2025屆上海市浦光中學數(shù)學高二上期末聯(lián)考試題含解析

2025屆上海市浦光中學數(shù)學高二上期末聯(lián)考試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線C的離心率為，則雙曲線C的漸近線方程為（）A. B.C. D.2．下列命題正確的是（）A.經過三點確定一個平面B.經過一條直線和一個點確定一個平面C.四邊形確定一個平面D.兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面3．已知直線過點，且與直線垂直，則直線的方程為（）A. B.C. D.4．記等比數(shù)列的前項和為，若，，則（）A.12 B.18C.21 D.275．已知不等式的解集為，關于x的不等式的解集為B，且，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.6．已知函數(shù)滿足，則曲線在點處的切線方程為（）A. B.C. D.7．已知圓和圓恰有三條公共切線，則的最小值為（）A.6 B.36C.10 D.8．已知點是橢圓的左右焦點，橢圓上存在不同兩點使得，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.9．我國新冠肺炎疫情防控進入常態(tài)化，各地有序進行疫苗接種工作，下面是我國甲、乙兩地連續(xù)11天的疫苗接種指數(shù)折線圖，根據(jù)該折線圖，下列說法不正確的是（）A.這11天甲地指數(shù)和乙地指數(shù)均有增有減B.第3天至第11天，甲地指數(shù)和乙地指數(shù)都超過80%C.在這11天期間，乙地指數(shù)的增量大于甲地指數(shù)的增量D.第9天至第11天，乙地指數(shù)的增量大于甲地指數(shù)的增量10．若，則x的值為（）A.4 B.6C.4或6 D.811．“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學的瑰寶，如圖所示，它是由四個全等的直角三角形和一個正方形構成.現(xiàn)用4種不同的顏色（4種顏色全部使用）給這5個區(qū)域涂色，要求相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，每個區(qū)域只涂一種顏色，則不同的涂色方案有（）A.24種 B.48種C.72種 D.96種12．已知圓柱的表面積為定值，當圓柱的容積最大時，圓柱的高的值為（）A.1 B.C. D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．拋物線的準線方程為_____14．已知數(shù)列的前項和則____________________15．數(shù)列滿足，則__________.16．已知函數(shù)，是其導函數(shù)，若曲線的一條切線為直線：，則的最小值為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（m≥0）.（1）當m=0時，求曲線在點（1，f（1））處的切線方程；（2）若函數(shù)的最小值為，求實數(shù)m的值.18．（12分）圓心在軸正半軸上、半徑為2的圓與直線相交于兩點且.（1）求圓的標準方程；（2）若直線，圓上僅有一個點到直線的距離為1，求直線的方程.19．（12分）在柯橋古鎮(zhèn)的開發(fā)中，為保護古橋OA，規(guī)劃在O的正東方向100m的C處向對岸AB建一座新橋，使新橋BC與河岸AB垂直，并設立一個以線段OA上一點M為圓心，與直線BC相切的圓形保護區(qū)（如圖所示），且古橋兩端O和A與圓上任意一點的距離都不小于50m，經測量，點A位于點O正南方向25m，，建立如圖所示直角坐標系（1）求新橋BC的長度；（2）當OM多長時，圓形保護區(qū)的面積最??？20．（12分）如圖，已知橢圓的左頂點，過右焦點的直線與橢圓相交于兩點，當直線軸時，.（1）求橢圓的方程；（2）記,的面積分別為，求的取值范圍；（3）若的重心在圓上，求直線的斜率.21．（12分）已知的三個內角，，的對邊分別為，，，且滿足.（1）求角的大?。唬?）若，，，求的長.22．