數(shù)理邏輯邏輯公理系統(tǒng)

數(shù)理邏輯邏輯公理系統(tǒng)第一頁，共157頁主要內(nèi)容邏輯公理系統(tǒng)命題邏輯公理系統(tǒng)謂詞邏輯公理系統(tǒng)定理證明公理系統(tǒng)性質(zhì)理論與模型判定問題第二頁，共157頁形式系統(tǒng)一個形式系統(tǒng)應(yīng)當(dāng)包括以下幾部分。(1)各種初始符號。初始符號是一個形式系統(tǒng)的“字母”，經(jīng)解釋后其中一部分是初始概念。(2)形成規(guī)則。規(guī)定初始符號組成各種合適符號序列的規(guī)則。經(jīng)解釋后合式符號序列是一子句，稱為系統(tǒng)里的合式公式或命題。(3)公理。把某些所要肯定的公式選出，作為推導(dǎo)其它所要肯定的公式的出發(fā)點，這些作為出發(fā)點的公式稱為公理。(4)變形規(guī)則。變形規(guī)則規(guī)定如何從公理和已經(jīng)推導(dǎo)出的一個或幾個公式經(jīng)過符號變換而推導(dǎo)出另一公式。經(jīng)過解釋，變形規(guī)則就是推理規(guī)則。應(yīng)用變形規(guī)則進行推導(dǎo)可以得到一系列公式，這些公式經(jīng)過解釋是系統(tǒng)的定理。形式系統(tǒng)完全由一套表意符號建立，它能克服日常語言的歧義性，使概念、判斷、推理精確化。第三頁，共157頁邏輯公理系統(tǒng)公理系統(tǒng)從一些公理出發(fā)，根據(jù)演繹法，推導(dǎo)出一系列定理，形成的演繹體系叫作公理系統(tǒng)。公理系統(tǒng)的組成：符號集；公式集公式是用于表達命題的符號串；公理集公理是用于表達推理由之出發(fā)的初始肯定命題；推理規(guī)則集推理規(guī)則是由公理及已證定理得出新定理的規(guī)則；定理集表達了肯定的所有命題。第四頁，共157頁主要內(nèi)容邏輯公理系統(tǒng)命題邏輯公理系統(tǒng)謂詞邏輯公理系統(tǒng)定理證明公理系統(tǒng)性質(zhì)理論與模型判定問題總結(jié)第五頁，共157頁命題邏輯公理系統(tǒng)定義：命題邏輯的公理系統(tǒng)定義:(1).符號集合：1).命題變元Q1,Q2,…Qn2).聯(lián)結(jié)詞符號：

，

;3).括號：(,)(2).形成規(guī)則(公式定義)：1).若Q是命題變元，則Q是公式；2).若Q是公式，則(

Q)是公式；3).若Q,R是公式，則(Q

R)是公式。第六頁，共157頁命題邏輯公理系統(tǒng)(續(xù))(3).公理：公理模式中P,Q,R為任意公式1).公理模式A1：R

(Q

R)2).公理模式A2：(P

(Q

R))

((P

Q)

(P

R))3).公理模式A3：(

Q

R)

(R

Q)(4).變形規(guī)則：推理規(guī)則(分離規(guī)則MP規(guī)則)若Q和Q

R成立，則R成立。其中，Q和Q

R稱為前提，R稱為結(jié)論。第七頁，共157頁縮寫定義謂詞公理系統(tǒng)中僅使用了

和

聯(lián)結(jié)詞符號，而其他聯(lián)結(jié)詞符號

,

,

,

可以認(rèn)為是縮寫公式，用≡表示縮寫定義。(1).Q

R≡(

Q

R)(2).Q

R≡

(Q

R)(3).Q

R≡(Q

R)

