2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)練案52第八章解析幾何第四講直線與圓圓與圓的位置關(guān)系含解析新人教版

第四講直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系A(chǔ)組基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．(2024·遼寧葫蘆島模擬)“k＝0”是“直線y＝kx－eq\r(2)與圓x2＋y2＝2相切”的(C)A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]直線與圓相切?eq\f(\r(2),\r(1＋k2))＝eq\r(2)?k＝0.2．(2024·河南八市質(zhì)檢)過點(3,1)作圓(x－1)2＋y2＝r2的切線有且只有一條，則該切線的方程為(B)A．2x＋y－5＝0 B．2x＋y－7＝0C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0[解析]由題意，過點(3,1)作圓(x－1)2＋y2＝r2的切線有且只有一條，則點(3,1)在圓上，圓心與切點連線的斜率為k＝eq\f(1－0,3－1)＝eq\f(1,2)，∴切線的斜率為－2，則圓的切線方程為y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0，選B.3．(2024·山東濟(jì)寧期末)圓C1：x2＋(y－1)2＝1與圓C2：(x＋4)2＋(y－1)2＝4的公切線的條數(shù)為(A)A．4 B．3C．2 D．1[解析]兩圓的圓心距|C1C2|＝4>2＋1，∴兩圓外離，兩圓的公切線有4條．4．(2024·河北衡水武邑中學(xué)月考)直線3x－4y＋3＝0與圓x2＋y2＝1相交所截的弦長為(B)A．eq\f(4,5) B．eq\f(8,5)C．2 D．3[解析]圓x2＋y2＝1的圓心(0,0)，半徑為1，因為圓心到直線3x－4y＋3＝0的距離為eq\f(3,5)，則利用勾股定理可知所求的弦長為2eq\r(1－\f(9,25))＝eq\f(8,5)，故選B.5．(2024·河北滄州段考)已知直線x＋ay－1＝0是圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的對稱軸，過點A(－4，a)作圓C的一條切線，切點為B，則|AB|＝(B)A．2 B．6C．4eq\r(2) D．2eq\r(10)[解析]∵圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝4，∴圓心為C(2,1)，半徑為2.由題意可得，直線l：x＋ay－1＝0經(jīng)過圓C的圓心(2,1)，故有2＋a－1＝0，∴a＝－1，點A(－4，－1)．∵|AC|＝eq\r(－4－22＋－1－12)＝2eq\r(10)，|CB|＝R＝2，∴切線的長|AB|＝eq\r(40－4)＝6，故選B.6．(2024·河南中原名校質(zhì)量測評)直線l：y＝kx＋4與圓O：x2＋y2＝4交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，若x1x2＋y1y2＝0，則k2的值(B)A．3 B．7C．8 D．13[解析]由條件可得x1x2≠0，圓O的圓心為(0,0)，半徑為2，由x1x2＋y1y2＝0可得eq\f(y1,x1)·eq\f(y2,x2)＝－1，故OA⊥OB，故△AOB為等腰直角三角形，故點O到直線l的距離為eq\r(2)，即eq\f(4,\r(k2＋1))＝eq\r(2)，解得k2＝7.故選B.7．(2024·河北唐山一中調(diào)研)若直線y＝k(x－2)＋4與曲線y＝eq\r(4－x2)有兩個交點，則k的取值范圍是(C)A．[1，＋∞) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,4)))C．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1)) D．(－∞，－1][解析]直線y＝k(x－2)＋4，當(dāng)x＝2時，y＝4，可得此直線恒過A(2,4)，曲線y＝eq\r(4－x2)為圓心在坐標(biāo)原點，半徑為2的半圓，依據(jù)題意作出相應(yīng)的圖形，如圖所示：當(dāng)直線y＝k(x－2)＋4與半圓相切(切點在其次象限)時，圓心到直線的距離d＝r，∴eq\f(|4－2k|,\r(1＋k2))＝2，即4k2－16k＋16＝4＋4k2，解得：k＝eq\f(3,4)，當(dāng)直線y＝k(x－2)＋4過點C時，將x＝－2，y＝0代入直線方程得：－4k＋4＝0，解得：k＝1，則直線與曲線有2個交點時k的范圍為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))，故選C．8．(2024·四川南充模擬)若直線l：y＝kx＋1被圓C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短，則直線l的方程是(D)A．x＝0 B．y＝1C．x＋y－1＝0 D．x－y＋1＝0[解析]依題意，直線l：y＝kx＋1過定點P(0,1)．圓C：x2＋y2－2x－3＝0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋y2＝4.故圓心為C(1,0)，半徑為r＝2.則易知定點P(0,1)在圓內(nèi)．由圓的性質(zhì)可知當(dāng)PC⊥l時，此時直線l：y＝kx＋1被圓C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短．因為kPC＝eq\f(1－0,0－1)＝－1，所以直線l的斜率k＝1，即直線l的方程是x－y＋1＝0.二、多選題9．