（10分）如圖所示，第九屆亞洲機器人錦標賽VEX中國選拔賽永州賽區(qū)中，主辦方設計了一個矩形坐標場地ABCD（包含邊界和內部，A為坐標原點），AD長為10米，在AB邊上距離A點4米的F處放置一只電子狗，在距離A點2米的E處放置一個機器人，機器人行走速度為v，電子狗行走速度為，若電子狗和機器人在場地內沿直線方向同時到達場地內某點M，那么電子狗將被機器人捕獲，點M叫成功點.（1）求在這個矩形場地內成功點M的軌跡方程；（2）P為矩形場地AD邊上的一動點，若存在兩個成功點到直線FP的距離為，且直線FP與點M的軌跡沒有公共點，求P點橫坐標的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)雙曲線的離心率，求出即可得到結論【詳解】∵雙曲線的離心率是，∴，即1+，即1，則，即雙曲線的漸近線方程為，故選：B2、D【解析】由平面的基本性質結合公理即可判斷.【詳解】對于A，過不在一條直線上三點才能確定一個平面，故A不正確；對于B，經過一條直線和直線外一個點確定一個平面，故B不正確；對于C，空間四邊形不能確定一個平面，故C不正確；對于D，兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面，故D正確.故選：D3、A【解析】求出直線斜率，利用點斜式可得出直線的方程.【詳解】直線的斜率為，則直線的斜率為，故直線的方程為，即.故選：A.4、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質，可知等比數(shù)列的公比,所以成等比數(shù)列，根據(jù)等比的中項性質即可求出結果.【詳解】因為為等比數(shù)列的前項和，且，，易知等比數(shù)列的公比,所以成等比數(shù)列所以，所以，解得.故選：C5、B【解析】解出不等式可得集合，由可得，然后可得在上恒成立，然后分離參數(shù)求解即可.【詳解】由得，，解得，因為，所以所以可得在上恒成立，即在上恒成立，故只需，，當時，，故故選：B6、A【解析】求出函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的定義求解，然后求解切線的斜率即可【詳解】解：函數(shù)，可得，，可得，即，所以，可得，解得，所以，所以曲線在點處的切線方程為故選：A7、B【解析】由公切線條數(shù)得兩圓外切，由此可得的關系，從而點在以原點為圓心，4為半徑的圓上，記，由求得的最小值，平方后即得結論【詳解】圓標準方程為，，半徑為，圓標準方程為，，半徑為，兩圓有三條公切線，則兩圓外切，所以，即，點在以原點為圓心，4為半徑的圓上，記，，所以，所以的最小值為故選：B8、C【解析】先設點，利用向量關系得到兩點坐標之間的關系，再結合點在橢圓上，代入方程，消去即得，根據(jù)題意，構建的齊次式，解不等式即得結果.【詳解】設，由得，，，即，由在橢圓上，故，即，消去得，，根據(jù)橢圓上點滿足，又兩點不同，可知，整理得，故，故.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：圓錐曲線中離心率的計算，關鍵是根據(jù)題中條件，結合曲線性質，找到一組等量關系（齊次式），進而求解離心率或范圍.9、C【解析】由折線圖逐項分析得到答案.【詳解】對于選項A，從折線圖中可以直接觀察出甲地和乙地的指數(shù)有增有減，故選項A正確；對于選項B，從第3天至第11天，甲地指數(shù)和乙地指數(shù)都超過80%，故選項B正確；對于選項C，從折線圖上可以看出這11天甲的增量大于乙的增量，故選項C錯誤；對于選項D，從折線圖上可以看出第9天至第11天，乙地指數(shù)的增量大于甲地指數(shù)的增量，故D正確；故選：C.10、C【解析】根據(jù)組合數(shù)的性質可求解.【詳解】,或，即或.故選：C11、B【解析】根據(jù)題意，分2步進行分析區(qū)域①、②、⑤和區(qū)域③、④的涂色方法，由分步計數(shù)原理計算可得答案.【詳解】根據(jù)題意，分2步進行分析：當區(qū)域①、②、⑤這三個區(qū)域兩兩相鄰，有種涂色的方法；當區(qū)域③、④，必須有1個區(qū)域選第4種顏色，有2種選法，選好后，剩下的區(qū)域有1種選法，則區(qū)域③、④有2種涂色方法，故共有種涂色的方法.