【復(fù)變函數(shù)】第二章-解析函數(shù)(工科2版)

§1解析函數(shù)的概念§2解析函數(shù)的充要條件§3初等函數(shù)第二章解析函數(shù)目錄上頁下頁返回結(jié)束§1

解析函數(shù)的概念1.導(dǎo)數(shù)的定義：一.復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分設(shè)w=f(z)在D上有定義,若極限存在，則稱w=f(x)在z0處可導(dǎo).記為第一次課目錄上頁下頁返回結(jié)束【例1】設(shè)解:目錄上頁下頁返回結(jié)束【例2】證明在任意點處不可導(dǎo)證明:平行于x軸平行于y軸目錄上頁下頁返回結(jié)束與一元函數(shù)一樣因此可導(dǎo)與可微是等價的.可導(dǎo)必定連續(xù)，連續(xù)不一定可導(dǎo).(1).可導(dǎo)與連續(xù)(2).可微與可導(dǎo)(3).求導(dǎo)法則與一元函數(shù)一樣.2.連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系目錄上頁下頁返回結(jié)束解析函數(shù)（全純函數(shù)、正則函數(shù)）.解析可導(dǎo)可導(dǎo)解析二.解析函數(shù)的概念1.定義：(1).定義1：若

f(z)在z0及z0的鄰域內(nèi)處處可導(dǎo).則稱f(z)在z0處解析.f(z)在z0處f(z)在D

內(nèi)解析可導(dǎo)(2).定義2：若

f(z)在D內(nèi)處處解析，則稱f(z)是D內(nèi)的目錄上頁下頁返回結(jié)束(3).定義3:若

f(z)在z0處不可導(dǎo),則稱z0為f(z)的奇點.注：使f(z)無意義的奇點,是奇點.解析函數(shù)的和、差、積、商及復(fù)合函數(shù)2.定理：在解析區(qū)間內(nèi)仍解析目錄上頁下頁返回結(jié)束解：f(z)在復(fù)平面上處處不可導(dǎo),處處不解析除

z=0外處處可導(dǎo),處處解析.【例3】討論下列函數(shù)的解析性,可導(dǎo)性.解：f(z)在復(fù)平面上處處可導(dǎo),處處解析解：解：除

z=1外處處可導(dǎo),處處解析.目錄上頁下頁返回結(jié)束解:(1)【例4】證明f(z)=|z|2

在z=0處可導(dǎo)，但不解析.∴

f(z)在z=0處可導(dǎo).目錄上頁下頁返回結(jié)束解:(2)【例4】證明f(z)=|z|2

在z=0處可導(dǎo)，但不解析.∴

f(z)除z=0外處處不可導(dǎo),故處處不解析.平行于x軸平行于y軸目錄上頁下頁返回結(jié)束§2

解析函數(shù)的充要條件一.預(yù)備定理（必要條件）在區(qū)域D內(nèi)有定義,且在且滿足柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）條件：點z處可導(dǎo),則目錄上頁下頁返回結(jié)束二.解析函數(shù)的充要條件在區(qū)域D內(nèi)有定義,則在z=(x,y)處可微，且滿足C-R條件.f(z)在D內(nèi)一點z處可導(dǎo)的充要條件是u(x,y),v(x,y),1.定理1：目錄上頁下頁返回結(jié)束在區(qū)域D內(nèi)有定義,則可微，且滿足C-R條件.f(z)在D內(nèi)解析的充要條件是u(x,y),v(x,y),在D內(nèi)2.定理2：目錄上頁下頁返回結(jié)束解:【例5】判斷下列函數(shù)的可導(dǎo)性,解析性,并求導(dǎo)數(shù).由C-R條件,x=0,y=0,所以在z=0處可導(dǎo),處處不解析.目錄上頁下頁返回結(jié)束解:∴

f(z)只在(0,0),(3/4,3/4)

處可導(dǎo),所以處處不解析.目錄上頁下頁返回結(jié)束解:方法一:除(0,0)外處處可導(dǎo),所以除(0,0)外處處解析.目錄上頁下頁返回結(jié)束解:方法二:除(0,0)外處處可導(dǎo),所以除(0,0)外處處解析.目錄上頁下頁返回結(jié)束Proof:由導(dǎo)數(shù)的計算公式【例6】若f'(x)在D內(nèi)處處為0,則f(x)在D內(nèi)為一個常數(shù).∴所以u,v為常數(shù)；由f(x)=u+iv，所以f(x)為常數(shù)；目錄上頁下頁返回結(jié)束【作業(yè)】P66

2(1,3);3(1,3);4(1); 8;10(1)目錄上頁下頁返回結(jié)束§2

初等函數(shù)1.

