5.1.1 任意角（課件）-高中數(shù)學(xué)教學(xué)資料

三角函數(shù)第五章5.1.1任意角5.1任意角和弧度制課程標(biāo)準(zhǔn)核心素養(yǎng)了解任意角的概念和弧度制，能進(jìn)行弧度與角度的互化，體會(huì)引入弧度制的必要性.通過對(duì)任意角和弧度制的學(xué)習(xí)，提升“數(shù)學(xué)抽象”、“邏輯推理”、“數(shù)學(xué)運(yùn)算”的核心素養(yǎng).欄目索引課前自主預(yù)習(xí)課堂互動(dòng)探究隨堂本課小結(jié)課前自主預(yù)習(xí)1．角的分類知識(shí)點(diǎn)1角的分類及加減運(yùn)算逆時(shí)針順時(shí)針沒有2．角的加、減法(1)兩角相等：如果兩角α、β的旋轉(zhuǎn)方向相同且旋轉(zhuǎn)量相等，就稱α＝β.(2)角的加法：設(shè)α、β是任意兩個(gè)角，我們規(guī)定，把角α的終邊旋轉(zhuǎn)角β，這時(shí)終邊所對(duì)應(yīng)的角是α＋β.(3)角的減法：①把射線OA繞端點(diǎn)O按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個(gè)角叫做互為相反角，角α的相反角記為－α.②角的減法：α－β＝α＋(－β)．[微思考]1．當(dāng)角的始邊和終邊確定后，這個(gè)角就被確定了嗎？提示：不確定，因?yàn)榻堑男D(zhuǎn)量和旋轉(zhuǎn)方向不確定，因而角不確定．2．時(shí)鐘經(jīng)過1小時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的角的大小是________．1．象限角：以角的__________為坐標(biāo)原點(diǎn)，角的__________為x軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，角的終邊(除端點(diǎn)外)在第幾象限，就說這個(gè)角是第幾象限角．2．如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，稱這個(gè)角為軸線角．知識(shí)點(diǎn)2象限角頂點(diǎn)始邊[微體驗(yàn)]下列說法：①第一象限角一定不是負(fù)角；②第二象限角大于第一象限角；③第二象限角是鈍角；④小于180°的角是鈍角、直角或銳角．其中錯(cuò)誤的序號(hào)為________．解析由象限角定義可知①②③④都不正確．答案①②③④1．前提：α表示任意角．2．表示：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)__________的和．知識(shí)點(diǎn)3終邊相同的角周角[微體驗(yàn)]思考辨析(1)終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同．(

)(2)終邊相同的角有無(wú)數(shù)個(gè)，它們相差360°的整數(shù)倍．(

)(3)終邊相同的角的表示不唯一．(

)解析由終邊相同角的定義可知(1)(2)(3)正確．答案(1)√

(2)√

(3)√

(1)下列說法中，正確的是________(填序號(hào))．①終邊落在第一象限的角為銳角；②銳角是第一象限的角；③第二象限的角為鈍角；④小于90°的角一定為銳角；⑤角α與－α的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱．(2)如圖，射線OA先繞端點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°到OB處，再按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)820°至OC處，則β＝________.課堂互動(dòng)探究探究一與任意角有關(guān)的概念辨析解析(1)終邊落在第一象限的角不一定是銳角，如400°的角是第一象限的角，但不是銳角，故①的說法是錯(cuò)誤的；同理第二象限的角也不一定是鈍角，故③的說法也是錯(cuò)誤的；小于90°的角不一定為銳角，比如負(fù)角，故④的說法是錯(cuò)誤的．(2)∠AOC＝60°＋(－820°)＝－760°，β＝－(760°－720°)＝－40°.答案(1)②⑤

(2)－40°[方法總結(jié)]判斷角的概念問題的關(guān)鍵與技巧(1)關(guān)鍵：正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念．(2)技巧：判斷一種說法正確需要證明，而判斷一種說法錯(cuò)誤只要舉出反例即可．[跟蹤訓(xùn)練1]寫出圖(1)，(2)中的角α，β，γ的度數(shù)．解

題干圖(1)中，α＝360°－30°＝330°；題干圖(2)中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°，γ＝360°＋60°＋(－β)＝360°＋60°＋150°＝570°.

