北京市懷柔區(qū)市級名校2025屆高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

北京市懷柔區(qū)市級名校2025屆高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．中國古代《易經(jīng)》一書中記載，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)據(jù)，即“結(jié)繩計數(shù)”，如圖，一位古人在從右到左（即從低位到高位）依次排列的紅繩子上打結(jié)，滿六進(jìn)一，用6來記錄每年進(jìn)的錢數(shù)，由圖可得，這位古人一年收入的錢數(shù)用十進(jìn)制表示為（）A.180 B.179C.178 D.1772．已知等比數(shù)列的公比q為整數(shù)，且，，則（）A.2 B.3C.-2 D.-33．已知正方形ABCD的邊長為2，E，F(xiàn)分別為CD，CB的中點，分別沿AE，AF將三角形ADE，ABF折起，使得點B，D恰好重合，記為點P，則AC與平面PCE所成角等于（）A. B.C. D.4．已知橢圓的短軸長和焦距相等，則a的值為（）A.1 B.C. D.5．已知，，，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（）A. B.C. D.6．中國剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋，用于裝點生活或配合其他民俗活動的民間藝術(shù).如圖所示的圓形剪紙中，正六邊形的所有頂點都在該圓上，若在該圓形剪紙的內(nèi)部投擲一點，則該點恰好落在正六邊形內(nèi)部的概率為（）A. B.C. D.7．下列命題中正確的個數(shù)為（）①若向量，與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，則；②若向量，，是空間一組基底，則，，也是空間的一組基底；③為空間一組基底，若，則；④對于任意非零空間向量，，若，則A.1 B.2C.3 D.48．已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，則此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.9．?dāng)?shù)列，，，，…的一個通項公式為（）A. B.C. D.10．當(dāng)圓的圓心到直線的距離最大時，（）A B.C. D.11．我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中說：“九百九十六斤棉，贈分八子做盤纏，次第每人多十七，要將第八數(shù)來言，務(wù)要分明依次第，孝和休惹外人傳.”意為：“996斤棉花，分別贈送給8個子女做旅費，從第一個孩子開始，以后每人依次多17斤，直到第8個孩子為止.分配時一定要依照次序分，要順從父母，兄弟間和氣，不要引得外人說閑話.”在這個問題中，第5個孩子分到棉花為（）A.133斤 B.116斤C.99斤 D.65斤12．已知橢圓：，左、右焦點分別為，過的直線交橢圓于兩點，若的最大值為5，則的值是A.1 B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知曲線的焦距是10，曲線上的點到一個焦點的距離是2，則點到另一個焦點的距離為__________.14．兩姐妹同時推銷某一商品，現(xiàn)抽取他們其中8天的銷售量（單位：臺），得到的莖葉圖如圖所示，已知妹妹的銷售量的平均數(shù)為14，姐姐的銷售量的中位數(shù)比妹妹的銷售量的眾數(shù)大2，則的值為______.15．雙曲線的焦距為____________16．若一個球表面積為，則該球的半徑為____________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）從甲、乙兩名學(xué)生中選拔一人參加射擊比賽，現(xiàn)對他們的射擊水平進(jìn)行測試，兩人在相同條件下各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：甲：7，8，6，8，6，5，9，10，7，乙：9，5，7，8，7，6，8，6，7，（1）求，，，（2）你認(rèn)為應(yīng)該選哪名學(xué)生參加比賽？為什么？18．（12分）已知點是橢圓E：一點，且橢圓的離心率為.（1）求此橢圓E方程；（2）設(shè)橢圓的左頂點為A，過點A向上作一射線交橢圓E于點B，以AB為邊作矩形ABCD，使得對邊CD經(jīng)過橢圓中心O.（i）求矩形ABCD面積的最大值；（ii）問：矩形ABCD能否為正方形？若能，求出直線AB的方程；若不能，請說明理由.19．（12分）解下列不等式：（1）；（2）.20．（12分）如圖，四棱錐中，是邊長為2的正三角形，底面為菱形，且平面平面，，為上一點，滿足.（1）證明：；（2）求二面角的余弦值.21．（12分）如圖，四邊形是正方形，平面，，（1）證明：平面平面；（2）若與平面所成角為，求二面角的余弦值22．（10分）已知動圓過點，且與直線：相切（1）求動圓圓心的軌跡方程；（2）若過點且斜率的直線與圓心的軌跡交于兩點，求線段的長度

