2025屆黑龍江省雞西市一中高二數(shù)學第一學期期末質量檢測模擬試題含解析

2025屆黑龍江省雞西市一中高二數(shù)學第一學期期末質量檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知呈線性相關的變量x與y的部分數(shù)據(jù)如表所示：若其回歸直線方程是，則（）x24568y34.5m7.59A.6.5 B.6C.6.1 D.72．已知函數(shù)，若對任意，都有成立，則a的取值范圍為（）A. B.C. D.3．直線的傾斜角為（）A.0 B.C. D.4．函數(shù)的圖象如圖所示，是f(x)的導函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是（）A B.C. D.5．將一枚骰子連續(xù)拋兩次，得到正面朝上的點數(shù)分別為、，記事件A為“為偶數(shù)”，事件B為“”，則的值為（）A. B.C. D.6．已知雙曲線的焦點在y軸上，且實半軸長為4，虛半軸長為5，則雙曲線的標準方程為（）A.＝1 B.＝1C.＝1 D.＝17．已知向量，，且，則實數(shù)等于（）A.1 B.2C. D.8．如圖，已知多面體，其中是邊長為4的等邊三角形，四邊形是矩形，，平面平面，則點到平面的距離是（）A. B.C. D.9．已知是邊長為6的等邊所在平面外一點，，當三棱錐的體積最大時，三棱錐外接球的表面積為（）A. B.C. D.10．在一個正方體中，為正方形四邊上的動點，為底面正方形的中心，分別為中點，點為平面內一點，線段與互相平分，則滿足的實數(shù)的值有A.0個 B.1個C.2個 D.3個11．下列直線中，與直線垂直的是（）A. B.C. D.12．已知數(shù)列中，，()，則（）A. B.C. D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，則雙曲線的離心率為___________.14．設橢圓標準方程為，則該橢圓的離心率為______15．已知直線與圓交于兩點，則面積的最大值為__________.16．已知水平放置的是按“斜二測畫法”得到如下圖所示的直觀圖，其中，，則原的面積為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知（1）若函數(shù)在上有極值，求實數(shù)a的取值范圍；（2）已知方程有兩個不等實根，證明：（注：是自然對數(shù)的底數(shù)）18．（12分）各項都為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求；（3）設，數(shù)列的前項和為，求使成立的的最小值.19．（12分）已知，，（1）若，為真命題，為假命題，求實數(shù)x的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍20．（12分）在平面直角坐標系中，已知直線(t為參數(shù)).以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的直角坐標方程；（2）設點的直角坐標為，直線與曲線的交點為，求的值.21．（12分）如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，，M，N分別為AB和PC的中點（1）求證：MN//平面PAD；（2）求平面MND與平面PAD的夾角的余弦值22．（10分）已知橢圓過點，離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設直線與橢圓相交于A、B兩點，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)回歸直線過樣本點的中心進行求解即可.【詳解】由題意可得，，則，解得故選：A.2、C【解析】求出函數(shù)的導數(shù)，再對給定不等式等價變形，分離參數(shù)借助均值不等式計算作答.【詳解】對函數(shù)求導得：，，，則，，而，當且僅當，即時“=”，于是得，解得，所以a的取值范圍為.故選：C【點睛】關鍵點睛：涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價轉化，構造函數(shù)，利用函數(shù)思想是解決問題的關鍵.3、D【解析】根據(jù)斜率與傾斜角的關系求解即可.【詳解】由題的斜率，故傾斜角的正切值為，又，故.故選：D.4、A【解析】結合導數(shù)的幾何意義確定正確選項.【詳解】，表示兩點連線斜率，表示在處切線的斜率；表示在處切線的斜率；根據(jù)圖象可知，.故選：A5、B【解析】利用條件概率的公式求解即可.【詳解】根據(jù)題意可知，若事件為“為偶數(shù)”發(fā)生，則、兩個數(shù)均為奇數(shù)或均為偶數(shù)，其中基本事件數(shù)為，，，，，，，，，，，，，，，，，，一共個基本事件，∴,而A、同時發(fā)生，基本事件有當一共有9個基本事件，∴，則在事件A發(fā)生的情況下，發(fā)生的概率為,故選:6、D【解析】根據(jù)雙曲線的性質求解即可.【詳解】雙曲線的焦點在y軸上，且實半軸長為4，虛半軸長為5，可得a＝4，b＝5，所以雙曲線方程為：＝1.故選：D.7、C【解析】利用空間向量垂直的坐標表示計算即可得解【詳解】因向量，，且，則，解得，所以實數(shù)等于.故選：C8、C【解析】利用面面垂直性質結合已知尋找兩兩垂直的三條直線建立空間直角坐標系，用向量法可解.【詳解】取的中點O，連接OB，過O在平面ACDE面內作交DE于F∵平面平面ABC，平面ACDE平面ABC=AC，平面ACDE，∴平面ABC∴∵是邊長為4的等邊三角形，四邊形ACDE是矩形，∴以O為原點，OA，OB，OF分別為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系則，，，設平面ABD的單位法向量，，由解得取，則∴點C到平面ABD的距離.