153分式方程（原卷版）

八年級上冊數學《第十五章分式》15.3分式方程知識點一知識點一分式方程的概念◆1、分式方程的定義：分母中含有未知數的方程叫做分式方程．◆2、分式方程的解：求出使分式方程中等號左右兩邊相等且分母不等于0的未知數的值，這個值叫方程的解．【方法總結】判斷一個方程是否為分式方程，主要是看分母中是否含有未知數(注意：π是常數)．知識點二知識點二分式方程的解法◆1、解分式方程的基本思路：是將分式方程化為整式方程，具體做法是“去分母”，即方程兩邊同乘最簡公分母.這也是解分式方程的一般方法.◆2、“去分母法”解分式方程的步驟（1）在方程的兩邊同乘最簡公分母，約去分母，化成整式方程；（2）解這個整式方程；（3）把整式方程的解代入最簡公分母，若最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解，否則該解須舍去；（4）寫出原方程的解.簡記為：“一化二解三檢驗”.◆3、檢驗方法：將整式方程的解代入最簡公分母，若最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個解就不是原分式方程的解.◆4、分式方程的增根增根的定義：在分式方程變形時，有可能產生不適合原方程的根，即代入分式方程后分母的值為0或是轉化后的整式方程的根恰好是原方程未知數的允許值之外的值的根，叫做原方程的增根．知識點三知識點三分式方程的應用◆列分式方程解應用題的一般步驟：1.審清題意；2.設出未知數；3.找相等關系；4.列出方程；5.解這個分式方程；6.檢驗(包括兩方面：一驗是否是分式方程的根，二驗是否符合題意)；7.作答.題型一題型一分式方程的概念【例題1】（2022秋?西豐縣期末）下列方程中，是分式方程的是（）A．13+x2=1 B．x+1x=2 C．2x＝解題技巧提煉分式方程的定義：分母中含有未知數的方程叫做分式方程．判斷一個方程是否為分式方程主要是看這個方程的分母中是否含有未知數．【變式11】（2022秋?綏中縣期末）下列方程中，是分式方程的是（）A．13+x2=1 B．x+1x=2 C．3x＝【變式12】（2023春?渠縣校級期末）下列各式中為分式方程的是（）A．x+1x B．C．x+23=5 【變式13】（2023春?蘇家屯區(qū)期中）在①x2﹣x+1x，②1a?3＝a+4，③x2+5xA．1 B．2 C．3 D．4【變式14】（2023春?宜賓月考）在方程1x+1=3y?2，3+1x=2，x【變式15】下列方程：①3?x7=2，②xπ=3，③4x?13?x+12=54，④題型二題型二解分式方程【例題2】（2022春?濮陽期末）解分式方程xx?3A．x＝5﹣2（x﹣3） B．x＝﹣5﹣2（x﹣3） C．x＝5﹣2（3﹣x） D．﹣x＝﹣5+2（3﹣x）解題技巧提煉1、解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗；④得出結論．2、解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0，所以應如下檢驗：①將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解．②將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值為0，則整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程時，一定要檢驗．【變式11】關于x的分式方程mx?5A．方程的解是x＝m+5 B．m＞﹣5時，方程的解是正數 C．m＜﹣5時，方程的解為負數 D．無法確定【變式12】（2022春?南岸區(qū)期末）解分式方程x?1x?2解：方程兩邊都乘x（x﹣2），得x（x﹣1）＝x（x﹣2）﹣1①去括號，得x2﹣x＝x2﹣2x﹣1②解這個方程，得x＝1③檢驗：將x＝1代入x（x﹣2），x（x﹣2）≠0，所以x＝1是原方程的根．④以上解答過程中，開始出錯的一步是（）A．① B．② C．③ D．④【變式13】（2023?高新區(qū)校級模擬）解分式方程x2x?1A．x+2＝3 B．x﹣2＝3 C．x+2＝3（2x﹣1） D．x﹣2＝3（2x﹣1）【變式14】（2023秋?昌黎縣期中）分式31?x與2x互為相反數，則A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3【變式15】（2023秋?長沙期中）解分式方程：（1）1m+2+1m?4=【變式16】（2023秋?武岡市期中）解方程：（1）2xx?2?2【變式17】（2023秋?寧遠縣期中）解方程：（1）2x=3x+1；題型三題型三用換元法解分式方程【例題3】（2022秋?仁壽縣校級月考）若4x2?A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2解題技巧提煉1、解數學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法．