清單12實(shí)數(shù)（2個考點(diǎn)梳理11種題型解讀提升訓(xùn)練）

清單12實(shí)數(shù)（2個考點(diǎn)梳理+11種題型解讀+提升訓(xùn)練）【知識導(dǎo)圖】【知識清單】考點(diǎn)一無理數(shù)無理數(shù)的概念：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).【擴(kuò)展】有理數(shù)與無理數(shù)的區(qū)別：1）概念不同：任何有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)也都是有理數(shù).而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)小數(shù).2）表示形式：有理數(shù)可以化成分?jǐn)?shù)，無理數(shù)不能化成分?jǐn)?shù).常見的無理數(shù)類型：1）一般的無限不循環(huán)小數(shù)，如：1.41421234¨···2）看似循環(huán)而實(shí)際不循環(huán)的小數(shù)，如0.2020020002···(相鄰兩個2之間0的個數(shù)逐次加1).3）有特定意義的數(shù)，如：π4)開方開不盡的數(shù).如：3,【考試題型1】判斷無理數(shù)1．（2023上·吉林長春·八年級統(tǒng)考期末）在下列實(shí)數(shù)中，無理數(shù)是（

）A．0 B．14 C．2 D．【答案】C【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)．理解無理數(shù)的概念，一定要同時理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．由此即可判定選擇項(xiàng)．【詳解】解：A、0是有理數(shù)，故不合題意；B、14C、2是無理數(shù)，故符合題意；D、-6是有理數(shù)，故不合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：π，2π等；開方開不盡的數(shù)；以及像0.1010010001…，等有這樣規(guī)律的數(shù)．2．（2023上·湖南張家界·八年級統(tǒng)考期末）在實(shí)數(shù)-227，3-8，0，27，π3，3.1415，A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)，理解無理數(shù)的概念，一定要同時理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，由此即可判定．【詳解】解：3-827，π3，0.2121121112…故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：π,2π等；開方開不盡的數(shù)；以及像0.1010010001....，等數(shù)．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)．理解無理數(shù)的概念，一定要同時理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．【詳解】解：5、3.1415、196=14∴無理數(shù)有3個，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了無理數(shù)的識別，無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)，初中范圍內(nèi)常見的無理數(shù)有三類：①π類，如2π，π3等；②開方開不盡的數(shù)，如2，39等；③雖有規(guī)律但卻是無限不循環(huán)的小數(shù)，如0.1010010001??????（兩個1之間依次增加1【考試題型2】估算無理數(shù)1．（2023下·江蘇淮安·八年級統(tǒng)考期末）2023的值介于下列哪兩個整數(shù)之間（

）A．30，35 B．35，40 C．40，45 D．45，50【答案】C【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵402=1600，45∴40<2023故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查估算無理數(shù)的大小，掌握算術(shù)平方根的定義是正確解答的前提．2．（2023下·河南開封·八年級統(tǒng)考期末）如圖，數(shù)軸上表示5-1的點(diǎn)應(yīng)在(

A．線段AB上 B．線段BC上 C．線段CD上 D．線段DE上【答案】D【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)平方根的定義估算5-1【詳解】解：解：∵22=4，∴2<5<3，∴1<5-1<2∵數(shù)軸上的點(diǎn)D，E分別對應(yīng)的數(shù)是1，2，∴表示5-1的點(diǎn)應(yīng)在線段DE故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查估算無理數(shù)的大小，實(shí)數(shù)與數(shù)軸，掌握算術(shù)平方根的意義是正確解答的前提，估算出5-13．（2023下·重慶梁平·八年級統(tǒng)考期末）估計(jì)3+10的值應(yīng)在（

