蘇科版八年級數(shù)學上冊壓軸題攻略專題06線段的垂直平分線與角平分線綜合壓軸題五種模型全攻略(原卷版+解析)

專題06線段的垂直平分線與角平分線綜合壓軸題五種模型全攻略【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一利用線段垂直平分線的性質求解】 1【考點二線段垂直平分線的判定】 4【考點三利用角平分線的性質求解】 8【考點四角平分線的判定】 10【考點五線段的垂直平分線與角平分線的綜合問題】 14【過關檢測】 20【典型例題】【考點一利用線段垂直平分線的性質求解】例題：（2023春·江蘇淮安·七年級?？茧A段練習）如圖，中，，，的垂直平分線交于E，D，連接，則．【變式訓練】1．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）三名同學分別站在一個三角形三個頂點的位置上，他們在玩搶凳子的游戲，要求在他們中間放一個凳子，搶到凳子者獲勝，為使游戲公平，凳子應放的最適當?shù)奈恢迷谌切蔚模?/p>

）A．三條角平分線的交點 B．三邊中線的交點C．三邊上高所在直線的交點 D．三邊的垂直平分線的交點2．（2023春·山東濟南·七年級濟南市章丘區(qū)第二實驗中學?？茧A段練習）如圖，在中，，的中垂線交于E，的中垂線交于G，則的周長等于．

3．（2023春·廣東深圳·七年級?？计谀┤鐖D，在中，，分別垂直平分邊和邊，交邊于M，N兩點，與相交于點F．

(1)若，求的周長；(2)若，則的度數(shù)為______°．【考點二線段垂直平分線的判定】例題：（2023春·陜西西安·七年級?？茧A段練習）如圖，為三角形的角平分線，于點E，于點F，連接交于點O．

(1)若，，求的度數(shù)；(2)寫出與的關系，并說明理由；【變式訓練】1．（2023秋·廣西河池·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，邊，的垂直平分線交于點．(1)求證：；(2)求證：點在線段的垂直平分線上．2．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，點是等邊外一點，，，點，分別在，上，連接、、、．(1)求證：是的垂直平分線；(2)若平分，，求的周長．【考點三利用角平分線的性質求解】例題：（2023春·山東威海·七年級統(tǒng)考期末）如圖，是中的平分線，于點E，，則（

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A．14 B．26 C．56 D．28【變式訓練】1．（2023春·甘肅張掖·八年級校考期末）一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一個涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三邊的距離相等，涼亭的位置應選在（）A．三角形三條邊的垂直平分線的交點 B．三角形三條角平分線的交點C．三角形三條高所在直線的交點 D．三角形三條中線的交點2．（2023春·山西運城·七年級統(tǒng)考期末）如圖，BD平分，P是上一點，過點P作于點Q，，O是上任意一點，連接，則的最小值為．

3．（2023春·陜西榆林·七年級?？计谀┤鐖D，在四邊形中，，，的平分線與的平分線相交于點，且點在線段上，．

(1)求的度數(shù)；(2)試說明．【考點四角平分線的判定】例題：（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，的平分線與的外角平分線相交于點，連接．求證：是的外角平分線．【變式訓練】1．（2023·廣東惠州·校聯(lián)考二模）如圖，，，于．

(1)求證：平分；(2)若，，求的長．2．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，于點E，于點F，若．(1)求證：平分；(2)請猜想與之間的數(shù)量關系，并給予證明．【考點五線段的垂直平分線與角平分線的綜合問題】例題：（2023秋·河北保定·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，平分，，于點E，點F在上，．(1)求證：．(2)連接，求證垂直平分．(3)若，，求的長．【變式訓練】1．（2023秋·河南洛陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，是的角平分線，于點E，于點F，連接．(1)求證：點D在的垂直平分線上；(2)若，，則的長為___________2．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，為外一點，為的垂直平分線，分別過點作，，垂足分別為點，，且．(1)求證：為的角平分線；(2)若，，求的長．3．（2023春·全國·八年級開學考試）如圖1，射線BD交△ABC的外角平分線CE于點P，已知∠A=78°，∠BPC=39°，BC=7，AB=4．(1)求證：BD平分∠ABC；(2)如圖2，AC的垂直平分線交BD于點Q，交AC于點G，QM⊥BC于點M，求MC的長度．【過關檢測】一、選擇題1．（2023春·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，是邊的垂直平分線，分別交于D、E兩點，連接，，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．2．（2023春·四川達州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點P為定角平分線上的一個定點，且與互補．若在繞點P旋轉的過程中，其兩邊分別與、相交于M、N兩點，則以下結論中，不正確的是（