(1)下面與－850°12′終邊相同的角是(

)A．230°12′

B．229°48′C．129°48′

D．130°12′答案B

解析與－850°12′終邊相同的角可表示為α＝－850°12′＋k·360°(k∈Z)，當(dāng)k＝3時(shí)，α＝－850°12′＋1080°＝229°48′.探究二終邊相同角的表示(2)寫出終邊落在直線y＝x上的角的集合S，并把S中適合不等式－360°≤β<720°的元素β寫出來(lái)．解

直線y＝x與x軸的夾角是45°，在0°～360°范圍內(nèi)，終邊在直線y＝x上的角有兩個(gè)：45°，225°.因此，終邊在直線y＝x上的角的集合：S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋n·180°，n∈Z}．∴S中適合－360°≤

β<720°的元素是：45°－2×180°＝－315°；45°－1×180°＝－135°；45°＋0×180°＝45°；45°＋1×180°＝225°；45°＋2×180°＝405°；45°＋3×180°＝585°.[方法總結(jié)]在0°到360°范圍內(nèi)找與給定角終邊相同的角的方法(1)一般地，可以將所給的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β<360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角．(2)如果所給的角的絕對(duì)值不是很大，可以通過如下方法完成：當(dāng)所給角是負(fù)角時(shí)，采用連續(xù)加360°的方式；當(dāng)所給角是正角時(shí)，采用連續(xù)減360°的方式，直到所得結(jié)果達(dá)到要求為止．[跟蹤訓(xùn)練2]在與角10030°終邊相同的角中，求滿足下列條件的角．(1)最大的負(fù)角；(2)最小的正角；(3)[360°，720°)的角．解

與10030°終邊相同的角的一般形式為β＝k·360°＋10030°(k∈Z)，(1)由－360°＜k·360°＋10030°＜0°，得－10390°＜k·360°＜－10030°，解得k＝－28，故所求的最大負(fù)角為β＝－50°.(2)由0°＜k·360°＋10030°＜360°，得－10030°＜k·360°＜－9670°，解得k＝－27，故所求的最小正角為β＝310°.(3)由360°≤k·360°＋10030°＜720°，得－9670°≤k·360°＜－9310°，解得k＝－26，故所求的角為β＝670°.

已知，如圖所示．(1)分別寫出終邊落在OA，OB位置上的角的集合；(2)寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合．探究三區(qū)間角的表示及應(yīng)用解

(1)終邊落在OA位置上的角的集合為{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，終邊落在OB位置上的角的集合為{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．(2)由題干圖可知，陰影部分(包括邊界)的角的集合是由所有介于－30°到135°之間的與之終邊相同的角組成的集合，故可表示為{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．[變式探究1]若將本例改為如圖所示的圖形，那么陰影部分(包括邊界)表示的終邊相同的角的集合如何表示？解

在0°～360°范圍內(nèi)、陰影部分(包括邊界)表示的范圍是：150°≤α≤225°，則滿足條件的角α為{α|k·360°＋150°≤α≤k·360°＋225°，k∈Z}．[變式探究2]若將本例改為如圖所示的圖形，那么終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合如何表示？解

由題干圖可知滿足題意的角的集合為{β|k·360°＋60°≤β≤k·360°＋105°，k∈Z}∪{k·360°＋240°≤β≤k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β

≤2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β

≤(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β

≤n·180°＋105°，n∈Z}即所求的集合為{β|n·180°＋60°≤β

≤n·180°＋105°，n∈Z}．[方法總結(jié)]表示區(qū)間角的三個(gè)步驟第一步：先按逆時(shí)針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界；第二步：按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對(duì)應(yīng)的－360°～360°范圍內(nèi)的角α和β，寫出最簡(jiǎn)區(qū)間{x|α<x<β}，其中β－α<360°；第三步：起始、終止邊界對(duì)應(yīng)角α，β再加上360°的整數(shù)倍，即得區(qū)間角集合．1．象限角的概念是以“角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸正半軸重合”為前提的，否則不能從終邊位置來(lái)判斷某角是第幾象限角．2．“銳角”，“0°～90°的角”，“小于90°的角”，“第一象限角”這幾個(gè)概念注意區(qū)分：銳角是0°<α<90°；0°～90°的角是0°≤α<90°；小于90°的角為α<90°；第一象限的角是{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}．隨堂本課小結(jié)3．關(guān)于終邊相同角的認(rèn)識(shí)一般地，所有與角α終邊相同的角，連同角α