2024-2025版高中數(shù)學(xué)第一章解三角形1.1.1正弦定理學(xué)案新人教A版必修5

PAGE第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理必備學(xué)問(wèn)·自主學(xué)習(xí)1.正弦定理(1)定理的內(nèi)容.條件三角形的三個(gè)角A,B,C和它們的對(duì)邊a,b,c文字語(yǔ)言在一個(gè)三角形中,各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等符號(hào)語(yǔ)言QUOTE=QUOTE=QUOTE(2)本質(zhì):正弦定理反映的是三角形邊角之間的數(shù)量關(guān)系.該比值是此三角形外接圓的直徑.(3)作用:①求三角形的邊和角;②實(shí)現(xiàn)三角形邊角之間的互化;③求三角形外接圓的半徑.正弦定理QUOTE=QUOTE=QUOTE只適用于銳角三角形嗎?提示:正弦定理QUOTE=QUOTE=QUOTE適用于隨意三角形.2.三角形中的元素與解三角形(1)三角形中的元素:指的是三角形的三個(gè)角及其對(duì)邊.(2)解三角形:已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程.已知三角形的哪幾個(gè)元素,可以用正弦定理解相應(yīng)三角形?提示:①已知三角形的隨意兩角和一邊,求其他兩邊和另一角.②已知三角形的隨意兩邊和其中一邊的對(duì)角,求另一邊及另兩角.1.辨析記憶(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”).(1)在△ABC中,已知C=60°,a=1,b=3,可用正弦定理解此三角形. ()(2)對(duì)于隨意△ABC總有bsinA=asinB. ()(3)在△ABC中,若sinA>sinB,則A>B;反之,若A>B,則sinA>sinB. ()(4)在△ABC中,若A=30°,a=2,b=2QUOTE,則B=60°. ()提示:(1)×.已知三角形的兩邊和這兩條邊的夾角,無(wú)法用正弦定理解此三角形.(2)√.由正弦定理知QUOTE=QUOTE,即bsinA=asinB.(3)√.在△ABC中,sinA>sinB?a>b?A>B.(4)×.由正弦定理知QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,所以sinB=QUOTE,則B=60°或120°,又因?yàn)閎>a,所以B>A,故B=60°或120°.2.(教材二次開(kāi)發(fā):練習(xí)改編)在△ABC中,a=8,B=60°,C=75°,則b= ()A.4QUOTE B.4QUOTE C.4QUOTE D.QUOTE【解析】選C.在△ABC中,A=180°-(B+C)=45°,由正弦定理QUOTE=QUOTE得b=QUOTE=QUOTE=4QUOTE.3.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若sinA=QUOTE,a=3,b=1,則sinB= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.由正弦定理得sinB=QUOTE=QUOTE=QUOTE.關(guān)鍵實(shí)力·合作學(xué)習(xí)類型一已知兩角及一邊解三角形(數(shù)學(xué)運(yùn)算)1.(2024·石家莊高一檢測(cè))在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且b=2,B=45°,C=120°,則邊c= ()A.QUOTE B.QUOTE C.2 D.QUOTE2.在△ABC中,若tanA=QUOTE,C=150°,BC=1,則AB等于.