(R

Q)(4).Q

R≡

(Q

R)第八頁，共157頁推理序列已知Q成立，

證明R→Q成立A1=Q

(R

Q)A1A2=Q

Q

ΓA3=R

Q推理序列Γ=Q，公式集——前提A1、A2、A3——推理序列A3——結(jié)論第九頁，共157頁演繹與推理序列定義3.2設(shè)Γ是合式公式集,Q是合式公式，有推理步驟A1,A2,…An，公式序列α1,α2,…αn，其中A1=α1A2=α2….An=αn

(αn

=Q)每個αk滿足以下條件之一，(1)α是公理；(2)αk

Γ；(3)有i,j<kαk=αi

αj由αi,αj用MP規(guī)則推出。則稱它為Q的從Γ的一個推演(演繹),記為Γ├Q。Γ稱為推演的前提集，稱α為結(jié)論推理序列如果推理步驟序列是A1,A2,…An，則推理序列長度n。推論：如果Q是公理或Q

Γ，則Γ├Q第十頁，共157頁證明與定理如果存在從Γ推演出Q，則記為Γ├Q。{Q1,Q2,…Qn}├Q簡記為Q1,Q2,…Qn├Q

如果Γ為空集

，則記為├Q。如果Γ├Q，并且有推理步驟A1,A2,…An，則A1,A2,…An稱為的一個證明。如果├Q，則Q稱為定理。第十一頁，共157頁P,Q

(P

R)├Q

RA1=PA1

ΓA2=P

(Q

P)A1A3=Q

PA2=A1

A3

A4=Q

(P

R)A4

Γ

A5=(Q

(P

R))

((Q

P)

(Q

R))A2A6=(Q

P)

(Q

R)A5=A4

A6

A7=(Q

R)A6=A3

A7

第十二頁，共157頁例：├(Q

R)

(Q

Q)A1=Q

(R

Q)A1A2=(Q

(R

Q))

((Q

R)

(Q

Q))A2A3=(Q

R)

(Q

Q)A2=A1

A3第十三頁，共157頁├

Q

(Q

R)(涵義)A1=

Q

(

R

Q)

A1A2=(

R

Q)

(Q→R)A3A3=

Q

(Q

R)A1，A2├A3第十四頁，共157頁演繹定理Γ{Q}├R

當(dāng)且僅當(dāng)Γ├Q

R歸納基礎(chǔ)：用關(guān)于Γ

{Q}到R的推演長度n作歸納證明。當(dāng)n=1時，R或為公理，或?qū)儆讦＃騌是Q。若R是公理，則A1=RA2=R

(Q

R)A3=(Q

R)所以├Q

R，從而Γ├Q

R若R

Γ，則A1=RA2=R

(Q

R)A3=(Q

R)有Γ├Q

R若R=Q，則├Q

Q所以Γ

├Q

Q第十五頁，共157頁演繹定理(2)歸納假設(shè)：假設(shè)Γ

{Q}到R的推演長度小于n定理成立。歸納證明：當(dāng)Γ

{Q}到R的推演長度等于n時，有Γ

{Q}├RA1=Q1A2=Q2……Ai=P

R……Aj=P……An=R從Γ的推演A1=D1……Am=Q

P……Ak=Q

(P

R)

Ak+1=Q

(P

R)

((Q

P)

(Q

R))Ak+2=

(Q

P)

(Q

R)Ak+3=(Q

R)因為i,j<n,有所以Γ

{Q}├PΓ├Q

PΓ

{Q}├P

RΓ├Q

(P

R)第十六頁，共157頁演繹定理(3)Γ

到Q

R的推演由Γ├Q

R可知，有推理序列A1,A2,……,Am，使得Am=Q

R

。證明有Γ{Q}├R。因為有推理序列A1,A2,……,Am，其中Am=Q

RAm+1=QAm+2=R第十七頁，共157頁P,Q├P

QP,Q,

(P

Q)├Q，P,Q,

(P

Q)├

Q

A1=P

A1

ΓA2=Q

A2

ΓA3=

(P

Q)A3

ΓA4=

(P

Q)

