2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)練案19第三章三角函數(shù)解三角形第一講任意角和蝗制及任意角的三角函數(shù)含解析新人教版

第三章三角函數(shù)、解三角形第一講隨意角和弧度制及隨意角的三角函數(shù)A組基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．將表的分針撥慢10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)是(A)A.eq\f(π,3) B．eq\f(π,6)C．－eq\f(π,3) D．－eq\f(π,6)[解析]將表的分針撥慢應(yīng)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，故選項C，D不正確，∵撥慢10分鐘，∴轉(zhuǎn)過的角度應(yīng)為圓周的eq\f(2,12)＝eq\f(1,6)，即為eq\f(1,6)×2π＝eq\f(π,3).2．點(diǎn)P(cos2022°，sin2022°)所在的象限是(C)A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限[解析]因?yàn)?022°＝360°×5＋222°，所以2022°與222°終邊相同，是第三象限角．所以cos2022°<0，sin2022°<0，所以點(diǎn)P在第三象限．3．(2024·河南省駐馬店市期末)已知點(diǎn)P(tanα，cosα)在第三象限，則角α的終邊在(B)A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限[解析]因?yàn)辄c(diǎn)P(tanα，cosα)在第三象限，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(tanα<0,cosα<0))，所以α為其次象限角，故選B.4．(2024·福建莆田二十四中月考)一個扇形的弧長與面積的數(shù)值都是6，則這個扇形的圓心角的弧度數(shù)是(C)A．1 B．2C．3 D．4[解析]設(shè)扇形的圓心角的弧度數(shù)為θ，半徑為R.由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(θR＝6，,\f(1,2)θR2＝6.))解得θ＝3，即扇形的圓心角的弧度數(shù)是3.故選C.5．在△ABC中，若sinA·cosB·tanC<0，則△ABC的形態(tài)是(B)A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．直角三角形 D．不能確定[解析]∵△ABC中每個角都在(0，π)內(nèi)，∴sinA>0.∵sinA·cosB·tanC<0，∴cosB·tanC<0.若B，C同為銳角，則cosB·tanC>0.∴B，C中必定有一個鈍角．∴△ABC是鈍角三角形．故選B.6．集合{α|kπ＋eq\f(π,4)≤α≤kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}中的角所表示的范圍(陰影部分)是(C)[解析]當(dāng)k＝2n(n∈Z)時，2nπ＋eq\f(π,4)≤α≤2nπ＋eq\f(π,2)，此時α表示的范圍與eq\f(π,4)≤α≤eq\f(π,2)表示的范圍一樣；當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時，2nπ＋π＋eq\f(π,4)≤α≤2nπ＋π＋eq\f(π,2)，此時α表示的范圍與π＋eq\f(π,4)≤α≤π＋eq\f(π,2)表示的范圍一樣，結(jié)合圖形知選C.7．已知角α的終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2π,3)，cos\f(2π,3)))，則角α的最小正值為(D)A.eq\f(5π,6) B．eq\f(2π,3)C．eq\f(5π,3) D．eq\f(11π,6)[解析]由題意知點(diǎn)P在第四象限，依據(jù)三角函數(shù)的定義得cosα＝sineq\f(2π,3)＝eq\f(\r(3),2)，故α＝2kπ－eq\f(π,6)(k∈Z)，所以α的最小正值為eq\f(11π,6).8．已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4eq\r(3)，1)，將OA繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)eq\f(π,3)至OB，則點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為(D)A.eq\f(3\r(3),2) B．eq\f(5\r(3),2)C．eq\f(11,2) D．eq\f(13,2)[解析]由點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4eq\r(3)，1)，可知OA繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)eq\f(π,3)至OB，則OB邊仍在第一象限．故可設(shè)直線OA的傾斜角為α，B(m，n)(m>0，n>0)，則直線OB的傾斜角為eq\f(π,3)＋α.因?yàn)锳(4eq\r(3)，1)，所以tanα＝eq\f(1,4\r(3))，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))＝eq\f(n,m)，eq\f(n,m)＝eq\f(\r(3)＋\f(1,4\r(3)),1－\r(3)·\f(1,4\r(3)))＝eq\f(13,3\r(3))，即m2＝eq\f(27,169)n2，因?yàn)閙2＋n2＝(4eq\r(3))2＋12＝49，所以n2＋eq\f(27,169)n2＝49，所以n＝eq\f(13,2)或n＝－eq\f(13,2)(舍去)，所以點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為eq\f(13,2).二、多選題9．(2024·北京平谷二模改編)若角α的終邊在其次象限，則下列三角函數(shù)值中小于0的是(ABC)A．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2))) B．coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))C．sin(π＋α) D．cos(π＋α)[解析]本題考查三角函數(shù)值符號的推斷．因?yàn)榻铅恋慕K邊在其次象限，則sinα>0，cosα<0，故sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝cosα<0，A正確；coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝－sinα<0，B正確；sin(π＋α)＝－sinα<0，C正確；cos(π＋α)＝－cosα>0，D不正確，故選ABC.10．