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文檔簡介
2022-2023學(xué)年山西省忻州一中高三第五次教學(xué)質(zhì)量檢測試題考試數(shù)學(xué)試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.山東煙臺(tái)蘋果因“果形端正、色澤艷麗、果肉甜脆、香氣濃郁”享譽(yù)國內(nèi)外.據(jù)統(tǒng)計(jì),煙臺(tái)蘋果(把蘋果近似看成球體)的直徑(單位:)服從正態(tài)分布,則直徑在內(nèi)的概率為()附:若,則,.A.0.6826 B.0.8413 C.0.8185 D.0.95442.已知函數(shù),集合,,則()A. B.C. D.3.已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,且,若數(shù)列是遞增數(shù)列,則的取值范圍為()A. B. C. D.4.若命題p:從有2件正品和2件次品的產(chǎn)品中任選2件得到都是正品的概率為三分之一;命題q:在邊長為4的正方形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)M,則∠AMB>90°的概率為π8A.p∧qB.(?p)∧qC.p∧(?q)D.?q5.已知雙曲線的焦距為,過左焦點(diǎn)作斜率為1的直線交雙曲線的右支于點(diǎn),若線段的中點(diǎn)在圓上,則該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.6.已知復(fù)數(shù)滿足,則的共軛復(fù)數(shù)是()A. B. C. D.7.命題“”的否定為()A. B.C. D.8.已知為銳角,且,則等于()A. B. C. D.9.設(shè)(是虛數(shù)單位),則()A. B.1 C.2 D.10.體育教師指導(dǎo)4個(gè)學(xué)生訓(xùn)練轉(zhuǎn)身動(dòng)作,預(yù)備時(shí),4個(gè)學(xué)生全部面朝正南方向站成一排.訓(xùn)練時(shí),每次都讓3個(gè)學(xué)生“向后轉(zhuǎn)”,若4個(gè)學(xué)生全部轉(zhuǎn)到面朝正北方向,則至少需要“向后轉(zhuǎn)”的次數(shù)是()A.3 B.4 C.5 D.611.很多關(guān)于整數(shù)規(guī)律的猜想都通俗易懂,吸引了大量的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛好者,有些猜想已經(jīng)被數(shù)學(xué)家證明,如“費(fèi)馬大定理”,但大多猜想還未被證明,如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的內(nèi)容是:對(duì)于每一個(gè)正整數(shù),如果它是奇數(shù),則將它乘以再加1;如果它是偶數(shù),則將它除以;如此循環(huán),最終都能夠得到.下圖為研究“角谷猜想”的一個(gè)程序框圖.若輸入的值為,則輸出i的值為()A. B. C. D.12.已知實(shí)數(shù)滿足線性約束條件,則的取值范圍為()A.(-2,-1] B.(-1,4] C.[-2,4) D.[0,4]二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)、、、、是表面積為的球的球面上五點(diǎn),四邊形為正方形,則四棱錐體積的最大值為__________.14.在中,已知,則的最小值是________.15.已知復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限,則實(shí)數(shù)的范圍為______.16.內(nèi)角,,的對(duì)邊分別為,,,若,則__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)過原點(diǎn)且傾斜角為的射線與曲線分別交于兩點(diǎn)(異于原點(diǎn)),求的取值范圍.18.(12分)某學(xué)生為了測試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問題設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn),并獲得了煤氣開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)與燒開一壺水所用時(shí)間的一組數(shù)據(jù),且作了一定的數(shù)據(jù)處理(如下表),得到了散點(diǎn)圖(如下圖).表中,.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,與哪一個(gè)更適宜作燒水時(shí)間關(guān)于開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)的回歸方程類型?(不必說明理由)(2)根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù),建立關(guān)于的回歸方程;(3)若單位時(shí)間內(nèi)煤氣輸出量與旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)成正比,那么,利用第(2)問求得的回歸方程知為多少時(shí),燒開一壺水最省煤氣?附:對(duì)于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)值分別為,19.(12分)設(shè)都是正數(shù),且,.求證:.20.(12分)設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和,且,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若滿足不等式的正整數(shù)恰有個(gè),求正實(shí)數(shù)的取值范圍.21.(12分)在某外國語學(xué)校舉行的(高中生數(shù)學(xué)建模大賽)中,參與大賽的女生與男生人數(shù)之比為,且成績分布在,分?jǐn)?shù)在以上(含)的同學(xué)獲獎(jiǎng).按女生、男生用分層抽樣的方法抽取人的成績作為樣本,得到成績的頻率分布直方圖如圖所示.(Ⅰ)求的值,并計(jì)算所抽取樣本的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);(Ⅱ)填寫下面的列聯(lián)表,并判斷在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下能否認(rèn)為“獲獎(jiǎng)與女生、男生有關(guān)”.女生男生總計(jì)獲獎(jiǎng)不獲獎(jiǎng)總計(jì)附表及公式:其中,.22.(10分)為提供市民的健身素質(zhì),某市把四個(gè)籃球館全部轉(zhuǎn)為免費(fèi)民用(1)在一次全民健身活動(dòng)中,四個(gè)籃球館的使用場數(shù)如圖,用分層抽樣的方法從四場館的使用場數(shù)中依次抽取共25場,在中隨機(jī)取兩數(shù),求這兩數(shù)和的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)設(shè)四個(gè)籃球館一個(gè)月內(nèi)各館使用次數(shù)之和為,其相應(yīng)維修費(fèi)用為元,根據(jù)統(tǒng)計(jì),得到如下表的數(shù)據(jù):x10152025303540y100001176113010139801477115440160202.993.494.054.504.995.495.99①用最小二乘法求與的回歸直線方程;②叫做籃球館月惠值,根據(jù)①的結(jié)論,試估計(jì)這四個(gè)籃球館月惠值最大時(shí)的值參考數(shù)據(jù)和公式:,