(P

Q)├Q

QA5=P

QA4=A3

A5

A6=QA5=A1

A6

所以有P,Q├

(P

Q)，即P,Q├P

Q第十八頁，共157頁├(P

Q)(P

R)

(P

QR)演繹定理：(P

Q)(P

R)，P├QRA1=(

P

Q)(P

R)A1

ΓA2=PA2

ΓA3=(

P

Q)(P

R)

(

P

Q)├QR

QA4=P

QA3=A1

A4

A5=QA4=A2

A5

A6=(

P

Q)(P

R)

(

P

R)

├QR

RA7=P

RA6=A1

A7

A9=RA7=A2

A8

A10=QRQ,R├QR第十九頁，共157頁反證律如果Γ,

Q├R,Γ,

Q├

R,則Γ├

QA1=

Q

R

Γ{Q}├R

Γ├Q

RA2=

Q

R

Γ{Q}├R

Γ├Q

RA3=(

Q

R)

(R

Q)

A

3

A4=R

Q

A3=A2

A4

A5=

Q

Q

A1,A4├A5A6=(Q

Q)

Q├(Q

Q)

Q

A7=

Q

A6=A5

A7

第二十頁，共157頁歸謬律如果Γ,Q├R,Γ,Q├

R，則Γ├

QA1=Q

R

Γ{Q}├R

Γ├Q

RA2=Q

R

Γ{Q}├R

Γ├Q

RA3=(Q

R)(

RQ)├(Q

R)(

RQ)A4=

RQA3=A1

A4

A5=Q

QA2,A4├A5A6=

Q

Q├

Q

QA7=

Q

QA6,A5├A7A8=(Q

Q)

Q├(Q

Q)

Q

A9=

QA8=A7

A9

第二十一頁，共157頁定理：若Γ├R，則Γ├Q

R。A1=C1……Ak-1=Ck-1Ak=RΓ├RAk+1=R

(Q

R)A1Ak+2=Q

RAk+1=Ak

Ak+2

Γ├Q→R第二十二頁，共157頁定理：若Γ

├P

Q

，Γ

├P

(Q

R)

，則Γ

├P

R。A1=D1……Am-1=Dm-1Am=P

Q

Γ├P

Q

Am+1=Dm+1……Am+n-1=Dm+n-1Am+n=P

(Q

R)

Γ├P

(Q

R)

Am+n+1=(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))A2Am+n+2=(P→Q)→(P→R)Am+n+1=Am+n

Am+n+2Am+n+3=P→RAm+n+2=Am

Am+n+3第二十三頁，共157頁主要內(nèi)容邏輯公理系統(tǒng)命題邏輯公理系統(tǒng)謂詞邏輯公理系統(tǒng)定理證明公理系統(tǒng)性質(zhì)理論與模型判定問題總結(jié)第二十四頁，共157頁謂詞邏輯公理系統(tǒng)謂詞邏輯的公理系統(tǒng)定義：(1).符號集合：1).個體變元：x1,x2,…2).個體常元：c1,c2,…3).函詞符號：f11,f21,......；f12,f22,......；4).謂詞符號：Q11,Q21,......；Q12,Q22,....;5).運算符號：

,

,

；6).逗

號：,;7).括

號：(,)第二十五頁，共157頁謂詞邏輯公理系統(tǒng)（續(xù)）(2).項定義：1).個體常元是項；2).個體變元是項；3).若是t1,…,tn項，則是fkn

(t1,…,tn)項。(3).公式集合：1).若是t1,…,tn項，則Qkn

(t1,…,tn)是公式。2).若Q是公式，則(

Q)是公式；3).若Q和R是公式，則(Q

R)是公式；4).若Q是公式，則(

xQ)是公式。第二十六頁，共157頁謂詞邏輯公理系統(tǒng)（續(xù)）(4).公理集合：1).公理模式A

1：Q

(R

Q)2).公理模式A

2：(P

(Q

R))

((P

Q)

