2021人教A版數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)第四章數(shù)列（基礎(chǔ)）單元測(cè)試（含解析）

第四章數(shù)列單元檢測(cè)（基礎(chǔ)）

注：本檢測(cè)滿分150分。其中8道單選題，4道多選題，4道填空題，6道解答題一、單選題

1.已知數(shù)列J5，2，20，4,--則160是這個(gè)數(shù)列的（）

A.第8項(xiàng)B.第9項(xiàng)C.第10項(xiàng)D.第11項(xiàng)

2.記等差數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和為s“，若%=2,5a4=8。6,則$20=（）

A.180B.-18()C.162D.-162

在數(shù)列｛《,｝中，4=g,1

>20=（）

3.。“=1--—(/?>2,neN+),貝ij。

a3-1

A.B.

2

C.D.2

4.等比數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為若?！?gt;0,q>l,/+%=20,〃2。6=64,則S5=()

A.48B.36c.42D.31

r、r,、cS”7n+2%+出0

5.兩等差數(shù)列｛%｝和也｝，前"項(xiàng)和分別為S“，T?,且^=-則M短的值為（）

〃+）"7+%

149791651

A.B.—C.D.—

~2414T10

6.等比數(shù)列｛4,｝中（）

A.若4<a2,則見<。5B.若4<。2，則。3<。4

a

c.若§3>邑，則4V2D.若S3>邑，則q>a2

7.函數(shù)/（幻=百a112兀-852工-百的正數(shù)零點(diǎn)從小到大構(gòu)成數(shù)列｛%｝,則%=（）

13%57―17萬7萬

A.B.-----C.------D.—

4126

7t2萬2018萬

8.已知函數(shù)/(尤)=cosx+ln-^L,若/++/

71-x201920192019

1009（a+0）ln;r（a>0,〃>0）,則的最小值為（）

A.2B.4C.6D.8

二、多選題

9.無窮數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和S“=a/+加+c,其中。，b,c為實(shí)數(shù)，則（）

A.｛4｝可能為等差數(shù)列

B.｛4｝可能為等比數(shù)列

C.｛4｝中一定存在連續(xù)三項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列

D.｛4｝中一定存在連續(xù)三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列

10.數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S,,,若q=1,a,,.=2S“（〃eN*）,則有（）

A.S“=3"TB.｛S.｝為等比數(shù)列

,fl,〃=1,

C.a=2-3〃一D.a2

n〃12?3〃-2,n>2

1L設(shè)｛6,｝是等差數(shù)列，S”是其前〃項(xiàng)的和，且Ss<S6,S6=S7>S8,則下列結(jié)論正確的是（）

A.d>0B.。7=0

c.S9>S5D.§6與S7均為S“的最大值

12.將/個(gè)數(shù)排成〃行〃列的一個(gè)數(shù)陣，如圖：該數(shù)陣第一列的"個(gè)數(shù)從上到下構(gòu)成以根為公差的

等差數(shù)列，每一行的"個(gè)數(shù)從左到右構(gòu)成以根為公比的等比數(shù)列（其中相>0）.已知au=2,03=

“61+1，記這層個(gè)數(shù)的和為S.下列結(jié)論正確的有（）

由《2卬3……a\n

aa

a2l%23.........2n

%a32。33..........a3n

an\an2/3……ann

A.m—3B.=17x37

c.%=（3，一1）X3HD.S=；”（3〃+l）（3"—l）

2

三、填空題

13.已知數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式是=2〃—46,那么S“達(dá)到最小值時(shí)”為.

14.我國古代，9是數(shù)字之極，代表尊貴之意，所以中國古代皇家建筑中包含許多與9相關(guān)的設(shè)計(jì).例

如，北京天壇圓丘的底面由扇環(huán)形的石板鋪成(如圖)，最高一層是一塊天心石，圍繞它的第一圈有

9塊石板，從第二圈開始，每一圈比前一圈多9塊，共有9圈，則前9圈的石板總數(shù)是.

