數(shù)學學案：第一講一不等式（第課時）

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精1．不等式的基本性質(zhì)1．掌握不等式的基本性質(zhì)．2．會利用基本不等式的性質(zhì)證明不等式和比較大?。?．兩個實數(shù)大小的比較(1）a＞b________；(2)a＝ba－b____0；(3）______a－b＜0.2．不等式的基本性質(zhì)(1）如果a＞b，那么b＜a;如果b＜a，那么______，即________。（2)如果a＞b，b＞c，那么______，即a＞b,b＞c______.（3)如果a＞b，那么a＋c____b＋c.(4)如果a＞b，c＞0,那么ac____bc；如果a＞b，c＜0，那么ac____bc。（5)如果a＞b＞0，那么an____bn（n∈N，n≥2)．（6）如果________，那么eq\r（n,a）＞eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)．3．作差比較法（1)理論依據(jù)：__________;__________;__________.（2）方法步驟:①____；②____；③________；④______.①0是正數(shù)與負數(shù)的分界點，它為實數(shù)比較大小提供了“標桿"．②如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d.③如果a＞b＞0,c＞d＞0，那么ac＞bd.④如果ab＞0，且a＞b，那么eq\f（1,a)＜eq\f（1,b).【做一做1－1】若a＞b,則下列不等式一定成立的是()A.eq\f（b，a)＜1 B。eq\f(a,b）＞0 C．－a＞－b D．a(chǎn)－b＞0【做一做1－2】若a＜0，－1＜b＜0，則有（）A．a(chǎn)＞ab＞ab2 B．a(chǎn)b2＞ab＞a C．a(chǎn)b＞a＞ab2 D．a(chǎn)b＞ab2＞a【做一做1－3】已知不等式組eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x>a,,x≥b）)的解集為x≥b，則a與b的大小關系是________．答案：1．(1)a－b＞0（2）＝(3）a＜b2．（1)a＞ba＞bb＜a（2)a＞ca＞c（3）＞（4）＞＜(5）＞（6）a＞b＞03．（1)a－b＞0a＞ba－b＝0a＝ba－b＜0a＜b(2)作差整理判斷符號下結論【做一做1－1】D【做一做1－2】D∵a＜0,－1＜b＜0，∴ab＞0，ab2＜0，故排除A,B選項；又∵0＜b2＜1,∴ab2＞a.故選D?！咀鲆蛔?－3】b＞a1．使用不等式的性質(zhì)時要注意的問題剖析：（1)在應用傳遞性時，如果兩個不等式中有一個帶等號而另一個不帶等號，那么等號是傳遞不過去的．如a≤b，b＜ca＜c。（2）在乘法法則中,要特別注意乘數(shù)c的符號，例如當c≠0時，有a＞bac2＞bc2；若無c≠0這個條件，則a＞bac2＞bc2就是錯誤結論（當c＝0時,取“＝”）．（3)a＞b＞0an＞bn＞0成立的條件是“n為大于1的自然數(shù)”，假如去掉“n為大于1的自然數(shù)”這個條件，取n＝－1,a＝3，b＝2，那么就會出現(xiàn)3－1＞2－1，即eq\f(1，3）＞eq\f（1，2）的錯誤結論．2．不等式性質(zhì)中的“”和“”表示的意思剖析：在不等式的基本性質(zhì)中，條件和結論的邏輯關系有兩種:“”與“”，即推出關系和等價關系，或者說“不可逆關系"與“可逆關系”．這要求必須熟記與區(qū)別不同性質(zhì)的條件．