A．4和5之間 B．5和6之間 C．6和7之間 D．7和8之間【答案】C【分析】先判斷3<10<4，再同時加上【詳解】∵9<10<∴6<3+10故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查無理數(shù)的估值，找出與被開方數(shù)相鄰的兩個平方數(shù)是解題的關(guān)鍵．4．（2023下·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期末）整數(shù)a，滿足2<a<12，則a=【答案】2或3【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義估算無理數(shù)2、12的大小，進(jìn)而確定a的整數(shù)值．【詳解】解：∵1<2<2，3<12<4，而整數(shù)∴a=2或a=3，故答案為：2或3．【點(diǎn)睛】本題考查估算無理數(shù)的大小，掌握無理數(shù)的估算方法是正確解答的前提．5．（2023下·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期末）若m<23<m+1，且m為整數(shù)，則m的值為【答案】3【分析】估算出23【詳解】解：∵9<12<16，∴3<12∴3<23∴m=3，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查無理數(shù)的估算，估算出23【考試題型3】無理數(shù)整數(shù)部分或小數(shù)部分有關(guān)的計(jì)算1．（2023下·河北保定·八年級統(tǒng)考期末）m，n分別是6-5的整數(shù)部分和小數(shù)部分，則3m-n2A．3 B．3-5 C．5 D．【答案】D【分析】首先判斷出5的在2和3之間，則6-5在3和4之間，即6-5的整數(shù)部分m=3，則n=3-5，然后把m【詳解】解：∵2<∴-3<-5∴m=3，n=6-5-3=3-∴3m-=9-=65故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)式求值以及無理數(shù)的估算，同時考查了二次根式的乘法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵在于用正確的形式表示出6-52．（2023下·山東菏澤·八年級統(tǒng)考期末）閱讀下列材料，然后回答問題．在進(jìn)行二次根式運(yùn)算時，我們有時會碰上2323以上這種化簡的步驟叫作分母有理化．(1)化簡25(2)已知12-3的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，求【答案】(1)5(2)13-2【分析】（1）仿照題意進(jìn)行分母有理化即可；（2）將12-3進(jìn)行分母有理化為2+3，進(jìn)而可得12-3【詳解】（1）解：2===5（2）∵12-又∵1<3∴3<2+3∴12-3的整數(shù)部分為a=3，小數(shù)部分為則a【點(diǎn)睛】本題考查了分母有理化及無理數(shù)的估值，熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法法則和平方差公式是解決問題的關(guān)鍵．3．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）材料1：2.5的整數(shù)部分是2，小數(shù)部分是0.5，小數(shù)部分可以看成是2.5-2得來的，類比來看，2是無理數(shù)，而1<2<2，所以2的整數(shù)部分是1，于是可用2-1材料2：若10-122=a+b2，則有理數(shù)部分相等，無理數(shù)部分也相等，即a，b根據(jù)以上材料，完成下列問題：(1)17的整數(shù)部分是______，小數(shù)部分是_____；(2)3+3也是夾在相鄰兩個整數(shù)之間的，可以表示為a<3+3<b【答案】(1)4，17(2)3【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根的定義估算無理數(shù)17的大小即可；（2）根據(jù)算術(shù)平方根的定義估算無理數(shù)3+3的大小，確定a、b【詳解】（1）解：∵4<17∴17的整數(shù)部分為4，小數(shù)部分為17-4故答案為：4，17-4（2）∵1<3∴4<3+3∵3+3也是夾在相鄰兩個整數(shù)之間的，可以表示為a<3+∴a=4，b=5，∴a+b=9，∴a+b的算術(shù)平方根為9=3【點(diǎn)睛】本題考查估算無理數(shù)的大小，掌握算術(shù)平方根的性質(zhì)是正確解答的前提．4．（2023上·山東棗莊·八年級統(tǒng)考期末）已知a的平方根是±5，b的立方根是-2，c是12的整數(shù)部分；(1)直接寫出a、b、c的值；(2)若x是12的小數(shù)部分，求x12【答案】(1)a=25，b=-8，c=3(2)3【分析】（1）根據(jù)平方根、立方根以及估算無理數(shù)的大小即可求出a、b、c的值；（2）求出x(12【詳解】（1）解：∵a的平方根是±5，∴a=25；又∵b的立方根是-2，∴b=-8；又∵c是12的整數(shù)部分，而3<12∴c=3；∴a=25，b=-8，c=3；（2）∵3<12<4，x是∴x=12∴x(12+3)=(12∴x(12+3)的算術(shù)平方根為【點(diǎn)睛】本題考查平方根、立方根、估算無理數(shù)的大小，掌握平方根、算術(shù)平方根、立方根以及估算無理數(shù)的大小是解決問題的關(guān)鍵．考點(diǎn)二實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)的概念：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù).實(shí)數(shù)的分類：1.按屬性分類：2.按符號分類實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系（重點(diǎn)）：實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)，即每一個實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點(diǎn)表示．?dāng)?shù)軸上的每一個點(diǎn)都可以表示一個實(shí)數(shù)．實(shí)數(shù)大小比較的方法（常用）：1）平方法2）根號法3）求差法運(yùn)算順序：①先算乘方，再算乘除，最后算加減；②有括號先算括號里面的，再算括號外面的；先算小括號，再算中括號，最后算大括號．【考試題型4】實(shí)數(shù)的分類1．（2022上·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期末）把下列各數(shù)寫入相應(yīng)的集合內(nèi)：-21(1)有理數(shù)集合：{

