2025屆浙江省杭州地區(qū)六校高二上數(shù)學(xué)期末考試試題含解析

2025屆浙江省杭州地區(qū)六校高二上數(shù)學(xué)期末考試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．關(guān)于的不等式的解集為（）A. B.C.或 D.2．已知曲線與直線總有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是（）A. B.C. D.3．直線的傾斜角是（）A. B.C. D.4．已知線段AB的端點(diǎn)B在直線l：y=-x+5上，端點(diǎn)A在圓C1：上運(yùn)動，線段AB的中點(diǎn)M的軌跡為曲線C2，若曲線C2與圓C1有兩個(gè)公共點(diǎn)，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的取值范圍是（）A.（-1，0） B.（1，4）C.（0，6） D.（-1，5）5．已知集合A={1，a，b}，B={a2，a，ab}，若A=B，則a2021+b2020=（）A.-1 B.0C.1 D.26．在長方體中，若，，則異而直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.7．如圖，在正方體中，點(diǎn)E是上底面的中心，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.8．拋物線的準(zhǔn)線方程為，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.C. D.9．已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞增B.函數(shù)上有兩個(gè)零點(diǎn)C.函數(shù)有極大值16D.函數(shù)有最小值10．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的的值為3，則輸出的的值為（）A.3 B.6C.9 D.1211．已知函數(shù)與，則它們的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1C.2 D.不確定12．直線在y軸上的截距為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．高二某位同學(xué)參加物理、政治科目的學(xué)考，已知這位同學(xué)在物理、政治科目考試中得A的概率分別為、，這兩門科目考試成績的結(jié)果互不影響，則這位考生至少得1個(gè)A的概率為______14．已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，那么它的前項(xiàng)和___________.15．瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Euler）1765年在所著的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線．已知的頂點(diǎn)，，，則歐拉線的方程為______16．已知直線與圓相切，則__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列前n項(xiàng)和18．（12分）三棱錐各棱長為2，E為AC邊上中點(diǎn)（1）證明：面BDE；（2）求二面角的正弦值19．（12分）已知函數(shù)（1）求關(guān)于x的不等式的解集；（2）若對任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍20．（12分）已知圓內(nèi)有一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線交圓于、兩點(diǎn)（1）當(dāng)經(jīng)過圓心時(shí)，求直線的方程；（2）當(dāng)弦的長為時(shí)，求直線的方程21．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.22．（10分）一位父親在孩子出生后，每月給小孩測量一次身高，得到前7個(gè)月的數(shù)據(jù)如下表所示．月齡1234567身高（單位：厘米）52566063656870（1）求小孩前7個(gè)月的平均身高；（2）求出身高y關(guān)于月齡x的回歸直線方程（計(jì)算結(jié)果精確到整數(shù)部分）；（3）利用（2）的結(jié)論預(yù)測一下8個(gè)月的時(shí)候小孩的身高參考公式：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】求出不等式對應(yīng)方程的根，結(jié)合不等式和二次函數(shù)的關(guān)系，即可得到結(jié)果.【詳解】不等式對應(yīng)方程的兩根為，因?yàn)?，故可得，根?jù)二次不等式以及二次函數(shù)的關(guān)系可得不等式的解集為或.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查含參二次不等式的求解，屬基礎(chǔ)題.2、D【解析】對曲線化簡可知曲線表示以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓的下半部分，對直線方程化簡可得直線過定點(diǎn)，畫出圖形，由圖可知，，然后求出直線的斜率即可【詳解】由，得，因?yàn)?，所以曲線表示以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓的下半部分，由，得，所以，得，所以直線過定點(diǎn)，如圖所示設(shè)曲線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為，直線過定點(diǎn)，為曲線上一動點(diǎn)，根據(jù)圖可知，若曲線與直線總有公共點(diǎn)，則，得，設(shè)直線為，則，解得，或，所以，所以，所以，故選：D3、A【解析】將直線方程化為斜截式，由此確定斜率；根據(jù)斜率和傾斜角關(guān)系可得結(jié)果.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則，由得：，則斜率，.故選：A.4、D【解析】設(shè)，AB的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得，代入圓C1：得點(diǎn)點(diǎn)M的軌跡方程，再根據(jù)兩圓的位置關(guān)系建立不等式，代入，求解即可得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的取值范圍.【詳解】解：設(shè)，AB的中點(diǎn)，則，所以，又因?yàn)槎它c(diǎn)A在圓C1：上運(yùn)動，所以，即，因?yàn)榍€C2與圓C1有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以，又因B在直線l：y=-x+5上，所以，所以，整理得，即，解得，所以點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的取值范圍是，故選：D.5、A【解析】根據(jù)A=B，可得兩集合元素全部相等，分別求得和ab=1兩種情況下，a，b的取值，分析討論，即可得答案.