2024-2025高中物理奧賽解題方法：十三.降維法含答案

2024-2025高中物理奧賽解題方法：十三.降維法含答案十三、降維法方法簡介降維法是將一個三維圖變成幾個二維圖，即應(yīng)選兩個合適的平面去觀察，當(dāng)遇到一個空間受力問題時，將物體受到的力分解到兩個不同平面上再求解。由于三維問題不好想像，選取適當(dāng)?shù)慕嵌龋捎媒稻S法求解。降維的優(yōu)點是把不易觀察的空間物理量的關(guān)系在二維圖中表示出來，使我們很容易找到各物理量之間的關(guān)系，從而正確解決問題。賽題精講例1：如圖13—1所示，傾角θ=30°的粗糙斜面上放一物體，物體重為G，靜止在斜面上。現(xiàn)用與斜面底邊平行的力F=G/2推該物體，物體恰好在斜面內(nèi)做勻速直線運動，則物體與斜面間的動摩擦因數(shù)μ等于多少？物體勻速運動的方向如何？解析：物體在重力、推力、斜面給的支持力和摩擦力四個力的作用下做勻速直線運動，所以受力平衡。但這四個力不在同一平面內(nèi)，不容易看出它們之間的關(guān)系。我們把這些力分解在兩個平面內(nèi)，就可以將空間問題變?yōu)槠矫鎲栴}，使問題得到解決。將重力沿斜面、垂直于斜面分解。我們從上面、側(cè)面觀察，圖13—1—甲、圖13—1—乙所示。如圖13—1—甲所示，推力F與重力沿斜面的分力G1的合力F′為：F′的方向沿斜面向下與推力成α角，則這就是物體做勻速運動的方向物體受到的滑動摩擦力與F′平衡，即所以摩擦因數(shù)：例2：如圖13—2所示，一個直徑為D的圓柱體，其側(cè)面刻有螺距為h的光滑的螺旋形凹槽，槽內(nèi)有一小球，為使小球能自由下落，必須要以多大的加速度來拉纏在圓柱體側(cè)面的繩子？解析：將圓柱體的側(cè)面等距螺旋形凹槽展開成為平面上的斜槽，如圖13—2—甲所示，當(dāng)圓柱體轉(zhuǎn)一周，相當(dāng)于沿斜槽下降一個螺距h，當(dāng)圓柱轉(zhuǎn)n周時，外側(cè)面上一共移動的水平距離為①圓弧槽內(nèi)小球下降的高度為②解①、②兩式，可得，為使螺旋形槽內(nèi)小球能自由下落，圓柱體側(cè)面繩子拉動的加速度應(yīng)為例3：如圖13—3所示，表面光滑的實心圓球B的半徑R=20cm，質(zhì)量M=20kg，懸線長L=30cm。正方形物塊A的厚度△h=10cm，質(zhì)量m=2kg，物體A與墻之間的動摩擦因數(shù)μ=0.2，取g=10m/s2。求：（1）墻對物塊A的摩擦力為多大？（2）如果要物體A上施加一個與墻平行的外力，使物體A在未脫離圓球前貼著墻沿水平方向做加速度a=5m/s2勻加速直線運動，那么這個外力大小方向如何？解析：這里物體A、B所受的力也不在一個平面內(nèi)，混起來考慮比較復(fù)雜，可以在垂直于墻的豎直平面內(nèi)分析A、B間壓力和A對墻的壓力；在與墻面平行的平面內(nèi)分析A物體沿墻水平運動時的受力情況。（1）通過受力分析可知墻對物塊A的靜摩擦力大小等于物塊A的重力。（2）由于物體A貼著墻沿水平方向做勻加速直線運動，所以摩擦力沿水平方向，合力也沿水平方向且與摩擦力方向相反。又因為物體受豎直向下的重力，所以推力F方向應(yīng)斜向上。設(shè)物體A對墻的壓力為N，則沿垂直于墻的方向，物體B受到物體A的支持力大小也為N，有又因為在與墻面平行的平面內(nèi)，對物體A沿豎直方向做受力分析，如圖13—3—甲所示有沿水平方向做受力分析，有由以上各式，解得因此，對物體A施加的外力F的大小為20N，方向沿墻面斜向上且與物體A水平運動方向的夾角為例4：一質(zhì)量m=20kg的鋼件，架在兩根完全相同的平行長直圓柱上，如圖13—4所示，鋼件的重心與兩柱等距，兩柱的軸線在同一水平面內(nèi)，圓柱的半徑r=0.025m，鋼件與圓柱間的動摩擦因數(shù)μ=0.20。