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A．的值不變 B．C．的長不變 D．四邊形的面積不變二、填空題3．（2023春·山東青島·七年級山東省青島實驗初級中學?？计谀┤鐖D，是的角平分線，，垂足為，是的中線，，，．則的面積為．4．（2023春·湖南衡陽·七年級校聯(lián)考期末）如圖，在銳角三角形ABC中，，的面積為18，平分，若E、F分別是上的動點，則的最小值為．

三、解答題5．（2023春·河南商丘·七年級統(tǒng)考階段練習）如圖，，平分，點D，E在射線，上，點P是射線上的一個動點，連接交射線于點F，設．(1)如圖1，若．①的度數(shù)是，當時，；②若，求x的值；(2)如圖2，若，是否存在這樣的x的值，使得？若存在，求出x的值；若不存在，說明理由．6．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級統(tǒng)考期末）在中，，線段、分別平分、交于點G．

(1)如圖1，求的度數(shù)；(2)如圖2，求證：；(3)如圖3，過點C作交延長線于點D，連接，點N在延長線上，連接交于點，使，若，，求線段的長．7．（2023春·八年級課時練習）如圖，OF是的平分線，點A在射線上，P，Q是直線ON上的兩動點，點Q在點P的右側，且，作線段OQ的垂直平分線，分別交直線OF，ON于點B，點C，連接AB，PB．(1)如圖1，請指出AB與PB的數(shù)量關系，并說明理由．(2)如圖2，當P，Q兩點都在射線ON的反向延長線上時，線段AB，PB是否還存在（1）中的數(shù)量關系？若存在，請寫出證明過程；若不存在，請說明理由．8．（2023春·浙江寧波·七年級校考期末）角平分線性質定理描述了角平分線上的點到角兩邊距離的關系，小儲發(fā)現(xiàn)將角平分線放在三角形中，有一些新的發(fā)現(xiàn)，請完成下列探索過程：

【知識回顧】（1）如圖1，是的平分線上的一點，于點，作于點，試證：【深入探究】（2）如圖2，在中，為的角平分線交于于點，其中，求．【應用遷移】（3）如圖3，中，的角平分線與的中線交于點為中點，連接，若，則的長度為__________．9．（2023·貴州遵義·校考三模）已知D是Rt△ABC斜邊AB的中點，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，過點D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，連接CE并延長CE到P，使EP＝CE，連接BE，F(xiàn)P，BP，設BC與DE交于M，PB與EF交于N．（1）如圖1，當D，B，F(xiàn)共線時，求證：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如圖2，當D，B，F(xiàn)不共線時，連接BF，求證：∠BFD+∠EFP＝30°．10．（2023春·全國·八年級專題練習）【了解概念】如圖1，已知A，B為直線MN同側的兩點，點P為直線的一點，連接，，若，則稱點P為點A，B關于直線l的“等角點”．(1)【理解運用】如圖2，在中，D為上一點，點D，E關于直線對稱，連接并延長至點F，判斷點B是否為點D，F(xiàn)關于直線的“等角點”，并說明理由；(2)【拓展提升】如圖2，在（1）的條件下，若，，點Q是射線上一點，且點D，Q關于直線的“等角點”為點C，請利用尺規(guī)在圖2中確定點Q的位置，并求出的度數(shù)；(3)【拓展提升】如圖3，在中，，的平分線交于點O，點O到AC的距離為1，直線l垂直平分邊，點P為點O，B關于直線l“等角點”，連接，，當時，的值為．