…}(2)正實(shí)數(shù)集合：{

…}(3)無理數(shù)集合：{

…}(4)負(fù)實(shí)數(shù)集合：{

…}【答案】(1)-2120，9.18(2)3+18，-5，9.18，π(3)3+18，-5，π(4)-2120【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)的分類方法進(jìn)行解答即可．【詳解】（1）解：3+18=3+32，-有理數(shù)集合為：-21（2）解：正實(shí)數(shù)集合為：3+18（3）解：無理數(shù)集合為：3+18（4）解：負(fù)實(shí)數(shù)集合：-21【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)的分類，熟練掌握有理數(shù)、無理數(shù)的概念，是解題的關(guān)鍵．2．（2023上·廣東佛山·八年級?？计谥校⑾铝懈鲾?shù)的序號填入相應(yīng)的括號內(nèi)：①-25；②313；③0；④π2；⑤-8；⑥10%；⑦-27；⑧-1.12121112…負(fù)分?jǐn)?shù)集合：{___________________…）；整數(shù)集合：{___________________…）；正有理數(shù)集合：{___________________…）；無理數(shù)集合：{___________________…）．【答案】負(fù)分?jǐn)?shù)集合：{⑦，⑩）；整數(shù)集合：{①，③，⑤，⑨）；正有理數(shù)集合：{①，②，⑥，⑨）；無理數(shù)集合：{④，⑧）．【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)的分類，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)和無理數(shù)的定義：有理數(shù)是整數(shù)和分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱，無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)的統(tǒng)稱．【詳解】解：①-25是整數(shù)，是正有理數(shù)；②31③0是整數(shù)；④π2⑤-8是整數(shù)；⑥10%⑦-2⑧-1.12121112…是無理數(shù)；⑨2是整數(shù)，是正有理數(shù)；⑩-0.34∴負(fù)分?jǐn)?shù)集合：{⑦，⑩）；整數(shù)集合：{①，③，⑤，⑨）；正有理數(shù)集合：{①，②，⑥，⑨）；無理數(shù)集合：{④，⑧）．3．（2023上·河南南陽·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）把下列各數(shù)填在相應(yīng)的集合內(nèi)：227，7，-8，32，0.5，0，25

【答案】見解析【分析】整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，常見的無理數(shù)有：開不盡方的數(shù)，消不掉π的數(shù)，具有一定規(guī)律的無限不循環(huán)小數(shù)；據(jù)此判定即可．【詳解】解：227，0.5-8，0，257，32π3是消不掉π如圖所示．

【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的分類，掌握有理數(shù)的概念和常見的無理數(shù)的形式是解題的關(guān)鍵．【考試題型5】比較實(shí)數(shù)的大小1．（2023下·貴州黔南·八年級統(tǒng)考期末）下列實(shí)數(shù)中，比5大的數(shù)是（