15.在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的積，形成新的數(shù)列，這樣的操作叫做該數(shù)列的一次“擴(kuò)展

將數(shù)列1,4進(jìn)行“擴(kuò)展”，第一次得到數(shù)列1,4,4；第二次得到數(shù)列1,4,4,16,4；……；第〃

次得到數(shù)列1,士，*2，…，為，4,并記a”=log2(l"|-x,-4),其中f=2"-l，nsN*.

則｛an｝的通項(xiàng)a?=.

16.如圖，互不相同的點(diǎn)A，4，4，和4，與，，紇，分別在角。的兩條邊上，所有4紇相

互平行，且所有梯形as紇,AM的面積均相等.設(shè)。4=4.若%=1,%=2,則數(shù)列｛??｝的通項(xiàng)

公式是.

四、解答題

17.在①巴"=一5，②?！?|-?！?一'，③。“+1=?！?〃一8這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面

an26

的問題中，若問題中的5,存在最大值，則求出最大值；若問題中的5“不存在最大值，請(qǐng)說明理由.

問題：設(shè)s“是數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，且4=4,,求｛%｝的通項(xiàng)公式，并判斷S,,是否

存在最大值.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

18.數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和S,,=100〃—〃2+3(〃eN*).

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)bn=\a,\,求數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和T?.

4

n+l

19.已知數(shù)列｛4｝滿足q=2,an+i=2an+2.

（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；

a111

（2）設(shè)包=力，證明：T~r+T~r+'"+T~i—<

2"她2b也3姐用

20.設(shè)｛q｝是公比大于1的等比數(shù)列，4+4+%=14,且4+1是4,的等差中項(xiàng)?

（1）求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式;

（2）若瓦=a“l(fā)og2（g），求數(shù)列｛2｝的前“項(xiàng)和

31

2

21.已知數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和為S“2--2-

(1)求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式；

(2)數(shù)列2=[lga.],[可表示不超過X的最大整數(shù)，求也｝的前1000項(xiàng)和幾00?

6

22.已知｛4｝為等差數(shù)列，也｝為等比數(shù)列，q=4=1,%=5（%—%），仇=4（。4一々）?

（I）求｛4｝和也｝的通項(xiàng)公式;

(II)記｛4｝的前n項(xiàng)和為sn,求證：SnSn+2<S,\(〃eN*)；

（初一2泡,〃為奇數(shù)，

（III）對(duì)任意的正整數(shù)〃，設(shè)44+2求數(shù)列｛%｝的前2”項(xiàng)和.

色，〃為偶數(shù).

第四章數(shù)列單元檢測(cè)A解析版

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

注：本檢測(cè)滿分150分。其中8道單選題，4道多選題，4道填空題，6道解答題。

一、單選題

1.已知數(shù)列、反，2，2戊，4,“.，則16正是這個(gè)數(shù)列的（）

A.第8項(xiàng)B.第9項(xiàng)C.第10項(xiàng)D.第11項(xiàng)

【答案】B

【解析】

【分析】

將數(shù)列中的每一項(xiàng)都寫成（0）",即可判斷16&是第幾項(xiàng).

【詳解】

可將數(shù)列改寫為3，（、歷],（應(yīng)產(chǎn),（偽4,…,

由此可歸納該數(shù)列的通項(xiàng)公式為q,=（、￡）",

又16&=（&）力則其為該數(shù)列的第9項(xiàng).

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了由數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出其通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.

2.記等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，若%=2,為一%4=8。6,則$20=（）

A.180B.-180C.162D.-162

【答案】B

【解析】

【分析】

先利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出等這數(shù)列的首項(xiàng)和公差，再根據(jù)前〃項(xiàng)和公式即可求出s20.