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由于從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿六進(jìn)一，所以從右到左的數(shù)分別為、、，然后把它們相加即可.【詳解】（個）.所以古人一年收入的錢數(shù)用十進(jìn)制表示為個.故選：D.2、A【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)有，結(jié)合已知求出基本量，再由即可得答案.【詳解】因為，，且q為整數(shù)，所以，，即q=2.所以.故選：A3、A【解析】如圖，以PE，PF，PA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解【詳解】由題意得，因為正方形ABCD的邊長為2，E，F(xiàn)分別為CD，CB的中點，所以，所以，所以所以PA，PE，PF三線互相垂直，故以PE，PF，PA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，則由，，，得，解得，則設(shè)平面的法向量為，則，令，則，因為，所以AC與平面PCE所成角的正弦值，因為AC與平面PCE所成角為銳角，所以AC與平面PCE所成角為，故選：A4、A【解析】由題設(shè)及橢圓方程可得，即可求參數(shù)a的值.【詳解】由題設(shè)易知：橢圓參數(shù)，即有，可得故選：A5、B【解析】計算出、的值，執(zhí)行程序框圖中的程序，進(jìn)而可得出輸出結(jié)果.【詳解】，，則，執(zhí)行如圖所示的程序，，成立，則，不成立，輸出的值為.故選：B.6、D【解析】設(shè)圓的半徑，求出圓的面積與正六邊形的面積，再根據(jù)幾何概型的概率公式計算可得；【詳解】解：設(shè)圓的半徑，則，則，所以，所以在該圓形剪紙的內(nèi)部投擲一點，則該點恰好落在正六邊形內(nèi)部的概率;故選：D7、C【解析】根據(jù)題意、空間向量基底的概念和共線的運算即可判斷命題①②③，根據(jù)空間向量的平行關(guān)系即可判斷命題④.【詳解】①：向量與空間任意向量都不能構(gòu)成一個基底，則與共線或與其中有一個為零向量，所以，故①正確；②：由向量是空間一組基底，則空間中任意一個向量，存在唯一的實數(shù)組使得，所以也是空間一組基底，故②正確；③：由為空間一組基底，若，則，所以，故③正確；④：對于任意非零空間向量，，若，則存在一個實數(shù)使得，有，又中可以有為0的，分式?jīng)]有意義，故④錯誤.故選：C8、D【解析】由已知設(shè)拋物線方程為，由題意可得，求出，從而可得拋物線的方程【詳解】因為拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以設(shè)拋物線方程為，則，得，所以拋物線方程為，故選：D，9、B【解析】根據(jù)給定數(shù)列，結(jié)合選項提供通項公式，將n代入驗證法判斷是否為通項公式.【詳解】A：時，排除；B：數(shù)列，，，，…滿足.C：時，排除；D：時，排除；故選：B10、C【解析】求出圓心坐標(biāo)和直線過定點，當(dāng)圓心和定點的連線與直線垂直時滿足題意，再利用兩直線垂直，斜率乘積為-1求解即可.【詳解】解：因為圓的圓心為,半徑，又因為直線過定點A(-1,1),故當(dāng)與直線垂直時，圓心到直線的距離最大，此時有，即，解得.故選：C.11、A【解析】根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式、等差數(shù)列的通項公式進(jìn)行求解即可.【詳解】依題意得，八個子女所得棉花斤數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)該等差數(shù)列為，公差為d，前n項和為，第一個孩子所得棉花斤數(shù)為，則由題意得，，解得，故選：A12、D【解析】由題意可知橢圓是焦點在x軸上的橢圓，利用橢圓定義得到|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，再由過橢圓焦點的弦中通徑的長最短，可知當(dāng)AB垂直于x軸時|AB|最小，把|AB|的最小值b2代入|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于5列式求b的值即可【詳解】由0＜b＜2可知，焦點在x軸上，∵過F1的直線l交橢圓于A，B兩點，則|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|＝2a+2a＝4a＝8∴|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|當(dāng)AB垂直x軸時|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，此時|AB|＝b2，則5＝8﹣b2，解得b，故選D【點睛】本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了橢圓的定義，考查橢圓的通徑公式，考查計算能力，屬于中檔題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、或10.【解析】對參數(shù)a進(jìn)行討論，考慮曲線是橢圓和雙曲線的情況，進(jìn)而結(jié)合橢圓與雙曲線的定義和性質(zhì)求得答案.