清單05等腰三角形等邊三角形的性質(zhì)與判定（22種題型解讀（75題））

清單05等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)與判定（22種題型解讀（75題））【知識導圖】【知識清單】【考試題型1】等腰三角形的定義1．（2023上·江蘇揚州·八年級?？计谥校┮阎妊切蔚膬蛇呴L分別為3cm和7cm，則該等腰三角形的周長為（A．10cm B．13cm C．17cm D．13cm或17cm【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關系；因為題目的已知條件底邊和腰沒有確定，所以分兩種情況討論．【詳解】解：（1）當7cm是底邊時，3+3<7（2）當3cm是底邊時，可以構成三角形，周長=7+7+3=17故選：C．2．（2023上·重慶江津·八年級重慶市江津中學校?？计谥校┬∶靼验L度為12cm的鐵絲圍成三邊為整數(shù)長的等腰三角形，則圍成的等腰三角形的腰長為（

A．3cm B．4cm C．3cm或4cm D【答案】D【分析】本題考查等腰三角形的定義，三角形三邊關系，關鍵是由三角形三邊關系定理得到3<x<6．設等腰三角形的腰長為xcm，則底邊長是(12-2x)cm，由三角形三邊關系定理得到【詳解】解：設等腰三角形的腰長為xcm，則底邊長是(12-2x)∴x-x<12-2x<x+x，∴0<12-2x<2x，∴3<x<6，∵等腰三角形三邊為整數(shù)長，∴腰長是4cm或5故選：D．3．（2023上·福建福州·八年級?？计谥校┑妊切蔚囊粋€外角是100°，則這個等腰三角形的底角的大小是（

）A．40° B．50° C．80° D．50°或80°【答案】D【分析】本題主要考查了腰三角形的定義、三角形外角的性質(zhì)等知識點，分該外角是等腰三角形底角和頂角的外角兩種情況解答即可；利用分類討論思想是解題的關鍵．【詳解】解：當這個外角是底角的外角時，底角的大小為180°-100°=80°；當這個外角是頂角的外角時，底角的大小為180°2綜上，這個等腰三角形的底角的大小是50°或80°．故選D．【考試題型2】根據(jù)等邊對等角求角度4．（2023上·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠BAC=130°，AB的垂直平分線交AB于點E，交BC于點D，AC的垂直平分線交AC于點G，交BC于點F，連接AD，AF，則A．65° B．80° C．100° D．110°【答案】B【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠B+∠C=50°，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到DA=DB，F(xiàn)A=FC，則∠DAB=∠B，∠FAC=∠C，得到【詳解】解：∵∠BAC=130°，∴∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-130°=50°，∵DE是AB的垂直平分線，F(xiàn)G是AC的垂直平分線，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B，∴∠DAB+∠FAC=∠B+∠C=50°，∴∠DAF=130°-50°=80°，故選：B．5．（2023上·江蘇常州·八年級統(tǒng)考期中）一個等腰三角形頂角的度數(shù)是底角度數(shù)的2倍，則這個等腰三角形的底角是（

）A．30° B．40° C．45° D．50°【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．設這個等腰三角形的底角是x°，則等腰三角形頂角的度數(shù)是2x°，然后利用三角形內(nèi)角和定理可得：2x+x+x=180，從而進行計算即可解答．【詳解】解：設這個等腰三角形的底角是x°，則等腰三角形頂角的度數(shù)是2x°，由題意得：2x+x+x=180，解得：x=45，∴這個等腰三角形的底角是45°，故選：C6．（2023上·福建福州·八年級校考期中）如圖，在等邊三角形ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，且CD=AE，BE與AD交于點F，在FA上截取FG=FE，連接GE，若∠AEG=28°，則∠ABE等于（

）A．28° B．32° C．30° D．34°【答案】B【分析】證明△ABD≌△BCE，得到∠BAD=∠CBE，從而證明△EFG是等邊三角形，求出∠CAD的值，即可得到答案．【詳解】解：∵等邊三角形ABC，∴AB=BC=AC，∠ABD=∠BCE=∠BAC=60°，∵CD=AE，∴BC-BD=AC-AE，∴BD=CE，∴△ABD≌△BCE，∴∠BAD=∠CBE，∵∠GFE=∠BAD+∠ABE，∠CBE+∠ABE=∠ABD=60°，∴∠GFE=∠BAD+∠ABE=∠CBE+∠ABE=∠ABD=60°，∵FG=FE，∴△EFG是等邊三角形，∴∠EGF=60°，∵∠BAD+∠ABE=60°，∠EGF=∠BAD+∠CAD=60°，∴∠ABE=∠CAD，∵∠CAD+∠AEG=∠EGF=60°，∠AEG=28°，∴∠CAD=60°-∠AEG=60°-28°=32°，∵∠ABE=∠CAD，∴∠ABE=32°．故選B．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì)，熟練掌握外角和定理及全等三角形的判定是解題的關鍵．7．（2023上·廣東湛江·八年級校考期中）如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，AD是BC邊上的中線，且BD=BE，則∠ADE的大小為（）A．10° B．20° C．30° D．40°【答案】B【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，分別得出∠B=40°，∠BDE=70°，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，得到∠ADB=90°，即可求出∠ADE的大?。炀氄莆盏妊切蔚男再|(zhì)是解題關鍵．【詳解】解：∵AB=AC，∠BAC=100°，∴∠B=∠C=1∵BD=BE，∴∠BED=∠BDE=1∵AB=AC，AD是BC邊上的中線，∴∠ADB=90°，∴∠ADE=∠ADB-∠BDE=20°，故選：B．【考試題型3】根據(jù)等邊對等角證明8．（2023上·吉林白城·八年級校聯(lián)考階段練習）如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°．點D、E分別在AB、BC上，且BC=BD，AD=BE，連接DE、CD．(1)求證：DC=DE；(2)求∠CDE的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)∠CDE=45°【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)等；（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出AC=BD，由“SAS”判定△ACD≌△BDE，即可求證；（2）由三角形內(nèi)角和定理可求∠ADC+∠ACD=135°，由全等的性質(zhì)得∠ACD=∠BDE，等量代換可求∠ADC+∠BDE=135°，即可求解；掌握性質(zhì)及判定方法，求出∠ADC+∠BDE=135°是解題的關鍵．【詳解】（1）證明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°∴AC=BC，∠A=∠B，∵BC=BD，∴AC=BD，在△ACD和△BDEAC=BD∠A=∠B∴△ACD≌△BDE(SAS)，∴DC=DE．（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴∠A=45°，∴∠ADC+∠ACD=180°-∠A=135°，∵△ACD≌△BDE，∴∠ACD=∠BDE，∴∠ADC+∠BDE=135°，∴∠CDE=180°-=45°．9．（2023上·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，點D，E，F(xiàn)在△ABC的邊上，滿足BE=CF，BD=CE．(1)求證：DE=EF；(2)已知∠A=70°，求∠DEF的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)55°【分析】本題主要考查了三角形全等的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)．（1）利用等邊對等角得出∠B=∠C，然后利用SAS證明△BDE≌（2）先求出∠B的度數(shù)，然后根據(jù)全等的性質(zhì)得出∠BDE=∠CEF，最后利用角的和差關系以及三角形的內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】（1）證明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BDE和△CEFBD=CE∠B=∠C∴△BDE≌∴DE=EF．（2）解：∵∠A=70°，AB=AC，∴∠B=∠C=1∵△BDE≌∴∠BDE=∠CEF，∴∠DEF=180°-∠BED-∠CEF=180°-∠BED-∠BDE=∠B=55°，∴∠DEF的度數(shù)是55°．10．（2023上·重慶渝中·九年級重慶巴蜀中學?？计谀┤鐖D，點C在線段AB上，AD∥BE，AC=BE，AD=BC，DE(1)尺規(guī)作圖：過點A作線段DE的垂線交DE于點F．（基本作圖，保留作圖痕跡，不寫作法，不下結(jié)論）(2)求證：DF=FG．證明：∵AD∥BE，∴∠在△ACD和△BEC中，AC=BE∴△ACD≌△BEC∴∠ADC=①，∵②=∴∠∴∠∴③∵AF⊥DG∴DF=FG．【答案】(1)見解析(2)∠BCE【分析】本題考查了作垂線，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握基本作圖以及全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關鍵．（1）利用基本作圖，過點作的垂線即可；（2）先證明△ACD≌△BEC得到ADC=∠BCE，CD=CE，則∠CDE=∠CED【詳解】（1）解：AF即為所作；（2）證明：∵AD∥BE，∴∠DAC=在△ACD和△BEC中，AC=BE∴△ACD≌△BEC，∴∠ADC=∠BCE∵∠CDE=∴∠ADC+∴∠ADG=∴AD=AG，∵AF⊥DG，∴DF=FG．故答案為：∠BCE【考試題型4】根據(jù)三線合一求解11．（2023上·廣西玉林·八年級統(tǒng)考期中）如圖，△ABC中，AB=AC=13，S△ABC=65，AD是∠BAC的角平分線，E是AD上的動點，F(xiàn)是AB邊上的動點，則BE+EF的最小值為（A．5 B．10 C．13 D．26【答案】B【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、軸對稱圖形的性質(zhì)、垂線段最短等知識，解題關鍵是根據(jù)軸對稱圖形及等腰三角形的性質(zhì)得到最短路徑，然后根據(jù)面積求解即可．首先根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可得AD⊥BC，BD=DC，過點C作CG⊥AB交AB于點G，由軸對稱圖形的性質(zhì)及“垂線段最短”的性質(zhì)可得BE+EF的最小值為CG的長，即可獲得答案．【詳解】解：∵AB=AC=13，AD是∠BAC的角平分線，∴AD⊥BC，BD=DC，∴點B、C關于過點C作CG⊥AB交AB于點G，如下圖，根據(jù)E是AD上的動點，F(xiàn)是AB邊上的動點，要使BE+EF取最小值，只需滿足B、由軸對稱圖形的性質(zhì)及在連接直線外一點與直線上各點的線段中，垂線段最短，可得BE+EF的最小值即為CG的長，∵△ABC的面積為65，∴S△ABC∴CG=10，即BE+EF的最小值為10．故選：B．12．（2022上·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期中）如圖，AC=AB=BD，∠ABD=90°，BC=8，則△BCD的面積為（

