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21.2二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)第二十一章二次函數(shù)與反比例函數(shù)第2課時二次函數(shù)y=ax
2
+bx+c的圖象和性質(zhì)學習目標課時講解1二次函數(shù)y=ax2+k的圖象和性質(zhì)二次函數(shù)y=a(x+h)2的圖象和性質(zhì)二次函數(shù)y=a(x+h)2+k的圖象和性質(zhì)二次函數(shù)y=ax2+bx+c與二次函數(shù)y=a(x+h)2+k之間的關(guān)系二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象特征與a,b,c
的符號關(guān)系逐點導講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學習目標課時流程2知識點二次函數(shù)y=ax2+k的圖象和性質(zhì)知1-講11.二次函數(shù)y=ax2+k的圖象與二次函數(shù)y=ax2的圖象的關(guān)系它們的形狀(開口大小、方向)相同,只是上、下位置不同,二次函數(shù)y=ax2+k的圖象可由二次函數(shù)y=ax2的圖象上下平移|k|個單位得到.知1-講要點提醒a決定拋物線的開口方向和開口大小,所以y=ax2(a
≠0)與y=ax2+k(a
≠0)的圖象開口方向和開口大小相同,只是位置不同.知1-講2.二次函數(shù)y=ax2+k的圖象的畫法(1)描點法:類比作二次函數(shù)y=ax2圖象的描點法,即按列表→描點→連線的順序作圖.(2)平移法:將二次函數(shù)y=ax2的圖象向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|個單位,即可得二次函數(shù)y=ax2+k的圖象.知1-講3.二次函數(shù)y=ax2+k的圖象與性質(zhì)a的符號a>0a<0k的符號k>0k<0k>0k<0圖象開口方向向上向下對稱軸y軸(直線x=0)y軸(直線x=0)知1-講續(xù)表增減性當x<0時,y隨x的增大而減??;當x>0時,y隨x的增大而增大當x>0時,y隨x的增大而減?。划攛<0時,y隨x的增大而增大最值當x=0時,y取得最小值,最小值為k當x=0時,y取得最大值,最大值為k知1-講平移規(guī)律口訣上加下減,縱變橫不變.“上加下減”表示拋物線上下平移的規(guī)律.“縱變橫不變”表示坐標的平移規(guī)律,即拋物線上下平移時其對應(yīng)點的縱坐標改變而橫坐標不變.知1-練例1[母題教材P13練習T2]畫出函數(shù)y=-x2+1與y=-x2-1的圖象,并根據(jù)圖象回答下列問題:解題秘方:緊扣拋物線y=ax2+k與拋物線y=ax2
間的關(guān)系及圖象的平移規(guī)律解答.知1-練解:列表如下:x…-3-2-10123…y=-x2+1…-8-3010-3-8…y=-x2-1…-10-5-2-1-2-5-10…知1-練描點、連線,即可得這兩個函數(shù)的圖象,如圖21.2-8所示.知1-練(1)拋物線y=-x2+1經(jīng)過怎樣的平移才能得到拋物線y=-x2-1?解:由圖象可以看出,拋物線y=-x2+1向下平移2個單位得到拋物線y=-x2-1.知1-練(2)對于函數(shù)y=-x2+1,其圖象與x軸的交點坐標是________________;對稱軸是__________;頂點坐標是__________.(-1,0),(1,0)y軸(0,1)知1-練感悟新知1-1.
[月考·安慶迎江區(qū)]二次函數(shù)y=-x2-1的圖象是一條拋物線,下列關(guān)于該拋物線的說法正確的是(
)A.開口向上B.當x=0時,函數(shù)的最大值是-1C.對稱軸是直線x=1D.拋物線與x軸有兩個交點B知1-練感悟新知1-2.
[中考·荊門]拋物線y
=x2+3上有兩點A(
x1,y1),B(
x2,y2),若y1
<y2,則下列結(jié)論正確的是(
)A.0≤x1
<x2B.x2
<x1≤0C.x2
<x1
≤0或0≤x1
<x2D.以上都不對D知2-講知識點二次函數(shù)y=a(x+h)2的圖象和性質(zhì)21.
