2025屆北京市人大學(xué)附屬中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

2025屆北京市人大學(xué)附屬中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，且，則的最大值為（）A. B.C. D.2．如圖，某鐵路客運(yùn)部門(mén)設(shè)計(jì)的從甲地到乙地旅客托運(yùn)行李的費(fèi)用c（元）與行李質(zhì)量w（kg）之間的流程圖．已知旅客小李和小張托運(yùn)行李的質(zhì)量分別為30kg，60kg，且他們托運(yùn)的行李各自計(jì)費(fèi)，則這兩人托運(yùn)行李的費(fèi)用之和為（）A.28元 B.33元C.38元 D.48元3．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，，直線(xiàn)AP，BP相交于點(diǎn)P，且它們斜率之積是.當(dāng)時(shí)，的最小值為（）A. B.C. D.4．已知點(diǎn)P(5，3，6)，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)A(2，3，1)，且一個(gè)方向向量為，則點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離為()A. B.C. D.5．執(zhí)行如圖所示的算法框圖，則輸出的結(jié)果是（）A. B.C. D.6．某幾何體的三視圖如圖所示，則其對(duì)應(yīng)的幾何體是A. B.C. D.7．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，則線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)與向量的模長(zhǎng)分別是（）A.；5 B.；C.； D.；8．通過(guò)隨機(jī)詢(xún)問(wèn)110名不同的大學(xué)生是否愛(ài)好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，得到如下的列聯(lián)表：男女總計(jì)愛(ài)好402060不愛(ài)好203050總計(jì)6050110由附表：0．0500．0100．0013．8416．63510．828參照附表，得到的正確結(jié)論是（）A.有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”B.有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”C.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0．1%的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”D.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0．1%的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”9．已知，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.即不充分也不必要條件10．若，則下列不等式不能成立是（）A. B.C. D.11．我國(guó)古代銅錢(qián)蘊(yùn)含了“外圓內(nèi)方”“天地合一”的思想．現(xiàn)有一銅錢(qián)如圖，其中圓的半徑為r，正方形的邊長(zhǎng)為，若在圓內(nèi)隨即取點(diǎn)，取自陰影部分的概率是p，則圓周率的值為（）A. B.C. D.12．經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)直線(xiàn)的傾斜角是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．下圖是個(gè)幾何體的展開(kāi)圖，圖①是由個(gè)邊長(zhǎng)為的正三角形組成；圖②是由四個(gè)邊長(zhǎng)為的正三角形和一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形組成；圖③是由個(gè)邊長(zhǎng)為的正三角形組成；圖④是由個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形組成.若幾何體能夠穿過(guò)直徑為的圓，則該幾何體的展開(kāi)圖可以是______（填所有正確結(jié)論的序號(hào)）.14．與同一條直線(xiàn)都相交的兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系是________15．命題“x≥1，x2-2x+4≥0”的否定為_(kāi)___________.16．寫(xiě)出一個(gè)與橢圓有公共焦點(diǎn)的橢圓方程__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD=2AD=4，PD⊥CD，PD⊥AD，底面ABCD為正方形，M、N、Q分別為AD、PD、BC的中點(diǎn)（1）證明：面PAQ//面MNC；（2）求二面角M-NC-D的余弦值18．（12分）已知函數(shù)（1）若在上不單調(diào)，求a的范圍；（2）試討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)19．（12分）已知拋物線(xiàn)C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，點(diǎn)在拋物線(xiàn)C上（1）求拋物線(xiàn)C的方程；（2）過(guò)拋物線(xiàn)C焦點(diǎn)F的直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)于P，Q兩點(diǎn)，若求直線(xiàn)l的方程20．