）A．8 B．12 C．14 D．16【答案】D【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，作輔助線構造全等三角形即可求解．【詳解】解：作AE⊥BC于E，DF⊥CB交CB延長線于F，∵AB=AC，∴BE=CE=1∵∠ABD=90°，∴∠ABE+∠DBF=90°∵∠EAB+∠ABE=∠DBF+∠ABE=90°，∴∠EAB=∠DBF，∵∠AEB=∠BFD=90°∴△AEB≌∴DF=BE=4，∴S△DCB故選：D．13．（2023上·重慶沙坪壩·八年級重慶市第七中學校校考期中）如圖，為了讓電線桿垂直于地面，工程人員的操作方法是：從電線桿DE上一點A往地面拉兩條長度相等的固定繩AB和AC，點B、E、C在同一直線上時，電線桿DE就垂直于BC，工程人員這種操作方法的依據(jù)是（

）A．等邊對等角 B．垂線段最短 C．等腰三角形的三線合一 D．DE是BC的垂直平分線【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)：①等腰三角形的兩個底角相等，簡稱等邊對等角；②等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合，簡稱“三線合一”；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．【詳解】解：∵AB=AC，BE=CE，∴AE⊥BC，∴工程人員這種操作方法的依據(jù)是等腰三角形的三線合一，故選：C．【考試題型5】根據(jù)三線合一證明14．（2023上·廣西南寧·八年級?？计谥校┤鐖D，△ABC中，AB=AC，D是BC的中點，下列結(jié)論不正確的是（

）A．AD⊥BC B．AD平分∠BAC C．AC=2AD D．∠B=∠C【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)等腰三角形“三線合一”，即可一一判定，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．【詳解】解：∵AB=AC，D是BC的中點，∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，∠B=∠C，故A、由已知條件無法確定AC=2AD，故C錯誤；故選：C．15．（2023上·山東菏澤·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，對角線AC、BD相交于點O，下列結(jié)論中：①∠ABC=∠ADC；②AC與BD相互平分；③AC、BD分別平分四邊形ABCD的兩組對角；④四邊形ABCD的面積S=12AC?BD

A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．①④【答案】D【分析】證明△ABC≌△ADC，可判斷①正確；由于AB與BC不一定相等，可判斷②③不一定正確；根據(jù)【詳解】解：在△ABC和△ADC中，AB=ADCB=CD∴△ABC≌∴∠ABC=∠ADC，故①正確；∵△ABC≌∴∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，∵AB=AD，∴OB=OD，AC⊥BD，則AC是BD的垂直平分線，而AB與BC不一定相等，所以OA與OC不一定相等，故②錯誤；由②可知：AC平分∠BAD、∠BCD，而AB與BC不一定相等，所以BD不一定平分∠ABC，∠ADC，③錯誤；∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD的面積為：S====12AC?BD故選：D．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．16．（2023上·浙江·八年級周測）如圖，已知鈍角三角形ABC，按以下步驟尺規(guī)作圖，并保留作圖痕跡．步驟1：以C為圓心，CB為半徑畫?、?；步驟2：以A為圓心，AB為半徑畫弧②，交?、儆邳cD；步驟3：連結(jié)BD，交AC的延長線于點E．下列敘述正確的是（

）

A．BC平分∠ABD B．AB=BD C．AE=BD D．BE=DE【答案】D【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，掌握全等三角形的性質(zhì)以及判定定理；連接AD,CD，先證明△ABC≌△ADC，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可得出BE=DE【詳解】解：連接AD,CD，

由題意得，CB=CD,AB=AD∴△ABD是等腰三角形在△ABC和△ADC中AB=AD∴△ABC≌△ADC，∴∠DAC=∠BAC∴AE是∠DAB的角平分線，又∵AB=AD∴BE=DE故選：D．【考試題型6】找出圖中等腰三角形個數(shù)17．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級校考階段練習）如圖所示，共有等腰三角形（

）A．2 B．3 C．5 D．4【答案】C【分析】本題主要考查等腰三角形的判定，根據(jù)有兩個角相等的三角形是等腰三角形，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：∵∠EBC=∠ECB=36°，∴△EBC是等腰三角形，∠BEC=180°-∠EBC-∠ECB=108°，∴∠AEB=∠DEC=180°-108°=72°，∴∠AEB=∠A，∠CED=∠D，∴△ABE、△CED是等腰三角形，∵∠ABC=180°-∠ACB-∠A=180°-72°-36°=72°，∠BCD=180°-∠DBC-∠D=180°-72°-36°=72°，∴∠A=∠ABC，∠D=∠BCD，∴△ABC、△BCD是等腰三角形，故圖中共有5個等腰三角形，故選：C．18．（2023上·江蘇宿遷·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，點D、E在BC上，AD⊥AB，AE⊥AC，且BE=ED=DC，則圖中等腰三角形的個數(shù)為（

）

A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【答案】B【分析】本題考查了等腰三角形的判定、全等三角形的判定及性質(zhì)、直角三角形的特征，利用直角三角形的特征及等腰三角形的判定可得△ABE、△ADE、△ADC是等腰三角形，再利用HL證得Rt△ABD≌Rt△ACE【詳解】解：∵BE=ED=DC，∴點E、D分別是BD和CE的中點，BD=CE，又∵AD⊥AB，AE⊥AC，∴AE=BE=DE=12BD∴△ABE、△ADE、△ADC是等腰三角形，AE=AD，在Rt△ABD和RtBD=CEAD=AE∴Rt∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，則圖中等腰三角形的個數(shù)為4個，故選B．【考試題型7】根據(jù)等角對等邊證明邊相等19．（2023上·山東菏澤·八年級統(tǒng)考期中）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，D是AB邊上一點，∠BCD=30°，BD=4cm，則△ACD的周長為（

