有限元講義-6-動力分析有限元

《有限元》講義PAGEPAGE17第6章結構動力分析有限元法此前述及的問題屬于靜力分析問題，即作用在結構上的荷載是與時間無關的靜力。由此求得的位移、應力等均與時間無關。實際工程中的大部分都可簡化成靜力問題。但當動載與靜載相比不容忽略時，一般應進行動力分析。如地震作用下的房屋建筑，風荷載作用下的高層建筑等，都應計算動荷載作用下的動力反應。研究課題中以動力問題為主。解決動力問題有兩大工作要做：一是動荷載的模擬和計算，二是結構反應分析。本章將討論如何用有限元來解決動力計算問題。6.1結構動力方程一．單元的位移、速度和加速度函數(shù)設單元的位移函數(shù)為；6—1—1式中：單元位移函數(shù)列陣、結點位移函數(shù)列陣均是時間t的函數(shù)。由6-6—1—26—1—3二．單元的受力分析設圖示三角形單元，當它處于運動狀態(tài)時，其上的荷載一般應包括：單元上的荷載；單元對結點的作用力,單元內部單位體積的：慣性力：6—1—4阻尼力（設正比于運動速度）：6—1—5干擾力（已知的條件）：根據(jù)達朗貝爾原理，上述四力將構成一瞬時平衡力系，使單元處于動平衡狀態(tài)。為此尋求四者之間的關系；三．結點力與結點位移、速度和加速度之間的關系用虛功原理推導：令單元結點發(fā)生任意可能的虛位移，它滿足單元所定義的位移場，即虛位移場成立。作用在單元上的外力所作的外力虛功：單元內部應力在由于虛位移所引起的虛應變上所做的內力虛功：根據(jù)虛功原理（T=W），若將慣性力，阻尼力用上面的6—1—4，6—1—5代替，得：由于虛位移的任意性，可從等式兩邊各項中消去，得：簡寫為：6—1—6式中：單剛（第一項為彈性恢復力）單元阻尼矩陣（第二項為阻尼力）質量矩陣（第三項為慣性力）包括由作用在單元上的干擾力轉化成的等效結點荷載6—1—6即為單元結點力之間的關系式。四、結構的動力方程有了上述單元力關系式，象在靜力問題中對每個結點建立平衡方程一樣，根據(jù)達朗貝爾原理，對每個結點建立動平衡方程后，即可得到結構的動力方程組：6—1—7式中：分別為總質量、總阻尼、總剛度矩陣。為外力（結點力），實為干擾力（當不考慮靜載時）當不計阻尼影響時，上式成為：6—1—8若干擾力為零，得：6—1—9即結構的無阻尼自由振動微分方程組。由此可求得結構的自振特性（頻率，振型）。由上可見，動力問題首先要解決及的形成和方程組的求解問題，下面逐一加以討論。6.2單元質量矩陣和單元阻尼矩陣由于單元質量矩陣表達式中包含了推導單元剛度矩陣時相同的形函數(shù)，因此常將按此式形成的稱為協(xié)調質量矩陣（或一致質量矩陣），下面對此討論。一、幾種常見的協(xié)調質量矩陣梁單元（如圖）設梁單元位移函數(shù)：式中形函數(shù)設單元的質量沿梁的長度方向均勻分布，則有：6—2—1二、集中質量矩陣從上可知，單元的協(xié)調質量矩陣和單剛具有相同的階數(shù)，因此，從總質量矩陣的階數(shù)也與總剛相同?；蛘哒f采用協(xié)調質量矩陣后，結構的振動自由度和結構的靜力自由度是相同的，動力問題的這種做法，其求解是很費時的：形成質量矩陣的工作量等同于總剛特征值的求解但是工程實際和試驗證明，在某種干擾力作用下，結構的動力反應是有明顯主次之分的。因為工程上通常把單元的分布質量集中到各結點而成為集中推聚質量，這樣可使問題得到很大簡化，且計算經(jīng)驗表明，二者給出的計算精度相差無幾（如果小而重的物體放置在一個輕型結構的結點上集中質量公式是近乎精確的）質量集中按靜力等效原則，且常忽略轉動慣量的影響，上述各單元的質量矩陣簡化為：梁單元：常應變三角單元：矩形薄板單元：由此可見，采用集中質時，集中質量即采用“就近堆積”的原則。三、阻尼矩陣在結構動力分析中，較多采用的是粘滯阻尼理論，即假定阻尼力與速度成正比，由此得到單元的阻尼矩陣：①這樣做，可給方程組的求解帶來方便。但這個假定并不能很好的符合結構的實際情況。