2005年高考.江西卷.文科數(shù)學(xué)試題精析詳解

普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)試題精析詳解北大附中廣州實驗學(xué)校王生PAGEQQ：84024795E-mail:wangsheng@第1頁（共12頁）2005年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（江西文科卷）試題精析詳解一、選擇題（5分12=60分）1．設(shè)集合，則 （） A．{1} B．{1，2} C．{2} D．{0，1，2}【思路點撥】本題考察集合的邏輯運算,可直接求得.【正確解答】，，.選D.【解后反思】集合主要有三種邏輯運算：交集,并集,補集,運算時要留意集合元素的性質(zhì),元素確定性,互異性,無序性,要注意補集的運算是離不開全集的,在化簡集合時,經(jīng)常用到兩種工具：數(shù)軸和韋恩圖.2．已知 （） A． B．－ C． D．－【思路點撥】本題涉及三角函數(shù)的有關(guān)公式.【正確解答】由二倍角公式可知，，選B【解后反思】教材已經(jīng)給我們提供了一個好的問題情境，并通過“會話”、“協(xié)作”初步建構(gòu)了二倍角公式的概念.我們完全有可能通過進(jìn)一步的“會話”、協(xié)作”，深化對二倍角公式的意義建構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生用學(xué)到的“活的思想”去詮釋新教材中的新問題.如此去領(lǐng)會、貫徹新教材的構(gòu)思.3．的展開式中，含x的正整數(shù)次冪的項共有 （） A．4項 B．3項 C．2項 D．1項【思路點撥】本題主要考查二項式展開通項公式的有關(guān)知識.【正確解答】的展開式為，因此含x的正整數(shù)次冪的項共有3項.選B【解后反思】在二項式展開式中,要注意二項式定理的變形,要掌握二項展開式中的系數(shù)與二項式系數(shù)的區(qū)別.4．函數(shù)的定義域為 （） A．（1，2）∪（2，3） B． C．（1，3） D．[1，3]【思路點撥】本題涉及求函數(shù)定義域的若干知識.在本題中,求定義域要注意兩個方面(1)因式有分母,注意分母不能為零,(2)因式有對數(shù),要對數(shù)有意義.【正確解答】由題意可知，，選A【解后反思】本題是求定義域的一道常規(guī)題目,函數(shù)的定義域（或變量的允許取值范圍）看似非常簡單,然而在解決問題中若不加以注意,常常會誤入歧途,導(dǎo)致失誤.此外在用函數(shù)方法解決實際問題時,必須要注意到函數(shù)定義域的取值范圍對實際問題的影響.5．設(shè)函數(shù)為 （） A．周期函數(shù)，最小正周期為 B．周期函數(shù)，最小正周期為 C．周期函數(shù)，數(shù)小正周期為 D．非周期函數(shù)【思路點撥】本題考查三角函數(shù)的周期,首先應(yīng)將f(x)化簡,盡可能地化成形如然后再判斷.【正確解答】，因此為周期函數(shù)，且最小正周期為.選B.【解后反思】本題也可根據(jù)三角函數(shù)周期定義進(jìn)行檢驗,將A、B、C、D中的周期都代入,驗證后,可得答案B,另外記住一些常用結(jié)論是必要的，例如的最小正周期,最小正周期.6．已知向量 （） A．30° B．60° C．120° D．150°【思路點撥】本題考查平面向量的運算及向量的夾角公式.【正確解答】設(shè)，則，又，所以，得，，選C.【解后反思】設(shè)的夾角為,則,(1)當(dāng)為銳角,有且(2)當(dāng)為鈍角,有且(3)當(dāng),共線且方向相同.(4)當(dāng)時,.7．將9個（含甲、乙）平均分成三組，甲、乙分在同一組，則不同分組方法的種數(shù)為（） A．70 B．140 C．280 D．840【思路點撥】本題涉及組合的平均分組問題.【正確解答】要使甲、乙分在同一組，即將剩下的7人分成三組，其中兩組有三個人，一組只有一個人，所以要求的概率為，選A【解后反思】對于平均分組問題,由于各組地位均等,所以平均分成幾組,就一定要除以8．在△ABC中，設(shè)命題命題q:△ABC是等邊三角形，那么命題p是命題q的 （） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件【思路點撥】本題主要考查三角形形狀的判斷及充要條件.