依據(jù)，在直線的旁邊尋求與此直線距離最近的整點．思索：(1)線性規(guī)劃的實際應(yīng)用問題中，整點最優(yōu)解是唯一的嗎？[提示]不是唯一的，可能有多個整點最優(yōu)解．(2)解決線性規(guī)劃實際應(yīng)用問題最關(guān)鍵的是什么？[提示]最關(guān)鍵的是細致審題，列出約束條件，寫出目標(biāo)函數(shù)．1．4枝玫瑰花與5枝茶花的價格之和不小于22元，而6枝玫瑰花與3枝茶花的價格之和不大于24元．設(shè)每枝玫瑰花的價格為x元，每枝茶花的價格為y元，則x，y滿意的約束條件為()A．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋5y≥22,6x＋3y≤24)) B．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋5y>22,6x＋3y<24))C．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋5y>22,6x＋3y≤24)) D．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋5y>22,6x＋3y<24))[答案]A2．A，B兩種規(guī)格的產(chǎn)品須要在甲、乙兩臺機器上各自加工一道工序才能成為成品．已知A產(chǎn)品須要在甲機器上加工3小時，在乙機器上加工1小時；B產(chǎn)品須要在甲機器上加工1小時，在乙機器上加工3小時．在一個工作日內(nèi)，甲機器至多只能運用11小時，乙機器至多只能運用9小時．設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，生產(chǎn)B產(chǎn)品y件，列出滿意生產(chǎn)條件的約束條件為．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y≤11,x＋3y≤9,x∈N＋，y∈N＋))[由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y≤11，,x＋3y≤9，,x∈N＋，y∈N＋.))]3．某公司招收男職員x名，女職員y名，x和y需滿意約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x－11y≥－22，,2x＋3y≥9，,2x≤11，,x∈N*，y∈N*，))則z＝10x＋10y的最大值是．90[該不等式組表示的平面區(qū)域為如圖所示的陰影部分．由于x，y∈N＋，計算區(qū)域內(nèi)與eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)，\f(9,2)))最近的點為(5,4)，故當(dāng)x＝5，y＝4時，z取得最大值為90．]與最大值有關(guān)的實際問題【例1】某公司支配同時出售電子琴和洗衣機，由于兩種產(chǎn)品的市場需求量特別大，有多少就能銷售多少，因此該公司要依據(jù)實際狀況(如資金、勞動力等)確定產(chǎn)品的月供應(yīng)量，以使得總利潤達到最大，已知對這兩種產(chǎn)品有干脆限制的因素是資金和勞動力，通過調(diào)查，得到關(guān)于兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表電于琴(架)洗衣機(臺)月供應(yīng)量成本(百元)3020300勞動力510110單位利潤(百元)68/試問：怎樣確定兩種貨的供應(yīng)量，才能使總利潤最大，最大利潤是多少？[解]設(shè)電子琴和洗衣機月供應(yīng)量分別為x架、y臺，總利潤為z百元，則依據(jù)題意，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,30x＋20y≤300，,5x＋10y≤110，))且z＝6x＋8y，作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖中所示的陰影部分．令z＝0，作直線l0：6x＋8y＝0，即3x＋4y＝0．當(dāng)移動直線l0平移至過圖中的A點時，z＝6x＋8y取得最大值．解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(30x＋20y＝300，,5x＋10y＝110，))得A(4,9)，代入z＝6x＋8y得zmax＝6×4＋8×9＝96．所以當(dāng)供應(yīng)量為電子琴4架、洗衣機9臺時，公司可獲得最大利潤，最大利潤是96百元．解答線性規(guī)劃應(yīng)用題的一般步驟1審題——細致閱讀，對關(guān)鍵部分進行“精讀”，精確理解題意，明確有哪些限制條件，起關(guān)鍵作用的變量有哪些.由于線性規(guī)劃應(yīng)用題中的變量比較多，為了理順題目中量與量之間的關(guān)系，有時可借助表格來理順.2轉(zhuǎn)化——設(shè)元.寫出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，從而將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上的線性規(guī)劃問題.3求解——解這個純數(shù)學(xué)的線性規(guī)劃問題.4作答——就應(yīng)用題提出的問題作出回答.eq\o([跟進訓(xùn)練])1．