2025屆高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考第二輪專題復(fù)習(xí)第9講數(shù)列等差數(shù)列與等比數(shù)列學(xué)案理含解析

第9講數(shù)列、等差數(shù)列與等比數(shù)列高考年份全國卷Ⅰ全國卷Ⅱ全國卷Ⅲ2024等比數(shù)列求和·T6遞推關(guān)系·T122024等差數(shù)列求通項(xiàng)及前n項(xiàng)和·T9等比數(shù)列的基本量運(yùn)算·T14等比數(shù)列的基本量運(yùn)算·T5等差數(shù)列的基本量運(yùn)算·T142024等差數(shù)列的基本量運(yùn)算·T4數(shù)列求和·T141.[2024·全國卷Ⅱ]數(shù)列{an}中,a1=2,am+n=aman,若ak+1+ak+2+…+ak+10=215-25,則k= ()A.2 B.3 C.4 D.52.[2024·全國卷Ⅰ]記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.已知S4=0,a5=5,則 ()A.an=2n-5 B.an=3n-10C.Sn=2n2-8n D.Sn=12n2-23.[2024·全國卷Ⅰ]幾位高校生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召,開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的愛好,他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲得軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案:已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一項(xiàng)是20,接下來的兩項(xiàng)是20,21,再接下來的三項(xiàng)是20,21,22,依此類推.求滿意如下條件的最小整數(shù)N:N>100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是 ()A.440 B.330 C.220 D.1104.[2024·北京卷]在等差數(shù)列{an}中,a1=-9,a5=-1.記Tn=a1a2…an(n=1,2,…),則數(shù)列{Tn} ()A.有最大項(xiàng),有最小項(xiàng)B.有最大項(xiàng),無最小項(xiàng)C.無最大項(xiàng),有最小項(xiàng)D.無最大項(xiàng),無最小項(xiàng)5.[2024·全國卷Ⅰ]記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a1=13,a42=a6,則S56.[2024·全國新高考Ⅱ卷]將數(shù)列{2n-1}與{3n-2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an},則{an}的前n項(xiàng)和為.

7.[2024·江蘇卷]設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列,{bn}是公比為q的等比數(shù)列.已知數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和Sn=n2-n+2n-1(n∈N*),則d+q的值是.

等差、等比數(shù)列的基本量1(1)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=1,Sn3+an+1=0,則S5= (A.827 B.1681 C.21181 (2)設(shè)等差數(shù)列{an}滿意:a1=3,公差d∈(0,10),其前n項(xiàng)和為Sn.若數(shù)列{Sn+1}也是等差數(shù)列,則Sn【規(guī)律提煉】等差、等比數(shù)列的基本量問題主要涉及函數(shù)與方程的思想,難度不大,重點(diǎn)在于利用數(shù)列的基本性質(zhì)構(gòu)建方程,進(jìn)而求得基本量,運(yùn)算時(shí)要避開馬虎的問題.測題1.已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a4=18,S3-a1=34,則S4= (A.116 B.18 C.3116 2.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,若a2+a7+a9=27,且S8=S9,則d= ()A.-3 B.-1 C.1 D.3等差、等比數(shù)列的性質(zhì)2(1)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,點(diǎn)(n,an)在某條斜率存在且不為0的定直線上,同時(shí)滿意2S5-13a4+5a8=10,則下列數(shù)中為定值的是 ()A.a8 B.S9 C.a17 D.S17(2)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,其前n項(xiàng)之積為Tn,并且滿意條件:a1>1,a2024a2024>1,a2019-1a2020-1<0,給出下列結(jié)論:①0<q<1;②a2024a2024-1>0;③T2024是數(shù)列{Tn}中的最大項(xiàng);④使Tn>1成立的最大自然數(shù)n等于A.①② B.①③C.①③④ D.①②③④測題1.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a5=5a3,則S9S5= A.2 B.259 C.9 D.2.已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且2(a1+a3+a5)+3(a8+a10)=36,則S11= ()A.66 B.55 C.44 D.33等差、等比數(shù)列的綜合問題3(1)已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),且滿意an+12-an2-2(an+1+an)=0,且a2,a4,a8成等比數(shù)列,則數(shù)列1anaA.20192020 B.10098080 C.20198080 (2)假設(shè)你有一筆資金,現(xiàn)有三種投資方案,這三種方案的回報(bào)如下:方案一:每天回報(bào)40元;方案二:第一天回報(bào)10元,以后每天比前一天多回報(bào)10元;方案三:第一天回報(bào)0.4元,以后每天的回報(bào)比前一天翻一番.現(xiàn)準(zhǔn)備投資10天,三種投資方案的總收益分別為A10,B10,C10,則 ()A.A10<B10<C10 B.A10<C10<B10C.B10<A10<C10 D.C10<A10<B10【規(guī)律提煉】解決等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題,關(guān)鍵是理清兩個(gè)數(shù)列的關(guān)系,假如同一數(shù)列中部分項(xiàng)成等差,部分項(xiàng)成等比,那么要把兩個(gè)數(shù)列的項(xiàng)單獨(dú)抽出來探討;假如兩個(gè)數(shù)列通過運(yùn)算綜合在一起,那么要從分析運(yùn)算入手,把兩個(gè)數(shù)列分割開,弄清各自的特征,然后求解.當(dāng)涉及不等式時(shí),要敏捷選擇方法,如比較法、分析法、綜合法與放縮法.同時(shí)要留意對(duì)式子進(jìn)行變形,尤其是遇到函數(shù)與數(shù)列交匯問題時(shí).測題1.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a2a5=3a3,且a4與9a7的等差中項(xiàng)為2,則S5= ()A.1123 B.112 C.12127 D2.在數(shù)列{an}中,已知a1=1,an+1=an+tn(n∈N*,t為非零常數(shù)),且a1,a2,a3成等比數(shù)列,則an=.