(P

R))3).公理模式A3：(

Q

R)

(R

Q)4).公理模式A4：

xQ(x)

Q(x)[x/t]其中，項t對于Q中的x是可代入的。

5).公理模式A5：

x(Q

R(x))

(Q

xR(x))其中x不是Q中自由變元。(5).推理規(guī)則1).分離規(guī)則（簡稱MP規(guī)則）：從Q和Q

R推出R。2).概括規(guī)則（簡稱UG規(guī)則）：從Q(x)推出(

xQ)。第二十七頁，共157頁縮寫定義謂詞公理系統(tǒng)中僅使用了

和

聯(lián)結(jié)詞符號，而其他聯(lián)結(jié)詞符號

,

,

,

可以認(rèn)為是縮寫公式，用≡表示縮寫定義。(1).Q

R≡(

Q

R)(2).Q

R≡

(Q

R)(3).Q

R≡(Q

R)

(R

Q)(4).Q

R≡

(Q

R)謂詞公理系統(tǒng)中僅使用了量詞

，而量詞

可以認(rèn)為是縮寫公式，用≡表示縮寫定義。

xQ(x)≡

Q(x)第二十八頁，共157頁公理系統(tǒng)弗雷格公理系統(tǒng)Q(RQ)(P(QR))((PQ)(PR))(P(QR))(Q(PR))(QR)(RQ)QQQQa=b(F(a)F(b))a=axF(x)f(a)盧卡西維茨公理系統(tǒng)Q(RQ)(P(QR))((PQ)(PR))(QR)(RQ)羅素公理系統(tǒng)AAAAABABBA(AB)(ACBC)第二十九頁，共157頁演繹與證明定義設(shè)Γ是合式公式集,Q是合式公式，有推理步驟A1,A2,…An，公式序列α1,α2,…αn，其中A1=α1A2=α2….An=αn

(αn

=Q)每個αk滿足以下條件之一，(1)α是公理；(2)αk

Γ；(3)有i,j<kαk=αi

αj由αi,αj用MP規(guī)則推出。(4)有i<j使Aj=

xAi由用UG規(guī)則推出則稱它為Q的從Γ的一個推演(演繹),記為Γ├Q。Γ稱為推演的前提集，稱α為結(jié)論序列A1,A2,…An，稱為從Γ演繹出αn的一個證明。Γ├αn也稱由?？勺C明αn。推理序列如果推理步驟序列是A1,A2,…An，則推理序列長度n。推論：如果Q是公理或Q

Γ，則Γ├Q第三十頁，共157頁定理從系統(tǒng)的公理出發(fā)，根據(jù)系統(tǒng)允許的變形規(guī)則推得的合式公式稱為可證公式，或稱系統(tǒng)里的定理。定義：如果├Q，則Q稱為定理。第三十一頁，共157頁設(shè)Γ是前提，Γ={Q1,...,Qn}，Q是結(jié)論，并且Γ├Q。一般講，Γ是事實知識或歸納知識。由于證明是邏輯的，公理是邏輯真，推導(dǎo)規(guī)則是邏輯真，但是，前提Γ不是邏輯真。如果實踐檢驗Q不為真，則Γ一定有不為真語句。第三十二頁，共157頁├

x(P(x)

P(x))A1=

P(x)

P(x)Q

QA2=P(x)

P(x)Q

R≡(

Q

R)A3=

x(P(x)

P(x))UG第三十三頁，共157頁├

xP(x)

xP(x)A1=

x

P(x)

P(y)A4A2=(

x

P(x)

P(y))

(

P(y)

x

P(x))(Q

R)

(

R

Q)A3=

P(y)

x

P(x)A1,A2├A3A4=P(y)

P(y)Q

QA5=P(y)

x

P(x)A4,A3├A5A6=

xP(x)

P(y)

