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文檔簡介
上海市青浦高中2025屆數學高二上期末達標檢測試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知等差數列的前n項和為,且,,則為()A. B.C. D.2.若拋物線的焦點為,則其標準方程為()A. B.C. D.3.過橢圓右焦點作x軸的垂線,并交C于A,B兩點,直線l過C的左焦點和上頂點.若以線段AB為直徑的圓與有2個公共點,則C的離心率e的取值范圍是()A. B.C. D.4.在平面直角坐標系中,拋物線上點到焦點的距離為3,則焦點到準線的距離為()A. B.C.1 D.5.已知橢圓:與雙曲線:有相同的焦點、,橢圓的離心率為,雙曲線的離心率為,點P為橢圓與雙曲線的交點,且,則的最大值為()A. B.C. D.6.在三棱柱中,,,,則這個三棱柱的高()A1 B.C. D.7.已知隨機變量X的分布列如表所示,則()X123Pa2a3aA. B.C. D.8.雙曲線的焦點到漸近線的距離為()A. B.C. D.9.某班對期中成績進行分析,利用隨機數表法抽取樣本時,先將60個同學的成績按01,02,03,……,60進行編號,然后從隨機數表第9行第5列的數1開始向右讀,則選出的第6個個體是()(注:如下為隨機數表的第8行和第9行)6301637859169555671998105071751286735833211234297864560782524507443815510013A.07 B.25C.42 D.5210.為發(fā)揮我市“示范性高中”的輻射帶動作用,促進教育的均衡發(fā)展,共享優(yōu)質教育資源.現(xiàn)分派我市“示范性高中”的5名教師到,,三所薄弱學校支教,開展送教下鄉(xiāng)活動,每所學校至少分派一人,其中教師甲不能到學校,則不同分派方案的種數是()A.150 B.136C.124 D.10011.已知函數,.若存在三個零點,則實數的取值范圍是()A. B.C. D.12.已知雙曲線,則“”是“雙曲線的焦距大于4”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知命題:,總有.則為______14.如圖直線過點,且與直線和分別相交于,兩點.(1)求過與交點,且與直線垂直的直線方程;(2)若線段恰被點平分,求直線的方程.15.已知拋物線的焦點F在直線上,過點F的直線l與拋物線C相交于A,B兩點,O為坐標原點,△的面積是△面積的4倍,則直線l的方程為____________16.在空間直角坐標系中,已知,,,,則___________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)2021年國慶期間,某電器商場為了促銷,給出了兩種優(yōu)惠方案,顧客只能選擇其中的一種,方案一:每消費滿8千元,可減8百元.方案二:消費金額超過8千元(含8千元),可抽取小球三次,其規(guī)則是依次從裝有2個紅色小球、2個黃色小球的一號箱子,裝有2個紅色小球、2個黃色小球的二號箱子,裝有1個紅色小球、3個黃色小球的三號箱子各抽一個小球(這些小球除顏色外完全相同),其優(yōu)惠情況為:若抽出3個紅色小球則打6折;若抽出2個紅色小球則打7折;若抽出1個紅色小球則打8折;若沒有抽出紅色小球則不打折.(1)若有兩名顧客恰好消費8千元,他們都選中第二方案,求至少有一名顧客比選擇方案一更優(yōu)惠的概率;(2)若你朋友在該商場消費了1萬元,請用所學知識幫助你朋友分析一下應選擇哪種付款方案.18.(12分)已知數列滿足,數列為等差數列,,前4項和.(1)求數列,的通項公式;(2)求和:.19.(12分)圓與軸的交點分別為,且與直線,都相切(1)求圓的方程;(2)圓上是否存在點滿足?若存在,求出滿足條件的所有點的坐標;若不存在,請說明理由.20.(12分)已知直線,半徑為的圓與相切,圓心在軸上且在直線的右上方.(1)求圓的方程;(2)過點的直線與圓交于兩點在軸上方),問在軸正半軸上是否存在定點,使得軸平分?若存在,請求出點的坐標;若不存在,請說明理由.21.(12分)已知數列滿足,(1)證明是等比數列,(2)求數列的前項和22.(10分)如圖所示的四棱錐的底面是一個等腰梯形,,且,是△的中線,點E是棱的中點(1)證明:∥平面(2)若平面平面,且,求平面與平面夾角余弦值(3)在(2)條件下,求點D到平面的距離