某養(yǎng)雞場有1萬只雞，用動物飼料和谷物飼料混合喂養(yǎng)．每天每只雞平均吃混合飼料0．5kg，其中動物飼料不能少于谷物飼料的eq\f(1,5)．動物飼料每千克0．9元，谷物飼料每千克0．28元，飼料公司每周僅保證供應(yīng)谷物飼料50000kg，問飼料怎樣混合才使成本最低．[解]設(shè)每周需用谷物飼料xkg，動物飼料ykg，每周總的飼料費用為z元，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥35000，,y≥\f(1,5)x，,0≤x≤50000，,y≥0，))而z＝0．28x＋0．9y．如圖所示，作出以上不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域，作一組平行直線0．28x＋0．9y＝z，其中經(jīng)過可行域內(nèi)的點且和原點最近的直線經(jīng)過直線x＋y＝35000和直線y＝eq\f(1,5)x的交點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(87500,3)，\f(17500,3)))，即x＝eq\f(87500,3)，y＝eq\f(17500,3)時，飼料費用最低．所以，谷物飼料和動物飼料應(yīng)按5∶1的比例混合，此時成本最低．求最小值的實際應(yīng)用【例2】某旅行社租用A、B兩種型號的客車支配900名客人旅行，A、B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，租金分別為1600元/輛和2400元/輛，旅行社要求租車總數(shù)不超過21輛，且B型車不多于A型車7輛，則租金最少為多少？[解]設(shè)需A型車x輛，B型車y輛，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－x≤7，,x＋y≤21，,36x＋60y≥900，,x，y∈N＋))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－x≤7，,x＋y≤21，,3x＋5y≥75，,x，y∈N＋))由目標(biāo)函數(shù)z＝1600x＋2400y，得y＝－eq\f(2,3)x＋eq\f(z,2400)，eq\f(z,2400)表示直線在y軸上的截距，要z最小，則直線在y軸上的截距最小，畫出可行域(如圖)，平移直線l：y＝－eq\f(2,3)x到l0過點A(5,12)時，zmin＝5×1600＋2400×12＝36800．故租金最少為36800元．解答線性規(guī)劃應(yīng)用題的技巧1在線性規(guī)劃問題的應(yīng)用中，經(jīng)常是題中的條件較多，因此要細致審題，并把信息用表格加以整理.2線性約束條件中有無等號要依據(jù)條件加以推斷.3結(jié)合實際問題，分析未知數(shù)x，y等是否有限制，如x，y為正整數(shù)、非負數(shù)等.eq\o([跟進訓(xùn)練])2．某人承攬一項業(yè)務(wù)，需做文字標(biāo)牌4個，繪畫標(biāo)牌5個．現(xiàn)有兩種規(guī)格的原料，甲種規(guī)格每張3m2，可做文字標(biāo)牌1個，繪畫標(biāo)牌2個；乙種規(guī)格每張2m2，可做文字標(biāo)牌2個，繪畫標(biāo)牌1個，求兩種規(guī)格的原料各用多少張，才能使得總用料面積最?。甗解]設(shè)須要甲種原料x張，乙種原料y張，則可做文字標(biāo)牌(x＋2y)個，繪畫標(biāo)牌(2x＋y)個，由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y≥5，,x＋2y≥4，,x≥0，,y≥0，))所用原料的總面積為z＝3x＋2y，作出可行域如圖．平移直線l0：3x＋2y＝0，經(jīng)過可行域內(nèi)的直線2x＋y＝5和直線x＋2y＝4的交點A(2,1)z最小，∴最優(yōu)解為x＝2，y＝1．∴運用甲種規(guī)格原料2張，乙種規(guī)格原料1張，可使總的用料面積最小．整數(shù)最優(yōu)解問題[探究問題]1．實行什么方法能比較簡潔的從已知條件中列出線性約束條件？[提示]通過列表的方法把問題中的已知條件和各種數(shù)據(jù)進行整理．2．怎樣求線性規(guī)劃中的最優(yōu)整數(shù)解問題？[提示]先求非整點最優(yōu)解及最優(yōu)值，再借助不定方程學(xué)問調(diào)整最優(yōu)值、最終篩選出最優(yōu)解．【例3】某礦山車隊有4輛載重量為10t的甲型卡車和7輛載重量為6t的乙型卡車，有9名駕駛員．此車隊每天至少要運360t礦石至冶煉廠．已知甲型卡車每輛每天可來回6次，乙型卡車每輛每天可來回8次，甲型卡車每輛每天的成本費為252元，乙型卡車每輛每天的成本費為160元．問每天派出甲型車與乙型車各多少輛，車隊所花成本費最低？思路探究：弄清題意，設(shè)出與運輸成本有關(guān)的各型車的輛數(shù)，找出它們的約束條件，列出目標(biāo)函數(shù)，用圖解法求其整數(shù)最優(yōu)解．