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文檔簡介
2025屆黑龍江省哈師大附屬中學數(shù)學高三第一學期期末聯(lián)考試題注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設(shè),則A. B. C. D.2.設(shè)(是虛數(shù)單位),則()A. B.1 C.2 D.3.已知半徑為2的球內(nèi)有一個內(nèi)接圓柱,若圓柱的高為2,則球的體積與圓柱的體積的比為()A. B. C. D.4.若的展開式中的系數(shù)為150,則()A.20 B.15 C.10 D.255.過拋物線的焦點作直線與拋物線在第一象限交于點A,與準線在第三象限交于點B,過點作準線的垂線,垂足為.若,則()A. B. C. D.6.將函數(shù)圖象向右平移個單位長度后,得到函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,則函數(shù)在上的值域是()A. B. C. D.7.已知函數(shù),若關(guān)于的方程有且只有一個實數(shù)根,則實數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.8.設(shè)全集,集合,則=()A. B. C. D.9.已知橢圓的中心為原點,為的左焦點,為上一點,滿足且,則橢圓的方程為()A. B. C. D.10.已知數(shù)列中,,(),則等于()A. B. C. D.211.設(shè)函數(shù),則使得成立的的取值范圍是().A. B.C. D.12.已知三棱錐的外接球半徑為2,且球心為線段的中點,則三棱錐的體積的最大值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.某班星期一共八節(jié)課(上午、下午各四節(jié),其中下午最后兩節(jié)為社團活動),排課要求為:語文、數(shù)學、外語、物理、化學各排一節(jié),從生物、歷史、地理、政治四科中選排一節(jié).若數(shù)學必須安排在上午且與外語不相鄰(上午第四節(jié)和下午第一節(jié)不算相鄰),則不同的排法有__________種.14.實數(shù),滿足約束條件,則的最大值為__________.15.已知,為虛數(shù)單位,且,則=_____.16.滿足約束條件的目標函數(shù)的最小值是.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列是等差數(shù)列,前項和為,且,.(1)求.(2)設(shè),求數(shù)列的前項和.18.(12分)已知函數(shù).(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;(2)求在上的最大值和最小值.19.(12分)如圖1,四邊形是邊長為2的菱形,,為的中點,以為折痕將折起到的位置,使得平面平面,如圖2.(1)證明:平面平面;(2)求點到平面的距離.20.(12分)在中,內(nèi)角的對邊分別是,滿足條件.(1)求角;(2)若邊上的高為,求的長.21.(12分)每年3月20日是國際幸福日,某電視臺隨機調(diào)查某一社區(qū)人們的幸福度.現(xiàn)從該社區(qū)群中隨機抽取18名,用“10分制”記錄了他們的幸福度指數(shù),結(jié)果見如圖所示莖葉圖,其中以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖,小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉.若幸福度不低于8.5分,則稱該人的幸福度為“很幸?!保?Ⅰ)求從這18人中隨機選取3人,至少有1人是“很幸?!钡母怕?;(Ⅱ)以這18人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個社區(qū)的總體數(shù)據(jù),若從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選3人,記表示抽到“很幸福”的人數(shù),求的分布列及.22.(10分)在中,角的對邊分別為,且.(1)求角的大小;(2)若函數(shù)圖象的一條對稱軸方程為且,求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】分析:利用復數(shù)的除法運算法則:分子、分母同乘以分母的共軛復數(shù),化簡復數(shù),然后求解復數(shù)的模.詳解:,則,故選c.點睛:復數(shù)是高考中的必考知識,主要考查復數(shù)的概念及復數(shù)的運算.要注意對實部、虛部的理解,掌握純虛數(shù)、共軛復數(shù)這些重要概念,復數(shù)的運算主要考查除法運算,通過分母實數(shù)化轉(zhuǎn)化為復數(shù)的乘法,運算時特別要注意多項式相乘后的化簡,防止簡單問題出錯,造成不必要的失分.2、A【解析】
先利用復數(shù)代數(shù)形式的四則運算法則求出,即可根據(jù)復數(shù)的模計算公式求出.【詳解】∵,∴.故選:A.【點睛】本題主要考查復數(shù)代數(shù)形式的四則運算法則的應用,以及復數(shù)的模計算公式的應用,屬于容易題.3、D【解析】