）A．1 B．3 C．2 D．6【答案】D【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)的大小比較法則，逐項(xiàng)判斷即可求解．【詳解】解：∵4<5，∴1<2<5，故A，C∵3<5，∴3<5，故∵5<6，∴5<6，故故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)的大小比較，熟練掌握實(shí)數(shù)的大小比較法則是解題的關(guān)鍵．2．（2023下·江蘇蘇州·八年級統(tǒng)考期末）秦兵馬俑的發(fā)現(xiàn)被譽(yù)為“世界第八大奇跡”，兵馬俑的眼睛到下巴的距離與頭頂?shù)较掳偷木嚯x之比為5-12，下列各數(shù)中最接近于5-1A．25 B．12 C．35【答案】C【分析】先把5-12化成小數(shù)約為【詳解】解：∵5∵25=0.4，12=0.5∴0.4<0.5<0.6<0.618<0.75，而0.618-0.6=0.018，0.75-0.618=0.133，∵0.133>0.018∴0.6更接近0.75，即35更接近5故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)大小比較，估算無理數(shù)的大小，準(zhǔn)確熟練地估算無理數(shù)的大小是解題的關(guān)鍵．3．（2021上·山東菏澤·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）若a=3，b=-6，c=3A．a(chǎn)>b>c B．c>b>aC．b>a>c D．b>c>a【答案】D【分析】根據(jù)無理數(shù)的大小比較求解即可，先估算出3和365的取值范圍，再進(jìn)行比較即可得答案【詳解】a=3，b=-6，∵b=-6=6∴1<a<3∵∴4<∴4<c<5即b>c>a故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查無理數(shù)的估算，熟練掌握估算方法是解題關(guān)鍵.4．（2022上·江西南昌·八年級南昌市第三中學(xué)?？计谀?shí)數(shù)-3，-1，0，3中，最小的數(shù)是【答案】-【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)大小的比較方法進(jìn)行求解，只需比較兩個負(fù)數(shù)的大小即可．【詳解】解：∵-3=3，-1∴-3∴在實(shí)數(shù)-3，-1，0，3中，最小的數(shù)是-故答案為：-3【點(diǎn)睛】本題主要考查實(shí)數(shù)大小的比較，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正數(shù)大于負(fù)數(shù)和0，負(fù)數(shù)小于0，兩個負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的反而?。?．（2023上·河南周口·八年級?？计谀┍容^大?。?.115．（填“>”“<”或“=”）【答案】>【分析】首先比較出兩個數(shù)的平方的大小關(guān)系，然后再判斷原數(shù)的大小關(guān)系即可．【詳解】解：∵4.12=16.81，∵4.12∴4.1>故答案為：>．【點(diǎn)睛】此題主要考查了實(shí)數(shù)大小比較的方法，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：兩個正數(shù)，平方大的這個數(shù)就大．【考試題型6】與實(shí)數(shù)有關(guān)的計(jì)算1．（2023上·吉林長春·八年級統(tǒng)考期末）計(jì)算：1-3【答案】3【分析】先化簡絕對值，計(jì)算立方根，再算加減法．【詳解】解：1-==3【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握絕對值和立方根的計(jì)算方法．2．（2021下·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期中）計(jì)算：(1)2-(2)-1【答案】(1)3(2)1【分析】（1）先計(jì)算絕對值，然后合并同類二次根式即可；（2）先計(jì)算乘方、開算術(shù)平方根和開立方，再進(jìn)行加減運(yùn)算即可．【詳解】（1）解：2==3（2）-=-=1【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是要明確：在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行．另外，有理數(shù)的運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用．正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．3．（2022下·廣東廣州·七年級統(tǒng)考期末）計(jì)算：25+【答案】4+【分析】先利用算術(shù)平方根性質(zhì)，開立方，絕對值的代數(shù)意義進(jìn)行計(jì)算，然后從左向右依次計(jì)算，求出算式的值即可．【詳解】解：25=5-1+=4+3【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行．另外，有理數(shù)的運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用．4．（2022下·湖南長沙·七年級長沙麓山國際實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谀┯?jì)算：-12022【答案】2+【分析】利用絕對值的意義，實(shí)數(shù)的乘方法則和立方根及算術(shù)平方根的意義解答即可．【詳解】解：-1=1+3-3×=2+【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，絕對值的意義，實(shí)數(shù)的乘方法則和立方根及算術(shù)平方根的意義，正確利用上述法則與性質(zhì)解答是解題的關(guān)鍵．5．（2023上·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）計(jì)算：(1)3(2)40【答案】(1)-(2)5【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根，有理數(shù)的乘方，實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，然后合并同類二次根式即可求解．【詳解】（1）解：3==-111（2）解：原式=2=5【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，二次根式的加減運(yùn)算，熟練掌握以上運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【考試題型7】與實(shí)數(shù)運(yùn)算有關(guān)的新定義問題1．（2021上·北京·七年級?？计谥校┈F(xiàn)規(guī)定一種新運(yùn)算：a*b＝ba，如：16*2＝16＝4，則25*2﹣125*3＝【答案】0【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)以及立方根的性質(zhì)分別化簡，再利用有理數(shù)的加減運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【詳解】25*2﹣125*3＝25﹣3＝5﹣5＝0．故答案為：0．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)以及立方根的性質(zhì)，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．2．（2022上·陜西咸陽·八年級統(tǒng)考期中）現(xiàn)定義一個新運(yùn)算“※”，規(guī)定對于任意實(shí)數(shù)x，y，都有x※y=x+y+3xy+1，則【答案】8【分析】根據(jù)新運(yùn)算要求可知兩個數(shù)進(jìn)行新運(yùn)算等于這兩個數(shù)和的算術(shù)平方根，再加上這兩個數(shù)的乘積與1的和的立方根，再代入計(jì)算即可．【詳解】7※9=故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方根和立方根的計(jì)算，理解新定義是解題的關(guān)鍵．3．（2023上·四川達(dá)州·八年級四川省渠縣中學(xué)?？计谀τ谌我鈱?shí)數(shù)a、b，規(guī)定兩種運(yùn)算：a※b表示a2+b2的算術(shù)平方根，a☆b表示a+1×【答案】10【分析】根據(jù)新定義和算術(shù)平方根、立方根的定義分別求出5※12，2☆-8【詳解】解：∵52∴5※12=169∵2+1×∴2☆-8∴5※12+故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義，算術(shù)平方根和立方根，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．4．（2023上·四川宜賓·八年級統(tǒng)考期末）對于“新運(yùn)算”⊙與#有：a⊙b=a+ba-b，a#b=【答案】1【分析】根據(jù)題目中給出的信息，列出算式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：4#=4#=4#===1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是理解題意，列出相應(yīng)的算式，準(zhǔn)確計(jì)算．5．（2023上·浙江湖州·八年級統(tǒng)考期末）定義：對于任意實(shí)數(shù)a，b，關(guān)于☆的一種運(yùn)算如下a☆b=b-2a，例如5☆3-10=-7，-3☆5=5-(1)若2☆x<5，求x的取值范圍；(2)已知關(guān)于x的方程22x-1=x+7的解滿足m☆x<5，求【答案】(1)m>-1(2)x<9【分析】（1）利用題中定義的運(yùn)算將2☆x<5轉(zhuǎn)化為x-2×2<5，解不等式即可；（2）先解一元一次方程，求出x值，再代入m☆x<5，得到m☆3<5，然后利用題中定義的運(yùn)算將m☆3<5轉(zhuǎn)化為3-2m<5，解不等式即可．【詳解】（1）解：∵2☆x<5，∴x-2×2<5，∴x<9；（2）解：∵22x-1∴x=3，∵m☆x<5，∴m☆3<5，∴3-2m<5，∴-2m<2，∴m>-1．【點(diǎn)睛】本題考查新定義問題，解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題干定義的新運(yùn)算將問題轉(zhuǎn)化為解一元一次不等式．6．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）定義：不大于實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分，記作x，例如3.6=3，-3=-2，按此規(guī)定，若1-3xA．13<x≤1 B．13≤x<1 C．【答案】A【分析】根據(jù)所給的定義可知-1≤1-3x【詳解】解：由題意得，-1≤1-3x解得13故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，解一元一次不等式組，正確理解題意得到不等式組是解題的關(guān)鍵．7．（2023上·甘肅酒泉·八年級統(tǒng)考期末）若a※b=a-b-A．4 B．23 C．-4 D．【答案】D【分析】根據(jù)題中所給新定義運(yùn)算可進(jìn)行求解．【詳解】解：由a※3※2=3故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握實(shí)數(shù)的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．【考試題型8】程序設(shè)計(jì)與實(shí)數(shù)運(yùn)算1．有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如下，當(dāng)輸入的x為81時，輸出的y是（

