安徽省池州市貴池區(qū)2024-2025學(xué)年九年級上學(xué)期開學(xué)考數(shù)學(xué)試題（附答案）

安徽省池州市貴池區(qū)2024-2025學(xué)年九年級上學(xué)期開學(xué)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）1．“長城是中華民族的驕傲”的英文是“TheGreatWallistheprideoftheChinesenation”，在這句英文中，字母“i”出現(xiàn)的頻率是（）A． B． C． D．2．適量的運(yùn)動有助于身體健康．經(jīng)常運(yùn)動的人在靜息狀態(tài)下心率的范圍是次/分．某班班主任隨機(jī)測量了15名學(xué)生的心率，統(tǒng)計結(jié)果如下表所示：心率/（次/分）6068707380人數(shù)/名25512這15名學(xué)生的心率的中位數(shù)是（）A．65次/分 B．67.5次/分 C．70次/分 D．72.5次/分3．已知，則的值為（）A． B． C．2024 D．20254．象棋是中國的傳統(tǒng)棋種。在如圖所示的象棋盤中，每個小正方形的邊長均為1，“馬”從圖中的位置出發(fā)，按照“馬走日”的規(guī)則，走一步之后的落點(diǎn)與“帥”的最大距離是（）A．5 B． C． D．5．下列運(yùn)算正確的是（）A． B．C． D．6．若關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是（）A． B．且 C．且 D．7．生活中，我們可以用肘、拃、步長等來估計距離，某校教室里新安裝了一臺屏幕為矩形的多媒體設(shè)備，小明同學(xué)想知道屏幕有多大，他用手測得屏幕的長是12拃，寬是5拃，則屏幕的對角線長大約是（）（如圖，1拃≈20cm）A．100cm B．240cm C．260cm D．340cm8．某校舉辦了運(yùn)動會，在200m賽跑中，有5位同學(xué)的成績?nèi)缦卤硭?，其中有兩個數(shù)據(jù)被墨水遮蓋了，那么被遮蓋的兩個數(shù)據(jù)依次是（）同學(xué)甲乙丙丁戊平均成績方差時間/s3234363333A．30，4 B．30，2 C．32，4 D．32，29．如圖，在中，是的中點(diǎn)，作，垂足在線段上，連接，下列結(jié)論中錯誤的是（）A． B． C． D．10．如圖，在正方形中，是對角線上的兩點(diǎn)，且，若，則的長為（）A．5 B． C． D．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）11．計算：______．12．睡眠管理作為“五項管理”中重要的內(nèi)容之一，也是學(xué)校教育重點(diǎn)關(guān)注的內(nèi)容，為了了解學(xué)生的睡眠情況，張老師統(tǒng)計了八（3）班40名學(xué)生每天的睡眠時間，結(jié)果如下表所示，該班學(xué)生每天的平均睡眠時間是______h．睡眠時間/h8910人數(shù)/人6241013．在中，．若，則的面積為______．14．如圖，在菱形中，．（1）菱形的面積為______．（2）若點(diǎn)分別在上，且，連接，則的最小值為______．三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）15．解方程．（1）． （2）．16．計算．（1）． （2）．四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）17．如果三角形有一邊上的中線恰好等于這邊的長，那么我們稱這個三角形為“夢想三角形”．（1）如圖，在中，．求證：是“夢想三角形”．（2）在中，，若是“夢想三角形”，求的長；18．若關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，且．（1）求的取值范圍．（2）若，求的值．五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）19．2023年10月4日，杭州第19屆亞運(yùn)會龍舟項目在溫州龍舟運(yùn)動中心開賽，某商店為滿足龍舟愛好者的需求，特推出了龍舟模型，已知該模型每件成本30元，當(dāng)模型售價為50元時，10月售出300件，11月、12月銷量持續(xù)走高，假如12月售出507件．（1）求11月、12月這兩個月的月平均增長率．（2）為了讓利于愛好者，商店決定在每月售出507件的基礎(chǔ)上降價銷售，已知模型單價每降低1元，可多售出5件．若要使該商店仍能獲利5570元，則每件模型應(yīng)降價多少元？20．觀察下列等式．