專題06線段的垂直平分線與角平分線綜合壓軸題五種模型全攻略【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一利用線段垂直平分線的性質求解】 1【考點二線段垂直平分線的判定】 4【考點三利用角平分線的性質求解】 8【考點四角平分線的判定】 10【考點五線段的垂直平分線與角平分線的綜合問題】 14【過關檢測】 20【典型例題】【考點一利用線段垂直平分線的性質求解】例題：（2023春·江蘇淮安·七年級校考階段練習）如圖，中，，，的垂直平分線交于E，D，連接，則．【答案】/度【分析】先根據(jù)垂線平分線的定義得到，進而證明得到，則由三角形外角的性質可得．【詳解】解：∵的垂直平分線交于E，D，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了三角形外角的性質，全等三角形的性質與判斷，線段垂直平分線的定義，正確推出是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）三名同學分別站在一個三角形三個頂點的位置上，他們在玩搶凳子的游戲，要求在他們中間放一個凳子，搶到凳子者獲勝，為使游戲公平，凳子應放的最適當?shù)奈恢迷谌切蔚模?/p>

）A．三條角平分線的交點 B．三邊中線的交點C．三邊上高所在直線的交點 D．三邊的垂直平分線的交點【答案】D【分析】根據(jù)題意可知，凳子的位置應該到三個頂點的距離相等，從而可確定答案．【詳解】因為三邊的垂直平分線的交點到三角形三個頂點的距離相等，這樣就能保證凳子到三名同學的距離相等，以保證游戲的公平，故選：D．【點睛】本題主要考查垂直平分線的應用，掌握垂直平分線的性質是關鍵．2．（2023春·山東濟南·七年級濟南市章丘區(qū)第二實驗中學?？茧A段練習）如圖，在中，，的中垂線交于E，的中垂線交于G，則的周長等于．

【答案】8【分析】根據(jù)垂直平分線的性質定理，得，進而即可求解．【詳解】解：∵的中垂線交于E，的中垂線交于G，∴，∴的周長．故答案是：8．【點睛】本題主要考查垂直平分線的性質定理，掌握垂直平分線的性質定理是解題的關鍵．線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．3．（2023春·廣東深圳·七年級校考期末）如圖，在中，，分別垂直平分邊和邊，交邊于M，N兩點，與相交于點F．

(1)若，求的周長；(2)若，則的度數(shù)為______°．【答案】(1)(2)50【分析】（1）由線段垂直平分線的性質可得，，則的周長；（2）根據(jù)等邊對等角可得，，根據(jù)三角形內角和定理，列式求出，再求出，即可求解．【詳解】（1）解：∵，分別是，的中垂線∴，∴；（2）由（1）得，，由，分別垂直平分和，可得，∴，，∵在中，，∴，根據(jù)對頂角的性質可得：，，在中，，在中，，∴，∴，在中，∴，∴．故答案為：50．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質，等邊對等角的性質，三角形內角和定理，解題的關鍵是熟練掌握相關基本性質和整體思想的利用．【考點二線段垂直平分線的判定】例題：（2023春·陜西西安·七年級?？茧A段練習）如圖，為三角形的角平分線，于點E，于點F，連接交于點O．