）A．3 B．9 C．3 D．2【答案】A【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的概念進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵81=9，9=3，∴輸出的y等于3，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查的是算術(shù)平方根的計(jì)算，掌握一個非負(fù)數(shù)的正的平方根，即為這個數(shù)的算術(shù)平方根是解題的關(guān)鍵．2．有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如圖所示，當(dāng)輸入x為64時，輸出y的值是()A．4 B．34 C．3 D．【答案】B【分析】由圖中的程序知：輸入x的值后，當(dāng)3x是無理數(shù)時，y=3x;若3x的值是有理數(shù)，將3【詳解】解:解：由題意，得：x=64時,364=4,4是有理數(shù)，將4的值代入x中；當(dāng)x=4時，34故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，弄清程序的計(jì)算方法是解題關(guān)鍵．3．（2020上·浙江溫州·七年級統(tǒng)考期末）有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，流程如下：

當(dāng)輸入x的值為64時，輸出y的值是（

）A．2 B．22 C．2 D．【答案】C【分析】把64代入轉(zhuǎn)換器，根據(jù)要求計(jì)算，得到輸出的數(shù)值即可.【詳解】∵64=8，是有理數(shù)，∴繼續(xù)轉(zhuǎn)換，∵38=2∴繼續(xù)轉(zhuǎn)換，∵2的算術(shù)平方根是2，是無理數(shù)，∴輸出y=2，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查的是算術(shù)平方根的概念和性質(zhì)，一個正數(shù)的平方根有兩個，正的平方根是這個數(shù)的算術(shù)平方根；注意有理數(shù)和無理數(shù)的區(qū)別.【考試題型9】與實(shí)數(shù)運(yùn)算有關(guān)的規(guī)律探究題1．（2022下·湖北武漢·八年級武漢一初慧泉中學(xué)校考階段練習(xí)）若a1=1+112+122，aA．202120212022 B．202320222023 C．【答案】C【分析】先計(jì)算a1，a2，a3，???【詳解】解：∵a1=1+1+14=∴a=1×2+1=1+1=2022+1-1=2022+1-1=20222022故選C【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根和數(shù)字的變化類規(guī)律問題，分別計(jì)算出a1，a2，a3，???，2．（2022上·江蘇淮安·八年級統(tǒng)考期末）已知：1=13；3+5=23；7+9+11=33；13+15+17+19=【答案】8000【分析】由1=13；3+5=23；7+9+11=33；13+15+17+19=43【詳解】解：∵1=13；3+5=23；7+9+11=∴(n-1)n+1+(n-1)n+3+···+(n-1)n+2n-1=n3,∵381+383+385+???+419的第一個數(shù)為381,∴當(dāng)n=20時，(n-1)n+1=19×20+1=381,∴381+383+385+???+419是第20個運(yùn)算式，∴381+383+385+???+419=故答案為：8000【點(diǎn)睛】本題考查的是數(shù)的運(yùn)算規(guī)律的探究及規(guī)律的應(yīng)用，掌握“從具體到一般的探究方法及規(guī)律運(yùn)用”是解本題的關(guān)鍵.3．（2022下·山東濱州·八年級統(tǒng)考期末）觀察下列各式：1+112+12請利用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計(jì)算1+112【答案】2021【分析】直接根據(jù)已知數(shù)據(jù)變化規(guī)律，進(jìn)而將原式變形為1+1【詳解】由題意得：1+=1+=2021+(1-=2021+(1-1故答案為：20212021【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，規(guī)律性：數(shù)字的變化類，正確將原式變形是解題的關(guān)鍵．4．（2021上·湖南張家界·八年級統(tǒng)考期末）觀察下列等式：①3－22=（2－1）2②5－26=（3－2）2③7－212=（4－3）2…請你根據(jù)以上規(guī)律，寫出第5個等式．【答案】11-2【分析】觀察相同位置的數(shù)的變化方式，先得出左邊第一項(xiàng)和右邊的兩個被開方數(shù)，再得出左邊第二項(xiàng)的被開方數(shù)，即可求出答案．【詳解】因?yàn)榈仁阶筮叺谝豁?xiàng)依次增加2，所以第5個等式的第一項(xiàng)是11，因?yàn)榈仁接疫叺膬蓚€被開方數(shù)中，后一個數(shù)就是該等式的序號數(shù)，前一個數(shù)比后一個數(shù)大1，所以第5個等式的右邊的兩個被開方數(shù)分別是6和5，因?yàn)榈仁阶筮叺诙?xiàng)中的被開方數(shù)是等式右邊兩個根式的被開方數(shù)的積，所以這個數(shù)是30，觀察其余部分都相同，直接帶下來即可，所以第5個等式是11-230故答案為：11-230【點(diǎn)睛】此題屬于規(guī)律探究題，主要考查了數(shù)字的變化規(guī)律以及每個等式之中的數(shù)字之間的關(guān)系，要求學(xué)生注意觀察和推導(dǎo)，考查了學(xué)生分析與判斷的能力．【考試題型10】實(shí)數(shù)與數(shù)軸1．（2022·廣東深圳·深圳中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，已知正方形ABCD的面積為5，點(diǎn)A在數(shù)軸上，且表示的數(shù)為1．現(xiàn)以點(diǎn)A為圓心，以AB的長為半徑畫圓，所得圓和數(shù)軸交于點(diǎn)E（E在A的右側(cè)），則點(diǎn)E表示的數(shù)為（

