（人教A版）2021年新高一數學暑假講義-第十一講 充分必要條件

第十一講：充分必要條件

彝【學習目標】

1.理解充要條件的意義.

2.會判斷一些簡單的充要條件問題.

3.能對充要條件進行證明.

【基礎知識】

知識點：充要條件

1.如果“若p,則和它的逆命題“若q,則p"均是真命題，即既有回，又有自就記作〃臺

此時，P既是q的充分條件，也是g的必要條件，我們說p是q的充分必要條件，簡稱為充要條件.

2.如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件.概括地說，如果pOq,那么“與?；槌湟獥l件.

段【考點剖析】

考點一：充要條件的判斷

例1.“%>1”是“0<一<1”的（

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【詳解】

當x>l時，WO<-<1；當0<!<1時，得x>l,所以“x>l”是"的充要條件,

XXX

故選：C.

變式訓練1：命題p:a>h,命題q:a+c>8+c（其中a,仇ceR）,那么〃是4的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【詳解】

若a>b,則“+c>6+c,所以命題?？梢缘贸雒}。成立，

若a+c>Z?+c則a+c—c>b+c—c,即所以所以命題4可以得出命題P成立,

所以P是4的充要條件，

故選：C

變式訓練2：設命題甲為：一2<x<6,命題乙為：|%—2|<4,那么甲是乙的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】C

【詳解】

由|%-2|<4可得-4<x-2<4,

解得—2v%v6,

又命題甲為：一2vxv6,

所以甲是乙的充要條件，

故選：C.

變式訓練3：“m>，”是“一元二次方程V+X+機=。無實數根”的（）

4

A.充分不必要條件B.充要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【詳解】

若一元二次方程*2+x+m=。無實數根，則八=1一4帆<0,解得加>,；

4

反之若根>L，則A=l-4〃zv0,則一元二次方程Y+%+m=o無實數根.

4

所以“加〉!”是“一元二次方程￡+%+加=0無實數根”的充要條件.

故選：B

考點二：充要條件的證明

例2.已知AA3C的三條邊為上c,求證：AABC是等邊三角形的充要條件是

a2+h2+c2=ah+ac+bc-

【答案】證明見解析

【詳解】

證明(充分性)

,:a=b=c,：.(〃-姨+伍-0)2+(〃-o)2=0

a1+b2+c2=ab+ac+be

(必要性)

Va2+b2+c2=ab+ac+be，2a2+2/?2+2c2=2ah+2ac+2hc

/.(a?—2QZ?+〃2)+(C2—2仍+〃2)+(Q2-2ac+c2>j=0

即(a-/?)?+(Z?—op+(a-c)2=0,.Ia=Z?=c,得證.

變式訓練1：設物/HO,求證：3=￡的充要條件是〃=匕c.

ba

【答案】證明見解析

【詳解】

充分性：若加/=歷，?.”dwO,?,?笑二￡,即，=三；

bababa

必要性：若巴=4,bdwG,：?g?bd=jbd,即加=歷.

bdba

所以二二三的充要條件是ad=bc.

ba

變式訓練2：求證：四邊形A3CZ）是平行四邊形的充要條件是四邊形43CO的對角線AC與8D互相平分.

D

【答案】證明見解析

【詳解】

設對角線AC與8D的交點為。.充分性：由對角線4。與班)互相平分得。4=。。，。5=。。，又

ZAOB=ZCOD,所以△AQBMaCOD,所以AB=CD,ZOAB=ZOCD,AB//CD，所以四邊形

AB8是平行四邊形；必要性：由四邊形AB8是平行四邊形得4B=CD，NOAB=NOCD,

/OBA=NODC,所以AAOB三ACOD所以。4=OCOB=O￡),四邊形ABCO的對角線AC與BD

互相平分；

所以四邊形A6CD是平行四邊形的充要條件是四邊形ABC。的對角線AC與8?；ハ嗥椒?

變式訓練3：已知一元二次方程ax?+bx+c-0(a手0,beR,cGR).

(1)若玉=1,工2=一1是方程ax2+Z?x+c=0(aw0,/?eR,ceR)的兩個根，求。的值;

(2)求證：“尤=0是方程公2+bx+c=0(aH0,beR,ceR)的一個根”的充要條件是“c=0”.

【答案】(1)0：(2)證明見解析.