如a＞b，ab＞0eq\f（1,a）＜eq\f（1，b），而反之則包含幾類情況，即若eq\f（1,a）＜eq\f(1,b），則可能有a＞b，ab＞0，也可能有a＜0＜b，即a＞b，ab＞0與eq\f(1,a）＜eq\f(1，b)是不等價關系．3．文字語言與數(shù)學符號語言之間的轉換剖析：文字語言數(shù)學符號文字語言數(shù)學符號大于＞至多≤小于＜至少≥大于等于≥不少于≥小于等于≤不多于≤在數(shù)學命題中，文字語言的表述通常要“翻譯"成相應的數(shù)學符號語言，只有準確地轉換，才能正確地解答問題．題型一不等式的基本性質(zhì)【例1】若a，b，c∈R，a＞b，則下列不等式成立的是（）A。eq\f(1，a）＜eq\f(1,b） B．a(chǎn)2＞b2 C.eq\f（a,c2＋1）＞eq\f（b，c2＋1） D．a(chǎn)|c|＞b|c｜反思:對于考查不等式的基本性質(zhì)的選擇題，解答時，一是利用不等式的相關性質(zhì)，其中,特別要注意不等號變號的影響因素,如數(shù)乘、取倒數(shù)、開方、平方等；二是對所含字母取特殊值，結合排除法去選正確的選項，這種方法一般要注意選取的值應具有某個方面的代表性，如選取0、正數(shù)、負數(shù)等．題型二用作差法比較大小【例2】當a≠0時，比較（a2＋eq\r(2)a＋1)（a2－eq\r(2)a＋1)與（a2＋a＋1）（a2－a＋1）的大?。治觯罕容^兩個數(shù)的大小，將兩數(shù)作差，若差值為正,則前者大，反之,則后者大．反思:(1）用作差法比較兩個數(shù)(式）的大小時，要按照“三步一結論"的步驟進行，即：eq\x(作差）→eq\x(變形)→eq\x(定號)→eq\x（結論)，其中變形是關鍵，定號是目的．(2)在變形中，一般是變形得越徹底越有利于下一步的判斷，變形的常用技巧有:因式分解、配方、通分、分母有理化等．(3)在定號中,若為幾個因式的積，需每個因式均先定號,當符號不確定時，需進行分類討論．題型三利用不等式的基本性質(zhì)求范圍【例3】已知60＜x＜84，28＜y＜33,則x－y的取值范圍為________________，eq\f（x,y)的取值范圍為______．反思:本題不能直接用x的范圍去減或除以y的范圍，應嚴格利用不等式的基本性質(zhì)去求得范圍，其次在有些題目中，還要注意整體代換的思想，即弄清要求的與已知的“范圍”間的聯(lián)系．如已知20＜x＋y＜30,15＜x－y＜18，求2x＋3y的范圍，不能分別求出x，y的范圍,再求2x＋3y的范圍，應把已知的“x＋y”“x－y"視為整體，即2x＋3y＝eq\f（5,2）(x＋y）－eq\f（1，2)（x－y)，所以需分別求出eq\f（5,2）（x＋y),－eq\f（1,2)(x－y)的范圍，兩范圍相加可得2x＋3y的范圍．題型四易錯辨析【例4】已知－eq\f(π，2）≤α＜β≤eq\f(π，2）,求eq\f（α＋β,2)，eq\f（α－β，2)的取值范圍．錯解：∵－eq\f（π，2）≤α＜β≤eq\f（π，2），∴－eq\f（π,4)≤eq\f（α，2）≤eq\f(π,4），－eq\f(π,4）≤eq\f（β，2）≤eq\f(π，4），因而兩式相加得－eq\f(π,2)≤eq\f（α＋β,2)≤eq\f（π,2），又∵－eq\f(π,4）≤－eq\f（β，2)≤eq\f（π，4），∴－eq\f(π,2）≤eq\f(α,2)－eq\f（β,2)≤eq\f（π,2)，∴－eq\f(π，2）≤eq\f（α－β,2)≤eq\f（π,2）.