2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第二部分專題三第2講專題訓(xùn)練12空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系文理含解析新人教版_第1頁
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PAGE其次部分專題三第2講專題訓(xùn)練十二空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系(文理)一、選擇題1.若平面α⊥平面β,m是β內(nèi)的隨意一條直線,則下列結(jié)論正確的是__B__A.隨意直線l?α,都有l(wèi)⊥βB.存在直線l?α,使得l∥βC.隨意直線l?α,都有l(wèi)⊥mD.存在直線l?α,使得l∥m【解析】如圖所示,因為平面A1B1C1D⊥平面DD1設(shè)α=平面A1B1C1D1,β=平面DD1如B1D?平面A1B1C1D,B1D1不重直于平面DD1C1C,故A錯;如A1B1?平面A1B1C1D1,A1B1∥平面DD1C1C,故B正確;如A1B2?平面A1B1C1D1,DC?平面DD1C1C,A1B1∥DC,故C錯;如m=C1C?平面DD1C1C,m⊥平面A12.(2024·張家口、滄州模擬)已知直線a,b和平面α,a?α,則b?α是b與a異面的(B)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】由題意,若直線b不在平面α內(nèi),則b與α相交或b∥α,不肯定有b與a異面,反之,若b與a異面,肯定有直線b不在平面α內(nèi),即“b?α”是“b與a異面”的必要不充分條件.故選B.3.(2024·石家莊模擬)已知α,β是空間兩個不同的平面,m,n是空間兩條不同的直線,則給出的下列說法中正確的是(D)①m∥α,n∥β,且m∥n,則α∥β;②m∥α,n∥β,且m⊥n,則α⊥β;③m⊥α,n⊥β,且m∥n,則α∥β;④m⊥α,n⊥β、且m⊥n,則α⊥β.A.①②③ B.①③④C.②④ D.③④【解析】對于①,當(dāng)m∥α,n∥β,且m∥n時,有α∥β或α、β相交,所以①錯誤;對于②,當(dāng)m∥α,n∥β,且m⊥n時,有α⊥β或α∥β或α、β相交且不垂直,所以②錯誤;對于③,當(dāng)m⊥α,n⊥β,且m∥n時,得出m⊥β,所以α∥β,③正確;對于④,當(dāng)m⊥α,n⊥β、且m⊥n時,α⊥β成立,所以④正確.綜上知,正確的命題序號是③④.故選D.4.(2024·珠海三模)已知兩條不同直線l,m,兩個不同平面α,β,則下列命題正確的是(B)A.若α∥β,l?α,m?β,則l∥mB.若α∥β,m∥α,l⊥β,則l⊥mC.若α⊥β,l⊥α,m⊥β,則l∥mD.若α⊥β,l∥α,m∥β,則l⊥m【解析】對于A,由α∥β,l?α,m?β,得l∥m或l與m異面,故A錯誤;對于B,若α∥β,l⊥β,則l⊥α,又m∥α,則l⊥m,故B正確;對于C,若α⊥β,l⊥α,m⊥β,則l⊥m,故C錯誤;對于D,若α⊥β,l∥α,m∥β,則l與m的位置關(guān)系是平行、相交或異面,相交與平行時,可能垂直,也可能不垂直,故D錯誤.故選B.5.(2024·廣元模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面為梯形,AD∥BC,AD=3,BC=6,E,F(xiàn)分別為棱PB,PC的中點(diǎn),則(D)A.AE≠DF,且直線AE,F(xiàn)D是共面直線B.AE≠DF,且直線AE,F(xiàn)D是異面直線C.AE=DF,且直線AE,F(xiàn)D是異面直線D.AE=DF,且直線AE,F(xiàn)D是共面直線【解析】如圖,連接EF,∵E,F(xiàn)分別為棱PB,PC的中點(diǎn),AD∥BC,AD=3,BC=6,∴EF∥BC,EF=eq\f(1,2)BC,∴EF∥AD,且EF=AD,∴四邊形ADFE是平行四邊形,∴AE=DF,且AE∥DF,∴AE,F(xiàn)D是共面直線.故選D.6.(2024·安陽二模)已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,H分別為DD1,AB的中點(diǎn),點(diǎn)F,G分別在線段BC,CC1上,且CF=CG=eq\f(1,4)BC,則在F,G,H這三點(diǎn)中任取兩點(diǎn)確定的直線中,與平面ACE平行的條數(shù)為(B)A.0 B.1C.2 D.3【解析】作出圖形如下所示,取CE的中點(diǎn)I,可知AI∥GH,又GH?平面ACE,AI?平面ACE,故GH∥平面ACE,又HF,GF均不與平面ACE平行,故在F,G,H這三點(diǎn)中任取兩點(diǎn)確定的直線中,與平面ACE平行的條數(shù)為1.