【正確解答】，由△ABC是等邊三角形，則，顯然成立.：由三角形的性質(zhì)可知：，又已知，兩式相除得：，令，則，所以，，得，因此，即△ABC是等邊三角形.因此是的充分必要條件，選C【解后反思】判斷三角形形狀,主要根據(jù)正弦定理,余弦定理及三角形內(nèi)角和為,化簡有兩個方向,(1)角化邊,(2)邊化角.9．矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角B—AC—D，則四面體ABCD的外接球的體積為 （） A． B． C． D．【思路點撥】本題主要考查圖形的翻折問題,利用球心到球面的距離均相等,找出球心是解本題的關(guān)健.【正確解答】連接矩形ABCD的對角線AC、BD交于O，則AO＝BO＝CO＝DO，則O為四面體ABCD的外接球的圓心，因此四面體ABCD的外接球的半徑為，體積為.選C.【解后反思】對于圖形的翻折問題,關(guān)健是利用翻折前后的不變量,另外,球和正方體,長方體,三棱錐的組合問題,應(yīng)引起高度重視,而且有些問題也可以通過補形法轉(zhuǎn)化成球內(nèi)接正方體或內(nèi)接長方體問題.10．已知實數(shù)a、b滿足等式下列五個關(guān)系式： ①0<b<a②a<b<0③0<a<b④b<a<0⑤a=b 其中不可能成立的關(guān)系式有 （） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【思路點撥】本題涉及指數(shù)函數(shù)的若干知識.【正確解答】均大于零時，要滿足等式，必有；均小于零時，要滿足等式，必有；時，顯然等式成立.因此不可能成立的關(guān)系式為③④，選B【解后反思】根據(jù)函數(shù)圖形來解客觀題,快速而且準(zhǔn)確,這就要求對函數(shù)的圖形要相當(dāng)了解.11．在△OAB中，O為坐標(biāo)原點，，則當(dāng)△OAB的面積達(dá)最大值時， （） A． B． C． D．【思路點撥】運用圖形,根據(jù)圖形表示的面積,將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題.【正確解答】當(dāng)即時,面積最大.【解后反思】運用三角函數(shù)解決相應(yīng)的實際問題，首先應(yīng)根據(jù)題目的要求將面積的表達(dá)式寫出來，然后在表達(dá)式中，根據(jù)自變量的取值范圍，最終求出答案，所要注意的是，解決此類問題時不能僅憑函數(shù)的表達(dá)式，應(yīng)考慮實際情況，例如，在函數(shù)的自變量中，可以取負(fù)數(shù)，而如果在實際題目中，自變量表示的是天數(shù)，那么這相自變量必須為正數(shù)，且為整數(shù)等等.12．為了解某校高三學(xué)生的視力情況，隨機地抽查了該校100名高三學(xué)生的視力情況，得到頻率分布直方圖，如右，由于不慎將部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但知道前4組的頻數(shù)成等比數(shù)列，后6組的頻數(shù)成等差數(shù)列，設(shè)最大頻率為a，視力在4.6到5.0之間的學(xué)生數(shù)為b，則a,b的值分別為（） A．0,27,78 B．0,27,83 C．2.7,78 D．2.7,83【思路點撥】本題涉及數(shù)理統(tǒng)計的若干知識.【正確解答】由圖象可知，前4組的公比為3，最大頻率，設(shè)后六組公差為，則，解得：，后四組公差為－0.05，所以，視力在4.6到5.0之間的學(xué)生數(shù)為（0.27＋0.22＋0.17＋0.12）×100＝78（人）.選A.【解后反思】本題是一道數(shù)理統(tǒng)計圖象題,關(guān)于統(tǒng)計一般可分為三步,第一步抽樣,第二步根據(jù)抽樣所得結(jié)果,畫成圖形,第三步根據(jù)圖形,分析結(jié)論.本題是統(tǒng)計的第二步,在此類問題中,可畫成兩種圖形,一個是頻率分布直方圖,另一個是頻率分布條形圖,兩者有很大的不同,前者是以面積表示頻數(shù),頻率分布條形圖是以高度表示頻數(shù).二、填空題（4分4=16分）13．若函數(shù)是奇函數(shù)，則a=.【思路點撥】本題主要考查函數(shù)的奇偶性,由函數(shù)的奇偶性的定義可求得.【正確解答】解法1：由題意可知，，即，因此，.