因此在實際應用中也常采用M和K的線性組合：②或③也可寫成更一般的形式：④當取S=0、1兩項時，即為式②式中系數(shù)由下式假定：由于阻尼矩陣依賴于質量矩陣和剛度矩陣，故可通過、而獲得。6.3結構的自由振動和特征值問題一、特征值方程這是一個大家都很熟悉的問題，故著重討論程序設計上的一些處理方法。結構作無阻尼自由振動的微分方程：6—1—9設結構作簡諧振動：將其代回6—1—9得：求解特征方程6—3—1，即可獲得幾個運動自由度所對應的頻率和振型。還有另一種求特征值的頻率方程：由結構力學可知，如果從質點的位移方程出發(fā)，建立運動方程（柔度法）則n階自振方程：相應頻率方程：6—3—2式中：—柔度矩陣；；—n階單位矩陣。解此方程亦得到上述相同結果。特征方程的解法很多（迭代法、雅可比、子空間），但無論哪種方法，也不管是6—3—1或6—3—2，對一個大型結構系統(tǒng)來說，如果它的的運動自由度與靜力自由度一致的話，其求解是很費時的。工程實際應用中，所要求的運動自由度遠小于靜力自由度。二、特征值方程求解方法如圖示剛架，在水平地震力作用下，我們通常只取各樓層的水平位移為運動自由度，即對該結構來說靜力自由度為72，而運動自由度僅6。在運動方程6—1—7里，如果只取與運動自由度有關的位移分量，則可使求解大為簡化。此時?？蓪階自由度體系的運動方程改為：6—3—3式中小標E代表只與振動自由度有關的位移分量。從包含運動全部自由度的運動方程6—1—7中分離出只包含運動自由度的運動方程6—3—3，常稱為凝聚或縮減。凝聚可采用多種辦法：自由度編號分塊法（王志楷《高等結構力學》）在形成總剛時，人為地將與運動自由度相應的位移分量排在一起，而將其余自由度另放一起，設與質點運動自由度有關的位移分量為，則總剛可寫成如下分塊形式：①②因，由①得③將③代入②得簡寫為式中在房屋建筑結構抗震問題中又稱為抗側剛度矩陣（只含樓層水平位移）此法缺點，帶寬大（近乎滿陣），存多個矩陣，多矩陣乘，甚大。故只適宜于小問題，研究性問題。書：ConceptsandApplicationsofFiniteElementAnalysisR.D.cook86.21R.D.3分塊有程序，并言可不分別編號亦能凝聚2.根據(jù)質量矩陣中主元為零的信息，在解方程中直接加以處理（特殊的解頻率方程的方法，通常只用于自由振動）3．模態(tài)綜合法（子結構法用于動力計算）4．直接形成與相應的柔度矩陣這是較好的一種方法，在結構抗震的彈性分析中較多采用。其思路是，根據(jù)柔度中柔度系數(shù)的物理意義（單位力作用下的位移）可分別在各質點加水平單位力，逐一求出其與運動自由度對應的位移，從而獲得。仍以上例為例，其為：式中表示當質點j作用一單位水平力時，質點i所在結點的水平位移。由于求時，總剛已經(jīng)分解，將每個單位力作為一組獨立工況，可很快解出其位移列陣。從中挑出與質點水平位移有關的分量即可組成。計算工作量小，不需附加數(shù)組，程序簡單，見subroutineDZL()?？捎芍苯哟腩l率方程求解，也可對求逆得出抗側總剛形成柔度矩陣的程序段：DO30I=1,MA動力自由度數(shù)DO10J=1,NN 未知量總數(shù)10P（J）＝0 右端項P（JW（I））＝1只分解加相應單位力CALLJFC（NN，LD，2）解方程DO20J＝1，MA20A（J，I）＝P（JW（I））柔度矩陣30CONTINUE6.4地震反應分析的計算機方法——振型分解反應譜法上節(jié)介紹的求解結構自振特性是結構動力分析中很重要的一步。但在工程應用中常需動力反應分析。如地震反應分析。地震反應分析通常采用兩種方法：反應譜法和時程分析法（直接積分法）。我國抗震規(guī)范提供了三種計算動力反應的方法：底部剪力法、振型分解反應譜法和時程分析法。底部剪力法是一種簡化的手算方法。故本次課介紹兩種方法。