A．6cm B．8cm C．12cm【答案】C【分析】本題考查了三角形中等角對等邊，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，證明BD=DC=4cm，是解答本題的關鍵．證明BD=DC=4cm，再證明△ACD是等邊三角形，即有【詳解】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，∴∠B=30°，∵∠BCD=30°，BD=4cm∴∠BCD=∠B，∴BD=DC=4cm∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=60°，∴∠ACD=∠A=60°，∴△ACD是等邊三角形，∴CD=AD=AC=4cm∴△ACD的周長為：AC+AD+CD=4×3=12cm故選：C．20．（2023上·吉林長春·八年級吉林大學附屬中學?？计谥校┤鐖D，已知長方形紙片ABCD，將長方形紙片按如圖所示的方式折疊，使點D與點B重合，折痕為EF．則△BEF是（

）．A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．無法確定【答案】B【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等角對等邊．根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠BFE=∠DEF，折疊的性質(zhì)得∠BEF=∠DEF，推出∠BEF=∠BFE，根據(jù)等角對等邊即可得出結(jié)論．【詳解】解：在長方形ABCD中，AD∥∴∠BFE=∠DEF，由折疊可知，∠BEF=∠DEF，∴∠BEF=∠BFE，∴BF=BE．由于∠EBF≠∠BEF=∠BFE，∴△BEF是等腰三角形，故選：B．21．（2023上·浙江金華·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分線分別交ED于點F、G，若FG=1，ED=3.5，則DB+EC的值為（A．3.5 B．3 C．2.5 D．2【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形的判定、角平分線的定義、平行線的性質(zhì)，根據(jù)角平分線的定義及平行線的性質(zhì)得∠EGC=∠ACG，∠DFB=∠ABF，進而可得DF=DB，EG=EC，進而可求解，熟練掌握相關的判定及性質(zhì)是解題的關鍵．【詳解】解：∵BF是∠ABC的角平分線，CG是∠ACB的角平分線，∴∠ABF=∠CBF，∠ACG=∠BCG，∵ED∥∴∠DFB=∠CBF，∠EGC=∠BCG，∴∠EGC=∠ACG，∠DFB=∠ABF，∴DF=DB，EG=EC，∵FG=1，ED=3.5，∴DB+EC=DF+EG=DE-FG=3.5-1=2.5，故選C．【考試題型8】根等角對等邊求邊長22．（2023上·湖南邵陽·八年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，AC的垂直平分線交BC于點D，交AC于點E，∠B=∠ADB，若AB=4，則DC的長是（

）A．2 B．3 C．4 D．不能確定【答案】C【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等角對等邊等知識．由∠B=∠ADB可得AD=AB=4，由DE是AC的垂直平分線可得AD=DC，從而可得DC=AB=4．【詳解】解：∵∠B=∠ADB，∴AD=AB=4，∵DE是AC的垂直平分線，∴AD=DC，∴DC=AB=4．故選：C．23．（2023上·山東濱州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，BC=13cm，∠B=∠BAC=15°，AD⊥BC于點D

A．5.5cm B．5cm C．6cm【答案】D【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定，三角形外角的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)．根據(jù)等角對等邊得到AC=BC=13cm，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到∠ACD=30°，再根據(jù)含30【詳解】解：∵BC=13cm∴AC=BC=13cm∴AD=1故選：D．24．（2023上·天津西青·八年級校考期中）如圖，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線相交于點O，過點O作DE∥BC，與AB，AC分別相交于點D，E，若BD+EC=5，則DE等于（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠OBD=∠OBC，∠OCE=∠OCB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB，求出∠OBD=∠DOB，∠EOC=∠ECO，根據(jù)等角對等邊得出OD=BD，OE=CE，求出DE=OD+OE=BD+EC=5【詳解】解：∵∠ABC，∠ACB的平分線相交于點O，∴∠OBD=∠OBC，∠OCE=∠OCB，∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB，∴∠OBD=∠DOB，∠EOC=∠ECO，∴OD=BD，OE=CE，∴DE=OD+OE=BD+EC=5．故選：C．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定，解題的關鍵是熟練掌握等角對等邊，證明OD=BD，OE=CE．25．（2023上·湖南邵陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD為∠BAC的平分線，BM⊥AD，垂足為M，且AB=6，BM=2，則AC=（

）．

A．10 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等角對等邊性質(zhì)，延長BM交AC于點E，首先證明出△AMB≌△AMEASA，得到BM=ME=2，AB=AE=6，∠ABM=∠AEM，然后結(jié)合∠ABC=3∠C得到∠EBC=∠C，進而得出EC=EB=4，進而求解即可．解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的性質(zhì)（對應邊相等，對應角相等）和判定（SSS，SAS，AAS，ASA，HL【詳解】如圖所示，延長BM交AC于點E，

∵AD為∠BAC的平分線，∴∠BAM=∠EAM∵BM⊥AD∴∠AMB=∠AME又∵AM=AM，∴△AMB≌△AME∴BM=ME=2，AB=AE=6，∠ABM=∠AEM∴BE=BM+EM=4∵∠ABC=3∠C，即∠ABM+∠EBC=3∠C∴∠AEM+∠EBC=3∠C∵在△BEC中，∠AEM=∠EBC+∠C∴∠EBC+∠C+∠EBC=3∠C∴整理得∠EBC=∠C∴EC=EB=4∴AC=AE+EC=6+4=10．故選：A．【考試題型9】在網(wǎng)格中找與已知兩點構成等腰三角形的點的個數(shù)26．（2023上·江蘇徐州·八年級?？计谀┤鐖D所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格的交點稱為格點，已知A，B是兩格點，如果C也是圖中的格點，且使得ΔABC為等腰三角形，則符合條件的點CA．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分三種情況：AB為底邊，C點在AB的垂直平分線上；AB為腰且∠A為頂角時，AB為腰且∠B為頂角時，分別判定可求解．【詳解】如圖所示：∴符合條件的點C的個數(shù)為8．故選C．【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)與判定，網(wǎng)格作圖，解題的關鍵是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)進行分類討論．27．（2020上·北京豐臺·八年級統(tǒng)考期末）如圖，每個小方格的邊長為1，A，B兩點都在小方格的頂點上，點C也是圖中小方格的頂點，并且△ABC是等腰三角形，那么點C的個數(shù)為（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】分AB為腰和為底兩種情況考慮，畫出圖形，即可找出點C的個數(shù)．【詳解】解：如下圖：當AB為腰時，分別以A、B點為頂點，以AB為半徑作圓，可找出格點C的個數(shù)有2個；當AB為底時，作AB的垂直平分線，可找出格點C的個數(shù)有1個，所以點C的個數(shù)為：2+1=3．故選：C．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定，能分以AB為底和以AB為腰兩種情況，并畫出圖形是解題關鍵．【考試題型10】在坐標系中找與已知兩點構成等腰三角形的點的個數(shù)28．（2022上·江蘇南京·八年級南師附中新城初中校考階段練習）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，在直線BC或AC上取一點P，使得△ABP為等腰三角形，則符合條件的點的個數(shù)有（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】分三種情況分別畫出圖形，如圖，以AB為腰，B為頂角的頂點的等腰三角形；以AB為腰，A為頂角的頂點的等腰三角形；以AB為底邊，P為頂角的頂點的等腰三角形；從而可得答案．【詳解】解：如圖，以AB為腰，B為頂角的頂點的等腰三角形有△BAP以AB為腰，A為頂角的頂點的等腰三角形有△ABP以AB為底邊，P為頂角的頂點的等腰三角形有△P其中△ABP∴符合條件的點的個數(shù)有6個，故選D．【點睛】本題考查的是等腰三角形的定義，等邊三角形的判定，做到不重復不遺漏的得到點P是解本題的關鍵．29．（2021上·河南開封·八年級開封市第二十七中學校聯(lián)考期中）在平面直角坐標系xOy中，點A2,0，B0,2，若點C在坐標軸上，且△ABC為等腰三角形，則滿足條件的點C的個數(shù)為（A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】按照△ABC中A、B、C分別為等腰三角形的三個頂角分三類討論，畫出圖形即可求解．【詳解】解：當A為等腰三角形頂點時：AB=AC，相當于以A點為圓心，AB=22為半徑畫圓，該圓與坐標軸的交點即為所求，如下圖中C1、C2、C3當B為等腰三角形頂點時：BA=BC，相當于以A點為圓心，BA=22為半徑畫圓，該圓與坐標軸的交點即為所求，如下圖中C4、C5、C6當C為等腰三角形頂點時：CA=CB，則點C在線段AB的垂直平分線上，此時C點剛好和原點重合，如下圖中C7；∴滿足條件的點C的個數(shù)有7個，故選：C．【點睛】本題考查了等腰三角形的存在性問題、線段的垂直平分線的判定定理及分類討論的思想，注意分類討論，不要漏解．【考試題型11】等腰三角形性質(zhì)與判定綜合30．（2023下·廣東揭陽·八年級階段練習）在△ABC中，∠B=22.5°，邊AB的垂直平分線DP交AB于點P，交BC于點D，且AE⊥BC于點E，DF⊥AC于點F，DF與AE交于點G．求證：EG=EC．【答案】見解析【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定；連接AD，證明∠1=∠C，進而證明△DEG≌△AECAAS【詳解】解：連接AD，如圖所示：∵∠B=22.5°，且DP為AB的垂直平分線，∴DB=DA，∴∠B=∠BAD，∴∠ADE=2∠B=45°，在Rt△ADE中，∠ADE=45°，∴∠DAE=45°，∴AE=DE，∵AE⊥DE，