直線y＝kx＋3被圓(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦長為2eq\r(3)，則直線的傾斜角可能為(AD)A．eq\f(5π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3) D．eq\f(π,6)[解析]由題意可知，圓心P(2,3)，半徑r＝2，∴圓心P到直線y＝kx＋3的距離d＝eq\f(|2k|,\r(1＋k2))，由d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),2)))2＝r2，可得eq\f(4k2,1＋k2)＋3＝4，解得k＝±eq\f(\r(3),3).設(shè)直線的傾斜角為α，則tanα＝±eq\f(\r(3),3)，又α∈[0，π)，∴α＝eq\f(π,6)或eq\f(5π,6).10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2＋y2－4x＝0.若直線y＝k(x＋1)上存在一點P，使過P所作的圓的兩條切線相互垂直，則實數(shù)k的值可以是(AB)A．1 B．2C．3 D．4[解析]x2＋y2－4x＝0，∴(x－2)2＋y2＝4，∵過P所作的圓的兩條切線相互垂直，所以P、圓心C、兩切點構(gòu)成正方形，PC＝2eq\r(2)，由題意知，直線y＝k(x＋1)與以C為圓心，以2eq\r(2)為半徑的圓(x－2)2＋y2＝8相交，∴d＝eq\f(|2k－0＋k|,\r(1＋k2))≤2eq\r(2)，即－2eq\r(2)≤k≤2eq\r(2)，故選AB.11．(2024·山東德州期末)已知點A是直線l：x＋y－eq\r(2)＝0上肯定點，點P、Q是圓x2＋y2＝1上的動點，若∠PAQ的最大值為90°，則點A的坐標(biāo)可以是(AC)A．(0，eq\r(2)) B．(1，eq\r(2)－1)C．(eq\r(2)，0) D．(eq\r(2)－1,1)[解析]如下圖所示：原點到直線l距離為d＝eq\f(\r(2),\r(12＋12))＝1，則直線l與圓x2＋y2＝1相切，由圖可知，當(dāng)AP、AQ均為圓x2＋y2＝1的切線時，∠PAQ取得最大值，連接OP、OQ，由于∠PAQ的最大值為90°，且∠APO＝∠AQO＝90°，|OP|＝|OQ|＝1，則四邊形APOQ為正方形，所以|OA|＝eq\r(2)|OP|＝eq\r(2)，由兩點間的距離公式得設(shè)A(t，eq\r(2)－t)|OA|＝eq\r(t2＋\r(2)－t2)＝eq\r(2)，整理得2t2－2eq\r(2)t＝0，解得t＝0或eq\r(2)，因此，點A的坐標(biāo)為(0，eq\r(2))或(eq\r(2)，0)，故選AC．三、填空題12．(2024·福建廈門質(zhì)檢)過點(1，eq\r(3))的直線l被圓x2＋y2＝8截得的弦長為4，則l的方程為x＋eq\r(3)y－4＝0.[解析]當(dāng)直線l的斜率不存在時，明顯不滿意題意，當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y－eq\r(3)＝k(x－1)，即kx－y－k＋eq\r(3)＝0，∵4＝2eq\r(8－d2)?d＝2，∴2＝eq\f(|－k＋\r(3)|,\r(1＋k2))?k＝－eq\f(\r(3),3)，∴l(xiāng)的方程為x＋eq\r(3)y－4＝0.13．自圓外一點P作圓x2＋y2＝1的兩條切線PM，PN(M，N為切點)，若∠MPN＝90°，則動點P的軌跡方程是x2＋y2＝2.[解析]由題意知四邊形OMPN是正方形，所以|OP|＝eq\r(2)，于是點P的軌跡是圓心在原點，半徑為eq\r(2)的圓，其方程是x2＋y2＝2.14．(2024·高考浙江)已知直線y＝kx＋b(k>0)與圓x2＋y2＝1和圓(x－4)2＋y2＝1均相切，則k＝eq\f(\r(3),3)，b＝－eq\f(2\r(3),3).[解析]解法一：由直線與圓相切的充要條件知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(|b|,\r(k2＋1))＝1，,\f(|4k＋b|,\r(k2＋1))＝1))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|b|＝|4k＋b|,|b|＝\r(k2＋1)))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝\f(\r(3),3)舍非正數(shù)，,b＝－\f(2\r(3),3).))解法二：如圖所示．由圖易知，直線y＝kx＋b經(jīng)過點(2,0)，且傾斜角為30°，從而k＝eq\f(\r(3),3)，且0＝eq\f(2\r(3),3)＋b?b＝－eq\f(2\r(3),3).四、解答題15．一個圓與y軸相切，圓心在直線x－3y＝0上，且在直線y＝x上截得的弦長為2eq\r(7)，求此圓的方程．[解析]解法一：∵所求圓的圓心在直線x－3y＝0上，且與y軸相切，∴設(shè)所求圓的圓心為C(3a，a)，半徑為r＝3|a|.又圓在直線y＝x上截得的弦長為2eq\r(7)，圓心C(3a，a)到直線y＝x的距離為d＝eq\f(|3a－a|,\r(12＋12)).∴有d2＋(eq\r(7))2＝r2.即2a2＋7＝9a2，∴a＝±1.故所求圓的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.解法二：設(shè)所求的圓的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，則圓心(a，b)到直線x－y＝0的距離為eq\f(|a－b|,\r(2)).∴r2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|a－b|,\r(2))))2＋(eq\r(7))2.