兩圓柱各繞自己的軸線做轉(zhuǎn)向相反的轉(zhuǎn)動，角速度若沿平行于柱軸的方向施力推著鋼件做速度為的勻速運動，求推力是多大？（設(shè)鋼件不發(fā)生橫向運動）解析：本題關(guān)鍵是搞清滑動摩擦力的方向，滑動摩擦力的方向與相對運動的方向相反，由于鋼件和圓柱都相對地面在運動，直接不易觀察到相對地面在運動，直接不易觀察到相對運動的方向，而且鋼件的受力不在同一平面內(nèi)，所以考慮“降維”，即選一個合適的角度觀察。我們從上往上看，畫出俯視圖，如圖13—4—甲所示。我們選考慮左邊圓柱與鋼件之間的摩擦力，先分析相對運動的方向，鋼件有向前的速度，左邊圓住有向右的速度,則鋼件相對于圓柱的速度是與的矢量差，如圖中△v，即為鋼件相對于圓柱的速度，所以滑動摩擦力f的方向與△v，的方向相反，如圖13—4—甲所示。圖13—4—乙以鋼件為研究對象，在水平面上受到推力F和兩個摩擦力f的作用，設(shè)圖13—4—乙①再從正面看鋼件在豎直平面內(nèi)的受力可以求出FN，如圖13—4—乙所示，鋼件受重力G和兩個向上的支持力FN，且G=2FN，所以把代入①式，得推力例5：如圖13—5所示，將質(zhì)量為M的勻質(zhì)鏈條套在一個表面光滑的圓錐上，圓錐頂角為α，設(shè)圓錐底面水平，鏈條靜止時也水平，求鏈條內(nèi)的張力。解析：要求張力，應(yīng)在鏈條上取一段質(zhì)量元進行研究。因為該問題是三維問題，各力不在同一平面內(nèi)，所以用“降維法”作出不同角度的平面圖進行研究。作出俯視圖13—5—甲，設(shè)質(zhì)量元兩端所受張力為T，其合力為F，因為它所對的圓心角θ很小，所以，即F=Tθ。再作出正視圖13—5—乙，質(zhì)量元受重力g、支持力N和張力的合力F而處于平衡狀態(tài)，由幾何知識可得：所以鏈條內(nèi)的張力例6：雜技演員在圓筒形建筑物內(nèi)表演飛車走壁。演員騎摩托車從底部開始運動，隨著速度增加，圈子越兜越大，最后在豎直圓筒壁上勻速率行駛，如圖13—6所示。如果演員和摩托車的總質(zhì)量為M，直壁半徑為R，勻速率行駛的速率為v，每繞一周上升的距離為h，求摩托車勻速走壁時的向心力。解析：摩托車的運動速度v，可分解為水平速度v1和豎直分速度為v2，則向心力速度為。處理這個問題的關(guān)鍵是將螺旋線展開為一個斜面，其傾角的余弦為，如圖13—6—甲所示。所以有向心加速度為：向心力例7：A、B、C為三個完全相同的表面光滑的小球，B、C兩球各被一長為L=2.00m的不可伸和的輕線懸掛于天花板上，兩球剛好接觸，以接觸點O為原點作一直角坐標(biāo)系軸豎直向上，Ox與兩球的連心線重合，如圖13—7所示。今讓A球射向B、C兩球，并與兩球同時發(fā)生碰撞。碰撞前，A球速度方向沿y軸正方向，速率為。相碰后，A球沿y軸負方向反彈，速率=0.40m/s。（1）求B、C兩球被碰后偏離O點的最大位移量；（2）討論長時間內(nèi)B、C兩球的運動情況。（忽略空氣阻力，取g=10m/s2）解析：（1）A、B、C三球在碰撞前、后的運動發(fā)生在平面內(nèi)，設(shè)剛碰完后，A的速度大小為，B、C兩球的速度分別為與，在x方向和y方向的分速度的大小分別為，，如圖13—7—甲所示，由動量守恒定律，有①②由于球面是光滑的，在碰撞過程中，A球?qū)球的作用力方向沿A、B兩球的連心線，A球?qū)球的作用力方向沿A、C兩球的連心線，由幾何關(guān)系，得圖13—7甲圖13—7甲由對稱關(guān)系可知④解①、②、③、④式可得由此解得設(shè)C球在x>0,y>0,z>0的空間中的最大位移為Q點的z坐標(biāo)為zQ，則由機械能守恒定律可寫出⑤所以代入數(shù)值解得zQ=0.32m而Q點到Oz軸的距離為所以C球離O點的最大位移量⑥代入數(shù)值，得⑦由對稱性，可得B球在的空間的最大位移量為⑧（2）當(dāng)B、C兩球各達到最大位移后，便做回到原點的擺動，并發(fā)生兩球間的碰撞，兩球第一次返回O點碰撞前速度的大小和方向分別為方向沿正x軸方向=2.20m/s方向沿y軸方向方向沿正x軸方向=2.20m/s方向沿y軸方向設(shè)碰撞后的速度分別為，對應(yīng)的分速度的大小分別為、、和，由于兩球在碰撞過程中的相互作用力只可能沿x軸方向，故碰撞后，沿y軸方向的速度大小和方向均保持不變（因為小球都是光滑的），即=方向沿負y軸方向⑨=方向沿負y軸方向⑩碰撞過程中，沿x軸方向的動量守恒，則因為所以即碰撞后兩球在x方向的分速度大小也相等，方向相反，具體數(shù)值取決于碰撞過程中是否機械能損失。