2024八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第12章整式的乘除練素養(yǎng)2.活用乘法公式的八種技巧習(xí)題課件新版華東師大版

華師版八年級(jí)上第12章整式的乘除集訓(xùn)課堂練素養(yǎng)2.活用乘法公式的八種技巧

乘法公式是指平方差公式和完全平方公式，公式可以正

用，也可以逆用.在使用公式時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：(1)公式

中的字母

a

，

b

可以是任意一個(gè)式子.(2)公式可以連續(xù)使

用.(3)要掌握好公式中各項(xiàng)的關(guān)系及整個(gè)公式的結(jié)構(gòu)特

點(diǎn).(4)在運(yùn)用公式時(shí)要學(xué)會(huì)運(yùn)用一些變形技巧.技巧1巧用乘法公式的變形求式子的值1.

若

a

＋

b

＝9，

a2＋

b2＝60，則(

a

－

b

)2＝

?.【點(diǎn)撥】把

a

＋

b

＝9兩邊平方，得(

a

＋

b

)2＝81，整理得

a2＋

b2＋2

ab

＝81，把

a2＋

b2＝60代入，得60＋2

ab

＝81，∴2

ab

＝21，則(

a

－

b

)2＝

a2＋

b2－2

ab

＝60－21＝39.39

12345678910112.

若(

x

＋

y

)2＝12，(

x

－

y

)2＝8，則

xy

＝

?.【點(diǎn)撥】(

x

＋

y

)2＝

x2＋2

xy

＋

y2＝12①，(

x

－

y

)2＝

x2－2

xy

＋

y2＝8②，由①－②得4

xy

＝4，∴

xy

＝1.1

12345678910113.

已知實(shí)數(shù)

x

，

y

滿足

x

＋

y

＝5，

xy

＝－2.(1)求(

x

＋2)(

y

＋2)的值；【解】∵

x

＋

y

＝5，

xy

＝－2，∴(

x

＋2)(

y

＋2)＝

xy

＋2

x

＋2

y

＋4＝

xy

＋2(

x

＋

y

)＋4

＝－2＋2×5＋4＝12.1234567891011(2)求

x

－

y

的值.

1234567891011技巧2巧用乘法公式進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算4.

在學(xué)習(xí)“平方差公式”時(shí)，張老師出了一道題：計(jì)算

9×11×101.嘉嘉發(fā)現(xiàn)把9寫成(10－1)，把11寫成(10＋1)

后可以連續(xù)運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算.請(qǐng)根據(jù)上述思路，計(jì)算：1234567891011(1)9×11×101；【解】原式＝(10－1)×(10＋1)×(100＋1)＝(102－1)×(100＋1)＝(100－1)×(100＋1)＝1002－1＝10

000－1＝9

999.1234567891011

1234567891011技巧3巧用乘法公式解決整除問(wèn)題5.

對(duì)任意正整數(shù)

n

，整式(3

n

＋1)(3

n

－1)－(3－

n

)(3＋

n

)能

不能被10整除？為什么？【解】對(duì)任意正整數(shù)

n

，整式(3

n

＋1)(3

n

－1)－(3－

n

)(3

＋

n

)能被10整除.理由：(3

n

＋1)(3

n

－1)－(3－

n

)(3＋

n

)＝(3

n

)2－1－(32

－

n2)＝9

n2－1－9＋

n2＝10

n2－10＝10(

n2－1).∵對(duì)任意正整數(shù)

n

，10(

n2－1)能被10整除，∴(3

n

＋1)(3

n

－1)－(3－

n

)(3＋

n

)能被10整除.1234567891011技巧4利用數(shù)形結(jié)合思想巧借乘法公式解決幾何圖形問(wèn)題6.

[新考法·數(shù)形結(jié)合法]將邊長(zhǎng)為

a

的正方形的左上角剪掉一

個(gè)邊長(zhǎng)為

b

的正方形(如圖甲)，將剩下部分按照虛線分割

成①和②兩部分，將①和②兩部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形(如圖

乙)，解答下列問(wèn)題：1234567891011(1)設(shè)圖甲中陰影部分的面積為

S1，圖乙中陰影部分的面

積為

S2，請(qǐng)用含

a

，

b

的式子表示

S1＝

，

S2

＝

；(不必化簡(jiǎn))a2－

b2

(

a

＋

b

)(

a

－

b

)

(2)由(1)中的結(jié)果可以驗(yàn)證的乘法公式是

?

?；(

a

＋

b

)(

a

－

b

)

＝

a2－

b2

1234567891011(3)利用(2)中得到的公式，計(jì)算：2

0262－2

025×2

027.【解】2

0262－2

025×2

027＝2

0262－(2

026－1)×(2

026＋1)＝2

0262－(2

0262－1)＝2

0262－2

0262＋1＝1.12345678910117.