(1)若，，求的度數(shù)；(2)寫出與的關系，并說明理由；【答案】(1)(2)，平分【分析】（1）根據(jù)三角形內角和可得，再利用內角和即可得出；（2）由角平分線的意義及兩個垂直可證明，從而有，由線段垂直平分線的判定知，，平分．【詳解】（1）解：∵∵∵∵∴（2）解：，平分；理由如下：∵平分，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴是線段的垂直平分線，即，平分．【點睛】本題考查了全等三角形的證明，等腰三角形的性質，三角形內角和，角平分線的性質．找到和，通過兩個三角形全等，找到各量之間的關系，完成證明是關鍵．【變式訓練】1．（2023秋·廣西河池·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，邊，的垂直平分線交于點．(1)求證：；(2)求證：點在線段的垂直平分線上．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質直接可得到答案；（2）根據(jù)到線段兩個端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上即可得到答案；【詳解】（1）證明：∵邊、的垂直平分線交于點，∴，，∴；（2）證明：∵邊，的垂直平分線交于點，∴，，∴，點在的垂直平分線上．【點睛】本題考查垂直平分線的性質及判定，解題的關鍵是熟練掌握垂直平分線上的點到線段兩個端點距離相等及到線段兩個端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上．2．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，點是等邊外一點，，，點，分別在，上，連接、、、．(1)求證：是的垂直平分線；(2)若平分，，求的周長．【答案】(1)見解析；(2)．【分析】（1）根據(jù)到線段兩端距離相等的點在垂直平分線上即可證明；（2）如圖，過D作于M，結合已知易證即，同理可得，易證得，同理可得，然后轉換求周長即可．【詳解】（1）證明：是等邊三角形，，∴A在的垂直平分線上，又，∴D在的垂直平分線上，是的垂直平分線；（2）如圖，過D作于M，，又是等邊三角形，同理可得平分，平分，在與中同理可得.【點睛】本題考查了垂直平分線的判定，角平分線的判定和性質，全等三角形的判定和性質；解題的關鍵是通過相關性質構造線段相等、進行轉換．【考點三利用角平分線的性質求解】例題：（2023春·山東威海·七年級統(tǒng)考期末）如圖，是中的平分線，于點E，，則（

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A．14 B．26 C．56 D．28【答案】D【分析】如圖：作交于點F，根據(jù)角平分線的性質可得，再由求解即可．【詳解】解：如圖，作交于點F，

∵平分，，，∴，∴，故選：D．【點睛】本題考查了角平分線的性質定理、三角形的面積公式等知識點，根據(jù)角平分線的性質定理得到是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023春·甘肅張掖·八年級?？计谀┮粔K三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一個涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三邊的距離相等，涼亭的位置應選在（）A．三角形三條邊的垂直平分線的交點 B．三角形三條角平分線的交點C．三角形三條高所在直線的交點 D．三角形三條中線的交點【答案】B【分析】根據(jù)題意，涼亭到草坪三邊的距離相等，涼亭的位置在三角形三條角平分線的交點，據(jù)此即可求解．【詳解】解：∵涼亭到草坪三邊的距離相等，∴涼亭的位置在三角形三條角平分線的交點，故選：B．【點睛】本題考查了三角形角平分線的性質，熟練掌握角平分線的性質是解題的關鍵．2．（2023春·山西運城·七年級統(tǒng)考期末）如圖，BD平分，P是上一點，過點P作于點Q，，O是上任意一點，連接，則的最小值為．

【答案】5【分析】根據(jù)垂線段最短確定點O的位置，再根據(jù)角平分線的性質即可得到最短距離．【詳解】解：O是上任意一點，當時，的值最小，又BD平分，P是上一點，，的最小值為5，故答案為：5．【點睛】本題考查角平分線的性質定理，垂線段最短，解題關鍵是找到最短距離的位置．3．（2023春·陜西榆林·七年級?？计谀┤鐖D，在四邊形中，，，的平分線與的平分線相交于點，且點在線段上，．

(1)求的度數(shù)；(2)試說明．【答案】(1)(2)詳見解析【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，同旁內角互補，以及角平分線的定義，即可作答；（2）過點作于點，再根據(jù)角平分線的性質定理即可證明．【詳解】（1）∵，∴．∵，∴．∵平分，∴．∵，∴，∴．∵平分，∴．（2）如圖．過點作于點．

∵平分，，，∴．∵平分，，，∴，∴．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，角平分線的性質定理的等知識，掌握角平分線的性質定理，是解答本題的關鍵．【考點四角平分線的判定】例題：（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，的平分線與的外角平分線相交于點，連接．求證：是的外角平分線．【答案】證明見解析【分析】作交的延長線于，于，于，根據(jù)角平分線的性質得到，根據(jù)角平分線的判定定理證明結論．【詳解】證明：作交的延長線于，于，于，平分、平分，，，，又，，∴是的外角平分線．【點睛】本題考查的是角平分線的性質和判定，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等、到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023·廣東惠州·校聯(lián)考二模）如圖，，，于．