在A球與B、C兩球同時碰撞的過程中，碰撞前，三者的機械能碰撞后三者的機械能表明在碰撞過程中有機械能損失，小球的材料不是完全彈性體，故B、C兩球在碰撞過程中也有機械能損失，即eq\o\ac(○,11)由⑨、⑩和eq\o\ac(○,11)三式，和eq\o\ac(○,12)或當(dāng)B、C兩球第二次返回O點時，兩球發(fā)生第二次碰撞，設(shè)碰撞后兩球的速度分別為，對應(yīng)的分速度的大小分別為，則有或由此可見，B、C兩球每經(jīng)過一次碰撞，沿x方向的分速度都要變小，即……而y方向的分速度的大小保持不變，即……當(dāng)兩球反復(fù)碰撞足夠多次數(shù)后，沿x方向的分速度為零，只有y方向的分速度。設(shè)足夠多的次數(shù)為n，則有eq\o\ac(○,13)eq\o\ac(○,14)即最后，B、C兩球一起的Oyz平面內(nèi)擺動，經(jīng)過最低點O的速度由eq\o\ac(○,14)式給出，設(shè)最高點的z軸坐標(biāo)為，則得代入數(shù)值，得eq\o\ac(○,15)最高點的y坐標(biāo)由下式給出：代入數(shù)值，得：eq\o\ac(○,16)圖13—8例8：一半徑R=1.00m的水平光滑圓桌面，圓心為O，有一豎直的立柱固定在桌面上的圓心附近，立柱與桌面的交線是一條凸的平滑的封閉曲線C，如圖13—8所示。一根不可伸長的柔軟的細輕繩，一端固定在封閉曲線上某一點，另一端系一質(zhì)量為m=7.5×10—2kg的小物塊。將小物塊放在桌面上并把繩拉直，再給小物塊一個方向與繩垂直、大小為的初速度，物塊在桌面上運動時，繩將纏繞在立柱上。已知當(dāng)繩的張力為T0=2.0圖13—8（1）問繩剛要斷開時，繩的伸直部分的長度為多少？（2）若繩剛要斷開時，桌面圓心O到繩的伸直部分與封閉曲線的接觸點的連線正好與繩的伸直部分垂直，問物塊的落地點到桌面圓心O的水平距離為多少？已知桌面高度H=0.80m，物塊在桌面上運動時未與立柱相碰。取重力加速度大小為10m/s2。解析：（1）這一問題比較簡單。繩斷開前，繩的張力即為物塊所受的向心力，因為初速度與繩垂直，所以繩的張力只改變物塊的速度方向，而速度大小不變，繩剛要斷開時，繩的伸直部分的長度可求出。設(shè)繩的伸直部分長為x，則由牛頓第二定律得：代入已知數(shù)值得：x=0.60m（2）選取桌面為分析平面，將物塊的落地點投影到此分析平面上，然后由平拋運動的知識求解。如圖13—8—甲所示，設(shè)繩剛要斷開時物塊位于桌面上的P點，并用A點表示物塊離開桌面時的位置，先取桌面為分析平面，將物塊的落地點投影到此分析平面上，其位置用D點表示，易知D點應(yīng)在直線PA的延長線上，即等于物塊落地點與桌面圓心O的水平距離，而等于物塊離開桌面后做平拋運動的水平射程。即故代入已知數(shù)值得物塊落地點到桌面圓心O的水平距離例9：如圖13—9所示是一種記錄地震裝置的水平擺，擺球m固定在邊長為L，質(zhì)量可忽略不計的等邊三角形的頂點A上。它的對邊BC跟豎直線成不大的夾角，擺球可以繞固定軸BC擺動。求擺做微小振動的周期。解析：若m做微小振動，則其軌跡一定在過A點，垂直于BC的平面內(nèi)的以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧上。