【詳解】

=2,—2。4=8。6，

+4d=2

q+d—2q—6d=8q+40d

4+4d=2

解得《JC。

4+d—2q-6d=8&]+40d

8

d=-2,q=10,

\%)=1。+19?(2)=-28,

(a,+―)?20

?2。=一＞=-180.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)和前八項(xiàng)和公式，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

,、1,1

3.在數(shù)列｛&“｝中，＜?(=-,an-1----("22,?eN),則。2020=()

2an-\+

1

A.—B.1

2

C.-1D.2

【答案】A

【解析】

【分析】

通過遞推式求出數(shù)列前幾項(xiàng)可得數(shù)列為周期數(shù)列，利用數(shù)列的周期性可得答案.

【詳解】

a,=1——=1—2=-1,%=1——=1+1=2,%=1——=1---=-,

4a2?322

可得數(shù)列｛4｝是以3為周期的周期數(shù)列，

.__L

-4()20—%x673+l=4=/?

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列的周期性，關(guān)鍵是通過遞推式求出前幾項(xiàng)觀察出周期，是基礎(chǔ)題.

4.等比數(shù)列｛%｝的前“項(xiàng)和為S,,若a“〉0,q＞\,%+%=20,a2a6=m，則怎=()

A.48B.36C.42D.31

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)44=64,利用等比數(shù)列的性質(zhì)得到%%=64,結(jié)合％+%=20,利用根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造

二次方程求解得到4，%的值，進(jìn)而得到等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，然后利用求和公式計(jì)算即得所求.

【詳解】

64

由于在等比數(shù)列｛4｝中，由a2a6=64可得：03a$=a2a6=，

又因?yàn)?+的=20,

所以有:%，的是方程一一20%+64=0的二實(shí)根，乂4>0a>1,所以《<仁，

故解得:%=4,%=16,從而公比4==2,q=冬=1,

V%q-

25-1

那么S5----=31,

2-1

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的性質(zhì)，等比數(shù)列的求和，屬中檔題.

s7〃+2a,+a,n

.兩等差數(shù)列｛4｝和｛a｝,前〃項(xiàng)和分別為S“，T“，且干=k貝號(hào)的值為（）

149791651

卜.----B.—c.—D.—

2414510

【答案】A

【解析】

【分析】

在｛4｝為等差數(shù)列中，當(dāng)"+"=。+式相，〃，P,“€乂）時(shí)，ani+an=ap+aq.所以結(jié)合此性

質(zhì)可得：%:+九二寸的，再根據(jù)題意得到答案?

【詳解】

解：在｛?！埃秊榈炔顢?shù)列中，當(dāng)“+〃=。+4（機(jī)，n,p,qeN+）時(shí)，+a?=ap+ai/.

z.+a21x(?,+a2,)x

所以詈M=----------多號(hào)

為十九21x(^+b2l)x-0

S7〃+2

又因?yàn)辄Sn=----

T?〃+3

0,+。%)149

所以7"［六=后?

"+九24

10

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，屬于中檔題.

6.等比數(shù)列｛4｝中（）

A.若。[〈外，則。4<。5B.若《<02，則。3<。4

C.若S3>S2，則4<。2D.若53>§2，則”]>。2

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式，等比數(shù)列的公比分析即可求出答案.

【詳解】

等比數(shù)列｛4｝中，q2>0,

.,.當(dāng)4<%時(shí)，可得q/v/q。及4<%，故B正確；

但g=6<?3和%=々/不能判斷大小（/正負(fù)不確定），故A錯(cuò)誤；

當(dāng)邑>S2時(shí)，則4+。2+。3>4+。2，可得。3>0，即4g2>0,可得q>0,

由于g不確定，不能確定4,4的大小，故CD錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式和求和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.函數(shù)/（x）二=65由2尤-8$2%-君的正數(shù)零點(diǎn)從小到大構(gòu)成數(shù)列｛4,｝,則。3=（）

13萬54177r7)

A.---B.--C.---D.--

124126

【答案】B

【解析】

【分析】

先將函數(shù)化簡為了（X）=2sin2x-J-6，再解函數(shù)零點(diǎn)得x=至+左乃或》=五+女》，ZeZ,

V6J412

再求。3即可?

