貴州省貴陽第一中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題含解析

貴州省貴陽第一中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)函數(shù)，則和的值分別為（）A.、 B.、C.、 D.、2．阿基米德是古希臘著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積，已知在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的面積為，兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.3．函數(shù)的最大值為（）A.32 B.27C.16 D.404．已知定義在R上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C. D.5．設(shè)為雙曲線與橢圓的公共的左右焦點(diǎn)，它們在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)是以線段為底邊的等腰三角形，若橢圓的離心率范圍為，則雙曲線的離心率取值范圍是（）A. B.C. D.6．下列拋物線中，以點(diǎn)為焦點(diǎn)的是（）A. B.C. D.7．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.8．已知，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.9．過點(diǎn)且與雙曲線有相同漸近線的雙曲線方程為（）A B.C. D.10．2021年是中國共產(chǎn)黨百年華誕，3月24日，中宣部發(fā)布中國共產(chǎn)黨成立100周年慶祝活動(dòng)標(biāo)識(shí)（如圖1）.其中“100”的兩個(gè)“0”設(shè)計(jì)為兩個(gè)半徑為R的相交大圓，分別內(nèi)含一個(gè)半徑為r的同心小圓，且同心小圓均與另一個(gè)大圓外切（如圖2）.已知，則由其中一個(gè)圓心向另一個(gè)小圓引的切線長與兩大圓的公共弦長之比為（）A. B.3C. D.11．窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一.如圖是一個(gè)窗花的圖案，以正六邊形各頂點(diǎn)為圓心、邊長為半徑作圓，陰影部分為其公共部分.現(xiàn)從該正六邊形中任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自于陰影部分的概率為（）A. B.C. D.12．命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列滿足，則的前20項(xiàng)和___________.14．已知球面上的三點(diǎn)A，B，C滿足，，，球心到平面ABC的距離為，則球的表面積為______15．知函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_____________.16．過點(diǎn)，且垂直于的直線方程為_______________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知某中學(xué)高二物化生組合學(xué)生的數(shù)學(xué)與物理的水平測試成績抽樣統(tǒng)計(jì)如下表：若抽取了名學(xué)生，成績分為A（優(yōu)秀），B（良好），C（及格）三個(gè)等級，設(shè)，分別表示數(shù)學(xué)成績與物理成績，例如：表中物理成績?yōu)锳等級的共有（人），數(shù)學(xué)成績?yōu)锽等級且物理成績?yōu)镃等級的共有8人，已知與均為A等級的概率是0.07（1）設(shè)在該樣本中，數(shù)學(xué)成績的優(yōu)秀率是30％，求，的值；（2）已知，，求數(shù)學(xué)成績?yōu)锳等級的人數(shù)比C等級的人數(shù)多的概率18．（12分）已知數(shù)列為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，若（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和19．（12分）如圖所示，在正方體中，E是棱的中點(diǎn).（Ⅰ）求直線BE與平面所成的角的正弦值；（Ⅱ）在棱上是否存在一點(diǎn)F，使平面？證明你的結(jié)論.20．（12分）如圖，已知三棱錐的側(cè)棱，，兩兩垂直，且，，是的中點(diǎn).（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求點(diǎn)到面的距離.（3）求二面角的平面角的正切值.21．（12分）已知圓的圓心在直線上，且圓經(jīng)過點(diǎn)與點(diǎn).（1）求圓的方程；（2）過點(diǎn)作圓的切線，求切線所在的直線的方程.22．（10分）已知拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，雙曲線E的漸近線方程為（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，求的面積

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】求得，即可求得、的值.【詳解】，則，則，故，.故選：D.2、A【解析】由橢圓的面積為和兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，得到求解.【詳解】由題意得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故選：A3、A【解析】利用導(dǎo)數(shù)即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞增,，因此，的最大值為.故選：A4、B【解析】由可得，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，由此比較函數(shù)值的大小確定正確選項(xiàng).【詳解】∵∴，當(dāng)時(shí)，，∴，故∴在內(nèi)單調(diào)遞增，又，∴，所以故選：B5、A【解析】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，根據(jù)橢圓和雙曲線的定義可得到兩圖形離心率之間的關(guān)系，再根據(jù)橢圓的離心率范圍可得雙曲線的離心率取值范圍.【詳解】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，則有已知，兩式相減得，即，，因?yàn)?，解得故選：A.6、A【解析】由題意設(shè)出拋物線的方程，再結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)即可求出拋物線的方程.【詳解】∵拋物線為，∴可設(shè)拋物線方程為，∴即，∴拋物線方程為，故選：A.7、C【解析】設(shè)，用表示出，求得的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得當(dāng)時(shí)，取得最小值，從而求得點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】設(shè)，則＝－＝－λ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝－＝－λ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝.所以當(dāng)λ＝時(shí)，取得最小值，此時(shí)＝＝，即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.故選：C8、B【解析】構(gòu)造利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上單調(diào)遞減，利用單調(diào)性比較大小【詳解】設(shè)恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞減，.故選：B9、C【解析】設(shè)與雙曲線有相同漸近線的雙曲線方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求出的值，即可的解.【詳解】設(shè)與雙曲線有相同漸近線的雙曲線方程為，代入點(diǎn)，得，解得，所以所求雙曲線方程為，即故選：C.10、C【解析】作出圖形，進(jìn)而根據(jù)勾股定理并結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系即可求得答案.【詳解】如示意圖，由題意，，則，又，，所以，所以.故選：C.11、D【解析】求得陰影部分的面積，結(jié)合幾何概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求的概率.【詳解】設(shè)正六邊形的邊長為，則其面積為.陰影部分面積為，故所求概率為.故選：D12、D【解析】根據(jù)含一個(gè)量詞的命題的否定方法：修改量詞，否定結(jié)論，直接得到結(jié)果.【詳解】命題“，”的否定是“，”.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、135【解析】直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系式寫出相鄰四項(xiàng)之和，進(jìn)而求出數(shù)列的和.【詳解】數(shù)列滿足，所以，故，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，所以.故答案為：135.14、【解析】由題意可知為直角三角形，求出外接圓的半徑，可求出球的半徑，然后求球的表面積.【詳解】由題意，，，，則，可知，所以外接圓的半徑為，因?yàn)榍蛐牡狡矫娴木嚯x為，所以球的半徑為：，所以球的表面積為：.故答案為：.15、【解析】根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合冪函數(shù)、一次函數(shù)的單調(diào)性判斷零點(diǎn)的分布，進(jìn)而求m的范圍.【詳解】由解析式知：在上為增函數(shù)且，在上，時(shí)為單調(diào)函數(shù)，時(shí)無零點(diǎn)，故要使有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即兩側(cè)各有一個(gè)零點(diǎn)，所以在上必遞減且，則，可得.故答案為：16、【解析】求出，可得垂直于的直線的斜率為，再利用點(diǎn)斜式可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，所以垂直于的直線的斜率為，垂直于的直線方程為，化為，故答案為.【點(diǎn)睛】對直線位置關(guān)系的考查是熱點(diǎn)命題方向之一，這類問題以簡單題為主，主要考查兩直線垂直與兩直線平行兩種特殊關(guān)系：在斜率存在的前提下，（1）；（2），這類問題盡管簡單卻容易出錯(cuò)，特別是容易遺忘斜率不存在的情況，這一點(diǎn)一定不能掉以輕心.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）【解析】（1）根據(jù)與均為A等級的概率是0.07，求得值，再根據(jù)數(shù)學(xué)成績的優(yōu)秀率是30％求得值，最后利用抽取的總?cè)藬?shù)求出值即可；（2）根據(jù)，，，寫出滿足條件得基本事件，找出其中的基本事件，利用古典概型的公式求出概率即可.【小問1詳解】由題意知，解得，，解得，由已知得，解得.【小問2詳解】由，，，可知，則試驗(yàn)的樣本空間，共9個(gè)樣本點(diǎn)其中包含的樣本點(diǎn)有共4個(gè)，故所求概率18、（1）（2）【解析】（1）利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式列出方程組，可求解，，從而寫出；（2）化簡數(shù)列，裂項(xiàng)相消法求和即可.【小問1詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，∵，∴，即①∵，∴②②÷①，解得∴∴【小問2詳解】∵，∴∴∴19、（1）；（2）詳見解析【解析】設(shè)正方體的棱長為1.如圖所示，以為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系.（Ⅰ）依題意，得，所以.在正方體中，因?yàn)?所以是平面的一個(gè)法向量，設(shè)直線BE和平面所成的角為，則.即直線BE和平面所成的角的正弦值為.（Ⅱ）在棱上存在點(diǎn)F，使.事實(shí)上，如圖所示，分別取和CD的中點(diǎn)F，G，連結(jié).因,且,所以四邊形是平行四邊形，因此.又E,G分別為，CD的中點(diǎn)，所以，從而.這說明，B，G，E共面，所以.因四邊形與皆為正方形，F(xiàn)，G分別為和CD的中點(diǎn)，所以，且，因此四邊形是平行四邊形，所以.而，，故.20、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）首先以為原點(diǎn)，、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量求；（2）首先求平面的法向量，再利用公式求解；（3）求平面的法向量為，先求，再求二面角的正切值.【詳解】（1）以為原點(diǎn)，、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系.則有、、、.，，所以異面直線與所成角的余弦為（2）設(shè)平面的法向量為，則知：；知取，又，點(diǎn)到面的距離所以點(diǎn)到面的距離為.（3）（2）中已求平面的法向量，設(shè)平面的法向量為∵；∴取..設(shè)二面角的平面角為，則.【點(diǎn)睛】本題考查空間直角坐標(biāo)系求解空間角和點(diǎn)到平面的距離，重點(diǎn)考查計(jì)算能力，屬于中檔題型.21、（1）；（2）或.【解析】（1）求出線段中點(diǎn)，進(jìn)而得到線段的垂直平分線為，與聯(lián)立得交點(diǎn)，∴.則圓的方程可求（2）當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，可知切線方程為.當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，由到此直線的距離為，解得，即可到切線所在直線的方程.試題解析：（1）線段的中點(diǎn)為，∵，∴線段的垂直平分線為，與聯(lián)立得交點(diǎn)，∴.∴圓的方程為.（2）當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，切線方程為.當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即，則到此直線的距離為，解得，∴切線方程為.故滿足條件的切線方程為或.【點(diǎn)睛】本題考查圓的方程的求法，圓的切線，中點(diǎn)弦等問題，解題的關(guān)鍵是利用圓