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】直接由等差數列求和公式結合,求出,再由求和公式求出即可.【詳解】由題意知:,解得,則.故選:C.2、D【解析】由題意設出拋物線的標準方程,再利用焦點為建立,解方程即可.【詳解】由題意,設拋物線標準方程為,所以,解得,所以拋物線標準方程為.故選:D3、A【解析】求得以為直徑的圓的圓心和半徑,求得直線的方程,利用圓心到直線的距離小于半徑列不等式,化簡后求得橢圓離心率的取值范圍.【詳解】橢圓的左焦點,右焦點,上頂點,,所以為直徑的圓的圓心為,半徑為.直線的方程為,由于以線段為直徑的圓與相交,所以,,,,,所以橢圓的離心率的取值范圍是.故選:A4、D【解析】根據給定條件求出拋物線C的焦點、準線,再利用拋物線的定義求出a值計算作答.【詳解】拋物線的焦點,準線,依題意,由拋物線定義得,解得,所以拋物線焦點到準線的距離為.故選:D5、B【解析】不妨設點為第一象限的交點,結合橢圓與雙曲線的定義得到,進而結合余弦定理得到,即,令然后結合三角函數即可求出結果.【詳解】不妨設點為第一象限的交點,則由橢圓的定義可得,由雙曲線的定義可得,所以,因此,即,所以,即,令因此,其中,所以當時,有最大值,最大值為,故選:B.【點睛】一、橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質,求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍),常見有兩種方法:①求出a,c,代入公式;②只需要根據一個條件得到關于a,b,c的齊次式,結合b2=a2-c2轉化為a,c的齊次式,然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉化為關于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)二、雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質,求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍),常見有兩種方法:①求出a,c,代入公式;②只需要根據一個條件得到關于a,b,c的齊次式,結合b2=c2-a2轉化為a,c的齊次式,然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉化為關于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)6、D【解析】先求出平面ABC的法向量,然后將高看作為向量在平面ABC的法向量上的投影的絕對值,則答案可求.【詳解】設平面ABC的法向量為,而,,則,即有,不妨令,則,故,設三棱柱的高為h,則,故選:D.7、C【解析】根據分布列性質計算可得;【詳解】解:依題意,解得,所以;故選:C8、D【解析】根據題意,由雙曲線的標準方程可得雙曲線的焦點坐標以及漸近線方程,由點到直線的距離公式計算可得答案.【詳解】解:根據題意,雙曲線的方程為,其焦點坐標為,其漸近線方程為,即,則其焦點到漸近線的距離;故選D.【點睛】本題考查雙曲線的幾何性質,關鍵是求出雙曲線的漸近線與焦點坐標.9、D【解析】從指定位置起依次讀兩位數碼,超出編號的數刪除.【詳解】根據題意,從隨機數表第9行第5列的數1開始向右讀,依次選出的號碼數是:12,34,29,56,07,52;所以第6個個體是52.故選:D.10、D【解析】對甲所在組的人數分類討論即得解.【詳解】當甲一個人去一個學校時,有種;當甲所在的學校有兩個老師時,有種;當甲所在的學校有三個老師時,有種;所以共有28+48+24=100種.故選:D【點睛】方法點睛:排列組合常用方法有:簡單問題直接法、小數問題列舉法、相鄰問題捆綁法、不相鄰問題插空法、至少問題間接法、復雜問題分類法、等概率問題縮倍法.要根據已知條件靈活選擇方法求解.11、B【解析】根據題意,當時,有一個零點,進而將問題轉化為當時,有兩個實數根,再研究函數即可得答案.【詳解】解:因為存在三個零點,所以方程有三個實數根,因為當時,由得,解得,有且只有一個實數根,所以當時,有兩個實數根,即有兩個實數根,所以令,則,所以當時,,單調遞增,當時,,單調遞減,因為,,,所以的圖象如圖所示,所以有兩個實數根,則故選:B12、A【解析】先找出“雙曲線的焦距大于4”的充要條件,再進行判斷即可【詳解】若的焦距,則;若,則故選:A二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、,使得【解析】全稱命題改否定,首先把全稱量詞改成特稱量詞,然后把后面結論改否定即可.