第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：．（1）請用含（為正整數(shù)，且）的等式表示上面的規(guī)律，并證明其正確性．（2）若三個整數(shù)能構(gòu)成直角三角形的三條邊長，則稱這三個數(shù)為勾股數(shù)（例如，3，4，5）．現(xiàn)有一個直角邊為35的直角三角形，它的三邊長能否為勾股數(shù)？若能，請利用（1）中得出的等式算出這組勾股數(shù)；若不能，請說明理由．六、（本題滿分12分）21．像，兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個代數(shù)式互為“有理化因式”。例如、與與與等都是互為“有理化因式”．進(jìn)行二次根式計算時，利用“有理化因式”可以化去分母中的根號．（1）化簡：①______；②______．（2）計算：．（3）已知，試比較的大小，并說明理由．七、（本題滿分12分）22．為了“弘揚(yáng)載人航天精神，厚植愛國主義情懷”，某校團(tuán)委從八、九年級學(xué)生中各抽取10名進(jìn)行航天知識競賽．為便于統(tǒng)計成績，采用了取整數(shù)的計分方式，滿分10分．此次競賽的成績?nèi)缦卤硭荆簩W(xué)生編號①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩八年級8979867a108九年級87978108779（1）若八年級學(xué)生和九年級學(xué)生的平均成績都是8分，則表中的______．（2）八年級學(xué)生成績的中位數(shù)是多少？（3）若八年級學(xué)生成績的方差是1.2，請求出九年級學(xué)生成績的方差，并判斷哪個年級學(xué)生的成績更為穩(wěn)定．八、（本題滿分14分）23．如圖，在正方形中，為的延長線上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．（1）求證：為等腰直角三角形．（2）求證：①；②．（3）若，求證：．答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）題號12345678910答案CCBADBCADD10．如圖，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到，，在與中，，．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）11．12．9.113．14．（1）（2）4（2）如圖，連接，作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接，可得，∵四邊形是菱形，，，四邊形為平行四邊形，，當(dāng)三點(diǎn)共線時，最小，四邊形是菱形，為等邊三角形，，，，，，三點(diǎn)共線，當(dāng)三點(diǎn)共線時，點(diǎn)，重合，，即的最小值為4．三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）15．解：（1），，，，或，．（2），，，，或，．16．解：（1）原式．（2）原式．四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）17．（1）證明：如圖1，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，由勾股定理得，，即是“夢想三角形”．（2）解：如圖2，當(dāng)邊上的中線時，，當(dāng)邊上的中線時，，即，解得，綜上所述，或4．18．解：（1）化為一般形式為，原方程有實數(shù)根，且，，解得．（2）由（1）得，，，，解得．五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）19．解：（1）設(shè)11月、12月這兩個月的月平均增長率為，根據(jù)題意可得，解得（不合題意，舍去）．答：11月、12月這兩個月的月平均增長率為．（2）設(shè)當(dāng)模型降價元時，該商店獲利5570元，根據(jù)題意可得，解得（不合題意，舍去）。答：每件模型應(yīng)降價10元．20．解：（1）由題中等式的規(guī)律可得，證明：左邊右邊．（2）它的三邊長能為勾股數(shù)．理由如下：，把代入，得，即，它的三邊長能為勾股數(shù)，這組勾股數(shù)為．六、（本題滿分12分）21．解：（1）①②（2）原式．（3），同理：，，．七、（本題滿分12分）22．解：（1）8（2）把八年級學(xué)生的成績按從小到大的順序排列為，中位數(shù)是（分）．（3）九年級學(xué)生成績的方差是，八年級學(xué)生成績的方差是1.2，九年級學(xué)生成績的方差是1