因此我們可以作一個過A點垂直于BC的平面M，如圖13—9—甲所示，將重力mg沿M平面和垂直于M平面方向分解，則在平面M內(nèi)，m的振動等效于一個只在重力作用下簡諧運動，擺長所以周期例10：六個相同的電阻（阻值均為R）連成一個電阻環(huán)，六個結(jié)點依次為1、2、3、4、5和6，如圖13—10所示?，F(xiàn)有五個完全相同的這樣的電阻環(huán)，分別稱為D1、D2、…、D5。現(xiàn)將D1的1、3、5三點分別與D2的2、4、6三點用導(dǎo)線連接，如圖13—10—甲所示。然后將D2的1、3、5三點分別與D3的2、4、6三點用導(dǎo)線連接……依次類推，最后將D5的1、3、5三點分別連接到D4的2、4、6三點上。證明：全部接好后，在D1上的1、3、兩點間的等效是電阻為。解析：由于連接電阻R的導(dǎo)線，連接環(huán)D之間的導(dǎo)線均不計電阻，因此，可改變環(huán)的半徑，使五個環(huán)的大小滿足：D1<D2<…<D5.將圖13—10—甲所示的圓柱形網(wǎng)絡(luò)變成圓臺形網(wǎng)絡(luò)，在沿與底面垂直的方向?qū)⒋藞A臺形網(wǎng)絡(luò)壓縮成一個平面，如圖13—10—乙所示的平面電路圖?，F(xiàn)將圓形電阻環(huán)變成三角形，1、3、5三點為三角形的頂點，2、4、6三點為三角形三邊的中點，圖13—10—乙又變?yōu)槿鐖D13—10—丙所示電路圖。不難發(fā)現(xiàn)，圖13—10—丙所示的電路相對虛直線3、6具有左右對稱性?？梢杂枚喾N解法求。如將電路等效為圖13—10—丁。A1B1以內(nèi)的電阻A2B2以內(nèi)的電阻A3B3以內(nèi)的電阻A4B4以內(nèi)的電阻A5B5以內(nèi)的電阻即為D1環(huán)上1、3兩點間的等效電阻。例11：如圖13—11所示，用12根阻值均為r的相同的電阻絲構(gòu)成正立方體框架。試求AG兩點間的等效電阻。解析：該電路是立體電路，我們可以將該立體電路“壓扁”，使其變成平面電路，如圖13—11—甲所示?？紤]到D、E、B三點等勢，C、F、H三點等勢，則電路圖可等效為如圖13—11—乙所示的電路圖，所以AG間總電阻為例12：如圖13—12所示，傾角為θ的斜面上放一木制圓制，其質(zhì)量m=0.2kg，半徑為r，長度L=0.1m，圓柱上順著軸線OO′繞有N=10匝的線圈，線圈平面與斜面平行，斜面處于豎直向上的勻強磁場中，磁感應(yīng)強度B=0.5T，當(dāng)通入多大電流時，圓柱才不致往下滾動？解析：要準(zhǔn)確地表達各物理量之間的關(guān)系，最好畫出正視圖，問題就比較容易求解了。如圖13—12—甲所示，磁場力Fm對線圈的力矩為MB=NBIL·2r·sinθ，重力對D點的力矩為：MG=mgsinθ，平衡時有：MB=MG則可解得：例13：空間由電阻絲組成的無窮網(wǎng)絡(luò)如圖13—13所示，每段電阻絲的電阻均為r，試求A、B間的等效電阻RAB。解析：設(shè)想電流A點流入，從B點流出，由對稱性可知，網(wǎng)絡(luò)中背面那一根無限長電阻絲中各點等電勢，故可撤去這根電阻絲，而把空間網(wǎng)絡(luò)等效為圖13—13—甲所示的電路。（1）其中豎直線電阻r′分別為兩個r串聯(lián)和一個r并聯(lián)后的電阻值，所以橫線每根電阻仍為r，此時將立體網(wǎng)絡(luò)變成平面網(wǎng)絡(luò)。（2）由于此網(wǎng)絡(luò)具有左右對稱性，所以以AB為軸對折，此時網(wǎng)絡(luò)變?yōu)槿鐖D13—13—乙所示的網(wǎng)絡(luò)。其中橫線每根電阻為，豎線每根電阻為AB對應(yīng)那根的電阻為，此時由左右無限大變?yōu)橛疫厽o限大。（3）設(shè)第二個網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點為CD，此后均有相同的網(wǎng)絡(luò)，去掉AB時電路為圖13—13—丙所示。