∴∠1＋∠2=90°，∵DF⊥AC，∴∠2＋∠C=90°，

∴∠1=∠C，在△DEG和△AEC中，∠1=∠C∠DEG=∠AEC=90°∴△DEG≌△AECAAS，∴EG=EC．31．（2023上·江蘇南京·八年級期末）如圖，在△ABC中，CE⊥BA的延長線于E，BF⊥CA的延長線于F，M為BC的中點，分別連接ME、MF、EF．(1)若EF=3，BC=8，求△EFM的周長；(2)若∠ABC=28°，∠ACB=48°，求∠EMF的度數(shù)．【答案】(1)11(2)28°【分析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)解題即可．（1）根據(jù)垂直定義可得∠BFC=∠BEC=90°，然后利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得FM=12BC=4（2）先利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出BM=EM，F(xiàn)M=CM．從而利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABC=∠BEM=28°，∠ACB=∠CFM=48°，然后利用三角形外角的性質(zhì)求出∠EMC和∠BMF的度數(shù)，從而利用平角定義進行計算即可解答．【詳解】（1）解：∵CE⊥BA∴∠BFC=∠BEC=90°，∵M為BC的中點，BC=8，∴FM=12BC=4∵EF=3，∴△EFM的周長＝EF+FM+EM=3+4+4=11∴△EFM的周長為11；（2）∵∠BEC=90°，∴BM=EM=1∴∠ABC=∠BEM=28°，∴∠EMC=∠ABC+∠BEM=56°，∵∠BFC=90°，M為BC的中點，∴FM=CM=1∴∠ACB=∠CFM=48°，∴∠BMF=∠ACB+∠CFM=96°，∴∠EMF=180°-∠EMC-∠BMF=180°-56°-96°=28°，∴∠EMF的度數(shù)為28°．32．（2023上·江蘇連云港·八年級校考期中）如圖，在四邊形ABDE中，△ABC、△DCE是等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，∠BCD為銳角；(1)在圖1中，△ACE與△BCD面積相等嗎？請說明理由．(2)如圖2，若AC=4，CD=5．則四邊形ABDC面積最大值為______．(3)如圖3，已知BD=6，△ACE的面積為10，G在BD邊上，GC的延長線經(jīng)過AE中點F，求CG的長．【答案】(1)△ACE與△BCD面積相等，理由見解析．(2)18(3)10【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，互余關系，掌握全等三角形的判定方法與性質(zhì)是解答本題的關鍵．（1）過點E作EG⊥AC交AC的延長線于G，過點D作DF⊥BC于F，證明△EGC≌△DFCAAS，則EG=DF，由此得到△ACE與△BCD（2）由題意分析知：△ABC的面積為定值，當△BCD的面積最大時，四邊形ABDC面積最大，過點D作DM⊥BC于M，DM≤CD，當點M與點C重合時，DM最大，由此求出最大面積．（3）過點E作EN∥AC交CF的延長線于點N，根據(jù)已知條件證明△EFN≌△AFCAAS，得到EN=AC，再證明△CEN≌△DCBSAS，得到【詳解】（1）△ACE與△BCD面積相等，理由如下：解：如圖，過點E作EG⊥AC交AC的延長線于G，過點D作DF⊥BC于F，∴∠EGC=∠DFC=90°，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACE+∠BCD=180°，∵∠ACE+∠ECG=180°，∴∠ECG=∠BCD，在△EGC和△DFC中，∠EGC=∠DFC=90°∠ECG=∠FCD∴△EGC≌△DFCAAS∴EG=DF，∵AC=BC，∴S△ACE即△ACE與△BCD面積相等．（2）解：由題意得：AC=4，CD=5，∴S△ABC即△ABC的面積為定值，∴當△BCD的面積最大時，四邊形ABDC面積最大，如圖，過點D作DM⊥BC于M，∴DM≤CD，當點M與點C重合時，DM最大，此時DC⊥BC，此時S△BCD∴四邊形ABDC面積最大值為：8+10=18．故答案為：18．（3）如圖，過點E作EN∥AC交CF的延長線于點則∠CAF=∠NEF，∠ACF=∠N；∵點F是中點，∴EF=AF，在△EFN和△AFC中，∠CAF=∠NEF∠ACF=∠N∴△EFN≌△AFCAAS∴EN=AC，∵AC=BC，∴EN=BC，∵∠N+∠ECF=180°-∠NEC，∠ACE=∠ACF+∠ECF=180°-∠BCD，∴∠NEC=∠BCD，在△CEN和△DCB中，CE=CD∠NEC=∠BCD∴△CEN≌△DCBSAS∴∠NCE=∠BDC，∵∠DCE=90°，∴∠NCE+∠DCG=90°，∴∠BDC+∠DCG=90°，∴CG⊥BD，∵△ACE與△BCD面積相等，∴S△BDC∴12∴CG=10【考試題型12】利用等邊三角形的性質(zhì)求值33．（2023上·福建莆田·八年級校考期中）如圖，△ABC是等邊三角形，BC⊥CD，且AC=CD，則∠BAD的度數(shù)為（）A．50° B．45° C．40° D．35°【答案】B【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、等邊對等角求角度、垂線的定義，由等邊三角形的性質(zhì)可得∠BAC=∠ACB=60°，由垂線的定義可得∠BCD=90°，從而得出∠ACD=150°，由三角形內(nèi)角和定理結(jié)合等邊對等角可得∠CAD=∠D=15°，即可得解，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠ACB=60°，∵BC⊥CD，∴∠BCD=90°，∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+90°=150°，∵AC=CD，∴∠CAD=∠D=180°-∠ACD∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=60°-15°=45°，故選：B．34．（2023下·全國·八年級專題練習）如圖，已知：∠MON=30°，點A1、A2、A3…在射線ON上，點B1、B2、B3…在射線OM上，△A1B1

A．6 B．12 C．32 D．64【答案】C【分析】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2【詳解】解：如圖，