二次函數(shù)y=a(x+h)2的圖象與二次函數(shù)y=ax2的圖象的關(guān)系它們的形狀(開口大小、方向)相同,只是左、右位置不同,二次函數(shù)y=a(x+h)2的圖象可由二次函數(shù)y=ax2的圖象左右平移|h|個單位得到.知2-講2.二次函數(shù)y=a(x+h)2的圖象和性質(zhì)a的符號a>0a<0圖象開口方向向上向下對稱軸直線x=-h(huán)知2-講續(xù)表頂點坐標(-h(huán),0)增減性當x<-h(huán)時,y隨x的增大而減??;當x>-h(huán)時,y隨x的增大而增大當x<-h(huán)時,y隨x的增大而增大;當x>-h(huán)時,y隨x的增大而減小最值當x=-h(huán)時,y最小值=0當x=-h(huán)時,y最大值=0知2-講平移規(guī)律口訣左加右減,橫變縱不變:1.“左加”表示當h>0時,拋物線y=ax2沿x軸向左平移h個單位得到拋物線y=a(x+h)2;2.“右減”表示當h<0時,拋物線y=ax2沿x軸向右平移|h|個單位得到拋物線y=a(x+h)2;3.“橫變縱不變”表示坐標的平移規(guī)律,即拋物線左右平移時對應(yīng)點的橫坐標改變而縱坐標不變.知2-練[母題教材P16練習T2]拋物線y=3(x-4)
2
是由拋物線y=3x2
經(jīng)過怎樣的平移得到的?求:(1)開口方向、頂點坐標、對稱軸;(2)
y
隨x
的變化情況;(3)函數(shù)的最大值或最小值.例2知2-練解題秘方:緊扣二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律和二次函數(shù)y=a(x+h)
2
的圖象與性質(zhì)解題.知2-練解:拋物線y=3(x-4)
2是由拋物線y
=3x2
向右平移4個單位得到的.拋物線y=3(x-4)
2開口向上,頂點坐標是(4,0),對稱軸是直線x
=4.(1)開口方向、頂點坐標、對稱軸;知2-練(2)
y
隨x
的變化情況;(3)函數(shù)的最大值或最小值.解:當x<4時,y
隨x
的增大而減?。划攛>4時,y
隨x
的增大而增大.當x=4時,y
有最小值0,無最大值.知2-練感悟新知2-1.對于y=2(x-3)
2的圖象,下列敘述不正確的是(
)A.頂點坐標為(-3,0)B.對稱軸為直線x=3C.當x>3時,y
隨x
的增大而增大D.當x=3時,y
有最小值0A知3-講知識點二次函數(shù)y=a(x+h)2+k的圖象和性質(zhì)31.二次函數(shù)y=a(x+h)2+k的圖象與二次函數(shù)y=ax2的圖象之間的關(guān)系
y=a(x+h)2+k的圖象是由y=ax2的圖象先向左(或向右)平移|h|個單位,再向上(或向下)平移|k|個單位得到的.具體平移規(guī)律如下:知3-講2.
二次函數(shù)y=a(x+h)2+k的圖象和性質(zhì)a的符號a>0a<0圖象的開口方向向上向下對稱軸直線x=-h(huán)頂點坐標(-h(huán),k)知3-講續(xù)表函數(shù)的增減性當x>-h(huán)時,y隨x的增大而增大;當x<-h(huán)時,y隨x的增大而減小當x>-h(huán)時,y隨x的增大而減?。划攛<-h(huán)時,y隨x的增大而增大最值當x=-h(huán)時,y最小值=k當x=-h(huán)時,y最大值=k知3-講解題策略掌握二次函數(shù)頂點式y(tǒng)=a(x+h)2+k的圖象特點與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,即在y=a(x+h)2+k中,a決定開口方向,對稱軸為x=-h(huán),頂點坐標為(-h(huán),k).頂點是圖象的最高點或最低點,同時也是函數(shù)增減性變化的分界點.因為從y=a(x+h)2+k中可以直接看出拋物線的頂點坐標,所以通常把y=a(x+h)2+k(a
≠0)叫做二次函數(shù)的頂點式.知3-練[母題教材P17練習T1]對于拋物線y=-(x+1)2+3,下列結(jié)論:①拋物線的開口向下;②對稱軸為直線x=1;③頂點坐標為(-1,3);④當x>1時,y
隨x
的增大而減小.其中正確結(jié)論有__________.例3解題秘方:緊扣二次函數(shù)y=a(x+h)2+k的圖象與性質(zhì)逐一判斷.①③④知3-練解:∵a=-1<0,∴拋物線的開口向下,故①正確;對稱軸為直線x=-1,故②錯誤;頂點坐標為(-1,3),故③正確;當x>1時,y
隨x
的增大而減小,故④正確.知3-練感悟新知3-1.