分別求出球和圓柱的體積,然后可得比值.【詳解】設(shè)圓柱的底面圓半徑為,則,所以圓柱的體積.又球的體積,所以球的體積與圓柱的體積的比,故選D.【點睛】本題主要考查幾何體的體積求解,側(cè)重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).4、C【解析】
通過二項式展開式的通項分析得到,即得解.【詳解】由已知得,故當時,,于是有,則.故選:C【點睛】本題主要考查二項式展開式的通項和系數(shù)問題,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.5、C【解析】
需結(jié)合拋物線第一定義和圖形,得為等腰三角形,設(shè)準線與軸的交點為,過點作,再由三角函數(shù)定義和幾何關(guān)系分別表示轉(zhuǎn)化出,,結(jié)合比值與正切二倍角公式化簡即可【詳解】如圖,設(shè)準線與軸的交點為,過點作.由拋物線定義知,所以,,,,所以.故選:C【點睛】本題考查拋物線的幾何性質(zhì),三角函數(shù)的性質(zhì),數(shù)形結(jié)合思想,轉(zhuǎn)化與化歸思想,屬于中檔題6、D【解析】
由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律,三角函數(shù)的圖象的對稱性,余弦函數(shù)的值域,求得結(jié)果.【詳解】解:把函數(shù)圖象向右平移個單位長度后,可得的圖象;再根據(jù)得到函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,,,,函數(shù).在上,,,故,即的值域是,故選:D.【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律,三角函數(shù)的圖象的對稱性,余弦函數(shù)的值域,屬于中檔題.7、B【解析】
利用換元法設(shè),則等價為有且只有一個實數(shù)根,分三種情況進行討論,結(jié)合函數(shù)的圖象,求出的取值范圍.【詳解】解:設(shè),則有且只有一個實數(shù)根.當時,當時,,由即,解得,結(jié)合圖象可知,此時當時,得,則是唯一解,滿足題意;當時,此時當時,,此時函數(shù)有無數(shù)個零點,不符合題意;當時,當時,,此時最小值為,結(jié)合圖象可知,要使得關(guān)于的方程有且只有一個實數(shù)根,此時.綜上所述:或.故選:A.【點睛】本題考查了函數(shù)方程根的個數(shù)的應用.利用換元法,數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.8、A【解析】
先求得全集包含的元素,由此求得集合的補集.【詳解】由解得,故,所以,故選A.【點睛】本小題主要考查補集的概念及運算,考查一元二次不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】由題意可得c=,設(shè)右焦點為F′,由|OP|=|OF|=|OF′|知,∠PFF′=∠FPO,∠OF′P=∠OPF′,所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′,由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知,∠FPO+∠OPF′=90°,即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中,由勾股定理,得|PF′|=,由橢圓定義,得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12,從而a=6,得a2=36,于是b2=a2﹣c2=36﹣=16,所以橢圓的方程為.故選B.點睛:橢圓的定義:到兩定點距離之和為常數(shù)的點的軌跡,當和大于兩定點間的距離時,軌跡是橢圓,當和等于兩定點間的距離時,軌跡是線段(兩定點間的連線段),當和小于兩定點間的距離時,軌跡不存在.10、A【解析】
分別代值計算可得,觀察可得數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列,問題得以解決.【詳解】解:∵,(),
,
,
,
,
…,
∴數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列,
,
,
故選:A.【點睛】本題考查數(shù)列的周期性和運用:求數(shù)列中的項,考查運算能力,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】
由奇偶性定義可判斷出為偶函數(shù),由單調(diào)性的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增,由此知在上單調(diào)遞減,從而將所求不等式化為,解絕對值不等式求得結(jié)果.【詳解】由題意知:定義域為,,為偶函數(shù),當時,,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,則在上單調(diào)遞減,由得:,解得:或,的取值范圍為.故選:.【點睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求解函數(shù)不等式的問題;奇偶性的作用是能夠確定對稱區(qū)間的單調(diào)性,單調(diào)性的作用是能夠?qū)⒑瘮?shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系,進而化簡不等式.12、C【解析】
