高中數(shù)學(xué)競賽試題及解題答案

浙江省高中數(shù)學(xué)競賽試題及答案一、選擇題（本大題共有10小題，每題只有一個(gè)正確答案，將正確答案的序號(hào)填入題干后的括號(hào)里，多選、不選、錯(cuò)選均不得分，每題5分，共50分）1.集合}，且,則實(shí)數(shù)取值范圍為（....）A.B..C.或D.2.若則是的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件3.已知等比數(shù)列{}：且第一項(xiàng)至第八項(xiàng)的幾何平均數(shù)為9，則第三項(xiàng)是（.....）A.B....C..D.4.已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位），且，則（）A.B..C.或D.或5.已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若滿足，則下列一定成立的是（）。A.B.其中是拋物線過的切線C.D.6.某程序框圖如下，當(dāng)E0.96時(shí)，則輸出的K=（）A.20B.22...C..D.25,開始開始K=1，S=0S=S+1/（K(K+1)）S>=E？輸出KK=K+1是否7.若三位數(shù)被7整除，且成公差非零的等差數(shù)列，則這樣的整數(shù)共有（）個(gè)。A.4B.6...C.7.D88.已知一個(gè)立體圖形的三視圖如下，則該立體的體積為（）。A.B....C..D.112正視圖：上下兩個(gè)正方形12側(cè)視圖1俯視圖：邊長為2的正三角形9.設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的極大值點(diǎn)為（）A.B..C..D.10.已知為一次函數(shù)，若對(duì)實(shí)數(shù)滿足，則的表達(dá)式為（）。A.B..C.D.二、填空題（本大題共有7小題，將正確答案填入題干后的橫線上，每空7分，共49分）11.若，則________________。12.已知，若當(dāng)時(shí)恒大于零，則的取值范圍為_____________。13.數(shù)列，則數(shù)列中最大項(xiàng)的值為______________。14.若，滿足，則_______,________。15.設(shè)直線與曲線有三個(gè)不同的交點(diǎn),且,則直線的方程為_________。16.若則______________________。17.某動(dòng)點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系第一象限的整點(diǎn)上運(yùn)動(dòng)（含第一象限軸上的整點(diǎn)），其運(yùn)動(dòng)規(guī)律為或。若該動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過6步運(yùn)動(dòng)到（6,2）點(diǎn)，則有__________________種不同的運(yùn)動(dòng)軌跡。三、解答題（本大題共有3小題，每題17分，共51分）18.已知拋物線，過軸上一點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)兩點(diǎn)。證明，存在唯一一點(diǎn)，使得為常數(shù)，并確定點(diǎn)的坐標(biāo)。19.設(shè)二次函數(shù)在[3,4]上至少有一個(gè)零點(diǎn)，求的最小值。20.設(shè)滿足數(shù)列是公差為，首項(xiàng)的等差數(shù)列；數(shù)列是公比為首項(xiàng)的等比數(shù)列，求證：。四、附加題：（本大題共有2小題，每題25分，共50分。）21.設(shè)證明。22.從0,1,2，…，10中挑選若干個(gè)不同的數(shù)字填滿圖中每一個(gè)圓圈稱為一種“填法”，若各條線段相連的兩個(gè)圓圈內(nèi)的數(shù)字之差的絕對(duì)值各不相同，則稱這樣的填法為“完美填法”。(圖2)A2A(圖2)A2A11071079651（圖1）AA3AA4AA5AA7A8A8A6浙江省高中數(shù)學(xué)競賽答案一、選擇題（本大題共有10小題，每題只有一個(gè)正確答案，將正確答案的序號(hào)填入題干后的括號(hào)里，多選、不選、錯(cuò)選均不得分，每題5分，共50分）1.答案C要使，則或。解得或。2.答案D若。當(dāng)，但。3.答案B計(jì)算得。4.答案D5.答案B。6.答案C7.答案D設(shè)三位數(shù)為由。所以，所有的三位數(shù)為8.答案D從圖中可知，立體是由兩個(gè)三棱柱組成。9.答案B由圖象可知為函數(shù)極大值點(diǎn)，是極小值點(diǎn)，不是極值點(diǎn)。10.答案C。二、填空題（本大題共有7小題，將正確答案填入題干后的橫線上，每空7分，共49分）11.解答：由，所以。12.解答由等號(hào)在取得，即。13.解答為極大值點(diǎn)，所以數(shù)列最大項(xiàng)為第三項(xiàng)，其值為。14.解答把等式看成關(guān)于的一元二次方程。15.解答曲線關(guān)于（0,1）點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)直線方程為，則。所求直線方程為。16.解答，所以。17.解答.三、解答題（本大題共有3小題，每題17分，共51分）18.解答設(shè)（），過點(diǎn)直線方程為，交拋物線于聯(lián)立方程組…5分……7分，……………………12分令?！?7分19.解法1由已知得，設(shè)為二次函數(shù)在[3,4]上的零點(diǎn)，則有，變形，……5分于是，……………12分因?yàn)槭菧p函數(shù)，上述式子在時(shí)取等號(hào)，故的最小值為?！?7分解法2把等式看成關(guān)于的直線方程，利用直線上一點(diǎn)（）到原點(diǎn)的距離大于原點(diǎn)到直線的距離，即（以下同上）。20.解：首先，，-----------------2分。-----------------4分…………6分用歸納法證明。由于，即i=1成立?！?分假設(shè)成立，則?！?4分所以，。歸納證明，首先，假設(shè)成立，則?！?7分故命題成立。四、附加題：（本大題共有2小題，每題25分，共50分。）21.解答原命題等價(jià)于，………………10分又…………………20分故只需要證明成立?！?5分利用已知條件，這是顯然的。22.解答對(duì)圖1，上述填法即為完美（答案不唯一）。………………10分對(duì)于圖2不存在完美填法。因?yàn)閳D中一共有10條連線，因此各連線上兩數(shù)之差的絕對(duì)值恰好為，1,2,3，……，1