故選B.7.(2024·四川模擬)正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=eq\r(2)AB,D是BC的中點(diǎn),則異面直線AD與A1C所成的角為(C)A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,2)【解析】如圖,取B1C1中點(diǎn)E,連接A1E,CE,則A1E∥AD,∠A1EC∴∠CA1E即為異面直線AD與A1C設(shè)AB=2,則AA1=2eq\r(2),A1E=eq\r(3),CE=3,tan∠CA1E=eq\f(3,\r(3))=eq\r(3),∴∠CA1E=eq\f(π,3).故選C.8.(2024·吉安一模)如圖,長為4,寬為2的矩形紙片ABCD中,E為邊AB的中點(diǎn),將∠A沿直線DE翻轉(zhuǎn)至A1(A1?平面ABCD),若M為線段A1C的中點(diǎn),則在△ADEA.MB∥平面A1DEB.異面直線BM與A1E所成角是定值C.三棱錐A1-ADE體積的最大值是eq\f(2\r(2),3)D.肯定存在某個位置,使DE⊥A1【解析】由題意,對于A,延長CB,DE交于H,連接A1H,由E為AB的中點(diǎn),可得B為CH的中點(diǎn),又M為A1C的中點(diǎn),可得BM∥A1H,BM?平面A1DEA1H?平面A1DE,則BM∥平面A1DE,∴A正確;對于B,AB=2AD=4,過E作EG∥BM,G∈平面A1DC,則∠A1EG是異面直線BM與A1E所成的角或所成角的補(bǔ)角,且∠A1EG=∠EA1H,在△EA1H中,EA1=2,EH=DE=2eq\r(2),則A1H=eq\r(22+2×22-2×2×2\r(2)×cos135°)=2eq\r(5),則∠EA1H為定值,即∠A1EG為定值,∴B正確;對于C,設(shè)O為DE的中點(diǎn),連接OA1,由直角三角形斜邊的中線長為斜邊的一半,可得平面A1DE⊥平面ADE時,三棱錐A1-ADE的體積最大,最大體積為V=eq\f(1,3)S△ADE·A1O=eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×22×eq\r(2)=eq\f(2\r(2),3),∴C正確;對于D,連接A1O,可得DE⊥A1O,若DE⊥A1C,即有DE⊥平面A1CO則DE⊥OC,因為O為DE的中點(diǎn),所以CD=CE,而由已知得:CD=4≠CE=2eq\r(2)沖突,可得AC與DE垂直,但AC與DE不垂直,則不存在某個位置,使DE⊥MO,∴D錯誤.故選D.二、填空題9.(2024·東城區(qū)二模)設(shè)α,β,γ是三個不同的平面,m,n是兩條不同的直線,給出下列三個結(jié)論:①若m⊥α,n⊥α,則m∥n;②若m⊥α,m⊥β,則α∥β;③若α⊥γ,β⊥γ,則α∥β.其中,正確結(jié)論的序號為__①②__.【解析】α,β,γ是三個不同的平面,m,n是兩條不同的直線,對于①,若m⊥α,n⊥α,由垂直于同一平面的兩直線平行,可得m∥n,故①正確;對于②,若m⊥α,m⊥β,由垂直于同始終線的兩平面平行,可得α∥β,故②正確;對于③,若α⊥γ,β⊥γ,考慮墻角處的三個平面兩兩垂直,可推斷α、β相交,則α∥β不正確.10.(2024·福州模擬)已知三棱錐P-ABC的各棱長均為2,M,N分別為BC,PA的中點(diǎn),則異面直線MN與PC所成角的大小為__45°__.【解析】取AB中點(diǎn)O,PB中點(diǎn)D,連接PO,CO,MD,ND,∵三棱錐P-ABC的各棱長均為2,M,N分別為BC,PA的中點(diǎn),∴ND∥AB,且ND=eq\f(1,2)AB=1,MD∥PC,且MD=eq\f(1,2)PC=1,∴∠NMD是異面直線MN與PC所成角(或所成角的補(bǔ)角),PO⊥AB,CO⊥AB,∵PO∩CO=O,∴AB⊥平面POC,∵PC?平面POC,∴AB⊥PC,∴DN⊥DM,∵DN=DM,∴∠NMD=45°,∴異面直線MN與PC所成角的大小為45°.11.(2024·海東市四模)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1,AB=2,M,N分別為棱A1D1,A1B1的中點(diǎn),過點(diǎn)B的平面α∥平面AMN,則平面α截該正方體所得截面的面積為__eq\f(9,2)__.【解析】P,Q分別為D1C1,B1C1的中點(diǎn),連接PQ,DP,DB,則PQ∥B1D1,B1D1∥BD,所以PQ∥BD,故P,Q,B,D在同一平面內(nèi),連接MQ,因為M,Q分別為A1D1,B1C1中點(diǎn),所以MQ∥AB,MQ=AB所以四邊形ABQM是平行四邊形,所以AM∥BQ,又因為BQ?