【詳解】由題意，曲線的半焦距為5，若曲線是焦點在x軸上的橢圓，則a>16，所以，而橢圓上的點到一個焦點距離是2，則點到另一個焦點的距離為；若曲線是焦點在y軸上的橢圓，則0<a<16，所以，舍去；若曲線是雙曲線，則a<0，容易判斷雙曲線的焦點在y軸，所以，不妨設(shè)點P在雙曲線的上半支，上下焦點分別為，因為實半軸長為4，容易判斷點P到下焦點的距離的最小值為4+5=9>2，不合題意，所以點P到上焦點的距離為2，則它到下焦點的距離.故答案為：或10.14、13【解析】先根據(jù)妹妹的銷售量的平均數(shù)為14，求得y,進(jìn)而得到其眾數(shù)，然后再根據(jù)姐姐的銷售量的中位數(shù)比妹妹的銷售量的眾數(shù)大2，得到姐姐的銷售量的中位數(shù).【詳解】因為妹妹的銷售量的平均數(shù)為14，所以，解得，由莖葉圖知：妹妹的銷售量的眾數(shù)是14，因為姐姐的銷售量的中位數(shù)比妹妹的銷售量的眾數(shù)大2，所以姐姐的銷售量的中位數(shù)是16，所以，解得，所以，故答案為：1315、【解析】根據(jù)雙曲線的方程求出，再求焦距的值.【詳解】因為雙曲線方程為，所以，.雙曲線的焦距為.故答案為：.16、【解析】設(shè)球的半徑為，代入球的表面積公式得答案【詳解】解：設(shè)球的半徑為，則，得，即或（舍去）故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；；；；（2）選乙參加比賽，理由見解析.【解析】（1）利用平均數(shù)和方程公式求解；（2）利用（1）的結(jié)果作出判斷.【詳解】（1）由數(shù)據(jù)得：；；（2）由（1）可知，甲乙兩人平均成績一樣，乙的方差小于甲的方差，說明乙的成績更穩(wěn)定；應(yīng)該選乙參加比賽.18、（1）；（2）(i)；(ii).【解析】(1)根據(jù)給定條件列出關(guān)于a，b的方程組，解方程組代入得解.(2)(i)設(shè)直線AB方程，與橢圓方程聯(lián)立求出線段AB長，再求出原點O到直線AB距離列出矩形面積求解即可；(ii)由(i)及列出方程，由方程解的情況即可判斷計算作答.【小問1詳解】令橢圓半焦距為c，依題意，，解得，所以橢圓E的方程為：.【小問2詳解】(i)由(1)知，，設(shè)直線AB的斜率為，則直線AB的方程為：，由消去y并整理得：，點的橫坐標(biāo)，則點的橫坐標(biāo)有：，解得，則有，因矩形的邊CD過原點O，則，因此，矩形的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”，所以矩形ABCD面積的最大值是.(ii)假定矩形ABCD能成為正方形，則，由(i)知：，整理得：，即，而，解得，所以矩形ABCD能成為正方形，此時，直線AB的方程為.【點睛】思路點睛：圓錐曲線中的最值問題，往往需要利用韋達(dá)定理構(gòu)建目標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，自變量可以斜率或點的橫、縱坐標(biāo)等.而目標(biāo)函數(shù)的最值可以通過二次函數(shù)或基本不等式或?qū)?shù)等求得.19、（1）（2）【解析】（1）利用十字相乘解題即可（2）利用分子分母同號為正，異號為負(fù)思想，注意討論分母不為0【小問1詳解】由題，即，解得或，即；【小問2詳解】由題，解得或，即20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）設(shè)為中點，連接，根據(jù)，證明平面得到答案.（2）以為原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，計算各點坐標(biāo)，計算平面和平面的法向量，根據(jù)向量夾角公式計算得到答案.【詳解】（1）設(shè)為中點，連接，，∵，∴，又∵底面四邊形為菱形，，∴為等邊三角形，∴，又∴，，平面，∴平面，而平面，∴.（2）∵平面平面，平面平面，，∴平面以為原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，由，，，即，∴，，，設(shè)為平面的法向量，則由，令，得，，∴，設(shè)為平面的法向量，則由，令，得，，∴，設(shè)二面角的平面角為，則，∴二面角的的余弦值為.【點睛】本題考查了線線垂直，二面角，意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力，建立空間直角坐標(biāo)系是解題的關(guān)鍵.21、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）連接與交于點O，易得平面，取的中點M，易得為平行四邊形，即，得到平面，然后利用面面垂直的判定定理證明；（2）以A為坐標(biāo)原點，分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)與平面所成角為，由，解得，然后分別求得平面的一個法向量，平面的一個法向量，由求解.【詳解】（1）如圖所示：連接與交于點O，因為為正方形，故，又平面，故，由，故平面，取的中點M，連接，注意到為的中位線，故，且，因此，且，故為平行四邊形，即，因此平面，而平面，故平面平面（2）以A坐標(biāo)原點，分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，由（1）可知平面，因此平面的一個法向量為，而，由與平面所成角為，得，即，解得；則，設(shè)平面的一個法向量為，則得