完全平方公式：(

a

±

b

)2＝

a2±2

ab

＋

b2進(jìn)行適當(dāng)變形，

可以解決很多數(shù)學(xué)問(wèn)題.例如：若

a

＋

b

＝3，

ab

＝1，求

a2＋

b2的值.解：因?yàn)?/p>

a

＋

b

＝3，所以(

a

＋

b

)2＝9，即

a2＋2

ab

＋

b2＝9，又因?yàn)?/p>

ab

＝1，所以

a2＋

b2＝7.根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問(wèn)題：1234567891011(1)若

x

＋

y

＝8，

x2＋

y2＝40，求

xy

的值；【解】∵

x

＋

y

＝8，∴(

x

＋

y

)2＝64，即

x2＋2

xy

＋

y2＝64.又∵

x2＋

y2＝40，∴2

xy

＝64－40＝24.∴

xy

＝12.1234567891011(2)若(4－

x

)(

x

－5)＝－8，求(4－

x

)2＋(

x

－5)2的值；【解】設(shè)

m

＝4－

x

，

n

＝

x

－5，則

m

＋

n

＝－1，

mn

＝－8，∴(4－

x

)2＋(

x

－5)2＝

m2＋

n2＝(

m

＋

n

)2－2

mn

＝(－1)2－2×(－8)＝1＋16＝17.1234567891011(3)如圖，

C

是線段

AB

上的一點(diǎn)，分別以

AC

，

BC

為邊作

正方形

ACDE

，正方形

BCFG

，若

AB

＝6，兩個(gè)正方

形的面積和

S1＋

S2＝18，求圖中陰影部分的面積.

1234567891011技巧5巧用乘法公式解決換元問(wèn)題8.

[新考法·閱讀類比法]閱讀下列材料：已知實(shí)數(shù)

m

，

n

滿足(2

m2＋

n2＋1)(2

m2＋

n2－1)＝80，試

求2

m2＋

n2的值.解：設(shè)2

m2＋

n2＝

t

，則原方程變?yōu)?

t

＋1)(

t

－1)＝80，整

理得

t2－1＝80，∴

t2＝81.∴

t

＝±9.∵2

m2＋

n2≥0，∴2

m2＋

n2＝9.1234567891011上面這種方法稱為“換元法”，換元法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最常

用的一種思想方法，在結(jié)構(gòu)較復(fù)雜的數(shù)和式的運(yùn)算中，若

把其中某些部分看成一個(gè)整體，并用新字母代替(即換

元)，則能使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化.根據(jù)以上閱讀材料內(nèi)容，解決下列問(wèn)題，并寫出解答

過(guò)程.1234567891011(1)已知實(shí)數(shù)

x

，

y

滿足(2

x2＋2

y2＋3)(2

x2＋2

y2－3)＝27，

求

x2＋

y2的值；【解】設(shè)2

x2＋2

y2＝

t

，則原方程變形為(

t

＋3)(

t

－3)＝27，整理得

t2－9＝27，∴

t2＝36.∴

t

＝±6.∵2

x2＋2

y2≥0，∴2

x2＋2

y2＝6.∴

x2＋

y2＝3.1234567891011(2)在(1)的條件下，若

xy

＝1，求(

x

＋

y

)2和

x

－

y

的值.【解】∵

x2＋

y2＝3，

xy

＝1，∴(

x

＋

y

)2＝

x2＋

y2＋2

xy

＝3＋2＝5，(

x

－

y

)2＝

x2＋

y2－2

xy

＝3－2＝1，∴

x

－

y

＝±1.1234567891011技巧6巧用乘法公式解決規(guī)律問(wèn)題9.

[2024·合肥四十五中模擬]觀察下列等式的規(guī)律，解答下列

問(wèn)題：第1個(gè)等式：12＋22－32＝1×

a

－

b

；第2個(gè)等式：22＋32－42＝2×0－

b

；第3個(gè)等式：32＋42－52＝3×1－

b

；第4個(gè)等式：42＋52－62＝4×2－

b

；……(1)根據(jù)以上等式規(guī)律：

a

＝

，

b

＝

?；－1

3

1234567891011(2)寫出你猜想的第

n

個(gè)等式(用含

n

的式子表示)，并驗(yàn)證.【解】猜想的第

n

個(gè)等式：

n2＋(

n

＋1)2－(

n

＋2)2＝

n

(

n

－2)－3.因?yàn)樽筮叄?/p>

n2＋

n2＋2

n

＋1－(

n2＋4

n

＋4)＝

n2－

2

n

－3，右邊＝

n2－2

n

－3，所以左邊＝右邊，所以猜想成立.1234567891011技巧7巧用乘法公式解決實(shí)際問(wèn)題10.

[情境題·生活應(yīng)用]某學(xué)校分為初中部和小學(xué)部，初中部

的學(xué)生數(shù)比小學(xué)部多，做廣播操時(shí)，初中部排成的是一

個(gè)規(guī)范的長(zhǎng)方形方陣，每排(3

a

－

b

)名學(xué)生，共站有(3

a

＋2

b

)排；小學(xué)部站的是正方形方陣，排數(shù)和每排學(xué)生

數(shù)都是2(

a

＋

b

).(1)該學(xué)校初中部比小學(xué)部多多少名學(xué)生？1234567891011【解】該學(xué)校初中部學(xué)生數(shù)為(3

a

－

b

)(3

a

＋2

b

)＝(9

a2＋3

ab

－2

b2)(名)，小學(xué)部學(xué)生數(shù)為2(

a

＋

b

)×2(

a

＋

b

)＝4(

a

＋

b

)2

＝(4

a2＋8

ab

＋4

b2)(名)，則該學(xué)校初中部比小學(xué)部多的學(xué)生數(shù)為9

a2＋3

ab

－2

b2－(4

a2＋8

ab

＋4

b2)＝(5

a2－5

ab

－6

b2)(名).答：該學(xué)校初中部比小學(xué)部多(5

a2－5

ab

－6

b2)名學(xué)生.1234567891011(2)當(dāng)

a

＝10，

b

＝2時(shí)，試求該學(xué)校一共有多少名學(xué)生.【解】該學(xué)校初中部和小學(xué)部的學(xué)生一共有9

a2＋3

ab

－2

b2＋4

a2＋8

ab

＋4

b2＝(13

a2＋