－、振型分解法概念振型分解法是利用振型的正交性，將原來的n階聯(lián)立方程①6-4-1李P264~35分解成相互獨立的振動方程，把結構的復雜振動，分解成按各個振型的獨立振動的疊加，也可理解成把結構結點位移列矢量表達成：②6-4-2式中為上節(jié)求得的振型矩陣，稱為振型坐標，或廣義坐標。將②代入①并利用振型的正交條件：（阻尼亦滿足正交條件）便可將式①化為n個獨立非耦聯(lián)的微分方程：③6-4-3若引入記號：第j振型的廣義質量…………廣義剛度系數(shù)………廣義阻尼系數(shù)則可化成一般形式的單質點振動力方程：④6-4-4李P78式中為第j振型的振型參與系數(shù)為第j振型阻尼比省去上式中的下標j，并將右端項換成，便得常見單質點振動微分方程形式。⑤它的解可用杜哈美積分表示：6-4-5>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>二．地震反應譜概念（思路）反應譜理論創(chuàng)立于1940年代，它考慮了結構動力特性與地震動特性之間的動力關系。通過反應譜來計算由結構動力特性（周期、振型和阻尼）所產(chǎn)生的動力效應。反應譜方法基于以下假定（水平振動）假定地震時建筑物的地基只作平行于地面的剛體運動；假定地面運動過程可以用強震儀記錄來表示；假定建筑物是彈性體系。這樣，就可以利用儀器所記錄的地面加速度時程曲線，按振型分解的方法將建筑物在地震作用下的強迫振動化為一系列單自由度體系問題。由6-4-5式，通過數(shù)值積分方法便可計算出任何一個頻率為，阻尼比為的單質點體系在給定加速度影響下的相對位移反應曲線。在相同作用下，不同的單質點反應各不相同，即各自反應曲線的峰值和頻率特性也各不相同，取哪一條呢？好在設計中最關心的往往是最大反應。阻尼比一定時，對于不同的自振周期T（頻率）都可以找出相應最大位移反應。于是，對于每一個地震加速度記錄（）都可以算出一組以為參數(shù)的與周期T之間的關系曲線，這就是我們常說的位移反應譜。工程設計中，一般都采用地震作用（荷載）的概念也就是通過荷載來計算結構的內力。為了計算地震荷載，還要涉及到速度和加速度反應譜，以及這些反應譜之間的關系。最后我們便可以計算出地震作用時在單質點體系上的最大慣性力，即地震作用力。式中：，地震系數(shù)，即以重力加速度g為單位的地面運動最大加速度。，動力系數(shù)，即以地面最大加速度為單位的加速度反應譜。，地震影響系數(shù)。我國抗震規(guī)范提供了地震影響系數(shù)曲線。規(guī)范規(guī)定，與自振周期、場地類別等有關（見下面圖）對于多自由度體系，即可利用反應譜，查得對應于各振型的絕對最大值的地震反應，得到簡化的地震作用計算公式。>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>..直線下降段的下斜率調整系數(shù)。且阻尼調整系數(shù)且阻尼比，建筑結構的阻尼比應取0.05?！?.1.5條。特征周期。按表5.1.4-2取值特征周期值（s）設計地震分組場地類別ⅠⅡⅢⅣ第一組第二組第三組0.250.300.350.350.400.450.450.550.650.650.750.90原分近、遠震三．地震作用計算對于多自由度體系，即可利用反應譜，查得對應于各振型的絕對最大值的地震反應，從而得到簡化的地震作用計算公式（規(guī)范公式）規(guī)范給出第j振型i質點上的水平地震作用標準值抗規(guī)P31式中：地震影響系數(shù)；震型參與系數(shù)；比照P2式振型向量中的元素i（j振型i質點的水平相對位移）質點i的重量（重力荷載代表值P27§5.1.3條）對于第j振型對結構的地震作用效應，可將當作一組靜載施加于結構，計算其內力、位移（量值）對于各振型的總作用效應：上式稱為平方和開方法（SRSS法），適用于平面問題的計算，當用振型分解反應譜法對結構物體作空間分析，也即考慮結構物的空間扭轉效應時，采用完整二次項組合法（COC法）eq\o\ac(○,2)單項地震的扭轉效應：（規(guī)P33）抗規(guī)P33(5.2.3-5)式中：：地震作用標準值的扭轉效應；、：分別為j、k振型地震作用標準值的效應，可取前9～15個振型；、：分別為j、k振型的阻尼比；：第j振型與k振型的耦聯(lián)系數(shù)；：k振型與j振型自振周期比；采用COC法應組合前9～15個振型?？