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【解析】
根據(jù)服從的正態(tài)分布可得,,將所求概率轉(zhuǎn)化為,結(jié)合正態(tài)分布曲線的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】由題意,,,則,,所以,.故果實(shí)直徑在內(nèi)的概率為0.8185.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)正態(tài)分布求解待定區(qū)間的概率問題,考查了正態(tài)曲線的對(duì)稱性,屬于基礎(chǔ)題.2.C【解析】
分別求解不等式得到集合,再利用集合的交集定義求解即可.【詳解】,,∴.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的基本運(yùn)算,難度容易.3.D【解析】
先根據(jù)已知條件求解出的通項(xiàng)公式,然后根據(jù)的單調(diào)性以及得到滿足的不等關(guān)系,由此求解出的取值范圍.【詳解】由已知得,則.因?yàn)?,?shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列,所以,則,化簡得,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式求解以及根據(jù)數(shù)列單調(diào)性求解參數(shù)范圍,難度一般.已知數(shù)列單調(diào)性,可根據(jù)之間的大小關(guān)系分析問題.4.B【解析】因?yàn)閺挠?件正品和2件次品的產(chǎn)品中任選2件得到都是正品的概率為P1=1C42=16,即命題p是錯(cuò)誤,則?p是正確的;在邊長為4的正方形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)M點(diǎn)睛:本題將古典型概率公式、幾何型概率公式與命題的真假(含或、且、非等連接詞)的命題構(gòu)成的復(fù)合命題的真假的判定有機(jī)地整合在一起,旨在考查命題真假的判定及古典概型的特征與計(jì)算公式的運(yùn)用、幾何概型的特征與計(jì)算公式的運(yùn)用等知識(shí)與方法的綜合運(yùn)用,以及分析問題解決問題的能力。5.C【解析】
設(shè)線段的中點(diǎn)為,判斷出點(diǎn)的位置,結(jié)合雙曲線的定義,求得雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)線段的中點(diǎn)為,由于直線的斜率是,而圓,所以.由于是線段的中點(diǎn),所以,而,根據(jù)雙曲線的定義可知,即,即.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的定義和離心率的求法,考查直線和圓的位置關(guān)系,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.6.B【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則和共軛復(fù)數(shù)的定義直接求解即可.【詳解】由,得,所以.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算法則,考查了復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的定義,屬于基礎(chǔ)題.7.C【解析】
套用命題的否定形式即可.【詳解】命題“”的否定為“”,所以命題“”的否定為“”.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查全稱命題的否定,屬于基礎(chǔ)題.8.C【解析】
由可得,再利用計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?,,所以,所?故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式的應(yīng)用,考查學(xué)生對(duì)三角函數(shù)式化簡求值公式的靈活運(yùn)用的能力,屬于基礎(chǔ)題.9.A【解析】
先利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算法則求出,即可根據(jù)復(fù)數(shù)的模計(jì)算公式求出.【詳解】∵,∴.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算法則的應(yīng)用,以及復(fù)數(shù)的模計(jì)算公式的應(yīng)用,屬于容易題.10.B【解析】
通過列舉法,列舉出同學(xué)的朝向,然后即可求出需要向后轉(zhuǎn)的次數(shù).【詳解】“正面朝南”“正面朝北”分別用“∧”“∨”表示,利用列舉法,可得下表,原始狀態(tài)第1次“向后轉(zhuǎn)”第2次“向后轉(zhuǎn)”第3次“向后轉(zhuǎn)”第4次“向后轉(zhuǎn)”∧∧∧∧∧∨∨∨∨∨∧∧∧∧∧∨∨∨∨∨可知需要的次數(shù)為4次.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查的是求最小推理次數(shù),一般這類題型構(gòu)造較為巧妙,可通過列舉的方法直觀感受,屬于基礎(chǔ)題.11.B【解析】
根據(jù)程序框圖列舉出程序的每一步,即可得出輸出結(jié)果.【詳解】輸入,不成立,是偶數(shù)成立,則,;不成立,是偶數(shù)不成立,則,;不成立,是偶數(shù)成立,則,;不成立,是偶數(shù)成立,則,;不成立,是偶數(shù)成立,則,;不成立,是偶數(shù)成立,則,;成立,跳出循環(huán),輸出i的值為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用程序框圖計(jì)算輸出結(jié)果,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.12.B【解析】