（12分）在①；②；③；這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，然后解答補(bǔ)充完整的題.注：若選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.已知，且（只需填序號(hào)）.（1）求的值；（2）求展開(kāi)式中的奇數(shù)次冪的項(xiàng)的系數(shù)之和21．（12分）如圖，在幾何體中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面，，且是的中點(diǎn).（1）求證:平面；（2）求二面角的余弦值.22．（10分）已知向量，.（1）計(jì)算和；（2）求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由基本不等式直接求解即可得到結(jié)果.【詳解】由基本不等式知；（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），的最大值為.故選：A.2、D【解析】根據(jù)程序框圖分別計(jì)算小李和小張托運(yùn)行李的費(fèi)用，再求和得出答案.【詳解】由程序框圖可知，當(dāng)時(shí)，元；當(dāng)時(shí)，元，所以這兩人托運(yùn)行李的費(fèi)用之和為元.故選：D3、A【解析】設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，求得、所在直線(xiàn)的斜率，由斜率之積是列式整理即可得到點(diǎn)的軌跡方程，設(shè)，根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義，從而求出的最小值；【詳解】解：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線(xiàn)的斜率；直線(xiàn)的斜率由已知有，化簡(jiǎn)得點(diǎn)的軌跡方程為又，所以點(diǎn)的軌跡方程為，即點(diǎn)的軌跡為以、為頂點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的左支（除點(diǎn)），因?yàn)?，設(shè)，由雙曲線(xiàn)的定義可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取得最小值，因?yàn)?，所以，所以，即的最小值為；故選：A4、B【解析】根據(jù)向量和直線(xiàn)l的方向向量的關(guān)系即可求出點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離.【詳解】由題意，，，，，，到直線(xiàn)的距離為.故選：B.5、B【解析】列舉出循環(huán)的每一步，利用裂項(xiàng)相消法可求得輸出結(jié)果.【詳解】第一次循環(huán)，不成立，，；第二次循環(huán)，不成立，，；第三次循環(huán)，不成立，，；以此類(lèi)推，最后一次循環(huán)，不成立，，.成立，跳出循環(huán)體，輸出.故選：B.6、A【解析】根據(jù)三視圖即可還原幾何體.【詳解】根據(jù)三視圖，特別注意到三視圖中對(duì)角線(xiàn)的位置關(guān)系，容易判斷A正確.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三視圖，屬于中檔題.7、B【解析】根據(jù)給定條件利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及空間向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示計(jì)算作答.【詳解】因點(diǎn)，，所以線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，.故選：B8、A【解析】由，而，故由獨(dú)立性檢驗(yàn)的意義可知選A9、C【解析】根據(jù)充要條件的定義進(jìn)行判斷【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)為增函數(shù)，由，所以，故“”是“”的充分條件，由，所以，故“”是“”的必要條件，故“”是“”的充要條件故選：C10、C【解析】利用不等式的性質(zhì)可判斷ABD，利用賦值法即可判斷C，如.【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以，，，故ABD正確；對(duì)于C，若，則，故C錯(cuò)誤.故選：C.11、B【解析】根據(jù)圓和正方形的面積公式結(jié)合幾何概型概率公式求解即可.【詳解】由可得故選：B12、B【解析】求出直線(xiàn)的斜率后可得傾斜角【詳解】經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率為，設(shè)該直線(xiàn)的傾斜角為，則，又，所以.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①【解析】根據(jù)幾何體展開(kāi)圖可知①正四面體、②正四棱錐、③正八面體、④正方體，進(jìn)而求其外接球半徑，并與比較大小，即可確定答案.【詳解】①由題設(shè)，幾何體為棱長(zhǎng)為的正四面體，該正四面體可放入一個(gè)正方體中，且正方體的棱長(zhǎng)為，該正四面體的外接球半徑為，滿(mǎn)足要求；②由題設(shè)，幾何體為棱長(zhǎng)為的正四棱錐，如下圖所示：設(shè)，連接，則為、的中點(diǎn)，因?yàn)樗倪呅问沁呴L(zhǎng)為的正方形，則，所以，，所以，，所以，，，所以點(diǎn)為正四棱錐的外接球球心，且該球的半徑為，不滿(mǎn)足要求；③由題設(shè)，幾何體為棱長(zhǎng)為的正八面體，該正八面體可由兩個(gè)共底面，且棱長(zhǎng)均為的正四棱錐拼接而成，由②可知，該正八面體的外接球半徑為，不滿(mǎn)足要求；④由題設(shè)，幾何體為棱長(zhǎng)為的正方體，其外接球半徑為，不滿(mǎn)足要求；故答案為：①.14、平行，相交或者異面【解析】由空間中兩直線(xiàn)的位置關(guān)系求解即可【詳解】由題意與同一條直線(xiàn)都相交的兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系可能是：平行，相交或者異面，故答案為：平行，相交或者異面，15、【解析】根據(jù)還有一個(gè)量詞的命題的否定的方法解答即可.