錯因分析:在解答本題的過程中易出現(xiàn)－eq\f(π，2）≤eq\f（α＋β，2）≤eq\f（π,2）和－eq\f（π,2)≤eq\f（α－β,2)≤eq\f（π，2）的錯誤，導致該種錯誤的原因是忽視了eq\f(α，2）、eq\f（β,2）都不能同時取到eq\f(π,4）和－eq\f(π,4）。反思：求代數(shù)式的取值范圍是不等式性質(zhì)應用的一個重要方面，嚴格依據(jù)不等式的性質(zhì)和運算法則進行運算，是解答此類問題的基礎．在使用不等式的性質(zhì)中，如果是由兩個變量的范圍求其差的范圍，一定不能直接作差，而要轉化為同向不等式后作和．答案:【例1】C本題只提供了“a，b,c∈R，a＞b”這個條件，而不等式的基本性質(zhì)中，幾乎都有類似的前提條件，但結論會根據(jù)不同的要求有所不同，因而這需要根據(jù)本題的四個選項來進行判斷．選項A,還需有ab＞0這個前提條件；選項B,當a，b都為負數(shù)或一正一負時都有可能不成立，如2＞－3，但22＞（－3）2不正確；對于選項C，eq\f(1,c2＋1）＞0，因而正確；選項D，當c＝0時不正確．【例2】解：(a2＋eq\r（2)a＋1)（a2－eq\r（2)a＋1)－（a2＋a＋1）(a2－a＋1)＝(a2＋1）2－2a2－[(a2＋1)2－a2］＝－2a2＋a2＝－a2.又∵a≠0，∴－a2＜0.∴（a2＋eq\r(2)a＋1）(a2－eq\r（2）a＋1)＜（a2＋a＋1)(a2－a＋1）．【例3】(27,56)（eq\f(20,11)，3）x－y＝x＋(－y），∴需先求出－y的范圍；eq\f（x，y)＝x×eq\f(1，y），∴需先求出eq\f（1,y）的范圍．∵28＜y＜33，∴－33＜－y＜－28，eq\f（1,33)＜eq\f(1，y）＜eq\f（1，28）.又60＜x＜84，∴27＜x－y＜56，eq\f（60，33）＜eq\f（x,y）＜eq\f(84，28)，即eq\f（20,11)＜eq\f（x,y）＜3?！纠?】正解：∵－eq\f（π,2)≤α＜β≤eq\f(π,2)，∴－eq\f(π，4）≤eq\f（α，2）＜eq\f(π，4），－eq\f(π,4)＜eq\f（β，2)≤eq\f(π，4）。因而兩式相加得－eq\f(π,2)＜eq\f（α＋β，2）＜eq\f(π,2).又∵－eq\f（π,4)＜eq\f(β，2)≤eq\f（π，4)，∴－eq\f(π，4)≤－eq\f(β，2)＜eq\f(π，4)，∴－eq\f（π,2）≤eq\f（α－β，2）＜eq\f(π,2）.又∵α＜β,∴eq\f(α－β，2)＜0，∴－eq\f（π,2）≤eq\f（α－β,2)＜0.即eq\f（α＋β,2)的取值范圍為（－eq\f(π，2),eq\f（π,2))，eq\f（α－β，2)的取值范圍為［－eq\f(π,2)，0)．1．設a＞1＞b＞－1，則下列不等式中恒成立的是（)A.＜ B.＞ C．a(chǎn)＞b2 D．a(chǎn)2＞2b2．“a＋c＞b＋d"是“a＞b且c＞d”的（)A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．設角α，β滿足＜α＜β＜，則α－β的取值范圍是（）A．－π＜α－β＜0 B．－π＜α－β＜πC．＜α－β＜0 D．＜α－β＜4．設x＝a2b2＋5,y＝2ab－a2－4a，若x＞y，則實數(shù)a,b滿足的條件是________．5．比較與2的大?。╪≠0）．答案：1．CA項中,若b＜0,則＜不成立；B項中，若a＞b＞0，則＜；C項中，由a＞1,0≤b2＜1，得b2＜a，∴C項正確；D項中，若a＝1。1，b＝0.6,則a2＞2b不成立．2．A∵a＋c＞b＋da＞b且c＞d，但a＞b且c＞da＋c＞b＋d.∴所求條件應為必要不充分條件．3．A∵＜α＜β＜，∴＜－β＜－α＜.∴－π