備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)講解課件65-橢圓及其性質(zhì)

第65講橢圓備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)講解課件考向預(yù)測核心素養(yǎng)橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)通常以小題形式考查，直線與橢圓的位置關(guān)系主要出現(xiàn)在解答題中．題型主要以選擇題、填空題為主，一般為中檔題，橢圓方程的求解經(jīng)常出現(xiàn)在解答題的第一問.直觀想象、數(shù)學(xué)抽象01基礎(chǔ)知識(shí)回顧一、知識(shí)梳理1．橢圓的定義(1)定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于______(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡．(2)焦點(diǎn)：兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2.(3)焦距：兩焦點(diǎn)間的距離|F1F2|.(4)半焦距：焦距的一半．常數(shù)2．橢圓的簡單幾何性質(zhì)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上頂點(diǎn)____________________________________________________________________________________________軸長短軸長為______，長軸長為______焦點(diǎn)__________________________________________A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)2b2aF1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上焦距|F1F2|＝______對(duì)稱性對(duì)稱軸：x軸和y軸，對(duì)稱中心：______離心率e＝

(0＜e＜1)a，b，c的關(guān)系a2＝b2＋c22c原點(diǎn)

常用結(jié)論橢圓的常用性質(zhì)√答案：20

16解析：設(shè)P(x，y)，由題意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以c＝1，則F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)．由題意可得點(diǎn)P到x軸的距離為1，一、思考辨析判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓．(

)(2)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓．(

)(3)橢圓既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形．(

)×√×√××二、易錯(cuò)糾偏1．(忽視橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中a，b，c的關(guān)系致誤)若方程x2＋ky2＝2表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(

)A．(0，＋∞)B.(0，2)C．(1，＋∞)

D.(0，1)√4．(忽視橢圓上點(diǎn)滿足條件致誤)設(shè)點(diǎn)P(x，y)在橢圓4x2＋y2＝4上，則5x2＋y2－6x的最大值為________，最小值為________．解析：由橢圓的幾何性質(zhì)知－1≤x≤1，由y2＝－4x2＋4，得5x2＋y2－6x＝x2－6x＋4＝(x－3)2－5，所以當(dāng)x＝－1時(shí)，5x2＋y2－6x取得最大值11；當(dāng)x＝1時(shí)，5x2＋y2－6x取得最小值－1.答案：11－1第1課時(shí)橢圓及其性質(zhì)02核心考點(diǎn)共研考點(diǎn)一橢圓的定義及應(yīng)用(自主練透)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：了解圓錐曲線的實(shí)際背景，了解從具體情境中抽象出橢圓模型的過程，掌握橢圓的定義．√1.如圖，圓O的半徑為定長r，A是圓O內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，P是圓上任意一點(diǎn)，線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是(

)A．橢圓B.雙曲線

C．拋物線

D.圓解析：連接QA(圖略)．由已知得|QA|＝|QP|.所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.又因?yàn)辄c(diǎn)A在圓內(nèi)，所以|OA|<|OP|，根據(jù)橢圓的定義，點(diǎn)Q的軌跡是以O(shè)，A為焦點(diǎn)，r為長軸長的橢圓．故選A.√4．已知F是橢圓5x2＋9y2＝45的左焦點(diǎn)，P是此橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，A(1，1)是一定點(diǎn)．則|PA|＋|PF|的最大值為________，最小值為________．解析：如圖所示，設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為F1，則|PF|＋|PF1|＝6.所以|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6.利用－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(當(dāng)P，A，F(xiàn)1共線時(shí)等號(hào)成立)．橢圓定義的應(yīng)用主要有兩個(gè)方面：