數(shù)列的遞推關(guān)系4(1)已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=an+(-1)n·n2(n∈N*),則a101= ()A.-5150 B.-5151 C.5050 D.5051(2)數(shù)列的發(fā)展史,折射出很多有價(jià)值的數(shù)學(xué)思想方法,對(duì)時(shí)代的進(jìn)步起了重要作用,比如意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例,引入“兔子數(shù)列”,即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,…,也即F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥3,n∈N*).若此數(shù)列的各項(xiàng)被4整除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列{bn},則b1+b2+b3+…+b2024= ()A.2695 B.3535 C.2024 D.2024【規(guī)律提煉】利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的項(xiàng),常常會(huì)運(yùn)用等差、等比數(shù)列的定義與前n項(xiàng)和公式,解答中依據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式,合理利用累加法、推理、歸納等是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算實(shí)力.測題1.已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),a1=2,an+1-an=4an+1+an,若數(shù)列1an+1+aA.119 B.121 C.120 D.1222.我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖M3-9-1所示的表,即楊輝三角,這是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)宏大成就.在“楊輝三角”中,第n行的全部數(shù)字之和為2n-1,若去除全部為1的數(shù)字,依次構(gòu)成數(shù)列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,…,則此數(shù)列的前55項(xiàng)和為 ()圖M3-9-1A.4072 B.2026 C.4096 D.2048第9講數(shù)列、等差數(shù)列與等比數(shù)列真知真題掃描1.C[解析]取m=1,則an+1=a1an=2an,故數(shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列,又a1=2,所以an=2n,所以ak+1+ak+2+…+ak+10=2k+1(1-210)1-2=2k+11-2k+12.A[解析]設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由題意有4a1+4×32d=0,a1+4d=5,解得a1=-3,d=2,所以an=-3+(n-1)×3.A[解析]把已知數(shù)列分組,第一組1項(xiàng),其次組2項(xiàng),第三組3項(xiàng),依此類推,則前n組項(xiàng)數(shù)之和為n(n+1)2,因?yàn)镹>100,所以由n(n+1)2>100,解得n≥14.當(dāng)n=13時(shí),n(n+1)2=91,此時(shí)已知數(shù)列的前91項(xiàng)和S91=(21-1)+(22-1)+…+(213-1)=2×(1-213)1-2-13=214-15,第十四組的前4項(xiàng)之和為15,則該數(shù)列的前95項(xiàng)和為2的整數(shù)冪,但此時(shí)N=95,不合題意;當(dāng)n=14時(shí),n(n+1)2=105,此時(shí)已知數(shù)列的前105項(xiàng)和S105=215-16,第十五組前k項(xiàng)之和不行能等于16,故不合題意.類推可知,分組后的數(shù)列的前n組的各項(xiàng)之和為Sn(n+1)2=2n+1-(n+2),其第n+1組的前k項(xiàng)之和為4.B[解析]設(shè){an}的公差為d,則d=a5-a15-1=-1+94=2,所以an=a1+(n-1)d=2n-11,所以Tn=a1a2…an=(-9)×(-7)×(-5)×(-3)×(-1)×1×…×(2n-11).當(dāng)n→+∞時(shí),Tn→-∞;當(dāng)n=4時(shí),Tn取得最大值,最大值為T4=(-9)×(-7)×(-5)×(-3)=945.