再設(shè)RCD=Rn－1（不包含CD所對應(yīng)的豎線電阻）則，網(wǎng)絡(luò)如圖13—13—丁所示。此時當(dāng)時，Rn=Rn－1∴上式變?yōu)橛纱私獾茫杭囱a上AB豎線對應(yīng)的電阻，網(wǎng)絡(luò)變?yōu)槿鐖D13—13—戊所示的電路。例14：設(shè)在地面上方的真空室內(nèi)，存在勻強電場和勻強磁場，已知電場強度和磁感應(yīng)強度的方向是相同的，電場強度的大小E=4.0V/m，磁感應(yīng)強度的大小B=0.15T，今有一個帶負電的質(zhì)點以v=20m/s的速度在此區(qū)域內(nèi)沿垂直場強方向做勻速直線運動，求此帶電質(zhì)點的電量與質(zhì)量之比q/m以及磁場的所有可能方向（角度可用反三角函數(shù)表）。解析：因為帶負電的質(zhì)點做勻速直線運動，說明此質(zhì)點所受的合外力為零。又因為電場強度和磁感應(yīng)強度的方向相同，所以該帶電質(zhì)點所受的電場力和洛侖茲力的方向垂直共面，且必受重力作用，否則所受合外力不可能為零，設(shè)質(zhì)點速度方向垂直紙面向里。由此該帶電質(zhì)點的受力圖如圖13—14所示。由平衡條件有有水平方向：①在豎直方向：②解得：q/m=2同理，當(dāng)質(zhì)點速度方向垂直紙面向外時受力情況如圖13—14—甲，由平衡條件可解出θ值與上式解出的一樣，只是與紙平面的夾角不同，故此帶電質(zhì)點的電量與質(zhì)量之比為2。磁場的所有可能方向與水平方向的夾角都是針對訓(xùn)練1．如圖13—15所示，一個重1000N的物體放在傾角為30°的斜面上，物體與斜面間的摩擦系數(shù)μ為1/3。今有一個與斜面最大傾斜線成30°角的力F作用于物體上，使物體在斜面上保持靜止，求力F的大小。2．斜面傾角θ=37°，斜面長為0.8m，寬為0.6m，如圖13—16所示。質(zhì)量為2kg的木塊與斜面間的動摩擦因數(shù)為μ=0.5，在平行于斜面方向的恒力F的作用下，沿斜面對角線從A點運動到B點（g=10m/s2，sin37°=0.6）。求：（1）力F的最小值是多大？（2）力F取最小值時木塊的加速度。3．質(zhì)量為0.8kg的長方形木塊靜止在傾角為30°的斜面上，若用平行于斜面沿水平方向大小等于3N的力推物體，它仍保持靜止，如圖13—17所示，則木塊所受摩擦力大小為，方向為。4．如圖13—18，四面體框架由電阻同為R的6個電阻連接而成，試求任意兩個頂點AB間的等效電阻。5．如圖13—19所示三棱柱由電阻同為R的電阻線連接而成，試求AB兩個頂點間的等效電阻。6．將同種材料粗細均勻的電阻絲連接成立方體的形狀，如圖13—20所示，每段電阻絲電阻均為r。試求：（1）AB兩點間等效電阻RAG；（2）AD兩點間等效電阻RAD。參考答案1．0.288×103N≤F≤0.577×103N2．(1)7.2N（2）0.8m/s23．5N沿斜面指向右上方水平方向的夾角為53°4．5．6．（1）（2）十四、近似法方法簡介近似法是在觀察物理現(xiàn)象、進行物理實驗、建立物理模型、推導(dǎo)物理規(guī)律和求解物理問題時，為了分析認識所研究問題的本質(zhì)屬性，往往突出實際問題的主要方面，忽略某些次要因素，進行近似處理.在求解物理問題時，采用近似處理的手段簡化求解過程的方法叫近似法.近似法是研究物理問題的基本思想方法之一，具有廣泛的應(yīng)用.善于對實際問題進行合理的近似處理，是從事創(chuàng)造性研究的重要能力之一.縱觀近幾年的物理競賽試題和高考試題，越來越多地注重這種能力的考查.賽題精講圖14—1例1：一只狐貍以不變的速度沿著直線AB逃跑，一只獵犬以不變的速率追擊，其運動方向始終對準(zhǔn)狐貍.