即2r2＝(a－b)2＋14. ①由于所求的圓與y軸相切，∴r2＝a2. ②又因為所求圓心在直線x－3y＝0上，∴a－3b＝0. ③聯(lián)立①②③，解得a＝3，b＝1，r2＝9或a＝－3，b＝－1，r2＝9.故所求的圓的方程是(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.解法三：設(shè)所求的圓的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半徑為eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F).令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0.由圓與y軸相切，得Δ＝0，即E2＝4F. ④又圓心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))到直線x－y＝0的距離為eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)＋\f(E,2))),\r(2))，由已知，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)＋\f(E,2))),\r(2))))2＋(eq\r(7))2＝r2，即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)． ⑤又圓心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))在直線x－3y＝0上，∴D－3E＝0. ⑥聯(lián)立④⑤⑥，解得D＝－6，E＝－2，F(xiàn)＝1或D＝6，E＝2，F(xiàn)＝1.故所求圓的方程是x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0即(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.B組實力提升1．(2024·河南中原名校聯(lián)盟第三次聯(lián)考)設(shè)圓x2＋y2－2x－2y－2＝0的圓心為C，直線l過(0,3)，且與圓C交于A，B兩點，若|AB|＝2eq\r(3)，則直線l的方程為(D)A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0B．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0C．4x－3y＋9＝0或x＝0D．3x＋4y－12＝0或x＝0[解析]圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4，由|AB|＝2eq\r(3)知，圓心(1,1)到直線l的距離為1，當(dāng)直線l的斜率不存在，即直線l的方程為x＝0時，符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y－3＝k(x－0)，即kx－y＋3＝0，由eq\f(|k＋2|,\r(k2＋1))＝1得k＝－eq\f(3,4)，此時直線l的方程為3x＋4y－12＝0，故選D.2．(2024·河南名校聯(lián)盟質(zhì)檢)已知圓C：(x－eq\r(3))2＋(y－1)2＝1和兩點A(－t,0)，B(t,0)(t＞0)，若圓C上存在點P，使得∠APB＝90°，則t的取值范圍是(D)A．(0,2] B．[1,2]C．[2,3] D．[1,3][解析]滿意∠APB＝90°的點P的軌跡為x2＋y2＝t2，所以圓x2＋y2＝t2與圓C有公共點，所以|t－1|≤eq\r(\r(3)2＋12)≤t＋1，解得1≤t≤3.故選D.3．(2024·湖北武漢襄陽荊門宜昌四地六校考試聯(lián)盟聯(lián)考)已知圓O：x2＋y2＝1上恰有兩個點到直線l：y＝kx＋1的距離為eq\f(1,2)，則直線l的傾斜角的取值范圍為(B)A．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3))) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))[解析]明顯直線l過⊙O上定點(0,1)，由題意可知圓心到直線l的距離大于eq\f(1,2)，即eq\f(1,\r(k2＋1))>eq\f(1,2)，解得－eq\r(3)<k<eq\r(3)，∴直線l的傾斜角α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))，故選B.4．(2024·山西適應(yīng)性考試)從直線l：3x＋4y＝10上的動點P作圓x2＋y2＝1的兩條切線，切點為C，D，則四邊形OCPD(O為坐標(biāo)原點)面積的最小值是(A)A．eq\r(3) B．eq\r(2)C．1 D．2[解析]∵圓x2＋y2＝1的圓心為O(0,0)，半徑r＝1，當(dāng)點P與圓心的距離最小時，切線長PC、PD最小，此時四邊形OCPD的面積最小，∴圓心到直線3x＋4y＝10的距離d＝eq\f(|10|,\r(32＋42))＝2，∴|PC|＝|PD|＝eq\r(d2－r2)＝eq\r(3)，∴四邊形OCPD的面積S＝2×eq\f(1,2)|PC|r＝eq\r(3).故選：A.5．(2024·河南洛陽統(tǒng)測)已知圓C：(x－a)2＋y2＝4(a≥2)與直線x－y＋2eq\r(2)－2＝0相切，則圓C與直線x－y－4＝0相交所得弦長為(D)A．1 B．eq\r(2)C．2 D．2eq\r(2)[解析]因為圓C：(x－a)2＋y2＝4(a≥2)與直線x－y＋2eq\r(2)－2＝0相切，所以d＝eq\f(|a＋2\r(2)－2|,\r(2))＝r＝2，解得a＝2或a＝2－4eq\r(2)，因為a≥