∵△A∴A1B1∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°-120°-30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°-60°-30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA∴A2∵△A2B∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A2∴A3A4A以此類推：A6故選：C．35．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級校考階段練習）如圖，在等邊△ABC中，點E是AC邊的中點，點P是△ABC的中線AD上的動點，且AD=8，則EP+CP的最小值是（

）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】C【分析】本題主要考查了軸對稱最短路線問題以及等邊三角形的性質(zhì)．要求EP+CP的最小值，需考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化EP，CP的值，從而找出其最小值求解即可．【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的中線，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分線，作點E關于AD的對稱點F，連接CF，∴PE=PF，當C，P，F(xiàn)三點共線，此時EP+CP最短，即CF就是EP+CP的最小值．∵△ABC是等邊三角形，E是AC邊的中點，∴F是AB的中點，∴CF是△ABC的中線，∴CF=AD=8，即EP+CP的最小值為8，故選：C．36．（2023上·湖北武漢·八年級校聯(lián)考階段練習）如圖，△ABC是等邊三角形，E、F分別在AC、BC上，且AE=CF，則下列結(jié)論：①AF=BE，②∠BDF=60°，③BD=CE，其中正確的個數(shù)是（

）個A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由等邊三角形的性質(zhì)得出AB=CA，∠BAE=∠ACF=60°，由SAS【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=CA，∠BAE=在△ABE和△CAF中，AB＝∴△ABE≌△CAF（SAS），∴AF=BE，∠ABD=∠CAF∵∠BDF=∴∠BDF=∠BAD+∵△ABE≌△CAF，∴BF=CE，∵∠BDF=60°，∠∴∠BDF≠∴BD≠BF，故選：B．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)以及等腰三角形的判定，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關鍵．【考試題型13】手拉手模型37．（2023上·湖南岳陽·八年級?？茧A段練習）如圖，△ABC、△CDE均為等邊三角形，連接BD、AE交于點O，BC與AE交于點P．求證：∠BOP=∠ACP．

【答案】見解析【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理以及全等三角形的判定及性質(zhì)，利用“邊角邊”證明△ACE和△BCD全等，可得∠CAE=∠CBD然后根據(jù)“八字型”【詳解】解：∵△ABC和△ECD都是等邊三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∴∠ACB+∠BCE=在△ACE和△BCD中，∵AC=BC，∠ACE=∠BCD∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠CAE=∵∠APC=∴∠BOP=38．（2023上·廣東東莞·八年級石龍三中?？计谥校┤鐖D，點C在線段AB上，（點C不與A、B重合），分別以AC、BC為邊在AB同側(cè)作等邊△ACD和等邊△BCE，連接AE、(1)猜想并證明：線段AB與BD的數(shù)量關系為___________．證明：(2)求證：∠APD=60°；(3)求∠APC的度數(shù)．【答案】(1)AB=BD，理由見解析(2)見解析(3)∠APC=60°．【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，以及角平分線的判定等知識．（1）由已知可得∠ACE=∠DCB，然后根據(jù)SAS證明△ACE≌△DCB，即可得證；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得∠MAC=∠NDC，由三角形的內(nèi)角和定理可得∠APD=∠ACM=60°；（3）過點C作CG⊥AE于點G，CH⊥BD于點H，利用面積法可得可得CH=CG，由角平分線的判定可得∠APC=1解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．【詳解】（1）證明：AB=BD，理由如下：∵△ACD和△BCE為等邊三角形，∴AC=DC，CE=CB，∠ACD=∠ECB=60°．∵∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠DCB=∠DCE+∠ECB，∴∠ACE=∠DCB．在△ACE和△DCB中，AC=DC∠ACE=∠DCB∴△ACE≌△DCBSAS∴AB=BD；（2）解：∵△ACE≌△DCB，得到∠MAC=∠NDC，又∠ACM=60°，∠AMC=∠DMP，∴∠APD=∠ACM=60°；（3）解：∵∠APD=∠ACM=60°，∴∠APB=180°-∠APD=120°，過點C作CG⊥AE于點G，CH⊥BD于點H．

∵△ACE≌△DCB，∴DB=AE，S△ACE∴1∴CG=CH，∴CP平分∠APB．∴∠APC=139．（2023上·廣東東莞·八年級可園中學?？计谥校┤鐖D，已知點B、C、D在同一條直線上，△ABC和△CDE都是等邊三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，

(1)求證：BE=AD；(2)求證：CF=CH；(3)判斷FH與BD的位置關系，并證明．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)FH∥【分析】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．（1）由兩三角形為等邊三角形，得到兩對邊相等，且夾角相等，利用SAS得到△ACD≌（2）利用AAS得到△ACH≌（3）FH∥BD，由兩邊相等且一角為60°的三角形為等邊三角形得到【詳解】（1）證明：∵△ABC和△CDE都為等邊三角形，∴AC=BC,EC=DC,∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌∴AD=BE；（2）證明：∵△ACD≌∴∠HAC=∠FBC，∵∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACH=60°，在△ACH和△BCF中，∠ACH=∠BCF∠HAC=∠FBC∴△ACH≌∴CF=CH；（3）FH∥證明：∵CF=CH，且∠FCH=60°，∴△CFH為等邊三角形，∴∠HFC=∠ACB=60°，∴FH∥40．（2023上·河南新鄉(xiāng)·八年級新鄉(xiāng)市第十中學?？计谥校┬∶魍瑢W發(fā)現(xiàn)這樣一個規(guī)律：兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來則形成一組全等的三角形，小明把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形．

(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，若△ACB和△DCE均是頂角為40°的等腰三角形，AB、DE別是底邊，則AD___________BE（填“=(2)拓展探究：如圖2，若△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A、D、E在同一條直線上，連接BE，（1(3)解決問題：如圖3，若△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點A、D、E在同一條直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM、【答案】(1)=(2)成立，見解析(3)∠AEB=90°，AE=BE+2CM【分析】（1）先證明∠ACD=∠BCE，再利用SAS證明△ACD≌△BCE即可得到AD=BE；（2）利用等邊三角形的性質(zhì)同（1）證明即可；（3）同理證明△ACD≌△BCE，得到AD=BE，∠ADC=∠BEC，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠CDE=∠CED=45°，進而得到∠BEC=∠ADC=135°，由此可得∠AEB=90°，再證明DM=ME=CM，即可得到【詳解】（1）解：∵∠BCA=∠DCE=40°，∴∠BCA-∠DCB=∠DCE-∠DCB，即∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCESAS∴AD=BE，故答案為：=；（2）解：（1）中的結(jié)論成立．理由如下：∵△ABC和△CDE均是等邊三角形，∴CA=CB，∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD，即∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCESAS∴AD=BE；（3）解：∠AEB=90°，同（1）（2）的方法得，△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∵△CDE是等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°，∴∠ADC=180°-∠CDE=135°，∴∠BEC=∠ADC=135°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°，∵CD=CE，∴DM=ME，∵∠DCE=90°，∴DM=ME=CM．∴AE=AD+DE=BE+2CM．【點睛】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形全等是解題的關鍵．【考試題型14】等邊三角形的證明41．（2023上·江蘇南京·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，CD是AB邊的中線，∠BDC=60°，將△BCD沿CD折疊，使點B落在點E的位置．判斷△AED的形狀并加以證明．【答案】等邊三角形，見解析【分析】本題考查了翻折變換、平行線的判定以及等邊三角形的判定，熟練掌握等邊三角形的判定定理是解題的關鍵．由折疊的性質(zhì)可得出BD=ED、∠EDC=∠BDC=60°，根據(jù)角的計算可得出∠ADE=60°，再根據(jù)中線的定義即可得出AD=BD=ED，由此即可證出△ADE是等邊三角形．【詳解】證明：由折疊的性質(zhì)可知：BD=ED，∠EDC=∠BDC=60°，∵CD是AB邊的中線，∴BD=AD，∴AD=ED．又∵∠ADE=180°-∠EDC-∠CDB=60°，∴△ADE是等邊三角形．42．（2023上·廣東惠州·八年級?？计谥校┤鐖D，△ABC中，D為AC邊上一點，ED的延長線交BC的延長線于F，且EF⊥AB，CD=CF．