【詳解】

解：*.*/（x）=>/3sin2x-cos2x->/3=2sin^2x-^-j-^3

：?令/（x）=。得：2x=9+2左;r或2%—2="^+24萬，keZ,

71.“5乃.

X=——FZ%或X=----YK7t,kwZ'

412

TT5457r

A正數(shù)零點(diǎn)從小到大構(gòu)成數(shù)列為：6=:,凡==,生=多，

4-124

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)列的概念，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力，是中檔題.

8.已知函數(shù)?。?，若/（息）+/（懿卜+/（需卜

1009（a+Z?）ln;r（a>0,?！怠＃?，則'+J■的最小值為（）

ab

A.2B.4C.6D.8

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)/（%）+/（乃-x）=2hvr,采用倒序相加的方法可得S=20181n〃，從而得到a+0=2,根

據(jù)基本不等式求得最小值.

【詳解】

由題可知：/(%)+=cosx+ln—^-+cos(?-x)+ln^^~~—=ln^-2=21n^-

人?0-^/1萬20119/^/1220萬19)/+，/12021081乃9)J

PC/20184)/2017%)」萬、

又2019J+^l2019J+

了是有2s=21n;r+21n;rH----n21n萬=2x20181n萬=S=20181n〃

因此a+h=2

▼111(11)/1a

所以—l—=——I—(a+b)=—2d1—>(2+2)=2

ab21ab)K，2(ba)2

當(dāng)且僅當(dāng)。=力=1時(shí)取等號(hào)

本題正確選項(xiàng)：A

12

【點(diǎn)睛】

本題考查倒序相加法求和、利用基本不等式求解和的最小值問題.關(guān)鍵是能夠通過函數(shù)的規(guī)律求得。

與。的和，從而能夠構(gòu)造出基本不等式的形式.

二、多選題

9.無窮數(shù)列｛?！埃那啊?xiàng)和S“=a〃2+而+c,其中a,b,c為實(shí)數(shù)，則()

A.可能為等差數(shù)列

B.｛2｝可能為等比數(shù)列

C.｛%｝中一定存在連續(xù)三項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列

D.｛2｝中一定存在連續(xù)三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列

【答案】AC

【解析】

【分析】

由=a/?+b〃+c可求得an的表達(dá)式，利用定義判定得出答案.

【詳解】

當(dāng)撲=1時(shí)，4=S]=a+Z?+c.

2

當(dāng)〃22時(shí)，an—Sn—Sn_1=即+〃〃+c—a(〃一l)"—Z?(n—l)-c=2an—a+b.

當(dāng)〃=1時(shí)'，上式=Q+8.

所以若｛4｝是等差數(shù)列，則a+)=a+b+c；.c=O.

所以當(dāng)c=0時(shí)，｛《,｝是等差數(shù)列，不可能是等比數(shù)列；當(dāng)cwO時(shí)，｛4｝從第二項(xiàng)開始是等差數(shù)列.

故選：AC

【點(diǎn)睛】

本題只要考查等差數(shù)列前〃項(xiàng)和S,,與通項(xiàng)公式a,,的關(guān)系，利用S“求通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.

10.數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和為s“，若q=1,a.+1=2S“(〃eN*),則有()

A.S“=3"iB.{S,,}為等比數(shù)列

1,n-\,

C.??=2-3"-'D，""一［2-3『“22

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根據(jù)a”,S”的關(guān)系，求得結(jié)合等比數(shù)列的定義，以及已知條件，即可對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析,

即可判斷選擇.

