2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第二章等式與不等式2.2不等式2.2.1第2課時(shí)不等式的證明學(xué)案含解析新人教B版必修第一冊

PAGE第2課時(shí)不等式的證明內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.駕馭綜合法、分析法證明問題的過程和推理特點(diǎn)，能用綜合法、分析法證明簡潔問題．邏輯推理數(shù)學(xué)抽象2.能正確區(qū)分綜合法和分析法的推理特點(diǎn)，敏捷選用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄗC明問題．3.了解反證法的定義，駕馭反證法的推理特點(diǎn)．駕馭反證法證明問題的一般步驟，能用反證法證明一些簡潔的命題.授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第27頁[教材提煉]學(xué)問點(diǎn)一綜合法綜合法是從已知條件動(dòng)身，綜合利用各種結(jié)果，經(jīng)過逐步推導(dǎo)最終得到結(jié)論的方法．學(xué)問點(diǎn)二反證法反證法是首先假設(shè)結(jié)論的否定成立，然后由此進(jìn)行推理得到?jīng)_突，最終得出假設(shè)不成立．學(xué)問點(diǎn)三分析法分析法的實(shí)質(zhì)就是不斷找尋結(jié)論成立的充分條件．[自主檢測]1．分析法證明問題是從所證命題的結(jié)論動(dòng)身，尋求使這個(gè)結(jié)論成立的()A．充分條件 B．必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：分析法證明是從所證命題的結(jié)論動(dòng)身，尋求使結(jié)論成立的充分條件．答案：A2．實(shí)數(shù)a，b，c不全為0等價(jià)于()A．a(chǎn)，b，c均不為0B．a(chǎn)，b，c中至多有一個(gè)為0C．a(chǎn)，b，c中至少有一個(gè)為0D．a(chǎn)，b，c中至少有一個(gè)不為0解析：不全為0即至少有一個(gè)不為0，故選D.答案：D3．在不等式“a2＋b2≥2ab”的證明中：因?yàn)閍2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0所以a2＋b2≥2ab，該證明運(yùn)用的方法是________．解析：由因?qū)Ч字撟C法為綜合法．答案：綜合法授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第27頁探究一綜合法[例1](1)已知a>b，e>f，c>0.求證：f－ac<e－bc；(2)若bc－ad≥0，bd>0.求證：eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d).[證明](1)∵a>b，c>0，∴ac>bc，∴－ac<－bc.∵f<e，∴f－ac<e－bc.(2)∵bc－ad≥0，∴ad≤bc，∵bd>0，∴eq\f(a,b)≤eq\f(c,d)，∴eq\f(a,b)＋1≤eq\f(c,d)＋1，∴eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d).綜合法處理問題的三個(gè)步驟已知x＋y＋z＝m.求證x2＋y2＋z2≥eq\f(m2,3).證明：∵x＋y＋z＝m，∴(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2(xy＋yz＋zx)＝m2.又∵x2＋y2≥2xy，y2＋z2≥2yz，z2＋x2≥2xz，∴2(x2＋y2＋z2)≥2(xy＋yz＋zx)，即x2＋y2＋z2≥xy＋yz＋zx，∴m2＝x2＋y2＋z2＋2(xy＋yz＋zx)≤3(x2＋y2＋z2)．∴x2＋y2＋z2≥eq\f(m2,3).探究二反證法[例2]已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求證：a，b，c，d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)．[證明]假設(shè)a，b，c，d都是非負(fù)數(shù)，因?yàn)閍＋b＝c＋d＝1，所以(a＋b)(c＋d)＝1.又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，所以ac＋bd≤1，這與已知ac＋bd>1沖突，所以a，b，c，d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)．反證法證明問題的一般步驟若x>0，y>0，且x＋y>2，求證eq\f(1＋y,x)與eq\f(1＋x,y)至少有一個(gè)小于2.證明：假設(shè)eq\f(1＋y,x)與eq\f(1＋x,y)都不小于2，即eq\f(1＋y,x)≥2，eq\f(1＋x,y)≥2.∵x>0，y>0，∴1＋y≥2x,1＋x≥2y，兩式相加得2＋(x＋y)≥2(x＋y)．∴x＋y≤2，這與已知中x＋y>2沖突．∴假設(shè)不成立，原命題成立．故eq\f(1＋y,x)與eq\f(1＋x,y)至少有一個(gè)小于2.探究三分析法[例3]已知a>b>0，求證eq\f(a－b2,8a)<eq\f(a＋b,2)－eq\r(ab)<eq\f(a－b2,8b).[證明]要證eq\f(a－b2,8a)<eq\f(a＋b,2)－eq\r(ab)<eq\f(a－b2,8b)，只需證eq\f(a－b2,8a)<eq\f(\r(a)－\r(b)2,2)<eq\f(a－b2,8b).∵a>b>0，∴同時(shí)除以eq\f(\r(a)－\r(b)2,2)，得eq\f(\r(a)＋\r(b)2,4a)<1<eq\f(\r(a)＋\r(b)2,4b)，同時(shí)開方，得eq\f(\r(a)＋\r(b),2\r(a))<1<eq\f(\r(a)＋\r(b),2\r(b))，只需證eq\r(a)＋eq\r(b)<2eq\r(a)，且eq\r(a)＋eq\r(b)>2eq\r(b)，即證eq\r(b)<eq\r(a)，即證b<a.∵a>b>0，∴原不等式成立，即eq\f(a－b2,8a)<eq\f(a＋b,2)－eq\r(ab)<eq\f(a－b2,8b).1.分析法證明不等式的思維是從要證的不等式動(dòng)身，逐步尋求使它成立的充分條件，最終得到的充分條件為已知(或已證)的不等式．2．分析法證明數(shù)學(xué)命題的過程是逆向思維，即結(jié)論?…?…?…已知，因此，在敘述過程中，“要證”“只需證”“即證”等詞語必不行少，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.已知a>0，b>0，求證eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)＋eq\r(b).證明：要證eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)＋eq\r(b)，只需證eq\f(\r(a)3＋\r(b)3,\r(ab))≥eq\r(a)＋eq\r(b)，只需證(eq\r(a))3＋(eq\r(b))3≥aeq\r(b)＋beq\r(a)，只需證(eq\r(a))3＋(eq\r(b))3－aeq\r(b)－beq\r(a)≥0，即