故選：C9、C【解析】由題意分析可得，當時三棱錐的體積最大，然后作圖，將三棱錐還原成正三棱柱，按照正三棱柱外接球半徑的計算方法來計算，即可計算出球半徑，從而完成求解.【詳解】由題意可知，當三棱錐的體積最大時是時，為正三角形，如圖所示，將三棱錐補成正三棱柱，該正三棱柱的外接球就是三棱錐的外接球，而正三棱柱的外接球球心落在上下底面外接圓圓心連線的中點上，設外接圓半徑為，三棱錐外接球半徑為，由正弦定理可得：，所以，，所以三棱錐外接球的表面積為.故選：C.10、C【解析】因為線段D1Q與OP互相平分，所以四點O，Q，P，D1共面，且四邊形OQPD1為平行四邊形．若P在線段C1D1上時，Q一定在線段ON上運動，只有當P為C1D1的中點時，Q與點M重合，此時λ＝1，符合題意若P在線段C1B1與線段B1A1上時，在平面ABCD找不到符合條件Q；在P在線段D1A1上時，點Q在直線OM上運動，只有當P為線段D1A1的中點時，點Q與點M重合，此時λ＝0符合題意，所以符合條件的λ值有兩個故選C.11、C【解析】，，若，則，項，符合條件，故選12、A【解析】由已知條件求出，可得數(shù)是以3為周期的周期數(shù)列，從而可得，進而可求得答案【詳解】因為，()，所以，所以數(shù)列的周期為3，，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】利用雙曲線的漸近線的傾斜角，求解，關系，然后求解離心率，即可求解.【詳解】雙曲線一條漸近線的傾斜角為，可得，所以，所以雙曲線的離心率為.故答案為：2.14、##【解析】求出、的值，即可求得橢圓的離心率.【詳解】在橢圓中，，，則，因此，該橢圓的離心率為.故答案為：.15、##【解析】先求出的范圍，再利用面積公式可求面積的最大值.【詳解】圓即為，直線為過原點的直線，如圖，連接，故，解得，此時，故的面積為，當且僅當時等號成立，此時即，故答案為：.16、【解析】根據(jù)直觀圖畫出原圖，再根據(jù)三角形面積公式計算可得.【詳解】解：依題意得到直觀圖的原圖如下：且，所以故答案為：【點睛】本題考查斜二測畫法中原圖和直觀圖面積之間的關系，屬于基礎題三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析.【解析】（1）利用導數(shù)判斷出在上單增，在上單減，在處取得唯一的極值，列不等式組，即可求出實數(shù)a的取值范圍；（2）記函數(shù)，把證明，轉化為只需證明，用分析法證明即可.【小問1詳解】，定義域為，.令，解得：；令，解得：所以在上單增，在上單減，在處取得唯一的極值.要使函數(shù)在上有極值，只需，解得：，即實數(shù)a的取值范圍為.【小問2詳解】記函數(shù).則函數(shù)有兩個不等實根.因為，，兩式相減得，，兩式相加得，.因為，所以要證，只需證明，只需證明，只需證明，.證.設，只需證明.記，則，所以在上2單增，所以，所以，即，所以.即證.【點睛】導數(shù)是研究函數(shù)的單調性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系；(2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，判斷單調性；已知單調性，求參數(shù)；(3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題；(4)利用導數(shù)證明不等式18、（1）（2）（3）【解析】（1）直接利用數(shù)列的遞推關系式，結合等差數(shù)列的定義，即可求得數(shù)列的通項公式；（2）化簡，結合裂項相消法求出數(shù)列的和；（3）利用分組法求得，結合，即可求得的最小值.【小問1詳解】解：因為各項都為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且滿足，當時，解得；當時，；兩式相減可得，整理得（常數(shù)），故數(shù)列是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列；所以.【小問2詳解】解：由，可得，所以，所以.【小問3詳解】解：由，可得，所以當為偶數(shù)時，，因為，且為偶數(shù)，所以的最小值為48；當為奇數(shù)時，，不存在最小的值，故當為48時，滿足條件.19、（1）；（2）【解析】(1)化簡命題p，將m=3代入求出命題q，再根據(jù)或、且連接的命題真假確定p，q真假即可得解；(2)由給定條件可得p是q的必要不充分條件，再列式計算作答.【詳解】(1)依題意，：，當時，：，因為真命題，為假命題，則與一真一假，當真假時，即且或，無解，當假真時，即或且，解得或，綜上得：或，所以實數(shù)x的取值范圍是；(2)因是的充分不必要條件，則p是q的必要不充分條件，于是得，解得，所以實數(shù)m的取值范圍是20、（1）；（2）3.【解析】（1）把展開得，兩邊同乘得,再代極坐標公式得曲線的直角坐標方程.（2）將代入曲線C的直角坐標方程得，再利用直線參數(shù)方程t的幾何意義和韋達定理求解.【詳解】（1）把展開得，兩邊同乘得①將代入①，即得曲線的直角坐標方程為②（2）將代入②式，得，點M的直角坐標為（0，3），設這個方程的兩個實數(shù)根分別為t1，t2，則∴t1＜0，t2＜0則由參數(shù)t的幾何意義即得.【點睛】本題主要考查極坐標和直角坐標的互化、直線參數(shù)方程t的幾何意義，屬于基礎題.21、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）在平面中構造與平行的直線，利用線線平行推證線面平行即可；（2）以為坐標原點建立空間直角坐標系，分別求得兩個平面的法向量，利用向量法即可求得兩個平面夾角的余弦值.【小問1詳解】取中點為，連接，如下所示：因為為正方形，為中點，故可得//；在△中，因為分別為的中點，故可得//；故可得//，則四邊形為平行四邊形，即//，又面面，故//面.【小問2詳解】因為面面，故可得，又底面為正方形，故可得，則兩兩垂直；故以為坐標原點，以分別為軸建立空間直角坐標系如下所示：故可得，設平面的法