面BDPQ,AM不在面BDPQ內(nèi),所以AM∥面BDPQ,同理AN∥面BDPQ,因為AM∩AN=A,所以平面AMN∥平面BDPQ,所以截面為等腰梯形BDPQ,其中PQ∥BD∥MN,BQ∥AM,PD∥AN,PQ=eq\r(2),BD=2eq\r(2),BQ=PD=eq\r(5),故等腰梯形BDPQ的高為eq\r(\r(5)2-\f(\r(2),2)2)=eq\f(3\r(2),2),故截面的截面積為eq\f(1,2)×(eq\r(2)+2eq\r(2))×eq\f(3\r(2),2)=eq\f(9,2).12.(2024·內(nèi)江三模)如圖所示,在Rt△ABC中,AB=4,AC=3,BC=5,在BC邊上任取一點(diǎn)D,并將△ABD沿直線AD折起,使平面ABD⊥平面ACD,則折疊后B、C兩點(diǎn)間距離的最小值為__eq\r(13)__.【解析】如圖所示,設(shè)∠BAD=θ,則∠CAD=eq\f(π,2)-θ,過點(diǎn)C作CE⊥AD于E,過B作BF⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)F,所以BF=4sinθ,CE=3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)-θ))=3cosθ,AF=4cosθ,AE=3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)-θ))=3sinθ,所以EF=4cosθ-3sinθ,所以|BC|=eq\r(CE2+EF2+BF2)=eq\r(3cosθ2+4cosθ-3sinθ2+4sinθ2)=eq\r(9cos2θ+16cos2θ+9sin2θ-24sinθcosθ+16sin2θ)=eq\r(25-24sinθcosθ)=eq\r(25-12sin2θ),當(dāng)sin2θ=1時,|BC|min=eq\r(13).三、解答題13.(2024·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)調(diào)研)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,DC∥AB,∠BAD=90°,且AB=2AD=2DC=2PD,E為PA的中點(diǎn).(1)證明:DE∥平面PBC;(2)證明:DE⊥平面PAB.【證明】(1)設(shè)PB的中點(diǎn)為F,連接EF、CF,EF∥AB,DC∥AB,所以EF∥DC,且EF=eq\f(1,2)AB=DC.故四邊形CDEF為平行四邊形,可得ED∥CF,又ED?平面PBC,CF?平面PBC,故DE∥平面PBC.注:(證面面平行也同樣給分)(2)因為PD⊥底面ABCD,AB?平面ABCD,所以AB⊥PD又因為AB⊥AD,PD∩AD=D,AD?平面PAD,PD?平面PAD,所以AB⊥平面PADED?平面PAD,故ED⊥AB.又PD=AD,E為PA的中點(diǎn),故ED⊥PA;PA∩AB=A,PA?平面PAB,AB?平面PAB,所以ED⊥平面PAB14.(2024·南通模擬)如圖,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC,A1C⊥BC,A1C∥平面(1)D是BC的中點(diǎn);(2)平面ADB1⊥平面BCC1B1.【證明】(1)連接A1B,交AB1于點(diǎn)O,連接DO,如圖所示;因為A1C∥平面ADB1,平面A1BC∩ADB1=OD所以A1C∥OD又O為A1B的中點(diǎn),所以O(shè)D是△A1BC的中位線,所以D是BC的中點(diǎn).(2)由(1)知D是BC的中點(diǎn),且AB=AC,所以AD⊥BC;又A1C⊥BC,A1C∥所以O(shè)D⊥BC;又AD∩OD=D,所以BC⊥平面ADB1;又BC?平面BCC1B1,所以平面ADB1⊥平面BCC1B115.(2024·吳忠模擬)已知四棱錐P-ABCD中,面PAB⊥面ABCD,底面ABCD為矩形,且PA=PB=4,AB=2,BC=3,O為AB的中點(diǎn),點(diǎn)E在AD上,且AE=eq\f(1,3)AD.(1)證明:EC⊥PE;(2)在PB上是否存在一點(diǎn)F,使OF∥面PEC,若存在,試確定點(diǎn)F的位置.【解析】(1)證明:如圖1所示,連接OE,由平面PAB⊥平面ABCD,PA=PB,O為AB的中點(diǎn),所以PO⊥AB,所以PO⊥平面ABCD,PO⊥CE.又四邊形ABCD為矩形,BC=AD=3,CD=AB=eq\f(2,3)AD=2,所以AE=eq\f(1,3)AD=1,DE=2,EC=eq\r(22+22)=2eq\r(2),OE=eq\r(12+12)=e

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