所以{T5.1213[解析]因?yàn)閍42=a2a6=a6,所以a2=1,所以公比為a2a1=3,所以S6.3n2-2n[解析]令2n-1=3m-2,可得n=3m-12,∵m,n∈N*,∴m=2k-1,k∈N*,∴an=3(2n-1)-2=6n-5,則{an}的前n項(xiàng)和Sn=n(6n7.4[解析]因?yàn)閿?shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和Sn=n2-n+2n-1(n∈N*),所以當(dāng)n=1時(shí),a1+b1=S1=1,當(dāng)n≥2時(shí),an+bn=Sn-Sn-1=2n-2+2n-1,又a1+b1=1滿意上式,所以an+bn=2n-2+2n-1(n∈N*).因?yàn)閧an}是公差為d的等差數(shù)列,{bn}是公比為q的等比數(shù)列,所以an+bn=2n-2+2n-1=dn+a1-d+b1qn-1對(duì)于隨意正整數(shù)n都成立,所以d=q=2,即d+q=4.考點(diǎn)考法探究小題1例1(1)B(2)3[解析](1)由Sn3+an+1=0,得Sn3+Sn+1-Sn=0,即Sn+1=23Sn,所以{Sn}為等比數(shù)列,又S1=a1=1,所以S5=234=16(2)由題意可得2S2+1=S1+1+S3+1,即27+d=2+10+3d.又公差d∈(0,10),∴d=2,∴an=2n+1,Sn=n(3+2n+1)2=n2+2n,∴Sn+10an+1=n【自測題】1.D[解析]∵a4=18,S3-a1=34,公比q>0且q≠1,∴a1q3=18,a1(2.A[解析]在等差數(shù)列{an}中,a2+a7+a9=(a1+d)+(a1+6d)+(a1+8d)=3(a1+5d)=3a6=27,所以a6=9.又S8=S9,所以a9=0,所以a9-a6=3d=-9,解得d=-3.故選A.小題2例2(1)D(2)B[解析](1)由點(diǎn)(n,an)在某條斜率存在且不為0的定直線上,得{an}為等差數(shù)列.∵2S5-13a4+5a8=10,∴(10a1+20d)-13(a1+3d)+5(a1+7d)=10,化簡得a1+8d=5,即a9=5,∴S17=17×12(a1+a17)=17a9=85,為定值,故選D(2)∵a1>1,a2024a2024>1,a2019-1a2020-1<0,∴a2024>1,0<a2024<1,∴0<q<1,故①正確;a2024a2024=a20202<1,∴a2024a2024-1<0,故②不正確;∵a2024>1,0<a2024<1,∴T2024是數(shù)列Tn中的最大項(xiàng),故③正確;T4039=a1a2…a4038a4039=a20204039<1,T4038=a1a2…a4037a4038=(a2024a2024)2024>1,∴使T故選B.【自測題】1.C[解析]∵{an}為等差數(shù)列,a5=5a3,∴S9S5=9(a1+a9)2.D[解析]因?yàn)閿?shù)列{an}是等差數(shù)列,所以2(a1+a3+a5)+3(a8+a10)=6a3+6a9=12a6=36,故a6=3,所以S11=11(a1+a11)2=11小題3例3(1)C(2)B[解析](1)由題得,(an+1+an)(an+1-an)=2(an+1+an),∵an+an+1≠0,∴an+1-an=2,∴{an}是公差d=2的等差數(shù)列.又∵a2,a4,a8成等比數(shù)列,∴(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),解得a1=d=2,∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n.∵1anan+1=12n×2(n+1)=141n-1n+1,∴數(shù)列1anan+1的前2024項(xiàng)和為S2024=14×1-12+12-13(2)設(shè)三種方案第n天的回報(bào)分別為an,bn,cn,則an=40,{an}為常數(shù)列;{bn}是首項(xiàng)為10,公差為10的等差數(shù)列;{cn}是首項(xiàng)為0.4,公比為2的等比數(shù)列.因?yàn)橥顿Y10天三種投資方案的總收益分別為A10,B10,C10,所以A10=400,B10=10×10+10×92×10=550,C10=0.4×(1-210)1-2=【自測題】1.D[解析]∵數(shù)列{an}是等比數(shù)列,a2a5=a3a4=3a3,∴a4=a1q3=3.∵a4與9a7的等差中項(xiàng)為2,∴a4+9a7=a4(1+9q3)=4,解得q=13,a1=81,∴S5=81×[1-(12.n2-n+22[解析]由題可知,a2=a1+t=1+t,a3=a2+2t=因?yàn)閍1,a2,a3成等比數(shù)列,所以(1+t)2=1·(1+3t),解得t=0(舍去)或t=1.當(dāng)n≥2時(shí),a2-a1=1,a3-a2=2,…,an-an-1=n-1,以上各式相加得an-a1=1+2+…+(n-1)=12n(n-1),所以an=n當(dāng)n=1時(shí),上式也成立,所以an=n2小題4例4(1)D(2)A[解析](1)由題意,數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=an+(-1)n·n2(n∈N*),則a2-a1=-12,a3-a2=22,a4-a3=-32,…,a101-a100=1002,各式相加,可得a101-a1=-12+22-32+42-…-992+