3.在△ABC中,已知a=2QUOTE,A=30°,B=45°,解三角形.【解析】1.選D.因?yàn)閎=2,B=45°,C=120°,由正弦定理QUOTE=QUOTE,可得QUOTE=QUOTE,解得c=QUOTE.2.因?yàn)閠anA=QUOTE,0°<A<180°,所以sinA=QUOTE.由正弦定理知QUOTE=QUOTE,所以AB=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE3.因?yàn)镼UOTE=QUOTE=QUOTE,所以b=QUOTE=QUOTE=QUOTE=4.因?yàn)镃=180°-(A+B)=180°-(30°+45°)=105°,所以c=QUOTE=QUOTE=QUOTE=2+2QUOTE.已知兩角及一邊解三角形的一般步驟【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別是45°,60°,它們所夾邊的長(zhǎng)是1,求最小邊長(zhǎng).【解析】設(shè)在△ABC中,A=45°,B=60°,則C=180°-(A+B)=75°.因?yàn)镃>B>A,所以最小邊為a.又因?yàn)閏=1,由正弦定理得,a=QUOTE=QUOTE=QUOTE-1,所以最小邊長(zhǎng)為QUOTE-1.類型二已知兩邊及一邊的對(duì)角解三角形(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】在△ABC中,已知B=30°,b=QUOTE,c=2,解三角形.四步內(nèi)容理解題意條件:B=30°,b=QUOTE,c=2,結(jié)論:求角A、角C和邊a思路探求依據(jù)題目條件及正弦定理可得sinC=QUOTE,求出角C,進(jìn)而可以計(jì)算A,a.書(shū)寫表達(dá)由正弦定理得sinC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,因?yàn)閏>b,0°<C<180°,所以C=45°或135°.②(1)當(dāng)C=45°時(shí),A=105°,a=QUOTE=QUOTE=QUOTE+1,(2)當(dāng)C=135°時(shí),A=15°,a=QUOTE=QUOTE=QUOTE-1.留意書(shū)寫的規(guī)范性:①③④處正確應(yīng)用正弦定理的變形是解題的關(guān)鍵;②處依據(jù)三角函數(shù)值求角時(shí),要留意結(jié)合角的范圍.題后反思利用正弦定理求角時(shí),一方面要留意由正弦值求角有可能出現(xiàn)兩解的狀況,另一方面要留意三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用已知兩邊及一邊的對(duì)角解三角形的步驟(2024·深圳高一檢測(cè))在△ABC中,A=60°,AC=QUOTE,BC=QUOTE,則C= ()A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】選D.設(shè)A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,所以sinB=QUOTE,又因?yàn)閍>b,所以A>B,且0°<B<180°,所以B=30°,所以C=180°-A-B=90°.【拓展延長(zhǎng)】在△ABC中,已知a,b和A,以點(diǎn)C為圓心,以邊長(zhǎng)a為半徑畫(huà)弧,此弧與除去頂點(diǎn)A的射線AB的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為三角形解的個(gè)數(shù).解的個(gè)數(shù)見(jiàn)下表:A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式①a=bsinA且a<b②a≥bbsinA<a<ba<bsinAa>ba≤b解的個(gè)數(shù)一解兩解無(wú)解一解無(wú)解【拓展訓(xùn)練】依據(jù)下列條件,推斷△ABC有沒(méi)有解?若有解,推斷解的個(gè)數(shù).(1)a=5,b=4,A=120°.(2)a=5,b=4,A=90°.(3)a=10QUOTE,b=20QUOTE,A=45°.(4)a=20QUOTE,b=20QUOTE,A=45°.(5)a=4,b=QUOTE,A=60°.【解析】(1)(2)中因?yàn)閍>b,所以只有一解.(3)中bsinA=20QUOTEsin45°=10QUOTE,所以a=bsinA,所以只有一解.(4)中bsinA=20QUOTEsin45°=10QUOTE,所以bsinA<a<b,所以有兩解.(5)中bsinA=QUOTEsin60°=5,所以a<bsinA,所以無(wú)解.【補(bǔ)償訓(xùn)練】在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a=QUOTE,b=2,sinB+cosB=QUOTE,則角A的大小為.

【解析】由sinB+cosB=QUOTE,得sinQUOTE=1,由B∈(0,π),得B=QUOTE,由正弦定理,QUOTE=QUOTE,得sinA=QUOTE=QUOTE,又a<b,所以A=QUOTE.答案:QUOTE類型三用正弦定理進(jìn)行邊角互化(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)角度1運(yùn)算求解問(wèn)題

【典例】(2024·駐馬店高二檢測(cè))在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知4bcosBsinC=QUOTEc,則B= ()A.QUOTE或QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE或QUOTE【思路導(dǎo)引】利用正弦定理化邊為角,建立關(guān)于角B的三角方程.【解析】選D.由4bcosBsinC=QUOTEc,得4sinBcosBsinC=QUOTEsinC,所以sin2B=QUOTE,又因?yàn)锽為△ABC的內(nèi)角,所以2B=QUOTE或QUOTE,所以B=QUOTE或QUOTE.將本例條件“4bcosBsinC=QUOTEc”改為“2asinB=QUOTEb”,求角A.【解析】因?yàn)?asinB=QUOTEb,由正弦定理可得,2sinAsinB=QUOTEsinB,又sinB≠0,所以sinA=QUOTE,所以A=QUOTE或QUOTEπ.角度2化簡(jiǎn)證明問(wèn)題