）A．3.2 B．5+1 C．5-1 D【答案】B【分析】根據(jù)正方形的邊長是面積的算術(shù)平方根得AD=AE=5，結(jié)合A點(diǎn)所表示的數(shù)及AE間距離可得點(diǎn)E【詳解】解：∵正方形ABCD的面積為5，且AD=AE，∴AD=AE=5∵點(diǎn)A表示的數(shù)是1，且點(diǎn)E在點(diǎn)A的右側(cè)，∴點(diǎn)E表示的數(shù)為5+1故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸及兩點(diǎn)間距離，根據(jù)兩點(diǎn)間距離及點(diǎn)的位置判斷出點(diǎn)所表示的數(shù)是關(guān)鍵．2．（2021上·廣東深圳·八年級統(tǒng)考期末）實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上所對應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，則|3﹣b|+|a+3|+a2的值【答案】﹣2a﹣b【分析】直接利用數(shù)軸結(jié)合絕對值以及平方根的性質(zhì)化簡得出答案．【詳解】解：由數(shù)軸可得：a＜﹣3，0＜b＜3，故|3﹣b|+|a+3|+a＝3﹣b﹣（a+3）﹣a＝3﹣b﹣a﹣3﹣a＝﹣2a﹣b．故答案為：﹣2a﹣b．【點(diǎn)睛】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算以及實(shí)數(shù)與數(shù)軸，正確化簡各式是解題關(guān)鍵．3．（2022上·重慶·八年級重慶南開中學(xué)?？计谀?shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡：a-b2-3【答案】1-a/a+1【分析】根據(jù)數(shù)軸可得：a<0<b，從而得到a-b=b-a【詳解】解：根據(jù)題意得：a<0<b，∴a-b<0，∴a-b=b-a∴a-b2故答案為：1-a【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，算術(shù)平方根和立方根的性質(zhì)，熟練掌握實(shí)數(shù)與數(shù)軸，算術(shù)平方根和立方根的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2021·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A是數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)a的點(diǎn)．（1）用直尺和圓規(guī)在數(shù)軸上作出表示實(shí)數(shù)的2的點(diǎn)P；（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）利用數(shù)軸比較2和a的大小，并說明理由．【答案】（1）見解析；（2）a>2【分析】（1）利用勾股定理構(gòu)造直角三角形得出斜邊為2，再利用圓規(guī)畫圓弧即可得到點(diǎn)P．（2）在數(shù)軸上比較，越靠右邊的數(shù)越大．【詳解】解：（1）如圖所示，點(diǎn)P即為所求．（2）如圖所示，點(diǎn)A在點(diǎn)P的右側(cè)，所以a>【點(diǎn)睛】本題考查無理數(shù)與數(shù)軸上一一對應(yīng)的關(guān)系、勾股定理、尺規(guī)作圖法、熟練掌握無理數(shù)在數(shù)軸上的表示是關(guān)鍵．5．（2021上·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期末）如圖，一只螞蟻從點(diǎn)A沿數(shù)軸向右爬了2個單位長度到達(dá)點(diǎn)B，點(diǎn)A表示-2，設(shè)點(diǎn)B所表示的數(shù)為m（1）求m+1+（2）在數(shù)軸上還有C、D兩點(diǎn)分別表示實(shí)數(shù)c和d，且有2c+d與d+4互為相反數(shù)，求2c-3d的平方根．【答案】（1）2；（2）±4【分析】（1）先求出m＝2-2，進(jìn)而化簡|m＋1|＋|m?1|（2）根據(jù)相反數(shù)和非負(fù)數(shù)的意義，列方程求出c、d的值，進(jìn)而求出2c?3d的值，再求出2c?3d的平方根．【詳解】（1）由題意得：m＝2-2，則m＋1＞0，m?1＜0∴|m＋1|＋|m?1|＝m＋1＋1?m＝2；（2）∵2c+d與d+4互為相反數(shù)，∴2c+d+d+4=0，∴|2c＋d|＝0且d+4＝0，解得：c＝2，d＝?4，∴2c?3d＝16，∴2c?3d的平方根為±4．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)軸、相反數(shù)的定義，求絕對值，掌握求絕對值的法則以及絕對值與算術(shù)平方根的非負(fù)性，是解題的關(guān)鍵．【考試題型11】實(shí)數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用1．（2022下·江西上饒·七年級統(tǒng)考期末）如圖，將長方形分成四個區(qū)域，其中A，B兩正方形區(qū)域的面積分別是3和9.(1)A，B兩正方形的邊長各是多少？(2)求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留兩位小數(shù).參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，【答案】(1)正方形A和正方形B的邊長各是3，3(2)2.20【分析】（1）根據(jù)正方形面積等于邊長的平方求解即可；（2）根據(jù)陰影部分面積=最大的大長方形面積正方形A的面積正方形B的面積進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：∵正方形A和正方形B的面積分別為3和9，∴正方形A和正方形B的邊長各是3、（2）解：由題意得：S陰影【點(diǎn)睛】本題主要考查算術(shù)平方根的應(yīng)用，實(shí)數(shù)的混合計(jì)算的應(yīng)用，正確求出正方形A和正方形B的邊長是解題的關(guān)鍵．2．如圖1，有5個邊長為1的小正方形組成的紙片，可以把它剪拼成一個正方形．（1）拼成的正方形的面積是，邊長是；（2）仿照上面的做法，你能把下面這十個小正方形組成的圖形紙，剪開并拼成一個大正方形嗎？若能，在圖2中畫出拼接后的正方形，并求邊長；若不能，請說明理由．【答案】（1）5；5