蛇M一步解釋扭轉振型的特點。eq\o\ac(○,3)雙向水平地震的扭轉效應按扭轉耦聯(lián)振型分解法計算，可取兩個正交水平位移和一個轉角，共三個自由度計算：式中：、、：分別為j振型i層的小方向、y方向和轉角方向的地震作用標準值；、：分別為j振型i層質心在x、y方向的水平相對位移；：j振型i層的相對扭轉角；：i層轉動半徑，可取i層繞質心的轉動慣量除以該層質量的商的正二次方根；：計入扭轉的j振型的參與系數(shù)；6.5時程分析法（直接積分法、步步積分、逐步積分）DirectIntegrationMethodsstepbystep前面介紹的反應譜理論盡管考慮了結構的動力特性，然而它仍然是把地震慣性力當作靜力來對待，所求的是一個綜合的最大值，所以還只是一種準動力方法。時程分析法是采用地震加速度時程曲線作為輸入?yún)?shù)，對結構進行地震反應的時間歷程分析，是一種完整的動力分析方法。優(yōu)點：eq\o\ac(○,1)全面考慮了強震中震動的振幅、頻譜和持時三要素。eq\o\ac(○,2)全面考慮了長周期分量對高層的不利影響。eq\o\ac(○,3)可了解到地震過程中結構物的屈服機制和較準確地找出結構的薄弱部位?；舅枷耄簩⒈緛響谌魏螘r刻大都應滿足的運動方程的位移矢量簡化為只要在時間離散點上滿足方程。而在一個時間間隔內，對位移、速度、加速度的關系則采用某種假定。依所取假定不同而有各種不同的積分方法。如假定在一個時間間隔內加速度按線性變化的線加速度法，以線加速度法為基礎的法，以及Newmark法等。以下介紹法。一．線加速度法的基本原理因為法是以線加速度法為基礎的，故首先介紹其基本原理。在時刻ti到ti+1（ti+1=ti＋Δt）之間，假定ti時刻的質點的地震響應（）是已知的，ti＋1時刻的質點的地震響應（）是待求量。線加速度法假定在每個時間間隔內的加速度呈線性變化。因此，位移對時間的三階導數(shù)應為常數(shù)，即：（a）將位移反應y（即前面的D）在時刻開始時展開成泰勒級數(shù)：（b）將式（a）代入式（b）得：（c）對求導得：（d）當時，即時程由變化到時，由式（c）得：或寫成：（e）由式（d）得：或寫成：（f）由式（e）得：（g）將式（g）代入式（f）可得：（h）從式（g）和式（h）可看出，速度增量，加速度增量都可以通過位移增量算出，為了求，我們先討論單自由度的情況，然后再擴展到多自由度。單自由度體系的運動方程為：（i）在時，式（i）同樣成立：（j）式（i）、式（j）相減即得增量動平衡方程：（k）將速度增量的表達式（h）和加速度增量表達式（g）代入上式并整理得：（）式中：等效剛度系數(shù)（矩陣）等效荷載系數(shù)（矩陣）式（）叫增量擬靜力平衡方程，據(jù)此可算出（因為步長及、等均為已知），再由式（h）、（g）計算出、，于是得到了、和。重復以上過程便可以得到各時刻的地震反應。這便是用線性加速度法計算地震反應的基本原理。對于多自由度體系，也可以用同樣的辦法來逐步計算。二．法法（法）象上面介紹的線加速度法一樣，仍是假定在每個時間間隔內的加速度按直線規(guī)律變化，所不同的只是將時間間隔延伸到。所以此法又叫作修正的線加速度法。上述線加速度法是有條件穩(wěn)定的，而法是無條件穩(wěn)定的。法的公式推導過程與前面線加速度法基本相同，因此我們這里（6-3-3）式為基礎直接給出多自由度體系的迭代步驟和相應公式：（6-3-3）（1）形成等效剛度矩陣：（2）位移、速度、加速度和右端頂項賦初值：（3）形成等效荷載列陣：（4）解方程：（5）計算加速度增量：時間步長為時：正常步長時：（6）時刻的反應：位移反應：速度反應：加速度反應：在上述數(shù)值計算