函數(shù)形式：一.指數(shù)函數(shù)第二次課目錄上頁下頁返回結(jié)束2.

運算性質(zhì)：Proof:目錄上頁下頁返回結(jié)束指數(shù)函數(shù)ez是一個周期函數(shù),周期為2kπi,最小周期為2πi.目錄上頁下頁返回結(jié)束(3)在整個復(fù)平面上滿足C-R條件；且是解析函數(shù).Proof:因為所以在整個復(fù)平面上滿足C-R條件,從而是解析函數(shù).目錄上頁下頁返回結(jié)束解:【例7】求目錄上頁下頁返回結(jié)束二.對數(shù)函數(shù)1.

定義:滿足z=e

w的函數(shù)w=f(z)稱為對數(shù)函數(shù).2.

函數(shù)形式：因為:目錄上頁下頁返回結(jié)束3.

總結(jié):除了原點及負實軸外處處解析.對數(shù)函數(shù)Lnz是一個多值函數(shù)(無窮多個值),Lnz主值:除原點外處處解析；在原點和負實軸上都不連續(xù)，在原點和負實軸上都不連續(xù)，所以除了原點及負實軸外處處解析.目錄上頁下頁返回結(jié)束解:【例8】求【例9】求e

z-2=0的解.解:由目錄上頁下頁返回結(jié)束4.

性質(zhì):目錄上頁下頁返回結(jié)束三.

冪函數(shù)1.定義:設(shè)α是一個復(fù)數(shù),z≠0,特別:當α∈R+時,規(guī)定當z=0時zα=0.定義z的α次冪函數(shù)為冪函數(shù)是一個指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，是一個多值函數(shù).目錄上頁下頁返回結(jié)束2.函數(shù)表達式：其中主值為目錄上頁下頁返回結(jié)束【例10】求i

i的主值,

的值.解:i

i的主值3.性質(zhì):目錄上頁下頁返回結(jié)束(1)對數(shù)函數(shù)一般而言是一個多值函數(shù).因此:對同一z≠0,w=zα

的不同數(shù)值的個數(shù),

等于不同數(shù)值的因子eα2kπi

的個數(shù)

.由于目錄上頁下頁返回結(jié)束①當α∈N

時,設(shè)α=m,所以是單值函數(shù).冪的公式目錄上頁下頁返回結(jié)束②當α=1/n,n∈N

+時,求根公式所以是

n個值的函數(shù).目錄上頁下頁返回結(jié)束③當α=m/n,m∈N,n∈N

+時,(α是有理數(shù))所以是

n個值的函數(shù).③當α是無理數(shù)或虛數(shù)時,zα是無窮多值的.目錄上頁下頁返回結(jié)束(2)解析性①當α=n∈N

時,單值，解析函數(shù)；②當α≠n∈N

時,多值，除了原點及負實數(shù)外處處解析.③目錄上頁下頁返回結(jié)束引入:對有對所有的復(fù)數(shù)z,定義正弦函數(shù)余弦函數(shù)四.三角函數(shù)1.

定義及函數(shù)形式：2.

性質(zhì)：(1)sinz,cosz

單值，且處處解析.目錄上頁下頁返回結(jié)束(2)sin(-z)=-sinz

,是奇函數(shù)；cos(-z)=cosz

,是偶函數(shù).(3)sinz,cosz

都是以2π為周期的周期函數(shù).(4)sinz,cosz

都是無界函數(shù).(5)sinz

只在z=kπ處為0;cosz

只在z=kπ

+π/2處為0.目錄上頁下頁返回結(jié)束(6)實的三角函數(shù)中的一些公式，如兩角和、誘導(dǎo)公式，導(dǎo)數(shù)公式，…，等都適用于復(fù)變函數(shù).例如：目錄上頁下頁返回結(jié)束目錄上頁下頁返回結(jié)束解:【例11】求cosi,sin(1+2i)值.目錄上頁下頁返回結(jié)束【例12】求sinz+cosz

=0的全部解.解:目錄上頁下頁返