（2）10【分析】（1）一共有5個小正方形，那么組成的大正方形的面積為5，邊長為5的算術(shù)平方根；（2）一共有10個小正方形，那么組成的大正方形的面積為10，邊長為10的算術(shù)平方根，在所給圖形中截取兩條長為10的且互相垂直的線段，進(jìn)而拼合即可．【詳解】（1）拼成的正方形的面積是：5，邊長為：5．（2）如圖所示，能，正方形的邊長為10．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的剪拼、勾股定理、正方形的面積和正方形的有關(guān)畫圖，巧妙地根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)畫出正方形是解此題的關(guān)鍵.3.定義：若a+b＝2，則稱a與b是關(guān)于1的平衡數(shù)．（1）①3與是關(guān)于1的平衡數(shù)；②4﹣x與是關(guān)于1的平衡數(shù)（用含x的代數(shù)式表示）．（2）若a＝2x2﹣3（x2+x）﹣4，b＝2x﹣[3x﹣（4x+x2）﹣2]，判斷a與b是否是關(guān)于1的平衡數(shù)，并說明理由．【答案】（1）①1，②x﹣2；（2）不是，見解析【分析】（1）①根據(jù)平衡數(shù)的定義，可得3與﹣1是關(guān)于1的平衡數(shù)，②4﹣x與x﹣2是關(guān)于1的平衡數(shù)；（2）將兩式相減得出a+b≠2，根據(jù)平衡數(shù)的定義，即可進(jìn)行判斷．【詳解】解：（1）①∵23=（﹣1），∴3與﹣1是關(guān)于1的平衡數(shù)；②∵2-(4-x)=x-2∴4﹣x與x﹣2是關(guān)于1的平衡數(shù)．故答案為：﹣1；x﹣2；（2）a＝2x2﹣3（x2+x）﹣4＝﹣x2﹣3x﹣4，b＝2x﹣[3x﹣（4x+x2）﹣2]＝x2+3x+2，a+b＝（﹣x2﹣3x﹣4）+（x2+3x+2）＝﹣2≠2．因此，a與b不是關(guān)于1的平衡數(shù)．【點(diǎn)睛】本題為材料理解題，理解平衡數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵．4（2022下·北京·七年級北京八十中?？计谥校罢f不完的2”探究活動，根據(jù)各探究小組的匯報，完成下列問題．(1)2到底有多大？下面是小欣探索2的近似值的過程，請補(bǔ)充完整：我們知道面積是2的正方形邊長是2，且2>1.4．設(shè)2由面積公式，可得x2+______因?yàn)閤值很小，所以x2更小，略去x2，得方程______，解得x≈____（保留到0.001），即2(2)怎樣畫出2？請一起參與小敏探索畫2過程．現(xiàn)有2個邊長為1的正方形，排列形式如圖（1），請把它們分割后拼接成一個新的正方形．要求：畫出分割線并在正方形網(wǎng)格圖（圖中每個小正方形的邊長均為1）中用實(shí)線畫出拼接成的新正方形．小敏同學(xué)的做法是：設(shè)新正方形的邊長為xx>0．依題意，割補(bǔ)前后圖形的面積相等，有x2=2，解得x=2．把圖（請參考小敏做法，現(xiàn)有5個邊長為1的正方形，排列形式如圖（3），請把它們分割后拼接成一個新的正方形．要求：畫出分割線并在正方形網(wǎng)格圖（4）中用實(shí)線畫出拼接成的新正方形．說明：直接畫出圖形，不要求寫分析過程．【答案】(1)2.8x+1.96，2.8x+1.96=2，0.014，1.414；(2)見解析【分析】（1）根據(jù)圖形中大正方形的面積列方程即可；（2）在網(wǎng)格中分別找到1×1和1×2的長方形，依次連接頂點(diǎn)即可．【詳解】（1）由面積公式，可得x∵x值很小，所以x2更小，略去x2，得方程2.8x+1.96=2，解得x≈0.014（保留到0.001），即故答案為：2.8x+1.96，2.8x+1.96=2，0.014，1.414；（2）小敏同學(xué)的做法，如圖：排列形式如圖（3），如圖：畫出分割線并在正方形網(wǎng)格圖（4）中用實(shí)線畫出拼接成的新正方形，如圖所示【點(diǎn)睛】本題考查了估算無理數(shù)的大小，考查數(shù)形結(jié)合的思想，根據(jù)正方形的面積求出帶根號的邊長是解題的關(guān)鍵．【提升練習(xí)】1．（2022·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）實(shí)數(shù)﹣2023的絕對值是（）A．2023 B．﹣2023 C．12023 D．【答案】A【分析】根據(jù)絕對值的代數(shù)意義即可得出答案．【詳解】解：因?yàn)樨?fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)，所以，﹣2023的絕對值等于2023．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值的代數(shù)意義，熟練掌握知識點(diǎn)是本題的關(guān)鍵．2．（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）估計(jì)54-4的值在（