(1)求證：△ABC是等腰三角形；(2)當∠F等于多少度時，△ABC是等邊三角形？請證明你的結(jié)論．【答案】(1)證明見解析(2)當∠F=30°時，△ABC是等邊三角形，證明見解析【分析】（1）先根據(jù)等邊對等角和三角形外角的性質(zhì)證明∠ACB=2∠CDF，再由對頂角相等得到∠ACB=2∠ADE，由垂線的定義和三角形內(nèi)角和定理推出2∠A+∠ACB=180°，再由∠B+∠A+∠ACB=180°，得到∠A=∠B，推出AC=BC，由此即可證明△ABC是等腰三角形；（2）根據(jù)（1）所求，只需要滿足∠ACB=60°即可，再由三角形外角的性質(zhì)即可得到∠F的度數(shù)，據(jù)此可得答案．【詳解】（1）證明：∵CD=CF，∴∠CDF=∠F，∵∠ACB=∠CDF+∠F，∴∠ACB=2∠CDF，∵∠CDF=∠ADE，∴∠ACB=2∠ADE，∵EF⊥AB，∴∠A+∠ADE=90°，∴2∠A+2∠ADE=180°，∴2∠A+∠ACB=180°，又∵∠B+∠A+∠ACB=180°，∴∠A=∠B，∴AC=BC，∴△ABC是等腰三角形；（2）解：當∠F=30°時，△ABC是等邊三角形，證明如下：∵∠CDF=∠F，∠ACB=∠CDF+∠F，∴∠ACB=∠CDF+∠F=60°，∵AC=BC，∴△ABC是等邊三角形．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)等等，證明AC=BC是解題的關鍵．43．（2023上·福建福州·八年級福州日升中學?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,D是AB上的一點，BD=BC，過點D作AB的垂線交AC于點E,CD交BE于點

(1)求證：BE垂直平分CD；(2)若點D是AB的中點，求證：△CBD是等邊三角形．【答案】(1)見詳解(2)見詳解【分析】本題考查了直角三角形與等邊三角形，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)與等邊三角形的判定是解決本題的關鍵．（1）先證Rt△EBC≌Rt△EBD(HL)（2）根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可知CD=DB，又根據(jù)DB=BC，即可證明結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵∠ACB=90°，且DE⊥AB，∴∠EDB=∠ACB=90°，在Rt△EBC和RtBD=BCEB=EB∴Rt△EBC≌∴∠CBE=∠DBE，∵BD=BC，∴△BDC是等腰三角形，∴BF⊥CD，CF=DF，∴BE垂直平分CD．（2）證明：∵D是AB的中點，∠ACB=90°，∴DC=DB，又∵BD=BC，∴DC=DB=BC，∴△CBD是等邊三角形．44．（2020上·浙江臺州·八年級統(tǒng)考期末）【閱讀材料】小明同學發(fā)現(xiàn)這樣一個規(guī)律：兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來則形成一組全等的三角形，小明把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形．如圖1，在“手拉手”圖形中，小明發(fā)現(xiàn)若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，則△ABD≌△ACE．【材料理解】（1）在圖1中證明小明的發(fā)現(xiàn)．【深入探究】（2）如圖2，△ABC和△AED是等邊三角形，連接BD，EC交于點O，連接AO，下列結(jié)論：①BD=EC；②∠BOC=60°；③∠AOE=60°；④EO=CO，其中正確的有．（將所有正確的序號填在橫線上）．【延伸應用】（3）如圖3，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，試探究∠A與∠C的數(shù)量關系．【答案】（1）見解析；（2）①②③；（3）∠A+∠BCD=180°．【分析】（1）利用等式的性質(zhì)得出∠BAD=∠CAE，即可得出結(jié)論；（2）同（1）的方法判斷出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，再利用對頂角和三角形的內(nèi)角和定理判斷出∠BOC=60°，再判斷出△BCF≌△ACO，得出∠AOC=120°，進而得出∠AOE=60°；（3）先判斷出△BDP是等邊三角形，得出BD=BP，∠DBP=60°，進而判斷出△ABD≌△CBP（SAS），即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE；（2）如圖2，∵△ABC和△ADE是等邊三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE，∴∠ADB=∠AEC，BD=CE，①正確，記AD與CE的交點為G，∵∠AGE=∠DGO，∴180°∠ADB∠DGO=180°∠AEC∠AGE，∴∠DOE=∠DAE=60°，∴∠BOC=60°，②正確，在OB上取一點F，使OF=OC，連接CF，∴△OCF是等邊三角形，∴CF=OC，∠OFC=∠OCF=60°=∠ACB，∴∠BCF=∠ACO，∵AB=AC，∴△BCF≌△ACO（SAS），∴∠AOC=∠BFC=180°∠OFC=120°，∴∠AOE=180°∠AOC=60°，③正確，沒有理由說明OC=OE，所以，④不一定正確，即：正確的有①②③，故答案為①②③；（3）如圖3，延長DC至P，使DP=DB，∵∠BDC=60°，∴△BDP是等邊三角形，∴BD=BP，∠DBP=60°，∵∠ABC=60°=∠DBP，∴∠ABD=∠CBP，∵AB=CB，∴△ABD≌△CBP（SAS），∴∠BCP=∠A，∵∠BCD+∠BCP=180°，∴∠A+∠BCD=180°．【點睛】本題是三角形綜合題，主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，構造等邊三角形是解本題的關鍵．【考試題型15】等邊三角形與折疊問題45．（2023上·山東臨沂·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知等邊三角形ABC，點D為線段BC上一點，△ADC沿AD折疊得△ADE，連接BE，若∠ADB=70°，則∠DBE的度數(shù)是（

）

A．10° B．20° C．30° D．40°【答案】A【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì):等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，且都等于60°．也考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理的運用．由折疊性質(zhì)可得△ADC≌△ADE得到AC=AE，∠CAD=∠EAD，再求出∠BAE，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和即可求出∠DBE的度數(shù).【詳解】解：∵等邊三角形ABC,∴∠C=∠ABC=∠BAC=60°,AC=AB,∵∠ADB=70°,∠ADB=∠C+∠CAD,∴∠CAD=10°,由折疊性質(zhì)可得△ADC≌△ADE，∴AC=AE,∠CAD=∠EAD=10°,∴∠BAE=∠BAC-∠CAD-∠EAD=40°,∵AB=AE,∴∠AEB=∠ABE=180°-∠BAE∴∠DBE=∠ABE-∠ABC=70°-60°=10°.故答案為：A.46．（2022上·浙江金華·八年級義烏市繡湖中學教育集團?？计谥校┤鐖D，在等邊△ABC中，已知AE=1，CD=2，將△BDE沿DE折疊，點B與點F對應，且DF⊥AC，則等邊△ABC的邊長為（

）

A．3+3 B．4 C．4+3 D【答案】A【分析】設DF⊥AC于G,EF交AC于H，由等邊三角形的性質(zhì)可得∠C=∠A=∠B=60°，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠F=∠B=60°，根據(jù)垂直的定義得到∠DGC=∠HGF=90°，根據(jù)勾股定理得到EH=DG=22-1【詳解】解：設DF⊥AC于G,EF交AC于H，∵△ABC是等邊三角形，∴∠C=∠A=∠B=60°，∵將△BDE沿DE折疊，點B與點F對應，∴∠F=∠B=60°，∵DF⊥AC，∴∠DGC=∠HGF=90°，∴∠CDG=∠FHG=∠AHE=30°，∴∠AEH=90°，∵AE=1，∴AH=2AE=2∴EH=DG=2設FG=x,FH=2x,∴AE+BE=AE+EF=CD+BD，∴1+3∴x=1，∴BC=BD+DC=DF+DC=DG+FG+DC=3故選：A．