【詳解】

由題意，數(shù)列｛4,｝的前〃項(xiàng)和滿足=2S,(〃wN*),

當(dāng)〃22時(shí)，an=2S?_1,

兩式相減,可得%+】一%=2(S〃-S“T)=2a",

可得%+1=3%,即予，=3,(〃22),

又由％=1,當(dāng)"=1時(shí)，4=2S]=24=2,所以亍■=2,

1,〃=1

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為c；

"12-3n-2n>2

當(dāng)〃22時(shí)，S=4=小一=3'1,

"22

又由〃=1時(shí)，H=q=l,適合上式，

所以數(shù)列的｛??｝的前〃項(xiàng)和為S”=3"-'；

S3〃,

又由e'===3,所以數(shù)列｛"｝為公比為3的等比數(shù)列，

S"3

綜上可得選項(xiàng)AB,D是正確的.

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用a”,S”關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及等比數(shù)例的證明和判斷，屬綜合基礎(chǔ)題.

11.設(shè)｛4｝是等差數(shù)列，S“是其前”項(xiàng)的和，且Ss<S6,$6=57>58，則下列結(jié)論正確的是()

A.d>0B.=0

C.S9>S5D.S6與4均為S”的最大值

【答案】BD

14

【解析】

【分析】

設(shè)等差數(shù)列｛《,｝的公差為d,依次分析選項(xiàng)即可求解.

【詳解】

根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,依次分析選項(xiàng)：

｛4｝是等差數(shù)列，若$6=S,，則S7-S6=%=。，故B正確；

又由$5<$6得S6-S5=4>0,則有4=%-4<0,故A錯(cuò)誤；

而C選項(xiàng)，Sg>s5,即。6+%+。8+“9>0，可得2（%+4）>0，

又由%=o且d<o,則/<0,必有%+6<o,顯然c選項(xiàng)是錯(cuò)誤的.

VS5<s6,S6=S7〉S8，,S6與S7均為S,的最大值，故。正確;

故選：BD.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等差數(shù)列以及前〃項(xiàng)和的性質(zhì)，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.

12.將〃2個(gè)數(shù)排成〃行〃列的一個(gè)數(shù)陣，如圖：該數(shù)陣第一列的〃個(gè)數(shù)從上到下構(gòu)成以，”為公差

的等差數(shù)列，每一行的"個(gè)數(shù)從左到右構(gòu)成以m為公比的等比數(shù)列（其中,〃>0）.已知au=2,a”

=。6什1,記這層個(gè)數(shù)的和為S.下列結(jié)論正確的有（）

a\]a\2413a\n

a2\a22a23............。2n

a31032033............。3n

an\an2an3..................^nn

7

A.m=3B.a61=17x3

c.a..=（3z-l）x3y-'D.S=；〃（3〃+l）（3”—l）

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根據(jù)第一列成等差，第一行成等比可求出63，41，列式即可求出加，從而求出通項(xiàng)4-，

再按照分組求和法，每一行求和可得S,由此可以判斷各選項(xiàng)的真假.

【詳解】

解得加=3或m=一,(舍去),

V?||=2,03=461+1,；.2加2=2+5m+l

2

?“=a”i=[2+(z-1)Xm]?夕i=(3z-1)?曠

/.6767=17X36,

；?S=(〃11+。12+。13+....+〃1”)+(。21+〃22+423+.....+。2〃)+.....+(〃〃1+?！?+4〃3+.....+。〃〃)

_^,(1-39%(1-3〃)。川(1一3)〃

=1-3+1-3++1-3

1,(2+3n-l)n

——(3"-1),-------------------

22

=L?(3〃+1)(3"-1)

4

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，分組求和法，等差數(shù)列，等比數(shù)列前“項(xiàng)

和公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

三、填空題

13.已知數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式是%=2〃-46,那么S“達(dá)到最小值時(shí)”為.

【答案】22或23.

【解析】

【分析】

利用數(shù)列的單調(diào)性求得滿足題意的n即可.

