2024-2025學(xué)年重慶七中高二（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年重慶七中高二（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，點(diǎn)3,?1,?4關(guān)于平面Oxy的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(

)A.?3,?1,?4 B.?3,1,?4 C.3,?1,4 D.?3,1,42.設(shè)x，y∈R，向量a=(x,?1,1)，b=(1,y,1)，c=(2,?4,2)，且a⊥c，bA.?2 B.0 C.1 D.23.在同一平面直角坐標(biāo)系中，表示l1：y=ax+b與l2：y=bx?a的直線可能正確的是(

)A. B.

C. D.4.柏拉圖多面體是柏拉圖及其追隨者對(duì)正多面體進(jìn)行系統(tǒng)研究后而得名的幾何體.如圖是棱長(zhǎng)均為1的柏拉圖多面體EABCDF，P，Q，M，N分別為DE，AB，AD，BF的中點(diǎn)，則PQ?MN=(

)A.12

B.14

C.?15.數(shù)學(xué)家歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱(chēng)之為三角形的歐拉線.已知△ABC的頂點(diǎn)為A(0,0)，B(5,0)，C(2,4)，則該三角形的歐拉線方程為(

)A.y=?12x+52 B.y=16.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(x0,y0,z0)，且法向量為m=(A,B,C)的平面方程為A(x?x0)+B(y?y0)+C(z?z0)=0，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(x0,A.457 B.27 C.7.如圖，直線y=34x+3交x軸于A點(diǎn)，將一塊等腰直角三角形紙板的直角頂點(diǎn)置于原點(diǎn)O，另兩個(gè)頂點(diǎn)M，N恰好落在直線y=34x+3上，若點(diǎn)N在第二象限內(nèi)，則A.17 B.16 C.158.在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD?A1B1C1D1中，EF是正方體ABCD?A1A.[?8,0] B.[?4,0] C.[?2,0] D.[?1,0]二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下面四個(gè)結(jié)論正確的是(

)A.已知空間向量a,b(a,b≠0)，若a⊥b，則a?b=0

B.若對(duì)空間中任意一點(diǎn)O，有OP=16OA+13OB+12OC，則P，A，10.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(

)A.“a=?1”是“直線a2x?y+1=0與直線x?ay?2=0互相垂直”的充要條件

B.直線xsinα+y+2=0的傾斜角θ的取值范圍是[0,π4]∪[3π4,π)

C.過(guò)(x1,y1)，(x211.如圖，四邊形ABCD中，AB=BC=AC=2，DA=DC=2，將四邊形沿對(duì)角線AC折起，使點(diǎn)D不在平面ABC內(nèi)，則在翻折過(guò)程中，以下結(jié)論正確的是(

)A.兩條異面直線AB與CD所成角的范圍是[π12,π2]

B.P為線段CD上一點(diǎn)(包括端點(diǎn))，當(dāng)CD⊥AB時(shí)，∠APB≤π2

C.三棱錐D?ABC的體積最大值為33

D.當(dāng)二面角D?AC?B的大小為π6時(shí)，三棱錐12.已知{a,b,c}是空間的一個(gè)單位正交基底，向量p=a?2b?413.如圖，60°的二面角的棱上有A，B兩點(diǎn)，直線AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB.已知AB=4，AC=6，BD=8，則CD的長(zhǎng)為14.已知P，Q分別在直線l1：x?y+1=0與直線l2：x?y?1=0上，且PQ⊥l1，點(diǎn)A(?4,6)，B(5,?1)，則四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題12分)

如圖，在平行六面體ABCD?A′B′C′D′中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，側(cè)棱AA′的長(zhǎng)為3，且∠ABC=∠A′AB=∠A′AD=120°．

(1)AC′的長(zhǎng)；

(2)直線BD′與AC所成角的余弦值．16.(本小題12分)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知c2(1)求角A;(2)設(shè)邊BC的中點(diǎn)為D，若a=7，且△ABC的面積為3317.(本小題12分)已知ΔABC的頂點(diǎn)A(4,1)，AB邊上的中線CM所在的直線方程為x?2y+2=0，AC邊上的高BH所在的直線方程為2x+3y?2=0．(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)求BC所在直線的方程．18.(本小題12分)

圖①是直角梯形ABCD，AB//CD，∠D=90°，四邊形ABCE是邊長(zhǎng)為2的菱形，并且∠BCE=60°，以BE為折痕將△BCE折起，使點(diǎn)C到達(dá)C1的位置，且AC1=6．

(1)求證：平面BC1E⊥平面ABED；

(2)在棱DC1上是否存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)19.(本小題12分)