故選：B12、B【解析】設圓柱的底面半徑為，則圓柱底，圓柱側，則可得，則圓柱的體積為，利用導數(shù)求出最大值，確定值.【詳解】設圓柱的底面半徑為，則圓柱底，圓柱側，∴，∴，則圓柱的體積，∴，由得，由得，∴當時，取極大值，也是最大值，即故選：B【點睛】本題主要考查了圓柱表面積和體積的計算，考查了導數(shù)的實際應用，考查了學生的應用意識.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】本題利用拋物線的標準方程得出拋物線的準線方程【詳解】由拋物線方程可知，拋物線的準線方程為：故答案為【點睛】本題考查拋物線的相關性質，主要考查拋物線的簡單性質的應用，考查拋物線的準線的確定，是基礎題14、【解析】根據(jù)數(shù)列中與的關系，即可求出通項公式.【詳解】當時，，當時，，時，也適合，綜上，，（），故答案為：【點睛】本題主要考查了數(shù)列前n項和與通項間的關系，屬于容易題.15、【解析】對遞推關系多遞推一次，再相減，可得，再驗證是否滿足；【詳解】∵①時，②①-②得，時，滿足上式，.故答案為：.【點睛】數(shù)列中碰到遞推關系問題，經常利用多遞推一次再相減的思想方法求解.16、【解析】設直線與曲線相切的切點為，借助導數(shù)的幾何意義用表示出m，n即可作答.【詳解】設直線與曲線相切的切點為，而，則直線的斜率，于是得，即，由得，而，于是得，即因，則，，當且僅當時取“=”，所以的最小值為.故答案為：【點睛】結論點睛：函數(shù)y=f(x)是區(qū)間D上的可導函數(shù)，則曲線y=f(x)在點處的切線方程為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）求導，利用導函數(shù)的幾何意義求解切線方程的斜率，進而求出切線方程；（2）對導函數(shù)再次求導，判斷其單調性，結合隱零點求出其最小值，列出方程，求出實數(shù)m的值.【小問1詳解】當時，因為，所以切線的斜率為，所以切線方程為，即.【小問2詳解】因為，令，因為，所以在上單調遞增，當實數(shù)時，，；當實數(shù)時，，；當實數(shù)時，，所以總存在一個，使得，且當時，；當時，，所以，令，因為，所以單調遞減，又，所以時，所以，即.18、（1）；（2）或.【解析】（1）根據(jù)圓的弦長公式進行求解即可；（2）根據(jù)平行線的性質，結合直線與圓的位置關系進行求解即可.小問1詳解】因為圓的圓心在軸正半軸上、半徑為2，所以設方程為：，圓心，設圓心到直線的距離為，因為，所以有，或舍去，所以圓的標準方程為；【小問2詳解】由（1）可知：，圓的半徑為，因為直線，所以設直線的方程為，因為圓上僅有一個點到直線的距離為1，所以直線與該圓相離，當兩平行線間的距離為，于是有：，當時，圓心到直線的距離為：，符合題意；當時，圓心到直線的距離為：：，不符合題意，此時直線的方程為.當兩平行線間的距離為，于是有：，當時，圓心到直線的距離為：，不符合題意；當時，圓心到直線的距離為：：，不符合題意，此時直線的方程為.故直線方程為或.19、（1）80m；（2）.【解析】（1）根據(jù)斜率的公式，結合解方程組法和兩點間距離公式進行求解即可；（2）根據(jù)圓的切線性質進行求解即可.【小問1詳解】由題意，可知，，∵∴直線BC方程：①，同理可得：直線AB方程：②由①②可知，∴，從而得故新橋BC得長度為80m【小問2詳解】設，則，圓心，∵直線BC與圓M相切，∴半徑，又因為，∵∴，所以當時，圓M的面積達到最小20、（1）（2）（3）【解析】（1）根據(jù)已知條件得到，，即可得到橢圓的方程.（2）首先設直線為，與橢圓聯(lián)立得到，根據(jù)得到的范圍，從而得到的范圍.（3）設重心，根據(jù)重心性質得到，，再代入求解即可.小問1詳解】因為左頂點，所以，根據(jù)，可得，解得，所以；【小問2詳解】設直線為，則，則，，那么，根據(jù)解得，所以.【小問3詳解】設重心，則：，，所以，所以，即所求直線的斜率為.21、（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理化邊為角后，結合兩角和的正弦公式、誘導公式可求得；（2）用表示出，然后平方由數(shù)量積的運算求得向量的模（線段長度）【詳解】（1）因為，所以由正弦定理可得，即，因為，所以，，∵，故；（2）由，得，所以，所以.22、（1）（2