【詳解】

%=2〃-46,.?.數(shù)列｛4｝是遞增數(shù)列.

a=2〃-46<0

令〈八.,.解得：22W/W23，,〃=22或〃=23,

an+]=2(/?+1)-46>0

則可知S“達(dá)到最小值時(shí)〃為22或23.

故答案為：22或23.

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值的求法，屬于基礎(chǔ)題.

14.我國古代，9是數(shù)字之極，代表尊貴之意，所以中國古代皇家建筑中包含許多與9相關(guān)的設(shè)計(jì).例

如，北京天壇圓丘的底面由扇環(huán)形的石板鋪成(如圖)，最高一層是一塊天心石，圍繞它的第一圈有

16

9塊石板，從第二圈開始，每一圈比前一圈多9塊，共有9圈，則前9圈的石板總數(shù)是

【答案】405

【解析】

【詳解】

【分析】

前9圈的石板數(shù)依次組成一個(gè)首項(xiàng)為9,公差為9的等差數(shù)列，59=9X9+^X9=405

2

15.在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的積，形成新的數(shù)列，這樣的操作叫做該數(shù)列的一次“擴(kuò)展”.

將數(shù)列1,4進(jìn)行“擴(kuò)展”，第一次得到數(shù)列1,4,4；第二次得到數(shù)列1,4,4,16,4；……；第〃

次得到數(shù)列1,再，工2，…，毛，%并記為=log2（lf?馬?其中，=2"-1,〃eN*.

則｛??｝的通項(xiàng)an=.

【答案】3"+1

【解析】

【分析】

先由a”=log2（lw?%,-4）,結(jié)合題意得到?！?|=3%-2,再設(shè)a,+i+f=3（?！?。求出

「=一1，得到數(shù)列｛七—1｝是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列，進(jìn)而可求出結(jié)果.

【詳解】

由題意，根據(jù)4=log2（lw*?為，4）,可得

4什1=log2（l<lW）W'（玉f-4）-4）

y333A3

?A1,,X-4

=log1=3%—2,

設(shè)〃”+i+，=3(a〃+f)，即%+]=3a〃+2f，可得」=—1,

則數(shù)列是首項(xiàng)為6(,-1=log24.1=3,公比為3的等比數(shù)列，

故。"一1=3",所以?！?3"+l,〃eN+.

故答案為：3"+1.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查數(shù)列的應(yīng)用，熟記等比數(shù)列的性質(zhì)以及通項(xiàng)公式即可，屬于?？碱}型.

16.如圖，互不相同的點(diǎn)A，4,A“，和片,分，紇，分別在角。的兩條邊上，所有A”紇相

互平行，且所有梯形4丹瓦+小用的面積均相等.設(shè)=%.若q=1,%=2,則數(shù)列｛??｝的通項(xiàng)

公式是.

【答案】a,,=j3〃-2

【解析】

【分析】

根據(jù)三角形相似和所有梯形4紇紇+iA,+i的面積均相等，找到與an相關(guān)的遞推公式，再由遞推公式

求得通項(xiàng)公式.

【詳解】

由于4田紇+J/4紇，所以用紇MOAnB,?

梯形AnBnBn+iA,l+l的面積為△。4,源紇+1的面積減去△QA“紇的面積，

S04烏__名

SoAjBja：

則可得吮一a；=a；-a，即遞推公式為2a：=a；l+i+a；,_｝,

故｛4：｝為等差數(shù)列，且公差d=%?=3,

故a；=1+(〃-1)x3=3〃-2,得a“=J3/1-2

18

故答案為：氏=，3〃—2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查數(shù)列在平面幾何中的應(yīng)用，根據(jù)幾何關(guān)系尋找遞推有關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵，屬于中

檔題.

四、解答題

17.在①^②”“+1-凡=-2，③4+1+〃-8這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面

an26

的問題中，若問題中的5"存在最大值，則求出最大值；若問題中的s〃不存在最大值，請(qǐng)說明理由.