A．6到7之間 B．5到6之間 C．4到5之間 D．3到4之間【答案】D【分析】根據(jù)49<54<64，得到7<54<8，進(jìn)而得到【詳解】解：∵49<54<64，∴7<54∴3<54-4<4，即54-4的值在3故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了無理數(shù)的估算，正確掌握無理數(shù)的估算方法是解題的關(guān)鍵．3．（2022·山東濰坊·中考真題）秦兵馬俑的發(fā)現(xiàn)被譽(yù)為“世界第八大奇跡”，兵馬俑的眼睛到下巴的距離與頭頂?shù)较掳偷木嚯x之比約為5-12，下列估算正確的是（A．0<5-12<25 B．2【答案】C【分析】用夾逼法估算無理數(shù)即可得出答案．【詳解】解：4＜5＜9，∴2＜5＜3，∴1＜5-1＜2∴12＜5-12故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了無理數(shù)的估算，無理數(shù)的估算常用夾逼法，用有理數(shù)夾逼無理數(shù)是解題的關(guān)鍵．4．（2022·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）在3317，3，-38，π，2022A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根據(jù)無理數(shù)的概念，無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)即可判斷．【詳解】解：在3317，3，-38，π，2022這五個數(shù)中無理數(shù)為3和π故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查無理數(shù)的概念，掌握無理數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．5．（2021·四川資陽·統(tǒng)考中考真題）若a=37，b=5，c=2，則a，b，cA．b<c<a B．b<a<c C．a(chǎn)<c<b D．a(chǎn)<b<c【答案】C【分析】根據(jù)無理數(shù)的估算進(jìn)行大小比較．【詳解】解：∵37<又∵38=∴a<c<b故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查求一個數(shù)的算術(shù)平方根，求一個數(shù)的立方根及無理數(shù)的估算，理解相關(guān)概念是解題關(guān)鍵．6．（2022·河北唐山·統(tǒng)考二模）對于數(shù)字2+5，下列說法中正確的是（

）A．它不能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示出來 B．它比0小C．它是一個無理數(shù) D．它的相反數(shù)為2+5【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)軸的意義，實(shí)數(shù)的計(jì)算，無理數(shù)的定義，相反數(shù)的定義判斷即可．【詳解】A．?dāng)?shù)軸上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)是一一對應(yīng)的，故該說法錯誤，不符合題意；B．-2+5C．-2+5D．-2+5的相反數(shù)為2-故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸的意義，實(shí)數(shù)的計(jì)算，無理數(shù)的定義，相反數(shù)的定義，熟練掌握相關(guān)計(jì)算法則是解答本題的關(guān)鍵．7．（2022·四川綿陽·統(tǒng)考中考真題）正整數(shù)a、b分別滿足353<a<398，2<b<A．4 B．8 C．9 D．16【答案】D【分析】根據(jù)a、b的取值范圍，先確定a、b，再計(jì)算ba【詳解】解：∵353<∴a=4，b=2，∴b故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查無理數(shù)的估值，掌握立方根，平方根的意義，并能根據(jù)a、b的取值范圍確定的值是解題的關(guān)鍵．8．（2021·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）根據(jù)圖中數(shù)字的規(guī)律，若第n個圖中的q=143，則p的值為（

）A．100 B．121 C．144 D．169【答案】B【分析】分別分析n的規(guī)律、p的規(guī)律、q的規(guī)律，再找n、p、q之間的聯(lián)系即可．【詳解】