【典例】在隨意△ABC中,求證:a(sinB-sinC)+b(sinC-sinA)+c(sinA-sinB)=0.【思路導(dǎo)引】方法一:邊化角,即由正弦定理,令a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(其中R是△ABC外接圓的半徑).代入等式左邊進(jìn)行化簡(jiǎn);方法二:角化邊,即由正弦定理,令sinA=QUOTE,sinB=QUOTE,sinC=QUOTE.代入等式左邊進(jìn)行化簡(jiǎn).【證明】方法一:由正弦定理,令a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.代入得:左邊=2R(sinAsinB-sinAsinC+sinBsinC-sinBsinA+sinCsinA-sinCsinB)=0=右邊,所以等式成立.方法二:由正弦定理,令sinA=QUOTE,sinB=QUOTE,sinC=QUOTE.代入得:左邊=aQUOTE+bQUOTE+cQUOTE=QUOTE(ab-ac+bc-ba+ca-cb)=0=右邊,所以等式成立.角度3推斷三角形的形態(tài)

【典例】(2024·濮陽(yáng)高二檢測(cè))在△ABC中,QUOTE=QUOTE=QUOTE,則△ABC肯定是 ()A.直角三角形 B.鈍角三角形C.等腰三角形 D.等邊三角形【思路導(dǎo)引】由QUOTE=QUOTE=QUOTE,利用正弦定理可得tanA=tanB=tanC,即可得出.【解析】選D.由正弦定理可得:QUOTE=QUOTE=QUOTE,又QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以tanA=tanB=tanC,又A,B,C∈(0,π),所以A=B=C=QUOTE,所以△ABC是等邊三角形.1.用正弦定理進(jìn)行邊角互化的兩種方法2.推斷三角形形態(tài)的兩種途徑(1)利用正弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系,通過(guò)因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系,從而推斷三角形的形態(tài).(2)利用正弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系,通過(guò)三角函數(shù)恒等變形得出內(nèi)角的關(guān)系,從而推斷出三角形的形態(tài),此時(shí)要留意應(yīng)用A+B+C=π這個(gè)結(jié)論.在兩種解法的等式變形中,一般兩邊不要約去公因式,應(yīng)移項(xiàng)提取公因式,以免漏解.1.△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,asinAsinB+bcos2A=QUOTEa,則QUOTE= ()A.2QUOTE B.2QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.由正弦定理得sin2AsinB+sinBcos2A=QUOTEsinA,即sinB·(sin2A+cos2A)=QUOTEsinA.所以sinB=QUOTEsinA.所以QUOTE=QUOTE=QUOTE.2.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知QUOTE=absinC.求證tanC=sinAsinB.【證明】因?yàn)镼UOTE=absinC,所以c2=absinCcosC,由正弦定理得,sin2C因?yàn)镃∈QUOTE,所以sinC>0,所以sinC=sinAsinBcosC,由題意知cosC≠0,所以tanC=sinAsinB.3.在△ABC中,若acosA=bcosB,試推斷△ABC的形態(tài).【解析】由正弦定理得,a=2RsinA,b=2RsinB,由acosA=bcosB得,sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B.因?yàn)?A,2B∈(0,2π),所以2A=2B或2A+2B=π.即A=B或A+B=QUOTE,所以△ABC為等腰或直角三角形.【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c.若3a=2b,則QUOTE的值為 ()A.QUOTEB.QUOTEC.1D.QUOTE【解析】選D.因?yàn)镼UOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE.因?yàn)?a=2b,所以QUOTE=QUOTE.所以QUOTE=QUOTE.所以QUOTE=2QUOTE-1=2×QUOTE-1=QUOTE-1=QUOTE.2.在△ABC中,已知2a=b+c,sin2A【解析】由sin2A=sinBsinC和正弦定理,得a2=bc.因?yàn)?a=b+c,所以a=QUOTE,所以QUOTE=bc,整理得(b-c)2=0,所以b=c.從而a=QUOTE=b=c,故△ABC是等邊三角形.課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,則下列等式正確的是 ()A.a∶b=A∶B B.asinA=bsinBC.a∶b=sinB∶sinA D.a∶b=sinA∶sinB【解析】選D.由QUOTE=QUOTE可得,只有D成立.2.一個(gè)三角形的兩個(gè)角分別等于