問題：設(shè)s“是數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，且4=4,,求｛4｝的通項(xiàng)公式，并判斷S,,是否

存在最大值.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】答案見解析

【解析】

【分析】

若選①，求出數(shù)列｛q｝是首項(xiàng)為4,公比為的等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和，通過討論〃

的奇偶性，求出其最大值即可；

若選②，求出數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)為4,公差為一)的等差數(shù)列，求出通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和，求出其最

大值即可;

“2_|7；j+24

若選③，求出凡~,“1〃216時(shí)，/>0,故S“不存在最大值.

【詳解】

解：選①

因?yàn)闅q=一；，4=4'所以｛4｝是首項(xiàng)為4.公比為一;的等比數(shù)列，

1-2

所—(1Y-+(S1V-

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，c_LI」一811

因?yàn)殡S著〃的增加而減少，所以此時(shí)s“的最大值為E=4.

當(dāng)”為偶數(shù)時(shí)，

且S“=—|1----<—<4

"312"3

綜上，S,存在最大值，且最大值為4.

選②

因?yàn)椤Ｏ蛞弧?=一'，4=4.所以｛。,,｝是首項(xiàng)為4,公差為一!的等差數(shù)列,

66

所以4=4+（〃-1）（一!）=

V6/66

195

由—〃+—之0得〃W25，

66

所以S〃存在最大值.且最大值為S25（或S24）,

25x24

因?yàn)镾25=25x4+------X=50,所以S,的最大值為50.

2

選③

因?yàn)?+1=《,+〃_8,所以a.=〃_8,

所以4—4=—7,ay—a2——6,???an—an_x=n—9,

(—7+〃一9)(〃—1)H2-17H+16

則a“—q=a,—4+6—a,++a?-%=---------------=------------

〃2一17〃+24

又q=4,所以an-

2

當(dāng)〃N16時(shí),4>0,

故S“不存在最大值.

【點(diǎn)睛】

此題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題

18.數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和S,=100n-n2+3（nGN*）.

⑴求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式;

20

⑵設(shè)bn=|??|,求數(shù)列｛2｝的前”項(xiàng)和Tn.

102(〃=1)f-n2+100/7+3(n<50)

【答案】⑴miI(、⑵4=彳2,

101-2zz(zi>2)["-1O]On/n1+5OO3(n>51)

【解析】

【分析】

⑴當(dāng)〃=1時(shí)，4=102,利用an=Sn-S,i得到通項(xiàng)公式，驗(yàn)證/得到答案.

(2)根據(jù)｛?,,｝的正負(fù)將和分為兩種情況，〃W5()和〃251,分別計(jì)算得到答案.

【詳解】

(1)當(dāng)〃=]時(shí)，4=5j=100-1+3=102,

當(dāng)〃22時(shí)，=S”—S〃_]=100〃——100(/?—1)—(〃—1)=101—2〃.

102(〃=1)

綜上所述4=*2〃

(〃-2)

(2)當(dāng)〃W50時(shí)，bn=an,所以

Tn=q+a2+%+…+=3+99+97+95+…+101-2〃

"99+101—2”),、

=3+—----------^=3+〃(100-〃)，

當(dāng)“251時(shí)，bn=-an,

Tn=4+a2+。3+…+%0-%I-%2----an

=24-(?1+a2+ai-\--F??_]+an)

2

=5006-3-/i(100-n)=n-100/1+5003.

f-/?2+100/?+3(n<50)

綜上所述7；=2

In-1i0n0n/1+5003(般之51)

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用%=S,-S“T求通項(xiàng)公式，數(shù)列的絕對(duì)值和，忽略〃=1時(shí)的情況是容易犯的錯(cuò)誤.

+,

19.已知數(shù)列｛4｝滿足4=2,an+l=2a?+2".

(1)證明：數(shù)列[會(huì)｝為等差數(shù)列；

?111

(2)設(shè)證明：—+7T+"'+7^<1

2"她2b力§b?bn+l

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

【分析】

（1）由％+|=24+2向變形得：得=崇+1,可得證明.

a1111

（2）由（1）知：b"=十=*:.二==1一------;，用裂項(xiàng)相消可求和,從而可證明.