A4A7=

xP(x)

x

P(x)A6,A5├A7A8=

xP(x)

xP(x)

xQ(x)≡

Q(x)第三十四頁，共157頁演繹定理Γ{A}├B

當(dāng)且僅當(dāng)Γ├A→B因為A(x)

xA(x)不是有效公式，A

可證，

xA可證？？變元約束變元自由變元出現(xiàn)約束出現(xiàn)自由出現(xiàn)第三十五頁，共157頁演繹定理Γ{A}├B，且A為閉公式，當(dāng)且僅當(dāng)Γ├A

B歸納基礎(chǔ)：用關(guān)于Γ

{A}到B的推演長度n作歸納證明。當(dāng)n=1時，B或為公理，或?qū)儆讦?，或B是A。若B是公理，則A1=BA2=B

(A

B)A3=(A

B)所以├A

B，從而Γ├A

B若B

Γ，則若B=A，則├A

AA1=B所以Γ├A

AA2=B

(A

B)A3=(A

B)有Γ├A

B第三十六頁，共157頁演繹定理(2)歸納假設(shè)：假設(shè)Γ

{A}到B的推演長度小于n定理成立。歸納證明：當(dāng)Γ

{A}到B的推演長度等于n時，并且B由分離規(guī)則推出有Γ

{A}├BA1=B1A2=B2……An=BAi=RAj=R

B從Γ的推演A1=D1……Am=A

RAk=A

(R

B)

Ak+1=(A

(R

B))

((A

R)

(A

B))Ak+2=(A

R)

(A

B)Ak+3=A

B因為i,j<n,所以Γ

{A}├RΓ├A

RΓ

{A}├R

BΓ├A

(R

B)第三十七頁，共157頁演繹定理(3)歸納證明：當(dāng)Γ

{A}到B的推演長度等于n時，并且B由綜合規(guī)則推出，所以從Γ的推演A1=B1......Am=A

RAm+1=

x(A

R)Am+2=A

xRA為閉公式Γ

{A}├BA1=B1A2=B2……An-1=RAn=

xRAn=B因為Γ{A}├R推演長度等于n-1，所以Γ├A

R第三十八頁，共157頁演繹定理(4)Γ

到A

B的推演由Γ├A

B可知，有推理序列A1,A2,……,Am，使得Am=A

B

。證明有Γ{A}├B

。因為有推理序列A1,A2,……,Am，其中Am=A

BAm+1=AAm+2=B第三十九頁，共157頁├

x(P(x)

Q(x))

(

xP(x)

xQ(x))

x(P(x)

Q(x))├

xP(x)

xQ(x)A1=

x(P(x)

Q(x))A2=

x(P(x)

Q(x))

P(x)

Q(x)A3=P(x)

Q(x)A4=P(x)

Q(x)

P(x)A5=P(x)A6=

xP(x)A7=P(x)

Q(x)

Q(x)A8=Q(x)A9=

xQ(x)A10=

xP(x)

xQ(x)

第四十頁，共157頁自由出現(xiàn)變元問題├

x(P(x,y)→Q(x,y))→(xP(x,y)→xQ(x,y))？？？？

x(P(x,b)→Q(x,b))→(xP(x,b)→xQ(x,b))第四十一頁，共157頁定理設(shè)c1,…,cm是在Γ語句集中不出現(xiàn)的不同常元，y1,…,ym是在公式Q(c1,…,cm)中不出現(xiàn)的不同變元，用y1,…,ym分別同時代替Q(c1,…,cm)中的c1,…,cm得到Q(y1,…,ym)。若Γ├Q(c1,…,cm)，則Γ├Q(y1,…,ym)。第四十二頁，共157頁證明步驟A1~An：(1)使用公理模式對應(yīng);(2)使用Ak

Γ對應(yīng);(3)使用MP規(guī)則對應(yīng)；(4)使用UG規(guī)則對應(yīng)。證明：Γ├Q(c1,…,cm)A1=Q1(c1,…,cm)…An=Qn(c1,…,cm)An=Q