某時刻狐貍在F處，獵犬在D處，F(xiàn)D⊥AB，且FD=L，如圖14—1所示，求獵犬的加速度的大小.圖14—1圖14—2—甲解析：獵犬的運動方向始終對準(zhǔn)狐貍且速度大小不變，故獵犬做勻速率曲線運動，根據(jù)向心加速度為獵犬所在處的曲率半徑，因為r不斷變化，故獵犬的加速度的大小、方向都在不斷變化，題目要求獵犬在D處的加速度大小，由于圖14—2—甲獵犬做勻速率曲線運動，其加速度的大小和方向都在不斷改變.在所求時刻開始的一段很短的時間內(nèi)，獵犬運動的軌跡可近似看做是一段圓弧，設(shè)其半徑為R，則加速度其方向與速度方向垂直，如圖14—1—甲所示.在時間內(nèi)，設(shè)狐貍與獵犬分別到達，獵犬的速度方向轉(zhuǎn)過的角度為/R而狐貍跑過的距離是：≈因而/R≈/L，R=L/所以獵犬的加速度大小為=/L圖14—2—甲圖14—2例2如圖14—2所示，岸高為圖14—2—甲圖14—2解析要求船在該位置的速率即為瞬時速率，需從該時刻起取一小段時間求它的平均速率，當(dāng)這一小段時間趨于零時，該平均速率就為所求速率.設(shè)船在角位置經(jīng)時間向左行駛距離，滑輪右側(cè)的繩長縮短，如圖14—2—甲所示，當(dāng)繩與水平方向的角度變化很小時，△ABC可近似看做是一直角三角形，因而有=圖14—3兩邊同除以得：，即收繩速率圖14—3因此船的速率為例3如圖14—3所示，半徑為R，質(zhì)量為m的圓形繩圈，以角速率繞中心軸O在光滑水平面上勻速轉(zhuǎn)動時，繩中的張力為多大？解析取繩上一小段來研究，當(dāng)此段弧長對應(yīng)的圓心角很小時，有近似關(guān)系式圖—14—3—甲若取繩圈上很短的一小段繩AB=為研究對象，設(shè)這段繩所對應(yīng)的圓心角為，這段繩兩端所受的張力分別為和（方向見圖14—3—甲），因為繩圈勻速轉(zhuǎn)動，無切向加速度，所以和的大小相等，均等于T.和在半徑方向上的合力提供這一段繩做勻速圓周運動的向心力，設(shè)這段繩子的質(zhì)量為，根據(jù)牛頓第二定律有：；圖—14—3—甲因為段很短，它所對應(yīng)的圓心角很小所以將此近似關(guān)系和代入上式得繩中的張力為例4在某鉛垂面上有一固定的光滑直角三角形細管軌道ABC，光滑小球從頂點A處沿斜邊軌道自靜止出發(fā)自由地滑到端點C處所需時間，恰好等于小球從頂點A處自靜止出發(fā)自由地經(jīng)兩直角邊軌道滑到端點C處所需的時間.這里假設(shè)鉛垂軌道AB與水平軌道BC的交接處B有極小的圓弧，可確保小球無碰撞的拐彎，且拐彎時間可忽略不計.在此直角三角形范圍內(nèi)可構(gòu)建一系列如圖14—4中虛線所示的光滑軌道，每一軌道是由若干鉛垂線軌道與水平軌道交接而成，交接處都有極小圓?。ㄗ饔猛希?，軌道均從A點出發(fā)到C點終止，且不越出該直角三角形的邊界，試求小球在各條軌道中，由靜止出發(fā)自由地從A點滑行到C點所經(jīng)時間的上限與下限之比值.解析直角三角形AB、BC、CA三邊的長分別記為、、，如圖14—4—甲所示，小球從A到B的時間記為，再從B到C的時間為，而從A直接沿斜邊到C所經(jīng)歷的時間記為，由題意知，可得：：=3：4：5，由此能得與的關(guān)系.因為所以因為：=3：4，所以小球在圖14—4—乙中每一虛線所示的軌道中，經(jīng)各垂直線段所需時間之和為，經(jīng)各水平段所需時間之和記為，則從A到C所經(jīng)時間總和為，最短的對應(yīng)的下限，最長的對應(yīng)的上限小球在各水平段內(nèi)的運動分別為勻速運動，同一水平段路程放在低處運動速度大，所需時間短，因此，所有水平段均處在最低位置（即與BC重合）時最短，其值即為，故=的上限顯然對應(yīng)各水平段處在各自可達到的最高位置，實現(xiàn)它的方案是垂直段每下降小量，便接一段水平小量，這兩個小量之間恒有，角即為∠ACB，水平段到達斜邊邊界后，再下降一小量并接一相應(yīng)的水平量，如此繼續(xù)下去，構(gòu)成如圖所示的微齒形軌道，由于、均為小量，小球在其中的運動可處理為勻速率運動，分別所經(jīng)的時間小量與之間有如下關(guān)聯(lián)：于是作為之和的上限與作為之和的之比也為故的上限必為，即得：這樣=7:5例5在光滑的水平面上有兩個質(zhì)量可忽略的相同彈簧，它們的一對端點共同連接著一個光滑的小物體，另外一對端點A、B固定在水平面上，并恰使兩彈簧均處于自由長度狀態(tài)且在同一直線上，如圖14—5所示.