換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理．2、我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個代數式幾次出現，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當然有時候要通過變形才能發(fā)現．【變式31】（2023春?萬源市校級期末）用換元法解方程x2?12x?A．y?1y?3＝0 B．y?4y?3＝0 C．y?【變式32】（2023春?松江區(qū)期末）解方程x?1x?2xx?1=3時，設A．y?2y=3 B．y2﹣2y＝3 C．y2﹣3y﹣2＝0 D．y2【變式33】（2023春?虹口區(qū)期末）用換元法解分式方程時x?1x?2xx?1+1=0，如果設A．y2+y﹣2＝0 B．y2﹣2y+1＝0 C．2y2﹣y+1＝0 D．2y2﹣y﹣1＝0【變式34】（2022秋?湘潭縣期末）閱讀下面材料，解答后面的問題．解方程：x?1x解：設y=x?1x，則原方程化為：y方程兩邊同時乘y得：y2﹣4＝0，解得：y1＝2，y2＝﹣2．經檢驗：y1＝2，y2＝﹣2都是方程y?4當y＝2時，x?1x=2，解得：當y＝﹣2時，x?1x=?2，解得：x經檢驗：x1＝﹣1或x2=1∴原分式方程的解為x1＝﹣1或x2=1上述這種解分式方程的方法稱為換元法．問題：（1）若在方程x?14x?xx?1=0中，設y（2）若在方程x?1x+1?4x+4x?1=0中，設y（3）模仿上述換元法解方程：x?1x+2【變式35】在一次數學興趣小組的活動課上，有下面的一段對話，請你閱讀完后再解答問題．老師：同學們，今天我們來探索如下方程的解法：（xx?1）2﹣4（x學生甲：老師，原方程可整理為x2老師：很好，當然可以這樣做．再仔細觀察，看看這個方程有什么特點？還可以怎樣解答？學生乙：老師，我發(fā)現xx?1老師：很好，我們把xx?1看成一個整體，用y表示，即可設xx?1=y，那么原方程就變?yōu)閥2全體學生：噢，等號左邊是一個完全平方式？！方程可以變形成（y﹣2）2＝0老師：大家真會觀察和思考，太棒了！顯然y2﹣4y+4＝0的根是y＝2，那么就有xx?1學生丙：對啦，再解這兩個方程，可得原方程的根x＝2，再驗根就可以了！老師：同學們，通常我們把這種方法叫做換元法，這是一種重要的轉化方法．全體同學：OK，換元法真神奇！現在，請你用換元法解下列分式方程（組）：（1）（2xx?1）2?（2）6x?y題型四題型四用分式方程的解確定字母的值【例題4】（2022春?鹽城期末）若x＝4是分式方程a?2x=1A．3 B．4 C．5 D．6解題技巧提煉把分式方程的解代入到原方程中，得到關于某個字母的分式方程，然后解分式方程求出字母的值即可.【變式41】（2023?淄博）已知x＝1是方程m2?x?1A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4【變式42】（2023?武侯區(qū)校級模擬）已知x＝1是分式方程2ax+3a?x=3A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3【變式43】（2023?錦江區(qū)模擬）若關于x的分式方程mx?2?x?12?x=3A．1 B．2 C．3 D．5【變式44】（2023?駐馬店二模）若關于x的分式方程m+xx?1=mA．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4【變式45】已知方程1x?1=ax+1的解為【變式46】（2022秋?岳陽樓區(qū)月考）已知關于x的分式方程2x+4=mx與分式方程32x=題型五題型五用分式方程的解確定字母的取值范圍【例題5】（2023春?雁塔區(qū)校級期末）若關于x的分式方程mx?2?x?1A．m＞﹣5 B．m＞﹣5且m≠﹣1 C．m＞﹣3 D．m＞﹣3且m≠﹣1解題技巧提煉先解分式方程，方程的解用含字母的式子表示，然后根據題中的條件得出關于這個字母的不等式，然后解不等式，從而確定字母的取值范圍,同時要注意排除增根.【變式51】（2023春?蓮池區(qū)校級期末）若關于x的分式方程2x?ax?2=1A．a≥23 B．aC．a≥23且a≠4 D．a≤2【變式52】（2022秋?新撫區(qū)期末）若關于x的方程mx+1?2是（）A．m＜2 B．m＜3 C．m＜2且3m≠1 D．m＜3且m≠2【變式53】（2023秋?渝中區(qū)校級期中）若整數a使關于x的不等式組2x?7≥x?8a?6x整數解，且使關于y的分式方程ay?3+33?y=?1為（）A．8 B．6 C．10 D．7【變式54】（2022秋?