(c1,…,cm)z1,…,zn是在Γ中不出現(xiàn)的不同變元，并且{z1,…,zn}

{y1,…,yn}=

。A1=Q1(z1,…,zm)…An=Qn(z1,…,zm)An=Q

(z1,…,zm)An+1=

z1…

znQ

(z1,…,zm)An+2=

z1…

znQ

(z1,…,zm)

Q

(y1,…,ym)An+3=Q

(y1,…,ym)第四十三頁，共157頁├

x(P(x,y)→Q(x,y))→(xP(x,y)→xQ(x,y))├

x(P(x,c)→Q(x,c))→(xP(x,c)→xQ(x,c))x(P(x,c)→Q(x,c)),xP(x,c)├xQ(x,c)A1=x(P(x,c)→Q(x,c))A2=P(x,c)→Q(x,c)A3=xP(x,c)A4=P(x,c)A5=Q(x,c)A6=xQ(x,c)第四十四頁，共157頁若Γ├A(x)

B(x)，則Γ├

xA(x)

xB(x)A1=C1……Am=A(x)

B(x)Am+1=

xA(x)

A(x)Am+2=

xA(x)

B(x)Am+3=

x(

xA(x)

B(x))Am+4=

x(

xA(x)

B(x))

(

xA(x)

xB(x))Am+5=

xA(x)

xB(x)問題是什么?X是自由出現(xiàn)第四十五頁，共157頁主要內(nèi)容邏輯公理系統(tǒng)命題邏輯公理系統(tǒng)謂詞邏輯公理系統(tǒng)定理證明公理系統(tǒng)性質(zhì)理論與模型判定問題總結(jié)第四十六頁，共157頁重要定律三段論：Q,Q

R├R傳遞律：P

Q,Q

R├P

R反證律：如果Γ,Q├R,Γ,Q├R,則Γ├Q歸謬律：如果Γ,Q├R,Γ,Q├R，則Γ├Q第四十七頁，共157頁重要定理├(P

(Q

R))

(Q

(P

R))├(QR)((PQ)(PR))├(PQ)((QR)(PR))├((PQ)(PR))(P(QR)├Q

Q├

Q

Q├Q

Q├QQQ├

(Q

Q)├(QQ)├(

Q

R)

(Q

R)├(Q

R)

(

Q

R)├(QR)(RQ)├(QR)(RQ)├(QR)(RQ)├

Q

(Q

R)├(

Q

Q)

(R

Q)├(

Q

Q)

Q├(Q

R)

(R

Q)├(Q

R)

(Q

R)第四十八頁，共157頁重要定理├Q

((Q

R)

R)├Q

(Q

R)

R├(PQ)((QR)(PR))├(

Q

R)

((

Q

R)

Q)├(Q

R)

((Q

R)

Q)├(Q

R

R)Q├(P

Q

R)(P(Q

R))├Q

(R

(Q

R))├(P

Q)(P

R)

(P

QR)├(P

R)

((Q

R)

((P

Q)

R))

第四十九頁，共157頁三段論Q,Q

R├RA1=Q

RA1

ΓA2=QA2

ΓA3=RA1=A2

A3

第五十頁，共157頁傳遞律P

Q,Q

R├P

RA1=(Q

R)

(P

(Q

R))A1A2=Q

RA2

ΓA3=P

(Q

R)A1=A2

A3

A4=(P

(Q

R))

((P

Q)

(P

R))A2A5=(P

Q)

(P

R)A4=A3

A5A6=(P

Q)A6

ΓA7=(P

R)A5=A6→A7第五十一頁，共157頁├(P

(Q

R))

(Q

(P

R))A1=(P

(Q

R))

((P

Q)

(P

R))A

2A2=((P

Q)

(P

R))

(Q

((P

Q)

(P

R)))A

1A3=(Q

((P

Q)

(P

R)))

((Q

(P

Q))

(Q

(P

R)))A

2A4=((P

(Q

R))

((Q

(P

Q))

(Q

(P

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