【詳解】

△=/-44c>0

(1)由題得，b.所以匕=0；

14-(―1)=0=---

(2)先證明充分性：

當。=0時，ax2+Z?x=O,/.x=0或x=-2,

a

所以x=0是方程ax?+/?X+C=0(QwO,Z?GR.CER)的一個根,

所以充分性成立；

再證明必要性：

當x=0是方程ax?+bx+c=o(qR,ceR)的一個根時,

axO2+Z>xO+c=O,.\c=0.

所以必要性成立.

所以“x=0是方程o?+灰+c=O（awO力的個根”的充要條件是“c=0”.

考點三：充要條件的應用（一）

例3.方程?2+2x+i=o的非空解集中有且最多有一個負實數元素的充要條件為（）

A.{a|a<0或a=l}B.{a|a<0或a=l}

C.{a|aNl或a=0}D.{a|a>l或a=0}

【答案】A

【詳解】

若方程OC2+2X+1=0的非空解集中有且最多有一個負實數元素，

當。=0時，x=--,符合題意；

2

當時，由方程℃2+2x+l=0有實根，得到八=4—4。20,解得。41；

若。=1,則方程》2+2%+1=（）有且僅有一個實根兀=一1，符合題意；

若且awO,方程有兩個不等實根，設這兩個實根分別為七，%2,若方程的解集中有且最多有一個負

實數元素，則尤/2=,<0，即"0；

a

當。<0或。=1時，關于龍的方程以2+2工+1=0的解集中有且最多有?個負實數元素；

綜上方程"2+2》+1=。的非空解集中有且最多有一個負實數元素的充要條件為{a|aVO或。=1}.

故選：A.

變式訓練1：三個數a,b,。不全為零的充要條件是（）

A.a,b,。都不是零B.a,b,c中至多一個是零

C.a,b,c中只有一個為零D.a,b,c中至少一個不是零

【答案】I）

【詳解】

主要考查充要條件的概念及其判定方法.三個數a,b,c不全為零的充要條件是a,b,c中至少一個不是

零.選D.

變式訓練2：二次函數丁=以2+灰+或。工0）的值恒為正值的充要條件是（）

A.b2-4ac>0B.b1-4czc..O

C.a>O,b2-4ac<00.a,,Q,b2-4tzc<0

【答案】C

【詳解】

解：二次函數丁=?%2+/?x+c（a；e0）的值恒為正值，則函數丁=℃2+法+03工0）的圖象開口向上，且與

》軸沒有交點，即。>0,/—4ac<0.

故選：C.

變式訓練3：函數/（幻=/+/加+1的圖象關于直線》=1對稱的充要條件是（）

A.m——2B.m=lC.m=—\D.m=0

【答案】A

【詳解】

當m=-2時，f（x）=x2-2x+l,其圖象關于直線x=l對稱，反之，若函數f（x）=x2+mx+l的圖象關于直線x=l對

稱，則---=1,即機=—2.

2

所以f（x）=x2+mx+l的圖象關于直線x=l對稱的充要條件是m=-2.

故選：A.

考點三：充要條件的應用（二）

例3.已知一8x+7<0,q:2m<x<m+3.

（I）是否存在〃2,使得P是4的充要條件？若存在，求〃2的值，若不存在，請說明理由:

（II）從下面三個條件中任選一個，求相的取值范圍.

①P是q的必要條件；②4是P的充分條件；

【答案】（I）不存在，理由見解析；（ID{m\m＞-}

【詳解】

解：（I）由X2—8X+7K0，

解得：14尤47,

若P是q的充要條件，

2m=1

則〈cr,

〃2+3=7

即{〃'—5,此時方程組無解，

m=4

即不存在團，使p是q的充要條件；

（II）設命題P對應的集合為A=[1,7].命題9對應的集合為8=[2〃?,“+3],

若選①，P是q的必要條件，

則8=A,

當3=0時，2m＞機+3,

即根＞3成立；

2m＞1

當3W0時，根＜3且〈一r，

m+3＜7

解得：一WmW3,

2

綜上所述：

若選擇②，q是P的充分條件，

則8qA,

當8=0時，2機＞m+3，

即，篦＞3成立：

2m>1

當8W0時，加W3且,「「

m+3<7

解得：—<m<3,

2

綜上所述：{m|加2；}；

變式訓練1：已知命題〃：A={x|2a_l<x<3a+l},命題q:3={x|-1<x<4}.