【點睛】本題主要考查了翻折變換（折疊問題）、等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識點，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關鍵．47．（2023上·吉林·八年級校聯(lián)考期中）如圖，等邊△ABC的邊長為2cm，D、E分別是AB、AC上的點，將△ADE沿直線DE折疊，點A落在點A'處，且點A'在△ABC外部則陰影部分圖形的周長為【答案】6【分析】由將△ADE沿直線DE折疊，點A落在點A'處，根據(jù)折疊的性質(zhì)，即可得AD=A'D，AE=A'E【詳解】解：∵等邊三角形ABC的邊長為2cm∴AB=BC=AC=2cm∵△ADE沿直線DE折疊，點A落在點A'∴AD=A'D∴陰影部分圖形的周長為：BD+=BD+AD+BC+AE+EC=AB+BC+AC=2+2+2=6(cm故答案為：6．【點睛】此題考查了折疊的性質(zhì)與等邊三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應用，注意掌握折疊前后圖形的對應關系．48．（2023上·湖北武漢·八年級武漢第三寄宿中學校考階段練習）如圖，△ABC是等邊三角形，將△ABC按如圖的方式進行折疊，使點B與AC邊上的點F重合，折痕分別與AB，BC交于點①∠FDE+∠FED=120°；②∠ADF+∠CEF=2∠A；③AD=2EC；④若AF=1，F(xiàn)C=3，O是折痕DE上一動點，則OF+OC的最小值是其中正確的結(jié)論是（填寫序號）

【答案】①②④【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可判斷①；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可判斷②；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可判斷③；根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可判斷④，由此即可得到答案．【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠ACB=60°，由折疊的性質(zhì)可得：∠DFE=∠B=60°，∴∠FDE+∠FED=180°-∠DFE=180°-60°=120°，故①正確，符合題意；∵∠DFE=60°，∴∠AFD+∠CFE=180°-60°=120°，∵∠ADF=180°-∠A-∠AFD，∠CEF=180°-∠CFE-∠FCE，∴∠ADF+∠CEF=360°-∠A-∠FCE-∠AFD+∠CFE=120°=2∠A，故∵AB=BC，BD和BE的關系是變化的，∴AD不一定等于2EC，故③錯誤，不符合題意；∵AF=1，∴AC=1+3=4，∴BC=AC=4，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)及三角形三邊關系可得OF+OC的最小值即為BC的長，∴OF+OC的最小值為4，故④正確，符合題意；綜上所述，其中結(jié)論正確的有①②④，故答案為：①②④．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、軸對稱的性質(zhì)等知識點，熟練掌握以上知識點是解此題的關鍵．【考試題型16】與等腰三角形、等邊三角形有關的規(guī)律探究問題49．（2023上·浙江金華·七年級?？计谥校┤鐖D，△ABC是等邊三角形，D是線段BC上一點（不與點B，C重合），連接AD，點E，F(xiàn)分別在線段AB，AC的延長線上，且DE=DF=AD，點D從B運動到C的過程中，△BED周長的變化規(guī)律是（）

A．先變小后變大 B．先變大后變小 C．一直變小 D．不變【答案】A【分析】先根據(jù)ASA證明△BDE≌△CFD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BE=CD，由此可得△BDE的周長=BD+BE+DE=BD+CD+AD=BC+AD，即可求解．本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，證明【詳解】∵DE=DF=AD，∴∠DAE=∠E,∠DAF=∠F．∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∴∠EBD=∠DCF=120°且∠DAE+∠DAF=60°，∴∠E+∠F=60°．∵∠E+∠BDE=∠ABC=60°，∴∠BDE=∠F．在△BDE和△CFD中∠EBD=∠DCF∠BDE=∠F∴△BDE≌∴BE=CD，∴△BDE的周長=BD+BE+DE=BD+CD+AD=BC+AD，∵點D從B運動到C的過程中AD的值先變小再變大，因此△BED周長先變小再變大．故選：A50．（2022上·山東濟寧·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點A坐標是0，4，以為邊在右側(cè)作等邊三角形OAA1，過點A1作x軸的垂線，垂足為點O1，以O1A1為邊在右側(cè)作等邊三角形O1A1A2，再過點A2作xA．122021 B．122022 C．【答案】A【分析】利用含30°的直角三角形的最短邊是斜邊的一半解題即可．【詳解】解：∵三角形OAA1為等邊三角形，∴∠AOA∴O1同理得：O2A2綜上可得：O故選A．【點睛】本題主要考查含30°的直角三角形的性質(zhì)，能夠熟記性質(zhì)并能夠熟練進行指數(shù)計算是解題關鍵．51．（2022下·遼寧遼陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖（1），△AB1C1是邊長為2的等邊三角形；如圖（2），取AB1的中點C2，畫等邊三角形AB2C2，連接B1B2；如圖（3），取【答案】3【分析】通過計算得△AB1B2是直角三角形∠AB2BI=90°，∠AB1B2=30°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得B1B2＝3AB2．因此B1B2＝3．同理可得B2B3的長，找出規(guī)律即可得出結(jié)論．【詳解】∵△AB1C1是邊長為2的等邊三角形，且C2是A1B1的中點∴AC2＝C2B1＝1∵△AC2B2是等邊三角形∴∠B2C2A＝∠C2B2A＝60°，C2B2＝C2A＝B2A＝1∴∠B2C2B1＝120°，且C2B2＝C2B1∴∠B2B1C2＝∠B1B2C2＝30°∴∠B1B2A＝30°＋60°＝90°∴B1B2＝3AB2＝3同理可得B2B3＝3AB3＝3×B3B4＝3AB4＝3×∴BnBn＋1＝3∴B故答案為3【點睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，求出B1B2的長找出規(guī)律是解答此題的關鍵．52．（2022·山東聊城·統(tǒng)考一模）如圖，直線l1與直線l2所成的角∠B1OA1=30°，過點A1作A1B1⊥l1交直線l2于點B1，OB1=2，以A1B1為邊在△OA1B1外側(cè)作等邊三角形A【答案】3【分析】根據(jù)含30°的直角三角形可得A1B1=1，OA1=3，由等邊三角形的性質(zhì)可得出A1A2的長度，進而得出OA2，A2B2的長度，同理可求出AnBn的長度，再根據(jù)等邊三角形的周長公式即可求出第n個等邊三角形AnBnCn的周長，代入化簡即可求解．【詳解】解：∵∠B1OA1∴在Rt△OA1B1中，∵△A1∴A1∴在Rt△OA2B2中，∵△A∴A2∴在Rt△OA3B3中，同理可得：An∴第2022個等邊三角形A2022B2022C2022的周長為3A【點睛】本題考查了含30°的直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)、規(guī)律探究，解題的關鍵是通過含30°的直角三角形和等邊三角形的性質(zhì)找出規(guī)律An【考試題型17】與等腰三角形、等邊三角形有關的新定義問題53．（2023上·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期中）定義：如果1條線段將一個三角形分割成2個等腰三角形，我們把這條線段叫做這個三角形的“雙等腰線”．如果2條線段將一個三角形分成3個等腰三角形，我們把這2條線段叫做這個三角形的“三等腰線”．如圖（1），BE是△ABD的“雙等腰線”，AD、BE是△ABC的“三等腰線”．

(1)請在圖（2）中，作出△ABC的“雙等腰線”

①∠B=70°，∠A=35°

②∠B=81°，∠A=27°．(2)直角三角形的______就是它的“雙等腰線”(3)如果一個頂角是銳角的等腰三角形有“雙等腰線”，那么它的底角度數(shù)是______．(4)已知△ABC中，∠C=33°，AD和DE分別是△ABC的“三等腰線”，點D在BC邊上，點E在AB邊上，且AD=DC，BE=DE，請根據(jù)題意寫出∠B度數(shù)的所有可能的值______．【答案】(1)見解析(2)斜邊中線(3)72°或540(4)38°、22°、66°、57°、48°【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和解答即可；（2）根據(jù)直角三角形斜邊中線推導即可；（3）設底角度數(shù)為x，分三種情況利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和解答即可；（4）設∠B=x，根據(jù)題意表示△ADE三個內(nèi)角，再分類討論即可．【詳解】（1）解：如圖，