芝罘區(qū)期中）已知關于x的分式方程k2x?4?1=x【變式55】若關于x的方程xx?4?3=a【變式56】（2022秋?石家莊期末）若關于x的分式方程xx?2=2?m題型六題型六利用分式方程的增根確定字母的取值【例題6】（2022秋?益陽期末）已知關于x的方程kx?3+3=x?4解題技巧提煉1.增根的定義：在分式方程變形時，有可能產生不適合原方程的根，即代入分式方程后分母的值為0或是轉化后的整式方程的根恰好是原方程未知數的允許值之外的值的根，叫做原方程的增根．2.檢驗增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最簡公分母，看最簡公分母是否為0，如果為0，則是增根；如果不是0，則是原分式方程的根．【變式61】（2022秋?芝罘區(qū)期末）若關于x的分式方程1x?2=mA．﹣1 B．1 C．2 D．﹣1或2【變式62】（2023秋?慈利縣期中）若關于x的分式方程2x?4=3?mA．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2【變式63】（2022秋?武岡市期末）關于x的方程：ax+1x?1?2【變式64】（2022秋?婁星區(qū)校級期中）若關于x的分式方程xx+1?m+1【變式65】（2023春?宜賓月考）已知關于x的方程xx?3（1）m為何值時，這個方程的解是5？（2）m為何值時，這個方程有增根？題型七題型七利用分式方程的無解確定字母的取值【例題7】（2022秋?泰山區(qū)校級期末）若關于x的分式方程xx?3+3aA．1 B．1或12C．﹣1或12 解題技巧提煉分式方程的無解有兩種情況：一是分式方程轉化為整式方程無解；二是分式方程轉化為整式方程有解，但這個分式方程的最簡公分母為0.【變式71】（2023秋?海陽市期中）若分式方程2+1?kxx?2=A．±1 B．2 C．1或2 D．﹣1或2【變式72】（2023?洪雅縣模擬）若關于x的方程2x=mA．0 B．4或6 C．4 D．0或4【變式73】（2022秋?岱岳區(qū)期末）關于x的分式方程7xx?1+5=2m?1x?1無解，則m【變式74】（2023春?灌云縣期末）已知關于x的分式方程x?ax?2（1）若分式方程有增根，求a的值；（2）若分式方程無解，求a的值．【變式75】（2023秋?冷水灘區(qū)期中）已知關于x的方程3x（1）當a＝6，b＝1時求分式方程的解；（2）當a＝6時，求b為何值時，分式方程3x題型八分式方程的應用題型八分式方程的應用一是分式方程轉化為整式方程無解；二是分式方程轉化為整式方程有解，但這個分式方程的最簡公分母為0.【例題8】（2022秋?巧家縣期末）某中學在校內勞動基地開展了一堂特殊的勞動課，計劃九（1）班共采摘100千克蔬菜，在實際采摘之前將班級10名同學調往其他勞動區(qū)域，這樣剩余同學實際平均每人需要采摘的重量是原計劃全班學生平均每人需要采摘重量的43倍，設九（1）班學生的人數為xA．100x?10×43C．100x?10=100解題技巧提煉1、列分式方程解應用題的一般步驟：審題、找等量關系、設未知數、列分式方程、解答、檢驗、作答．2、要掌握常見問題中的基本關系，如行程問題：路程＝速度×時間；工作量問題：工作總量＝工作效率×工作時間；商品銷售問題：總價=單價×銷量．【變式81】（2022秋?大洼區(qū)期末）某快遞公司為提高配送效率，引進了甲、乙兩種型號的“分揀機器人”，已知甲型號每小時分揀數量比乙型號每小時分揀數量多50件，且甲型號分揀1000件與乙型號分揀800件所用時間相同．若設甲型號每小時分揀數量為x件，則可列方程為（）A．1000x?50?800xC．1000x=800【變式82】（2023春?余杭區(qū)月考）某班同學假日活動去博物館參觀，博物館距離學校10千米．一部分同學騎自行車先出發(fā)，其余同學20分鐘后乘汽車出發(fā)，兩批同學同時到達．已知乘車速度是騎車速度的2倍，設騎車速度為xkm/h，則可列方程．【變式83】【變式84】（2023?曹縣二模）在全民健身運動中，騎行運動頗受人民青睞．甲、乙兩騎行愛好者約定從A地沿相同路線騎行去距離30千米的B地，已知甲騎行的平均速度是乙騎行平均速度的1.2倍，若乙先騎行20分鐘，然后甲從A地出發(fā)，則甲、乙恰好同時到達B地，求甲騎行的平均速度是每分鐘多少千米？【變式85】（2023秋?海陽市期中）科研機構試驗采集的某樣本須在4小時內（含采集時問）送達檢測中心，使超過時問，樣本就會失效．已知甲、乙兩科研機構到檢測中心的路程分別為30千米，36千米，兩科研機構的送檢車有如圖所示的信息．根據信息，請解答下列問題：信息一：乙科研機構送檢車的平均速度是甲科研機構送檢車的1.2倍．信息二：甲、乙兩科研機構送檢車行駛的總時間為2小時．（1）求甲科研機構送檢車的平均速度；（2）若乙科研機構從開始采集樣本到送檢車出發(fā)用了3.2小時，則它采集的樣本會不會失效？【變式86】（2023秋?婁底期中）2020年11月20日，婁底市榮獲“第六屆全