由題可推斷出和都是直角三角形,設(shè)球心為,要使三棱錐的體積最大,則需滿足,結(jié)合幾何關(guān)系和圖形即可求解【詳解】先畫出圖形,由球心到各點距離相等可得,,故是直角三角形,設(shè),則有,又,所以,當且僅當時,取最大值4,要使三棱錐體積最大,則需使高,此時,故選:C【點睛】本題考查由三棱錐外接球半徑,半徑與球心位置求解錐體體積最值問題,屬于基礎(chǔ)題二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1344【解析】
分四種情況討論即可【詳解】解:數(shù)學排在第一節(jié)時有:數(shù)學排在第二節(jié)時有:數(shù)學排在第三節(jié)時有:數(shù)學排在第四節(jié)時有:所以共有1344種故答案為:1344【點睛】考查排列、組合的應用,注意分類討論,做到不重不漏;基礎(chǔ)題.14、10【解析】
畫出可行域,根據(jù)目標函數(shù)截距可求.【詳解】解:作出可行域如下:由得,平移直線,當經(jīng)過點時,截距最小,最大解得的最大值為10故答案為:10【點睛】考查可行域的畫法及目標函數(shù)最大值的求法,基礎(chǔ)題.15、4【解析】
解:利用復數(shù)相等,可知由有.16、-2【解析】
可行域是如圖的菱形ABCD,代入計算,知為最小.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】
(1)由數(shù)列是等差數(shù)列,所以,解得,又由,解得,即可求得數(shù)列的通項公式;(2)由(1)得,利用乘公比錯位相減,即可求解數(shù)列的前n項和.【詳解】(1)由題意,數(shù)列是等差數(shù)列,所以,又,,由,得,所以,解得,所以數(shù)列的通項公式為.(2)由(1)得,,,兩式相減得,,即.【點睛】本題主要考查等差的通項公式、以及“錯位相減法”求和的應用,此類題目是數(shù)列問題中的常見題型,解答中確定通項公式是基礎(chǔ),準確計算求和是關(guān)鍵,易錯點是在“錯位”之后求和時,弄錯等比數(shù)列的項數(shù),能較好的考查考生的數(shù)形結(jié)合思想、邏輯思維能力及基本計算能力等.18、(1);(2)見解析【解析】
將函數(shù)解析式化簡即可求出函數(shù)的最小正周期根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出函數(shù)在定義域上的最大值和最小值【詳解】(Ⅰ)由題意得原式的最小正周期為.(Ⅱ),.當,即時,;當,即時,.綜上,得時,取得最小值為0;當時,取得最大值為.【點睛】本題主要考查了兩角和與差的余弦公式展開,輔助角公式,三角函數(shù)的性質(zhì)等,較為綜合,也是??碱}型,需要計算正確,屬于基礎(chǔ)題19、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)由題意可證得,,所以平面,則平面平面可證;(2)解法一:利用等體積法由可求出點到平面的距離;解法二:由條件知點到平面的距離等于點到平面的距離,過點作的垂線,垂足,證明平面,計算出即可.【詳解】解法一:(1)依題意知,因為,所以.又平面平面,平面平面,平面,所以平面.又平面,所以.由已知,是等邊三角形,且為的中點,所以.因為,所以.又,所以平面.又平面,所以平面平面.(2)在中,,,所以.由(1)知,平面,且,所以三棱錐的體積.在中,,,得,由(1)知,平面,所以,所以,設(shè)點到平面的距離,則三棱錐的體積,得.解法二:(1)同解法一;(2)因為,平面,平面,所以平面.所以點到平面的距離等于點到平面的距離.過點作的垂線,垂足,即.由(1)知,平面平面,平面平面,平面,所以平面,即為點到平面的距離.由(1)知,,在中,,,得.又,所以.所以點到平面的距離為.【點睛】本題主要考查空間面面垂直的的判定及點到面的距離,考查學生的空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力.求點到平面的距離一般可采用兩種方法求解:①等體積法;②作(找)出點到平面的垂線段,進行計算即可.20、(1).(2)【解析】
(1)利用正弦定理的邊角互化可得,再根據(jù),利用兩角和的正弦公式即可求解.(2)已知,由知,在中,解出即可.【詳解】(1)由正弦定理知由己知,而∴,(2)已知,則由知先求∴∴∴【點睛】本題主要考查了正弦定理解三角形、三角形的性質(zhì)、兩角和的正弦公式,需熟記定理與公式,屬于基礎(chǔ)題.21、(Ⅰ).(Ⅱ)見解析.【解析】
(Ⅰ)人中很幸福的有人,可以先計算其逆事件,即人都認為不很幸福的概率,再用減去人都認為不很幸福的概率即可;(Ⅱ)根據(jù)題意,隨機變量,列出分布列,根據(jù)公式求出期望即可.【詳解】(Ⅰ)設(shè)事件抽出的人至少有人是“很幸?!钡?,則表示人都認為不很幸福(Ⅱ)根據(jù)題意,隨機變量,的可能的取值為;;;所以隨機變量的分布列為:所以的期望【點睛】本題考查了離散型隨機變量的概率分布列
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