如果小物體在此平面上沿著垂直于A、B連線的方向稍稍偏離初始位置，試分析判斷它是否將做簡諧運動？解析因為一個物體是否做簡諧運動就是要看它所受的回復(fù)力是否是一個線性力，即回復(fù)力的大小與位移大小成正經(jīng)，方向相反.因此分析判斷該題中的小物體是否做簡諧運動，關(guān)鍵是求出所受的回復(fù)力的表達式（即此題中所受合外力的表達式）.以AB中點為原點，過中點且垂直于AB的直線為軸，如圖14—5—甲所示，取軸正方向為正方向，小物體所受回復(fù)力為：①其中為彈簧的勁度系數(shù)，為彈簧的自由長度，為彈簧伸長后的長度，為彈簧伸長后與AB直線的夾角.由幾何知識可得②③將②、③代入①式得：由此可見，小物體受的合外力是一個非線性回復(fù)力，因此小物體將不做簡諧運動.同時本題表明，平衡位置附近的小振動未必都是簡諧運動.例6三根長度均為，質(zhì)量均勻的直桿，構(gòu)成一正三角形框架ABC，C點懸掛在一光滑水平轉(zhuǎn)軸上，整個框架可繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動.桿AB是一導(dǎo)軌，一電動玩具松鼠可在導(dǎo)軌上運動，如圖14—6所示，現(xiàn)觀察到松鼠正在導(dǎo)軌上運動，而框架卻靜止不動，試論證松鼠的運動是一種什么樣的運動.解析松鼠在AB軌道運動，當(dāng)框架不動時，松鼠受到軌道給它的水平力F′作用，框架也受到松鼠給它的水平力F作用，設(shè)在某一時刻，松鼠離桿AB的中點O的距離為，如圖14—6所示，松鼠在豎直方向?qū)?dǎo)軌的作用力等于松鼠受到的重力，m為松鼠的質(zhì)量.以C點為軸，要使框架平衡，必須滿足條件，松鼠對AB桿的水平力為，式中L為桿的長度.所以對松鼠而言，在其運動過程中，沿豎直方向受到的合力為零，在水平方向受到桿AB的作用力為F′，由牛頓第三定律可知F′=F，即其中即松鼠在水平方向受到的作用力F′作用下的運動應(yīng)是以O(shè)點為平衡位置的簡諧運動，其振動的周期為當(dāng)松鼠運動到桿AB的兩端時，它應(yīng)反向運動，按簡諧運動規(guī)律，速度必須為零，所以松鼠做簡諧運動的振幅小于或等于L/2=1m.由以上論證可知，當(dāng)框架保持靜止時，松鼠在導(dǎo)軌AB上的運動是以AB的中點O為平衡位置，振幅不大于1m、周期為2.64s的簡諧運動.例7在一個橫截面面積為S的密閉容器中，有一個質(zhì)量為m的活塞把容器中的氣體分成兩部分.活塞可在容器中無摩擦地滑動，活塞兩邊氣體的溫度相同，壓強都是，體積分別是V1和V2，如圖14—7所示.現(xiàn)用某種方法使活塞稍微偏離平衡位置，然后放開，活塞將在兩邊氣體壓力的作用下來回運動.容器保持靜止，整個系統(tǒng)可看做是恒溫的.（1）求活塞運動的周期，將結(jié)果用、V1、V2、m和S表示；（2）求氣體溫度℃時的周期與氣體溫度=30℃時的周期之比值.解析（1）活塞處于平衡時的位置O為坐標(biāo)原點當(dāng)活塞運動到右邊距O點處時，左邊氣體的體積由V1變?yōu)閂1+，右邊氣體的體積由V2變?yōu)閂2，設(shè)此時兩邊氣體的壓強分別為和，因系統(tǒng)的溫度恒定不變，根據(jù)玻意耳定律有：而以上兩式解出：①按題意，活塞只稍許離開平衡位置，故上式可近似為：，于是活塞受的合力為所以活塞的運動方程是其中是加速度，由此說明活塞做簡諧運動，周期為（2）設(shè)溫度為時，周期為，溫度為時，周期為.