[解]設(shè)每天派出甲型車x輛、乙型車y輛，車隊所花成本費為z元，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤9，,10×6x＋6×8y≥360，,x≤4，x∈N*，,y≤7，y∈N*，))目標(biāo)函數(shù)z＝252x＋160y，作出不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖．作出直線l0：252x＋160y＝0，把直線l0向右上方平移，使其經(jīng)過可行域上的整點，且使在y軸上的截距最小，視察圖形，可見當(dāng)直線252x＋160y＝t經(jīng)過點(2,5)時，滿意上述要求．此時，z＝252x＋160y取得最小值，即x＝2，y＝5時，zmin＝252×2＋160×5＝1304(元)．即每天派出甲型車2輛，乙型車5輛，車隊所用成本費最低．1．(變結(jié)論)例3的條件不變，問每天派出甲型車與乙型車各多少輛時，車隊所花費成本最高？[解]由例3的解答，作出直線l0：252x＋160y＝0，把直線l0向上方平移，使其經(jīng)過可行域上的整點，且在y軸上的截距最大，視察圖形，可見當(dāng)直線252x＋160y＝t經(jīng)過點(4,5)時，滿意上述要求，此時，z＝252x＋160y取得最大值，即x＝4，y＝5時，zmax＝252×4＋160×5＝1808(元)，即每天派出甲型車4輛，乙型車5輛，車隊所用成本費最高．2．(變條件)把例3的條件換為下表所示：數(shù)量(單位：輛)載重量(單位：t)每天可來回次數(shù)每輛每天的成本費(單位：元)甲型卡車864320乙型卡車4103504現(xiàn)有10名駕駛員，車隊每天至少要運輸180t礦石至冶煉廠．試確定每天派出甲型卡車與乙型卡車的數(shù)量，使車隊所花費的成本費最低．[解]設(shè)礦山車隊每天派出甲型卡車x輛，乙型卡車y輛，每天花費的成本是z元，則z＝320x＋504y，其中x，y滿意約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤8，,0≤y≤4，,x＋y≤10，,24x＋30y≥180，,x，y∈N，))作可行域如圖(陰影內(nèi)的整點)所示．作直線l0：320x＋504y＝0．在可行域內(nèi)的整點中，直線經(jīng)過(8,0)時，zmin＝8×320＝2560(元)．所以每天派出甲型卡車8輛就能完成任務(wù)，且花費成本最低．找尋整點最優(yōu)解的三種方法1平移找解法：先打網(wǎng)絡(luò)，描整點，平移直線l，最先經(jīng)過或最終經(jīng)過的整點便是最優(yōu)整點解，這種方法應(yīng)充分利用非整點最優(yōu)解的信息，結(jié)合精確的作圖才行，當(dāng)可行域是有限區(qū)域且整點個數(shù)又較少時，可逐個將整點坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求值，經(jīng)比較求最優(yōu)解.2小范圍搜尋法：即在求出的非整點最優(yōu)解旁邊的整點都求出來，代入目標(biāo)函數(shù)，干脆求出目標(biāo)函數(shù)的最大小值.3調(diào)整優(yōu)值法：先求非整點最優(yōu)解及最優(yōu)值，再調(diào)整最優(yōu)值，最終篩選出整點最優(yōu)解.1．畫圖對解決線性規(guī)劃問題至關(guān)重要，關(guān)鍵步驟基本上是在圖上完成的，所以作圖應(yīng)盡可能精確，圖中操作盡可能規(guī)范．2．解答線性規(guī)劃實際應(yīng)用題的步驟(1)模型建立：正確理解題意，將一般文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，進而建立數(shù)學(xué)模型，這須要在學(xué)習(xí)有關(guān)例題解答時，細致體會范例給出的模型建立方法．(2)模型求解：畫出可行域，并結(jié)合所建立的目標(biāo)函數(shù)的特點，選定可行域中的特別點作為最優(yōu)解．(3)模型應(yīng)用：將求解出來的結(jié)論反饋到詳細的實例中，設(shè)計出最佳的方案．1．推斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)線性規(guī)劃實際問題中的可行域可能是有界的，也可能是無界的． ()(2)線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)整數(shù)解可能不唯一． ()(3)線性目標(biāo)函數(shù)的整點最優(yōu)解是離非整點最優(yōu)解最近的整點． ()[答案](1)√(2)√(3)×[提示](1)(2)正確，(3)錯誤，二者不肯定距離最近，要依據(jù)詳細的題目條件確定．2．有5輛6t的汽車，4輛4t的汽車，要運輸最多的貨物，完成這項運輸任務(wù)的線性目標(biāo)函數(shù)為()A．z＝6x＋4y B．z＝5x＋4yC．z＝x＋y D．z＝4x＋5yA[由題意可知z＝6x＋4y為目標(biāo)函數(shù)．]3．某學(xué)校用800元購買A、B兩種教學(xué)用品，A種用品每件100元，B種用品每件160元，兩種用品至少各買一件，要使剩下的錢最少，A、B兩種用