《瀑布》(圖1)是最為人所知的作品之一，圖中的瀑布會(huì)源源不斷地落下，落下的水又逆流而上，荒唐至極，但又會(huì)讓你百看不膩，畫(huà)面下方還有一位饒有興致的觀察者，似乎他沒(méi)發(fā)現(xiàn)什么不對(duì)勁.此時(shí)，他既是畫(huà)外的觀看者，也是埃舍爾自己.畫(huà)面兩座高塔各有一個(gè)幾何體，左塔上方是著名的“三立方體合體”由三個(gè)正方體構(gòu)成，右塔上的幾何體是首次出現(xiàn)，后稱(chēng)“埃舍爾多面體”(圖2)

埃舍爾多面體可以用兩兩垂直且中心重合的三個(gè)正方形構(gòu)造，設(shè)邊長(zhǎng)均為2，定義正方形AnBnCnDn，n=1，2，3的頂點(diǎn)為“框架點(diǎn)”，定義兩正方形交線為“極軸”，其端點(diǎn)為“極點(diǎn)”，記為Pn，Qn，將極點(diǎn)P1，Q1，分別與正方形A2B2C2D2的頂點(diǎn)連線，取其中點(diǎn)記為Em，F(xiàn)m，m=1，2，3，4，如(圖3).埃舍爾多面體可視部分是由12個(gè)四棱錐構(gòu)成，這些四棱錐頂點(diǎn)均為“框架點(diǎn)”，底面四邊形由兩個(gè)“極點(diǎn)”與兩個(gè)“中點(diǎn)”構(gòu)成，為了便于理解，圖4我們構(gòu)造了其中兩個(gè)四棱錐A1?P1E1P2參考答案1.C

2.B

3.C

4.A

5.A

6.B

7.A

8.A

9.ABC

10.AC

11.BCD

12.?113.214.10+15.解：(1)在平行六面體ABCD?A′B′C′D′中，

底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，側(cè)棱AA′=3，

∠ABC=∠A′AB=∠A′AD=120°，

則AB2=AD2=4，AA′2=9，

AB?AD=|AB||AD|cos60°=2，

AD?AA′=AB?AA′=|AB||AA′|cos120°=?3，

而AC′=AB+AD+AA′，

則|AC′|=AB2+AD2+AA′2+2AB?AD+216.解：(1)由c2b2+c2?a2=sinCsinB，結(jié)合正弦定理bsinB=csinC得c2b2+c2?a217.解：(1)因?yàn)锳C⊥BH，BH的方程為2x+3y?2=0，不妨設(shè)直線AC的方程為3x?2y+m=0，將A(4,1)代入得12?2+m=0，解得m=?10，所以直線AC的方程為3x?2y?10=0，聯(lián)立直線AC，CM的方程，即3x?2y?10=0x?2y+2=0，解得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6,4)(2)設(shè)B(x0,因?yàn)辄c(diǎn)B在BH上，點(diǎn)M在CM上，所以2x0+3所以kBC=4?26?(?2)=整理得x?4y+10=0．

18.解：(1)證明：如圖所示，

在圖①中，連接AC，交BE于O，因?yàn)樗倪呅蜛BCE是邊長(zhǎng)為2的菱形，且∠BCE=60°，

所以AC⊥BE，且OA=OC=3，

在圖②中，相交直線OA，OC1均與BE垂直，

所以∠AOC1是二面角A?BE?C1的平面角，

因?yàn)锳C1=6，

所以O(shè)A2+OC12=AC12，

所以O(shè)A⊥OC1，

所以平面BC1E⊥平面ABED．

(2)由(1)知，分別以直線OA，OB，OC1為x，y，z軸建立如圖②所示的空間直角坐標(biāo)系，

則D(32,?32,0)，C1(0,0,3)，A(3,0,0)，B(0,1,0)，E(0,?1,0)，

所以DC1=(?32,32,3)，AD=(?32,?32,0)，AB=(?3,1,0)，AC1=(?3,0,3)，AE=(?3,?1,0)，

19.解：(1)由題意可知，OP2，OQ2，OP1兩兩垂直，且OP2=OQ2=OP1=1，

分別以O(shè)P2,OQ2,OP1的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

則由題意可得：O(0,0,0)，P2(1,0,0)，Q2(0,1,0)，P1(0,0,1)，

B2(1,1,0)，A1(1,0,1)，A2(1,?1,0)，Q1(0,0,?1)，

又E1，E2分別是P1A2，P1B2的中點(diǎn)，∴E1(12,?12,12)，E2(12,