解法2：函數(shù)的定義域為R,又f(x)為奇函數(shù),故其圖象必過原點即f(0)=0,所以,得即推出答案【解后反思】對數(shù)學(xué)概念及定理公式的深刻理解是解數(shù)學(xué)問題的關(guān)健,討論函數(shù)的奇偶性,其前提條件是函數(shù)的定義域必須關(guān)于原點對稱.若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱.若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱.14．設(shè)實數(shù)x,y滿足.【思路點撥】本題主要考查線性規(guī)劃問題,由線性約束條件畫出可行域,然后求出目標(biāo)函數(shù)的最值.【正確解答】表示兩點(0,0),A(x,y)的斜率【解后反思】解題的關(guān)鍵是理解目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,類似的你知道的幾何意義嗎？15．如圖，在三棱錐P—ABC中，PA=PB=PC=BC，且，則PA與底面ABC所成角為.【思路點撥】本題主要考查直線與平面所成的角的求法,關(guān)鍵是確定點P在底面的射影O的位置.【正確解答】過P作，交底面于O，連結(jié)AO并延長交BC于D，連結(jié)PD，則PD、AD均垂直于BC，所以AB＝AC，PA與底面ABC所成角為，設(shè)AC＝1，則PA=PB=PC=BC＝，，，，所以.【解后反思】熟練掌握三角形的“四心”是快速解該題的關(guān)鍵.外心:三角形三條中垂線的交點,性質(zhì)外心到三角頂點距離相等,內(nèi)心:內(nèi)角平分線的交點,性質(zhì)是內(nèi)心到三邊距離相等,垂心:三條高線的交點,重心:三條中線的交點,另外記住一些結(jié)論也是大有裨益的,比如在三棱錐P-ABC中(1)若P到三個頂點的距離相等,則P在底面的射影是ABC的外心,(2)若P到三邊的距離相等,則P在底面的射影是的內(nèi)心,(3)若則且P在底面的射影是的垂心.16．以下同個關(guān)于圓錐曲線的命題中 ①設(shè)A、B為兩個定點，k為非零常數(shù)，，則動點P的軌跡為雙曲線； ②過定圓C上一定點A作圓的動點弦AB，O為坐標(biāo)原點，若則動點P的軌跡為橢圓； ③方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率； ④雙曲線有相同的焦點. 其中真命題的序號為（寫出所有真命題的序號）【思路點撥】本題主要考查圓錐曲線的定義和性質(zhì)主要由a,b,c,e的關(guān)系求得【正確解答】雙曲線的第一定義是:平面上的動點P到兩定點是A,B之間的距離的差的絕對值為常數(shù)2a,且,那么P點的軌跡為雙曲線,故①錯，由,得P為弦AB的中點,故②錯，設(shè)的兩根為則可知兩根互與為倒數(shù),且均為正,故③對，的焦點坐標(biāo)(),而的焦點坐標(biāo)(),故④正確.【解后反思】要牢牢掌握橢圓,雙曲線的第一定義,同時還要掌握圓錐曲線的統(tǒng)一定義,弄清圓錐曲線中a,b,c,e的相互關(guān)系.三、解答題（本大題共6小題，共74分）17．（本小題滿分12分）已知函數(shù)（a，b為常數(shù)）且方程f(x)－x+12=0有兩個實根為x1=3,x2=4.（1）求函數(shù)f(x)的解析式；（2）設(shè)k>1，解關(guān)于x的不等式；.【思路點撥】本題主要考查求函數(shù)的解析式及含參分式不等式的解法.【正確解答】（1）將得（2）不等式即為即①當(dāng)②當(dāng)③.【解后反思】解不等式的過程實質(zhì)上就是轉(zhuǎn)化的過程,分式不等式轉(zhuǎn)化成整式不等式,解分式不等式一般情況下是移項,通分,然后轉(zhuǎn)化成整式不等式,對于高次不等式,借助數(shù)軸法,則簡單,快捷,另外,18．（本小題滿分12分）已知向量.求函數(shù)f(x)的最大值，最小正周期，并寫出f(x)在[0，π]上的單調(diào)區(qū)間.【思路點撥】本題主要考查向量與三角函數(shù)的綜合題，正確求出f（x）是解該題的關(guān)鍵.【正確解答】=.所以，最小正周期為上單調(diào)增加，上單調(diào)減少.【解后反思】這是一道向量與三角函數(shù)的綜合題,向量雖然是近年高中數(shù)學(xué)出現(xiàn)的新知識,但向量知識卻很重要.