(1)若〃是4的充分條件，求實數。的取值范圍.

(2)是否存在實數〃，使得。是夕的充要條件？若存在，求出。的值；若不存在，請說明理由.

【答案】(1){a|a<-2或。WaVl}；(2)不存在，理由見解析.

【詳解】

(1)集合A={x|2a-l<x<3a-l},集合8={x|-l<x<4}.

因為P是。的充分條件，所以AgB,

集合A可以分為4=0或Aw0兩種情況來討論：

當A=0時，滿足題意，此時2a-解得：a<-2；

當A*0時，要使A±8成立，

2a-\>-\

需滿足<3a+144=>0<a<l,

2。一1<3ci+1

綜上所得，實數。的取值范圍{々|々<一2或OKaKl}.

(2)假設存在實數。，使得〃是9的充要條件，那么A=8,

2tz—1=-1。二0

貝I」必有<,解得＜?綜合得。無解.

3。+1=4a=1

故不存在實數〃，使得A=8，

即不存在實數a，使得A是3的充要條件.

【當堂小結】

1.知識清單：

(1)充要條件^念的理解.

(2)充要條件的證明.

(3)充要條件的應用.

2.方法歸納：等價轉化.

3.常見誤區(qū)：條件和結論辨別不清.

回

工1【過關檢測】

1、uAC\B=Af,是“AuB”的()

A.必要不充分條件B.既不充分又不必要條件

C.充分不必要條件D.充要條件

【答案】D

【詳解】

A8是兩個集合，則“AD3=A”可得“A=8”，

“A=8”，可得"=.

所以A,B是兩個集合，則“人口3=4”是=的充要條件.

故選：D.

2、設U為全集，則“408=0”是“4三?8”的().

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【詳解】

因為。為全集，若408=0，則人口48：若則=

所以“408=0”是“A工的充要條件.

故選：C.

3、設ae(0,+8),be(0,+。)，則“a<?！笔且?”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【詳解】

若"a<b”,則根據不等式性質，兩邊同時減去1,不等式符號不變，所以，

%<1”成立,則“。一1<8一1”成立，充分性成立;

“。一1<6-1”成立，根據不等式性質，兩邊同時加上1,不等式符號不變，所以,

'。一1<匕一1”成立,則“a<?！背闪?，必要性成立;

所以，“a<b”是“。一1<萬一1”的充要條件

故選C

4、已知，：q：X2-4X-5<0,則，是夕的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.既不充分也不必要條件D.充要條件

【答案】D

【詳解】

P：|x-2|<3=>-l<x<5),

(7：X2-4x-5<0=>-l<x<5.

所以。=q,且q=>〃，

所以p是q的充要條件.

故選：D.

2

5、“a(a-2)<0”是“一>1”成立的()

a

A.充要條件B.充分非必要條件

C.必要非充分條件D.既非充分也非必要條件

【答案】A

【詳解】

?.?“不等式。（。-2）<0=>0<。<2,不等式->1=——->0=>0<（7<2,

aa

.??兩不等式解集相等，

2

二“。（。一2）<0”是“一>1”成立的充要條件，

a

故選A.

6、設r是q的充分條件，s是4的充要條件，f是S的必要條件，/是r的充分條件，那么r是，的（）

條件.

A.既不充分也不必要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.充分必要條件

【答案】D

【詳解】

因為「是0的充分條件，s是q的充要條件，

所以「是s的充分條件，即廠=s成立.

又因為/是S的必要條件，所以r是/的充分條件，即rnr,

因為t是r的充分條件，t=>r,所以/or,即/?是，的充要條件.

故選：D

7、“。=0”是“二次函數丫=加+"+?力0）的圖象關于y軸對稱”的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】

匕=0=二次函數y="2+必+。=處2+。的圖象關于丫軸對稱，

b

二次函數丁=ar9+/?x+c的圖象關于y軸對稱,對稱軸為犬=----=0=6=0

2a

所有人=0。二次函數y=o?+云+c的圖象關于y軸對稱，

二"/?=0”是“二次函數,=以2+—+C的圖象關于y軸對稱”的充要條件，

故選:A.

8、有下述說法：①。>/，>0是/>〃的充要條件；②。>/,>0是!<?的充要條件；③〃>〃>()是

ab

的充要條件，則其中正確的說法有()

A.0個B.1個C.2個D.3個

【答案】A

【詳解】

Q)a>b>0^>a2>b2<a>b>O<^=a2>b2>

如a=-5,b=l,故①錯誤.