”2b也7+n〃+]

【詳解】

（1）由。,用=2。“+2.變形得：翳=祟+1

又q=2,故」=1

2

，數(shù)列（墨｝是以1為首項(xiàng)1為公差的等差數(shù)列.

(2)由(1)知：h=^=n

2"

11_1_1

々九M〃(〃+1)〃〃+】

<1

〃+1

111<1

.?.---------1-----------1—?4------------

她她"%

【點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)數(shù)列的遞推公式證明數(shù)列為等差數(shù)列，考查用裂項(xiàng)相消法求和，屬于基礎(chǔ)題.

20.設(shè)｛4｝是公比大于1的等比數(shù)列，4+4+%=14,且4+1是%，%的等差中項(xiàng)?

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

（2）若a=4,1。82（；]，求數(shù)列｛"｝的前，，項(xiàng)和T”.

【答案】（1）。，=2"；（2）7；,=（l-n）-2n+l-2.

22

【解析】

【分析】

(1)設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為q(q>l),根據(jù)題中條件列出方程組，求出首項(xiàng)和公比，即可得出

通項(xiàng)公式；

(2)先由(1)得到a=-〃-2",再由錯(cuò)位相減法，即可得出結(jié)果.

【詳解】

(1)設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為夕(4>1).

依題意，有2(%+l)=q+4,

將4+%=2(4+1)代入4+4+/=14得2(4+1)+%=14,

得4=4.

+%+%=14a]+aq+qq2二14

聯(lián)立《

%=4a\Q-

兩式兩邊相除消去生得27-5q+2=0,

解得4=2或q=g(舍去)，

4

所以q=—=2,

2

所以，%=%/T=2X2〃T=2〃，

（2）因?yàn)椤?%10g]￡|=-n-T

所以，-7；=1x2+2x22+3x2,++〃x2”①

-27；,=1X22+2X23+3X24++（八一1）x2"+〃x2向②

①一②，得4=2+22+23++2"-nx2"+]

=2（＞2）—〃x2，川=2'山一n-2,,+1-2-

1-2

所以，數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和7；=2"+,-n-2n+,-2.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，涉及等差中項(xiàng)的應(yīng)用，屬于常

考題型.

31

2

21.已知數(shù)列｛a,｝的前n項(xiàng)和為Sn=-n--n.

(1)求數(shù)列｛可｝的通項(xiàng)公式；

(2)數(shù)列d=[1g(],[可表示不超過x的最大整數(shù)，求也｝的前1000項(xiàng)和工。。。.

【答案】(1)?！?3〃一2；(2)10Go=2631.

【解析】

【分析】

(1)利用4=S“-S,i可求出；

(2)根據(jù)數(shù)列特點(diǎn)采用分組求和法求解.

【詳解】

(1)當(dāng)"=1時(shí)，4=￡=1,

2

當(dāng)“22時(shí)，an=Sn-Sn^=j(n-l)=3n-2,

將〃=1代入上式驗(yàn)證顯然適合，所以q=3〃-2.

(2)因?yàn)?=1°，%4=100，%34=1000，“3334=1^00,

0,1<H<3

1,4<?<33

所以"=<

2,34<n<333

3,334<?<1000

所以工ooo=0x3+1x30+2x300+3x667=2631

【點(diǎn)睛】

本題考查。,和S”的關(guān)系，考查分組求和法，屬于基礎(chǔ)題.

22.已知｛《,｝為等差數(shù)列，也｝為等比數(shù)列，4=4=1,生=5(%—4)，仇=4色一打)?

(I)求｛4｝和也｝的通項(xiàng)公式；

(n)記｛4｝的前?項(xiàng)和為s“，求證：snsn+2<s2(〃eN*)；