由于，得出所以，將數(shù)值代入得例8如圖14—8所示，在邊長為的正三角形三個頂點A、B、C處分別固定電量為Q的正點電荷，在其中三條中線的交點O上放置一個質(zhì)量為m，電量為的帶正電質(zhì)點，O點顯然為帶電質(zhì)點的平衡位置，設(shè)該質(zhì)點沿某一中線稍稍偏離平衡位置，試證明它將做簡諧運動，并求其振動周期.解析要想證明帶電質(zhì)點是否做簡諧運動，則需證明該帶電質(zhì)點沿某一中線稍稍偏離平衡位置時，所受的回復(fù)力是否與它的位移大小成正比，方向相反.因此該題的關(guān)鍵是求出它所受回復(fù)力的表達式，在此題也就是合外力的表達式.以O(shè)為坐標(biāo)原點，以AOD中線為坐標(biāo)軸，如圖14—8—甲所示，設(shè)帶電質(zhì)點在該軸上偏移，A處Q對其作用力為，B、C處兩個Q對其作用的合力為，取軸方向為正方向.有因為當(dāng)很小時可忽略高次項所以（略去項）（略去項）因此帶電質(zhì)點所受合力為由此可知，合外力與大小成正比，方向相反.圖14—9圖14—9例9欲測電阻R的阻值，現(xiàn)有幾個標(biāo)準(zhǔn)電阻、一個電池和一個未經(jīng)標(biāo)定的電流計，連成如圖14—9所示的電路.第一次與電流計并聯(lián)的電阻為50.00Ω，電流計的示度為3.9格；第二次為100.00Ω，電流計的示度為5.2格；第三次為10.00Ω，同時將待測電阻R換成一個20.00kΩ的標(biāo)準(zhǔn)電阻，結(jié)果電流計的示度為7.8格.已知電流計的示度與所通過的電流成正比，求電阻R的阻值.解析在測試中，除待求量R外，電源電動勢E，電源內(nèi)阻，電流計內(nèi)阻以及電流計每偏轉(zhuǎn)一格的電流，均屬未知.本題數(shù)據(jù)不足，且電流計讀數(shù)只有兩位有效數(shù)字，故本題需要用近似方法求解.設(shè)電源電動勢為E，電流計內(nèi)阻為，電流計每偏轉(zhuǎn)一格的電流為，用歐姆定律對三次測量的結(jié)果列式如下：從第三次測量數(shù)據(jù)可知，當(dāng)用20kΩ電阻取代R，而且阻值減小時電流計偏轉(zhuǎn)格數(shù)明顯增大，可推知R的阻值明顯大于20kΩ，因此電源內(nèi)阻完全可以忽略不計，與R相比，電流計內(nèi)阻與的并聯(lián)值對干路電流的影響同樣也可以忽略不計，故以上三式可近似為：①②圖14—10圖14—10待測電阻R=120k解①、②、③三式，可得=50Ω例10如圖14—10所示，兩個帶正電的點電荷A、B帶電量均為Q，固定放在軸上的兩處，離原點都等于.若在原點O放另一正點電荷P，其帶電量為，質(zhì)量為m，限制P在哪些方向上運動時，它在原點O才是穩(wěn)定的？解析設(shè)軸與軸的夾角為，正電點電荷P在原點沿軸方向有微小的位移時，A、B兩處的點電荷對P的庫侖力分別為、，方向如圖14—10所示，P所受的庫侖力在軸上的分量為①根據(jù)庫侖定律和余弦定理得②③④⑤將②、③、④、⑤式代入①得：因為很小，忽略得：又因為所以利用近似計算得忽略得當(dāng)（時具有恢復(fù)線性形式，所以在范圍內(nèi)，P可圍繞原點做微小振動，所以P在原點處是穩(wěn)定的.例11某水池的實際深度為，垂直于水面往下看，水池底的視深為多少？（設(shè)水的折射率為）解析如圖14—11所示，設(shè)S為水池底的點光源，在由S點發(fā)出的光線中選取一條垂直于面MN的光線，由O點垂直射出，由于觀察者在S正方，所以另一條光線與光線SO成極小的角度從點S射向水面點A，由點A遠離法線折射到空氣中，因入射角極小，故折射角也很小，進入人眼的兩條折射光線的反向延長線交于點S′，該點即為我們看到水池底光源S