②因為J_<_L=_L_J_<O=：LZ￡<O,

ahahah

所以a>b>OnL<‘，a>b>0^-<-,故②錯誤.

abab

③因為a>b>0na3,a>b>Q^=a3>b3,

如a=5,b=-l,故③錯誤.

故選：A

9、已知a、beR,則“a+8=0”是“/+a2b—q2—〃萬+^+匕二。”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【詳解】

a+crb-a2一而+a+b=a?(a+b)-a(a+b)+(a+h)=(a+b)(a2-a+1),

I2J4

所以，o'+crb-cr-ab+a+b-O<^a+b-O-

因此，“a+h=O"是''43+/8—/一出?+a+z?=。，，的充要條件.

故選：C.

10、已知"wo,則"a—8=1”是“々3一人3一?！ㄒ?一加二()，，的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【詳解】

由于/一—ab—cr—b~—(Q—1)(Q~+a/?+Z?2),

,:a—hci—h—1=0,

a，—b，—cih—a2—力=(a—h—+ab+)=0,

反之：當a3-b^—ah—cr—b2=0時，

*.*/—護—cih—a?—b~=1)(Q-+ab+b],

.\{a-b—\)[cr+aZ?+〃)=O,

(1Y3

*.*cihw0,Q~+cib+Z?2=|ciH—b-\—I)2>0,

I2J4

.\6Z-/?-l=0,即。一。=1

綜上所述：“Q—b=l”是“/一〃3——片—廿二?！钡某湟獥l件，

故選：C.

11、！<1成立的充要條件是()

a

A.a>\B.a<0C.awOD.?！?或avO

【答案】D

【詳解】

解：因為L<1,.?.,一1<0,.?.又<0,即￡z1>0,解得a>l或“<0,即ae(-a),0)U(l,+8)，

aaaa

故,<1成立的充要條件是“。>1或a<0”.

a

故選：。

12、若a,b都是正整數，則〃+成立的充要條件是()

A.a=b=\B.。，〃至少有一個為1

C.a=b=2D.且/?>1

【答案】B

【解析】

a+b>"=L+_L>i,當。=23=1時，不等式成立,故排除A,C,Z>三個選項,所以選5.

ab

13、求證：一次函數>=丘+。伏￥())的圖象經過坐標原點的充要條件是8=0.

【答案】證明見解析

【詳解】

證明①充分性：如果6=0,那么丫=匕.當％=0時，y=0,

所以一次函數y=近+僅%。0)的圖象經過坐標原點.

②必要性：因為一次函數y=丘+仇左。0)的圖象經過坐標原點，

所以當x=0時，y=0,即AxO+b=O,所以8=0.

綜上，一次函數y=履+h0)的圖象經過坐標原點的充要條件是8=0.

14、已知ab^O,求證：a+h=\的充要條件是a3+b3+ab-a2-b2=0.注：

/+段~(a+b)(a2+h2-ab).

【答案】證明見解析.

【詳解】

證明：先證必要性：

a+b=\,h=\—a

+kf+ctb—ci~-b~=tz',+(l—+a(l—a)-—

—a?+]一3a+3tz--/+a—cr—ci~—1+2a—ci~—0

再證充分性：

?；o'+hs+ab-(r-h2=0

(Q+Z?)(Q2一"+/)_(/一〃力+人2)=o

即：—Q/?+/?)(〃+/?-1)=0

(/?Y3o

'/ab^O.a92-ah+h~=a——十—kr>0,

I2)4

?,?。+b—1=0,即a+Z?=1.

綜上所述：。+〃=1的充要條件是+)3+ab-〃2一。2=0

15、已知aZ?wO,求證：/-2a%+2a"-6"=0成立的充要條件是。一力=0.

【答案】證明見解析

【詳解】

證明：（1）充分性（條件一結論）

因為〃一Z?=0,而。3—2a~b+2ab~—b，—（a—b）（a~-ab+b~）,

所以-2a2b+2ab2-b3=（a-人）（片一"+力2）=o成立；

（2）必要性（結論一條件）

3h2

因為d-2a2b+2加一及=（。一匕）（。2一〃6+力2）=o,而cC—ah+b”+——，