因為向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一,它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具,有著極其豐富的實際背景.在學(xué)習(xí)過程中,同學(xué)將會了解向量豐富的實際背景,逐漸理解平面向量及其運算的意義,一定能要用向量語言和方法表述和解決數(shù)學(xué)和物理中的一些問題,發(fā)展數(shù)學(xué)運算能力和解決數(shù)學(xué)實際問題的能力.19．（本小題滿分12分）A、B兩位同學(xué)各有五張卡片，現(xiàn)以投擲均勻硬幣的形式進(jìn)行游戲，當(dāng)出現(xiàn)正面朝上時A贏得B一張卡片，否則B贏得A一張卡片，如果某人已贏得所有卡片，則游戲終止.求擲硬幣的次數(shù)不大于7次時游戲終止的概率.【思路點撥】本題涉及隨機事件的有關(guān)概率.【正確解答】設(shè)表示游戲終止時擲硬幣的次數(shù)，設(shè)正面出現(xiàn)的次數(shù)為m，反面出現(xiàn)的次數(shù)為n，則，可得：【解后反思】這是一道比較復(fù)雜的概率題目,首先我們應(yīng)理解隨機變量及其概率分布的概念,掌握分布函數(shù)F(x)=P{X≤x}的概念及性質(zhì);才能會計算與隨機變量相關(guān)的事件的概率.同時我們在解決的過程中,也適當(dāng)對此類解題的流程也要有一個清晰的了解,這樣才能保證此類題目得高分和全分.20．（本小題滿分12分）如圖，在長方體ABCD—A1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，點E在棱AB上移動（1）證明：D1E⊥A1D;（2）當(dāng)E為AB的中點時，求點E到面ACD1的距離；（3）AE等于何值時，二面角D1—EC－D的大小為.【思路點撥】本題涉及立體幾何線面關(guān)系的有關(guān)知識,【正確解答】解法（一）（1）證明：∵AE⊥平面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E（2）設(shè)點E到面ACD1的距離為h，在△ACD1中，AC=CD1=，AD1=，故（3）過D作DH⊥CE于H，連D1H、DE，則D1H⊥CE，∴∠DHD1為二面角D1—EC—D的平面角.設(shè)AE=x，則BE=2－x解法（二）：以D為坐標(biāo)原點，直線DA，DC，DD1分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AE=x，則A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）（1）（2）因為E為AB的中點，則E（1，1，0），從而，，設(shè)平面ACD1的法向量為，則也即，得，從而，所以點E到平面AD1C的距離為（3）設(shè)平面D1EC的法向量，∴由令b=1,∴c=2,a=2－x，∴依題意∴（不合，舍去），.∴AE=時，二面角D1—EC—D的大小為.【解后反思】立體幾何的內(nèi)容就是空間的判斷、推理、證明、角度和距離、面積與體積的計算，這是立體幾何的重點內(nèi)容,本題實質(zhì)上求解角度和距離,在求此類問題中,盡量要將這些量處于三角形中,最好是直角三角形,這樣計算起來,比較簡單,此外用向量也是一種比較好的方法,不過建系一定要恰當(dāng),這樣坐標(biāo)才比較好寫出來.21．（本小題滿分12分）如圖，M是拋物線上y2=x上的一點，動弦ME、MF分別交x軸于A、B兩點，且MA=MB.（1）若M為定點，證明：直線EF的斜率為定值；（2）若M為動點，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的軌跡方程.【思路點撥】本題涉及拋物線與直線相交的有關(guān)知識.【正確解答】（1）設(shè)M（y,y0），直線ME的斜率為k(l>0)則直線MF的斜率為－k，消所以直線EF的斜率為定值（2）同理可得設(shè)重心G（x,y），則有【解后反思】這是一道重要的數(shù)學(xué)問題,它屬于解析幾何范疇,幾乎是高考數(shù)學(xué)每年的必考內(nèi)容之一,此類問題一定要”大膽假設(shè),細(xì)心求解”,根據(jù)題目要求先將題目所涉及的未知量都可以設(shè)出來,然后根據(jù)題目把所有的條