作出可行域,表示可行域內(nèi)點(diǎn)與定點(diǎn)連線斜率,觀察可行域可得最小值.【詳解】作出可行域,如圖陰影部分(含邊界),表示可行域內(nèi)點(diǎn)與定點(diǎn)連線斜率,,,過與直線平行的直線斜率為-1,∴.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查簡單的非線性規(guī)劃.解題關(guān)鍵是理解非線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,本題表示動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線斜率,由直線與可行域的關(guān)系可得結(jié)論.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
根據(jù)球的表面積求得球的半徑,設(shè)球心到四棱錐底面的距離為,求得四棱錐的表達(dá)式,利用基本不等式求得體積的最大值.【詳解】由已知可得球的半徑,設(shè)球心到四棱錐底面的距離為,棱錐的高為,底面邊長為,的體積,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查球的表面積有關(guān)計(jì)算,考查球的內(nèi)接四棱錐體積的最值的求法,屬于中檔題.14.【解析】分析:可先用向量的數(shù)量積公式將原式變形為:,然后再結(jié)合余弦定理整理為,再由cosC的余弦定理得到a,b的關(guān)系式,最后利用基本不等式求解即可.詳解:已知,可得,將角A,B,C的余弦定理代入得,由,當(dāng)a=b時(shí)取到等號(hào),故cosC的最小值為.點(diǎn)睛:考查向量的數(shù)量積、余弦定理、基本不等式的綜合運(yùn)用,能正確轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵.屬于中檔題.15.【解析】
由復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn),在第二象限,得,且,從而求出實(shí)數(shù)的范圍.【詳解】解:∵復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限,∴,且,∴,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的關(guān)系,解不等式,且是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.16.【解析】∵,∴,即,∴,∴.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1),;(2).【解析】
(1)先將曲線化為普通方程,再由直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系:,可得極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)由已知可得出射線的極坐標(biāo)方程為,聯(lián)立和的極坐標(biāo)方程可得點(diǎn)A和點(diǎn)B的極坐標(biāo),從而得出,由的范圍可求得的取值范圍.【詳解】(1)曲線的普通方程為,即,其極坐標(biāo)方程為;曲線的極坐標(biāo)方程為,即,其直角坐標(biāo)方程為;(2)射線的極坐標(biāo)方程為,聯(lián)立,聯(lián)立,的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查圓的參數(shù)方程與普通方程互化,圓,拋物線的極坐標(biāo)方程與普通方程的互化,以及在極坐標(biāo)下的直線與圓和拋物線的位置關(guān)系,屬于中檔題.18.(1)選取更合適;(2);(3)時(shí),煤氣用量最小.【解析】
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖的特點(diǎn),可得更適合;(2)先建立關(guān)于的回歸方程,再得出關(guān)于的回歸方程;(3)寫出函數(shù)關(guān)系,利用基本不等式得出最小值及其成立的條件.【詳解】(1)選取更適宜作燒水時(shí)間關(guān)于開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)的回歸方程類型;(2)由公式可得:,,所以所求回歸直線方程為:;(3)根據(jù)題意,設(shè),則煤氣用量,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,即時(shí),煤氣用量最小.【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)題意求回歸方程,利用線性回歸方程的求法得解,結(jié)合基本不等式求最值.19.證明見解析【解析】
利用比較法進(jìn)行證明:把代數(shù)式展開、作差、化簡可得,,可證得成立,同理可證明,由此不等式得證.【詳解】證明:因?yàn)?,所以,∴成立,又都是正數(shù),∴,①同理,∴.【點(diǎn)睛】本題考查利用比較法證明不等式;考查學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力;把差變形為因式乘積的形式是證明本題的關(guān)鍵;屬于中檔題。20.(1);(2).【解析】
(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,根據(jù)題意得出關(guān)于和的方程組,解出這兩個(gè)量的值,然后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求出,可得出,可知當(dāng)為奇數(shù)時(shí)不等式不成立,只考慮為偶數(shù)的情況,利用數(shù)列單調(diào)性的定義判斷數(shù)列中偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列的單調(diào)性,由此能求出正實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,則,整理得,解得,,因此,;(2),滿足不等式的正整數(shù)恰有個(gè),得,由于,若為奇數(shù),則不等式不可能成立.只考慮為偶數(shù)的情況,令,則,..當(dāng)時(shí),,則;當(dāng)時(shí),,則;當(dāng)時(shí),,則.所以,,又,,,,.因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的
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