一是確認(rèn)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)有關(guān)的軌跡是否為橢圓；二是當(dāng)P在橢圓上時(shí)，與橢圓的兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2組成的三角形通常稱為“焦點(diǎn)三角形”，利用定義可求其周長，利用定義和余弦定理可求|PF1|·|PF2|，通過整體代入可求其面積等．考點(diǎn)二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(綜合研析)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．√因?yàn)榫€段MP的垂直平分線交NP于點(diǎn)Q，所以|QP|＝|QM|，所以|QM|＋|QN|＝|QP|＋|QN|＝|PN|＝6>|MN|＝4，所以點(diǎn)Q的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的橢圓，(1)用定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程先根據(jù)橢圓的定義確定a2，b2的值，再結(jié)合焦點(diǎn)位置求出橢圓的方程．其中常用的關(guān)系有：①b2＝a2－c2；②橢圓上任意一點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和等于2a；③橢圓上一短軸頂點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離等于長半軸長a.(2)用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟√解析：設(shè)圓M的半徑為r，則|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，所以M的軌跡是以C1，C2為焦點(diǎn)的橢圓，且2a＝16，2c＝8，考點(diǎn)三橢圓的幾何性質(zhì)(多維探究)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：掌握橢圓的簡單幾何性質(zhì)．√√【解析】(2)因?yàn)镺PMN是平行四邊形，所以MN∥OP且MN＝OP，求橢圓離心率或其范圍的方法解題的關(guān)鍵是借助圖形建立關(guān)于a，b，c的關(guān)系式(等式或不等式)，轉(zhuǎn)化為e的關(guān)系式，常用方法如下：√√【解析】(2)當(dāng)0＜m＜3時(shí)，焦點(diǎn)在x軸上，要使C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB＝120°，利用橢圓幾何性質(zhì)求值或范圍的思路(1)將所求問題用橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示，利用坐標(biāo)范圍構(gòu)造函數(shù)或不等關(guān)系．(2)將所求范圍用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范圍關(guān)系求范圍．√√答案：503課后達(dá)標(biāo)檢測√√√解析：由題意知|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|2＝4a2－16，由余弦定理得4a2－16＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°，即4a2－16＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|，√√√解析：當(dāng)1＜k＜4且k≠2.5時(shí)，曲線C是橢圓，所以A錯(cuò)誤；當(dāng)k＝2.5時(shí)，4－k＝k－1，此時(shí)曲線C是圓，所以B錯(cuò)誤；解析：根據(jù)橢圓的對(duì)稱性及|PQ|＝|F1F2|可以得到四邊形PF1QF2為對(duì)角線相等的平行四邊形，所以四邊形PF1QF2為矩形．設(shè)|PF1|＝m，則|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m，則|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，所以四邊形PF1QF2的面積為|PF1|×|PF2|＝m(8－m)＝8.答案：89．已知橢圓的長軸長為10，兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為(3，0)和(－3，0)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若P為短軸的一個(gè)端點(diǎn)，求△F1PF2的面積．[B綜合應(yīng)用]11.(多選)(2022·山東德州模擬)1970年4月24日，我國發(fā)射了自己的第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅一號(hào)”，從此我國開始了人造衛(wèi)星的新篇章．人造地球衛(wèi)星繞地球運(yùn)行遵循開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律：衛(wèi)星在以地球?yàn)榻裹c(diǎn)的橢圓軌道上繞地球運(yùn)行時(shí)，其運(yùn)行速度是變化的，速度的變化服從面積守恒規(guī)律，即衛(wèi)星的向徑(衛(wèi)星與地球的連線)在相同的時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等．設(shè)橢圓的長軸長、焦距分別為2a，2c，則下列結(jié)論正確的是(

)A．衛(wèi)星向徑的取值范圍是[a－c，a＋c]B．衛(wèi)星在左半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間大于其在右半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間C．衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越大，橢圓軌道越扁D．衛(wèi)星運(yùn)行速度在近地點(diǎn)時(shí)最大，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)最小√√√解析：根據(jù)橢圓定義知衛(wèi)星向徑的取值范圍是[a－c，a＋c]，A正確；當(dāng)衛(wèi)星在左半橢圓弧運(yùn)行時(shí)，對(duì)應(yīng)的面積更大，由面積守恒規(guī)律，時(shí)間更長，B正確；根據(jù)面積守恒規(guī)律可知，衛(wèi)星在近地點(diǎn)時(shí)向徑最小，故速度最大，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)向徑最大，故速度最小，D正確．√答案：15

3[C素養(yǎng)提升]15．(2022·江西省南昌市二模)通過研究發(fā)現(xiàn)：點(diǎn)光源P斜照射球，在底面上形成的投影是橢圓，且球與底面相切于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F1(如圖所示)，如圖是底面邊長為2、高為3的正四棱柱，一實(shí)心小球與正四棱