【詳解】命題“x≥1，x2-2x+4≥0”的否定為“”.故答案為：.16、（答案不唯一）【解析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及分析即可【詳解】由題可知橢圓的形式應(yīng)為（，且），可取故答案為：（答案不唯一）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明過(guò)程見(jiàn)解析（2）【解析】（1）由線(xiàn)線(xiàn)平行證明線(xiàn)面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量進(jìn)行求解二面角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)镸，N是DA，PD的中點(diǎn)，所以MN//AP，因?yàn)槠矫鍼AQ，平面PAQ，所以MN//平面PAQ因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，且Q為BC中點(diǎn)，所以MA//CQ，且MA=CQ，所以四邊形MAQC為平行四邊形，所以CM//AQ，因?yàn)槠矫鍼AQ，平面PAQ，所以MC//平面PAQ，因?yàn)?，所以面PAQ//面MNC【小問(wèn)2詳解】因?yàn)镻D⊥CD，PD⊥AD，AD⊥CD故以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA所在直線(xiàn)為x軸，DC所在直線(xiàn)為y軸，DP所在直線(xiàn)為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)平面NMC的法向量為，則，令得：，所以，平面NDC的法向量為，則，設(shè)二面角M-NC-D的大小為，顯然為銳角，則18、（1）（2）答案見(jiàn)解析【解析】（1）由：存在使來(lái)求得的取值范圍.（2）利用分離常數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來(lái)求得零點(diǎn)個(gè)數(shù).【小問(wèn)1詳解】，在上遞增，由于在上不單調(diào)，所以存使，，所以.【小問(wèn)2詳解】，令，當(dāng)時(shí)，，構(gòu)造函數(shù)，，所以在遞減；在遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；.由此畫(huà)出大致圖象如下圖所示，所以，當(dāng)時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有個(gè)零點(diǎn).19、（1）（2）或【解析】(1)把點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程即可；(2)設(shè)直線(xiàn)方程，解聯(lián)立方程組，消未知數(shù)，得到一元二次方程，再利用韋達(dá)定理和已知條件求斜率.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閽佄锞€(xiàn)C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)拋物線(xiàn)方程為又因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線(xiàn)C上，所以，解得，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為；【小問(wèn)2詳解】拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)為，當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，，不符合題意；當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為，設(shè)直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)的兩點(diǎn)坐標(biāo)為，，由得，，，，由拋物線(xiàn)得定義可知，所以，解得，即，所以直線(xiàn)l的方程為或20、（1）選①②③，答案均為；（2）66【解析】（1）選①時(shí)，利用二項(xiàng)式定理求得的通項(xiàng)公式為，從而得到，求出n的值；選②時(shí)，利用二項(xiàng)式系數(shù)和的公式求出，解出n的值；選③時(shí)，利用賦值法求解，，從而求出n的值；（2）在第一問(wèn)求出的的前提下進(jìn)行賦值法求解.【小問(wèn)1詳解】選①，其中，而的通項(xiàng)公式為，當(dāng)時(shí)，，所以，解得：；選②，由于，所以，解得：；選③，令中得：，再令得：，解得：；【小問(wèn)2詳解】由（1）知：n=7，所以，令得：，令得：，兩式相減得：，所以，故展開(kāi)式中的奇數(shù)次冪的項(xiàng)的系數(shù)和為66.21、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）取的中點(diǎn)F，連接EF，，由四邊形是平行四邊形即可求解；（2）采用建系法，以為軸，為軸，垂直底面方向?yàn)檩S，求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合二面角夾角余弦公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】取的中點(diǎn)F，連接EF，，∵，∴，且，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面；