[月考·合肥]對于拋物線y=-3(
x+2)2
-5,下列判斷正確的是(
)A.拋物線的開口向上B.拋物線的頂點坐標是(
2,-5)C.對稱軸為直線x=2D.當x>2時,y隨著x
的增大而減小D知4-講知識點二次函數(shù)y=ax2+bx+c與二次函數(shù)y=a(x+h)2+k之間的關(guān)系4
知4-講2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的畫法方法一:描點法.知4-講方法二:平移法.(1)把二次函數(shù)y=ax2+bx+c化成y=a(x+h)2+k的形式,其圖象的頂點坐標為(-h(huán),k);(2)作出二次函數(shù)y=ax2的圖象;(3)將二次函數(shù)y=ax2的圖象平移,使其頂點平移到(-h(huán),k).知4-講特別解讀用配方法把二次函數(shù)y=ax2+bx+c
化為頂點式的兩點注意:(1)注意與配方法解一元二次方程的區(qū)別:前者是提取二次項系數(shù)使其系數(shù)為1;后者是方程兩邊同除以二次項系數(shù).(2)注意“一加一減”:提取完二次項系數(shù)后,括號里要加上一次項系數(shù)一半的平方配成完全平方式,然后再減去一次項系數(shù)一半的平方.這里的一次項系數(shù)是提取了二次項系數(shù)之后的一次項系數(shù).知4-練[母題教材P20練習T1]對于拋物線y=x2-4x+3.(1)將拋物線的表達式化為頂點式;(2)在坐標系中利用五點法畫出此拋物線.例4“五點”包括頂點以及關(guān)于對稱軸對稱的兩對點.知4-練解題秘方:先用配方法將一般式轉(zhuǎn)化為頂點式,再進行解答.知4-練解:∵y=x2-4x+3=(
x2-4x+4)-4+3=(
x-2)
2-1,∴頂點式為y=(
x-2)
2-1.(1)將拋物線的表達式化為頂點式;知4-練解:列表:拋物線如圖21.2-9.(2)在坐標系中利用五點法畫出此拋物線.x…01234…y…30-103…
知4-練感悟新知4-1.
[月考·淮南]將二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象向右平移2個單位,再向下平移3個單位,所得圖象的表達式為y=x2-2x+1,則b-c=(
)A.-2B.2C.4D.6A知5-講知識點二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)5函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)a的符號a>0a<0圖象開口方向向上向下知5-講對稱軸頂點坐標增減性續(xù)表知5-講最值續(xù)表知5-講
知5-練[母題教材P21練習T3]已知拋物線y=2x2-4x-6.(1)直接寫出拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標;(2)求拋物線與x軸、y軸的交點坐標;(3)當x取何值時,y隨x的增大而增大?例5知5-練解:開口向上,對稱軸為直線x=1,頂點坐標為(1,-8).(1)直接寫出拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標;知5-練(2)求拋物線與x軸、y軸的交點坐標;解題秘方:類比一次函數(shù)的方法,求圖象與x
軸的交點坐標,令y=0,再解方程;求圖象與y
軸的交點坐標,令x=0,再代入求值.本題可以不畫圖象,利用二次函數(shù)表達式中的系數(shù)來說明函數(shù)圖象的特征.知5-練解:令y=0,得2x2-4x-6=0,解得x1=-1,x2=3.∴拋物線與x軸的交點坐標為(-1,0),(3,0).令x=0,得y=-6,∴拋物線與y軸的交點坐標為(0,-6).知5-練解:當x>1時,y隨x的增大而增大.(3)當x取何值時,y隨x的增大而增大?知5-練感悟新知5-1.已知二次函數(shù)y=x2-4x+m
的最小值是-2,則m
的值為________
.2知5-練感悟新知5-2.
(易錯題)已知拋物線y=-x2+2kx-3的頂點在x軸的負半軸上,則k
的值為______
.知6-講知識點二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象特征與a,b,c的符號關(guān)系6二次函數(shù)y=ax2+bx+c中,a的符號決定拋物線的開口方向,ab的符號決定拋物線對稱軸的大致位置,c的符號決定拋物線與y軸交點的大致位置.知6-講字母(或式子)符號特征aa>0開口向上a<0開口向下b=0對稱軸為y軸ab>0(a,b同號)對稱軸在y軸左側(cè)ab<0(a,b異號)對稱軸在y軸右側(cè)具體如下表:知6-講字母(或式子)符號特征cc=0圖象過原點c>0圖象與y軸正半軸相交c<0圖象與y軸負半軸相交特別解讀對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c:(1)當x=1時,y=a+b+c,此時,若y=0,則a+b+c=0;若y>0,則a+b+c>0;若y<0,則a+b+c<0.(2)當x=-1時,
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