【詳解】因?yàn)锳=B，若，解得，當(dāng)時(shí)，不滿足互異性，舍去，當(dāng)時(shí)，A={1，-1，b}，B={1，-1，-b}，因?yàn)锳=B，所以，解得，所以；若ab=1，則，所以，若，解得或1，都不滿足題意，舍去，若，解得，不滿足互異性，舍去，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查兩集合相等的概念，在集合相等問題中由一個(gè)條件求出參數(shù)后需進(jìn)行代入檢驗(yàn)，檢驗(yàn)是否滿足互異性、題設(shè)條件等，屬基礎(chǔ)題.6、C【解析】通過平移把異面直線平移到同一平面中，所以取，的中點(diǎn)，易知且過中心點(diǎn)，所以異而直線與所成角為和所成角，通過解三角形即可得解.【詳解】根據(jù)長方體的對稱性可得體對角線過中心點(diǎn)，取，的中點(diǎn)，易知且過中心點(diǎn)，所以異而直線和所成角為和所成角，連接，在中，，，，所以則異而直線與所成角的余弦值為：，故選：C.7、B【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量夾角求解.【詳解】以為原點(diǎn)，為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)正方體棱長為2，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：B8、B【解析】由題得，解方程即得解.【詳解】解：拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以.故選：B9、C【解析】對求導(dǎo)，研究的單調(diào)性以及極值，再結(jié)合選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】，由，得或，由，得，所以在上遞增，在上遞減，在上遞增，所以極大值為，極小值為，所以有3個(gè)零點(diǎn)，且無最小值.故選：C10、A【解析】模擬執(zhí)行程序框圖，根據(jù)輸入數(shù)據(jù)，即可求得輸出數(shù)據(jù).【詳解】當(dāng)時(shí)，不滿足，故，即輸出的的值為.故選：.11、B【解析】令，判斷的單調(diào)性并計(jì)算的極值，根據(jù)極值與0的大小關(guān)系判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，得出答案.【詳解】令，則，由，得，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，∴只有一個(gè)零點(diǎn)，即與的圖象只有1個(gè)交點(diǎn).故選：B.12、D【解析】將代入直線方程求y值即可.【詳解】令，則，得.所以直線在y軸上的截距為.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)給定條件利用相互獨(dú)立事件、對立事件的概率公式計(jì)算作答.【詳解】依題意，這位考生至少得1個(gè)A對立事件為物理、政治科目考試都沒有得A，其概率為，所以這位考生至少得1個(gè)A的概率為.故答案為：14、【解析】由題意知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求出首項(xiàng)，再利用等差數(shù)列求和公式即可得到答案.【詳解】已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，..故答案為：.15、【解析】根據(jù)給定信息，利用三角形重心坐標(biāo)公式求出的重心，再結(jié)合對稱性求出的外心，然后求出歐拉線的方程作答.【詳解】因的頂點(diǎn)，，，則的重心，顯然的外心在線段AC中垂線上，設(shè)，由得：，解得：，即點(diǎn)，直線，化簡整理得：，所以歐拉線的方程為.故答案：16、【解析】由直線與圓相切，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.【詳解】由直線與圓相切，所以圓心到直線l的距離等于半徑r，即.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】(1)利用基本量法，求出首項(xiàng)和公比，即可求解.(2)利用錯(cuò)位相減法，即可求解.【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為【小問2詳解】18、（1）證明見解析（2）【解析】(1)根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明；(2)建立如圖所示坐標(biāo)系，則，易知平面BCD的法向量，利用空間向量法求出面BDE的法向量，結(jié)合向量的數(shù)量積計(jì)算即可得出結(jié)果.【小問1詳解】正四面體中各面分別是正三角形，E為AC邊上中點(diǎn)，，又平面，且，所以面BDE【小問2詳解】建立如圖所示坐標(biāo)系，于是，，，，，易知平面BCD的法向量設(shè)面BDE的法向量，于是，令，則，，所以，所以，得所以二面角的正弦值為.19、（1）答案見解析（2）【解析】（1）求出對應(yīng)方程的根，再根據(jù)根的大小進(jìn)行討論，即可得解；（2）對任意的，恒成立，即恒成立，結(jié)合基本不等式求出的最小值即可得解.【小問1詳解】解：由已知易得即為：，令可得與，所以，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；【小問2詳解】解：由可得，由，得，所以可得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以，所以的取值范圍是.20、（1）；（2）或【解析】（1）求得圓心坐標(biāo)，由點(diǎn)斜式求得直線點(diǎn)的方程.（2）分成直線斜率存在和不存在兩種情況進(jìn)行分類討論，由此求得直線的方程.【詳解】（1）圓心坐標(biāo)為（1，0），，，整理得（2）圓的半徑為3，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，整理得，圓心到直線的距離為，解得，代入整理得當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意∴直線的方程為或21、（1）（2）.【解析】(1)由數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式之間的關(guān)系即可完成.(2)由錯(cuò)位相減法即可解決此類“差比”數(shù)列的求和.【小問1詳解】由，得當(dāng)時(shí)，，上下兩式相減得，，又當(dāng)時(shí)，滿足上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式；【小問2詳解】由（1）可知，所以，則，上下兩式相減得，所以.22、（