(2024·吉林長春一般中學(xué)模擬改編)若角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸的非負(fù)半軸上，終邊在直線x＋y＝0上，則角α的取值集合是(AD)A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ－\f(π,4)，或α＝2kπ＋\f(3π,4)，k∈Z))B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ＋\f(3π,4)，k∈Z))))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝kπ－\f(π,4)，k∈Z))))[解析]因?yàn)橹本€x＋y＝0的傾斜角是eq\f(3π,4)，所以終邊落在直線x＋y＝0上的角的取值集合為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ－\f(π,4)))))或α＝2kπ＋eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，k∈Z))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝kπ－\f(π,4)，k∈Z)))).故選A、D.三、填空題11．在與2010°終邊相同的角中，肯定值最小的角的弧度數(shù)為－eq\f(5π,6)．[解析]∵2010°＝eq\f(67π,6)＝12π－eq\f(5π,6)，∴與2010°終邊相同的角中肯定值最小的角的弧度數(shù)為－eq\f(5π,6).12．在直角坐標(biāo)系xOy中，O是原點(diǎn)，A(eq\r(3)，1)，將點(diǎn)A繞O逆時針旋轉(zhuǎn)90°到B點(diǎn)，則B點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，eq\r(3))．[解析]依題意知OA＝OB＝2，∠AOx＝30°，∠BOx＝120°，設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為(x，y)，所以x＝2cos120°＝－1，y＝2sin120°＝eq\r(3)，即B(－1，eq\r(3))．13．一扇形是從一個圓中剪下的一部分，半徑等于圓半徑的eq\f(2,3)，面積等于圓面積的eq\f(5,27).則扇形的弧長與圓的周長之比為eq\f(5,18)．[解析]設(shè)圓的半徑為r，則扇形的半徑為eq\f(2r,3)，記扇形的圓心角為α，則eq\f(\f(1,2)α\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2r,3)))\s\up12(2),πr2)＝eq\f(5,27)，所以α＝eq\f(5π,6).所以扇形的弧長與圓的周長之比為eq\f(l,c)＝eq\f(\f(5π,6)·\f(2r,3),2πr)＝eq\f(5,18).14．函數(shù)y＝eq\r(sinx)＋eq\r(\f(1,2)－cosx)的定義域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋2kπ，π＋2kπ))(k∈Z)．[解析]由題意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinx≥0，,\f(1,2)－cosx≥0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinx≥0，,cosx≤\f(1,2).))由滿意上述不等式組的三角函數(shù)線，得x的取值范圍為eq\f(π,3)＋2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z.B組實(shí)力提升1．(2024·河北石家莊模擬)已知角α(0°≤α<360°)終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為(sin150°，cos150°)，則α＝(C)A．150° B．135°C．300° D．60°[解析]sin150°＝eq\f(1,2)>0，cos150°＝－eq\f(\r(3),2)<0，角α終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))，故該點(diǎn)在第四象限，由三角函數(shù)的定義得sinα＝－eq\f(\r(3),2)，又0°≤α<360°，所以角α為300°，故選C.2．(2024·唐山模擬)函數(shù)f(x)＝eq\f(sinx,|sinx|)＋eq\f(cosx,|cosx|)＋eq\f(tanx,|tanx|)的值域?yàn)?D)A．{3，2，1} B．{－1，2，1}C．{－1，0，1} D．{－1，3}[解析]由sinx≠0，cosx≠0，知x終邊不在坐標(biāo)軸上，若x為第一象限角，f(x)＝eq\f(sinx,sinx)＋eq\f(cosx,cosx)＋eq\f(tanx,tanx)＝3.若x為其次象限角，f(x)＝eq\f(sinx,sinx)＋eq\f(cosx,－cosx)＋eq\f(tanx,－tanx)＝－1.若x為第三象限角，f(x)＝eq\f(sinx,－sinx)＋eq\f(cosx,－cosx)＋eq\f(tanx,tanx)＝－1.若x為第四象限角，f(x)＝eq\f(sinx,－sinx)＋eq\f(cosx,cosx)＋eq\f(tanx,－tanx)＝－1.故選D.3．(2024·河南省洛陽市高三統(tǒng)考)已知角α的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，終邊過點(diǎn)P(3，4)，則eq\f(sinα＋2cosα,sinα－cosα)＝(A)A．10 B．eq\f(1,10)C．5 D．eq\f(1,5)[解析]依據(jù)角α的終邊過P(3，4)，利用三角函數(shù)的定義，得tanα＝eq\f(4,3)，所以有eq\f(sinα＋2cosα,sinα－cosα)＝eq\f(tanα＋2,tanα－1)＝eq\f(\f(4,3)＋2,\f(4,3)－1)＝eq\f(\f(10,3),\f(1,3))＝10.故選A.4．(2024·廣東廣州花都模擬)《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表，是《算經(jīng)十書》中最重要的一種，其中《方田》章有弧田面積計算問題，計算術(shù)曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是，弧田面積的計算公式為弧田面積＝eq\f(1,2)(弦×矢＋矢×矢)．弧田是由圓弧(簡稱為弧田弧)和以圓弧的端點(diǎn)為端點(diǎn)的線段(簡稱為弧田弦)圍成的平面圖形，公式中“弦”指的是弧田弦的長，“矢”等于弧田弧所在圓的半徑與圓心到弧田弦的距離之差．現(xiàn)有一弧田，其弦長AB等于6m，其弧所在圓為圓O，若用上述弧田面積計算公式算得該弧田的面積為eq\f(7,2)m2，則cos∠AOB＝(D)A.eq\f(1,25) B．eq\f(3,25)C．eq\f(1,5) D．eq\f(7,25)[解析]設(shè)矢為xm，則由弧田面積公式得eq\f(7,2)＝eq\f(1