【詳解】解:因為命題,總有,所以的否定為:,使得故答案為,使得【點睛】本題考查了全稱命題的否定,全稱命題(特稱命題)改否定,首先把全稱量詞(特稱量詞)改成特稱量詞(全稱量詞),然后把后面結論改否定即可.14、(1);(2).【解析】本題考查直線方程的基本求法:垂直直線的求法、點關于點對稱、點在直線上的待定系數法【詳解】(1)由題可得交點,所以所求直線方程為,即;(2)設直線與直線相交于點,因為線段恰被點平分,所以直線與直線的交點的坐標為將點,的坐標分別代入,的方程,得方程組解得由點和點及兩點式,得直線的方程為,即【點睛】直線的考法主要以點的對稱和直線的平行與垂直為主.點關于點的對稱,點關于直線的對稱,直線關于直線的對稱,是重點考察內容15、【解析】設A,B分別為,由焦點在已知直線上求F坐標及拋物線方程,再根據題設三角形的面積關系可得,并設直線l為,聯(lián)立拋物線應用韋達定理求參數m,即可知直線l的方程.【詳解】設點A,B的坐標分別為,直線,令可得,故焦點F的坐標為,所以,由,,而△的面積是△面積的4倍,所以,即,設直線l為,聯(lián)立方程,消去x后整理為,所以,代入,有,可得,則直線l的方程為故答案為:.【點睛】關鍵點點睛:根據拋物線焦點位置及其所在直線求拋物線方程,由面積關系得到交點縱坐標的數量關系,注意交點在x軸兩側,再設直線聯(lián)立拋物線求參數即可.16、或##或【解析】根據向量平行時坐標的關系和向量的模公式即可求解.【詳解】,且,設,,解得,或.故答案為:或.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)選擇方案二更劃算【解析】(1)要使方案二比方案一優(yōu)惠,則需要抽出至少一個紅球,求出沒有抽出紅色小球的概率,再根據對立事件的概率公式即可得出答案;(2)若選擇方案一,則需付款(元),若選擇方案二,設付款金額為元,則可取6000,7000,8000,10000,求出對應概率,從而可求得的期望,在比較的期望與9200的大小即可得出結論.【小問1詳解】解:根據題意得要使方案二比方案一優(yōu)惠,則需要抽出至少一個紅球,設沒有抽出紅色小球為事件,則,所以所求概率;【小問2詳解】解:若選擇方案一,則需付款(元),若選擇方案二,設付款金額為元,則可取6000,7000,8000,10000,,,,,故的分布列為X60007000800010000P所以(元),因為,所以選擇方案二更劃算.18、(1),;(2).【解析】(1)根據等比數列的定義,結合等差數列的基本量,即可容易求得數列,的通項公式;(2)根據(1)中所求,構造數列,證明其為等比數列,利用等比數列的前項和即可求得結果.【小問1詳解】因為數列滿足,故可得數列為等比數列,且公比,則;數列為等差數列,,前4項和,設其公差為,故可得,解得,則;綜上所述,,.【小問2詳解】由(1)可知:,,故,又,又,則是首項1,公比為的等比數列;則.19、(1)(2)存在,或【解析】(1)由題意,設圓心,由圓與兩直線相切,可得圓心到兩直線的距離都等于圓的半徑,進而可求,然后求出半徑即可得答案;(2)假設圓上存在點滿足,利用向量數量積的坐標運算化簡,再聯(lián)立圓的方程即可求解.【小問1詳解】解:因為圓與軸的交點分別為,,所以圓心在弦的垂直平分線上,設圓心,又圓與直線,都相切,所以,解得,所以圓心,半徑,所以圓的方程為;【小問2詳解】解:假設圓上存在點滿足,則,即①,又,即②,聯(lián)立①②可得或,所以存在點或滿足.20、(1);(2)存在,.【解析】(1)設出圓心,根據圓心到直線距離等于半徑列方程求出的值可得圓心坐標,進而可得圓的方程;(2)由題可設直線的方程為,與圓的方程聯(lián)立,利用韋達定理及可得,即得.【小問1詳解】由已知可設圓心,則,解得或(舍).所以圓.【小問2詳解】由題可設直線的方程為,由,得到:顯然成立,所以.①若軸平分,則,所以:,整理得:,將①代入整理得對任意的恒成立,則.∴存在點為時,使得軸平分.21、(1)見解析;(2)【解析】(1)利用定義法證明是一個與n無關的非零常數,從而得出結論;(2
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