取CD=BC，則∠CDB=∠B=70°，∵∠A=35°，∴∠ACD=70°-35°=35°，∴∠ACD=∠A，∴AD=CD=BC，∴△ADC和△BCD是等腰三角形；如圖，

作AB的垂直平分線DE，交AC于D，交AB于E，連接BD，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=27°，∴∠CDB=54°，∵∠ABC=81°，∴∠CBD=81°-27°=54°=∠BDC，∴CD=BC，∴△ADB和△BCD是等腰三角形；（2）直角三角形斜邊中線把直角三角形分成兩個等腰三角形，故答案為：斜邊中線；（3）①設△ABC是以AB、AC為腰的銳角三角形，BD為“雙等腰線”，如圖5，

當AD=BD，BD=BC時，設∠A=x°，則∠ABD=x°，∴∠BDC=∠C=2x°，∴∠ABC=∠C=2x°，∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x°+2x°+2x°=180°，∴x=36°，2x=72°，∴∠C=72°，②設△ABC是以AB、AC為腰的鈍角三角形，AD為“雙等腰線”，如圖6，

當AB=BD，AD=CD時，設∠B=y°，則∠C=y°，∵AD=CD，∴∠DAC=∠C=y°，∴∠ADB=2y°，∵AB=BD，∴∠BAD=∠ADB=2y°，∵∠B+∠BAD+∠ADB=180°，∴y°+2y°+2y°=180°，∴y=36°，∴∠B=∠C=36°，此時頂角不是銳角，排除；③設△ABC是以AB、AC為腰的直角三角形，AD為“雙等腰線”，如圖7，

當AB=BD，AD=CD時，AD為BC的垂直平分線，設∠B=z°，則∠C=z°，∠BAD=z°，∴∠B+∠BAD=90°，∴z°+z°=90°，∴z=45°，∴∠B=∠C=45°，此時頂角不是銳角，排除；④設頂角為x，

可得，x+3x+3x=180°解得：x=180∴∠C=3x=540故答案為：72°或5407（4）如圖，

設∠B=x，∵∠C=33°，AD=DC，∴∠C=∠DAC=33°，∠EAD=180°-∠B-∠C-∠DAC=114°-x，∴∠ADB=66°∵BE=DE，∴∠B=∠BDE=x，∴∠AED=2x，∠ADE=∠ADB-∠BDE=66°-x，∵AD和DE分別是△ABC的“三等腰線”，∴△ADE或△ADB是等腰三角形，當AD=DE時，∠EAD=∠AED，則114°-x=2x，解得∠B=x=38°；當AD=AE時，∠ADE=∠AED，則66°-x=2x，解得∠B=x=22°；當AE=DE時，∠EAD=∠ADE，則114°-x=66°-x，無解；當AD=AB時，∠B=∠ADB，則∠B=x=66°；當AD=BD時，∠EAD=∠B，則114°-x=x，解得∠B=x=57°；當AB=BD時，∠EAD=∠ADB，則114°-x=66°，解得∠B=x=48°；綜上所述，∠B度數(shù)的所有可能的值為38°、22°、66°、57°、48°．故答案為：38°、22°、66°、57°、48°．54．（2023上·江蘇徐州·八年級?？计谥校┌岩粡堩斀菫?6°的等腰三角形紙片剪兩刀，分成3張小紙片，使每張小紙片都是等腰三角形，圖①是其中的一種方法．定義：如果兩條線段將一個三角形分成3個等腰三角形，那么我們把這兩條線段叫做這個三角形的三分線．

(1)請你在圖②、圖③中用兩種不同的方法畫出頂角為45°的等腰三角形的三分線，并標注每個等腰三角形頂角的度數(shù)；(2)在△ABC中，∠B＝30°，AD和DE是△ABC的三分線，點D在邊BC上，點E在邊AC上，且AD＝BD，【答案】(1)見解析(2)x所有可能的值為20、40【分析】（1）一底角作為新等腰三角形的底角，則另一底腳被分為45°和22.5°，再以22.5°分別作為等腰三角形的底角或頂角，易得其中作為底角時所得的三個三角形恰都為等腰三角形；過底角一頂點作對邊的高，發(fā)現(xiàn)形成一個等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜邊的中線可形成兩個等腰三角形，則易得一種情況．第二種情形可以考慮題例中給出的方法，（2）先確定D點，再分AD＝AE和【詳解】（1）如圖，

（2）當AD＝AE時，如圖④，∵ED＝∴∠EDC＝∴∠AED＝∴∠ADE＝∵AD＝∴∠BAD＝由∠ADC＝得2x＋x＝30

當AD＝DE時，如圖⑤，∵ED＝∴∠EDC＝∴∠AED＝∴∠DAE＝∴∠BAC＝由△ABC的內(nèi)角和為180°，得30＋30＋綜上所述，x所有可能的值為20或40．55．（2023上·福建福州·八年級?？计谥校┒x：若P為△ABC內(nèi)一點，且滿足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，則點P叫做△ABC的費馬點．(1)如圖1，若點O是等邊△ABC的費馬點，且OA+OB+OC=18，則這個等邊三角形的高的長度為______；(2)如圖2，已知△ABC，分別以AB、AC為邊向外作等邊△ABD與等邊△ACE，線段CD、BE交于點P，連接AP，求證：點(3)應用探究：已知有A、B、C三個村莊的位置如圖3所示，能否在合適的位置建一個污水處理站Q，使得該處理站分別連接這三個村莊的水管長度之和最小？如果能，請你說明該如何確定污水處理站Q的位置，并證明該位置滿足設計要求．【答案】(1)9(2)見解析(3)能，當點Q是△ABC的費馬點時，QA+QB+QC的值最?。C明該位置滿足設計要求見解析【分析】（1）根據(jù)AAS證明△ABO≌△BOC得OA=OB=OC，從而點O是三邊垂直平分線的交點，延長AO交BC于點D，根據(jù)30度角的性質(zhì)求出OD=3即可求解；（2）作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，設AB與CD交點為G．根據(jù)SAS證明△CAD≌△EAB得∠ADC=∠ABE,CD=BE，S△CAD=S△EAB，然后證明（3）分別以AB、AC為邊向外作等邊△ABD與等邊△ACE，線段CD、BE交于一點，該點即為所求的點，根據(jù)SAS證明△KBD≌△QBA得∠DKB=∠AQB，DK=AQ，從而可判斷當D、K、【詳解】（1）∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC,∠ABC=60°，∴∠ABO+∠CBO=60°．∵點O是等邊△ABC的費馬點，∴∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，∴∠BAO+∠ABO=60°，∴∠BAO=∠CBO，∴△ABO≌△BOCAAS∴OA=OB=OC，∴點O是三邊垂直平分線的交點，∴∠OBD=1∵OA+OB+OC=18，∴OA=OB=OC=6．∴延長AO交BC于點D，如圖1，∴OD=1∴AD=6+3=9．故答案為：9．（2）如圖2，作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，設AB與CD交點為G．∵△ABD與△ACE都是等邊三角形∴AD=AB，AC=AE∴∠CAD=∠EAB∴△CAD≌△EAB(∴∠ADC=∠ABE,CD=BE，又∵∠ADC+∠DAG=∠ABE+∠GPB∴∠GPB=∠DAG=60°∴∠BPC=∠DPE=120°，∠EPC=60°∵S△CAD=1∴12∴AM=AN，∴AP平分∠DPE∴∠APD=∠APE=60°∴∠APB=∠APC=120°=∠BPC∴點P是△ABC的費馬點．（3）能，如第（2）小題那樣，分別以