(1)求證：平分；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)6【分析】（1）過C點作，交的延長線于點F．由證明，可得，結論得證；（2）證明，可得，可求出．【詳解】（1）證明：過C點作，交的延長線于點F．

∵，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，∴平分；（2）解：由（1）可得，在和中，，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了角平分線的判定與性質，全等三角形的判定與性質，關鍵是作出輔助線構造全等三角形．2．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，于點E，于點F，若．(1)求證：平分；(2)請猜想與之間的數(shù)量關系，并給予證明．【答案】(1)見解析(2)，證明見解析【分析】（1）根據(jù)證明，得到，再根據(jù)角平分線的判定定理，求證即可；（2）通過證明，得到，利用線段之間的關系，求解即可．【詳解】（1）證明：∵，，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴平分．（2）解：，證明如下：在和中，，∴，∴，∴．【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質，以及角平分線的判定定理，解題的關鍵是靈活利用相關性質進行求解．【考點五線段的垂直平分線與角平分線的綜合問題】例題：（2023秋·河北保定·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，平分，，于點E，點F在上，．(1)求證：．(2)連接，求證垂直平分．(3)若，，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）利用角平分線的性質可得，再利用“”證明，即可證明；（2）利用“”證明，可得，所以點A在的垂直平分線上，根據(jù)，可得點D在的垂直平分線上，進而可以解決問題；（3）設，則，即可建立方程求解．【詳解】（1）證明：∵于點E，∴，又平分，，∴，在和中，，∴，∴．（2）證明：連接，如圖在和中，，∴，∴∴點A在的垂直平分線上，∵，∴點D在的垂直平分線上，∴垂直平分（3）解：設，∵，，∴，，∵，∴，解得：∴【點睛】本題考查了直角三角形全等的判定與性質，角平分線的性質，解題關鍵是在圖形中找到正確的全等三角形以及熟悉以上性質與判定．【變式訓練】1．（2023秋·河南洛陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，是的角平分線，于點E，于點F，連接．(1)求證：點D在的垂直平分線上；(2)若，，則的長為___________【答案】(1)見解析(2)3【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質定理直接得出，則問題得解；（2）先得出，，結合，可得，問題隨之得解．【詳解】（1）證明：∵是的角平分線，，，∴．∴點D在的垂直平分線上．（2）∵，，∴，，∵在（1）中有：，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，即的長為3，故答案為：3．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質定理，根據(jù)角平分線的性質定理直接得出是解答本題的關鍵．2．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，為外一點，為的垂直平分線，分別過點作，，垂足分別為點，，且．(1)求證：為的角平分線；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，，根據(jù)線段垂直平分線的性質可得，再證明，可得，再證明，即可得證；（2）根據(jù)全等三角形的性質可得，進一步可得，從而可得．【詳解】（1）連接，，如圖所示：為的垂直平分線，，，，，在和中，，，在和中，，，為的角平分線；（2），，又，，即，，，．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質、角平分線的判定及線段垂直平分線的性質，熟練掌握直角三角形全等的判定方法是解題的關鍵．3．（2023春·全國·八年級開學考試）如圖1，射線BD交△ABC的外角平分線CE于點P，已知∠A=78°，∠BPC=39°，BC=7，AB=4．(1)求證：BD平分∠ABC；(2)如圖2，AC的垂直平分線交BD于點Q，交AC于點G，QM⊥BC于點M，求MC的長度．【答案】(1)見解析(2)MC=1.5【分析】（1）由∠ACF=∠A+∠ABF，∠ECF=∠BPC+∠DBF，得∠ABF=∠ACF-78°，∠DBF=∠ECF-39°，再根據(jù)CE平分∠ACF，得∠ACF=2∠ECF，則∠ABF=2∠ECF-78°=2（∠ECF-39°）=2∠DBF，從而證明結論；（2）連接AQ，CQ，過點Q作BA的垂線交BA的延長線于N，利用HL證明Rt△QNA≌Rt△QMC，得NA=MC，再證明Rt△QNB≌Rt△QMB（HL），得NB=MB，則BC=BM+MC=BN+MC=AB+AN+MC，從而得出答案．【詳解】（1）證明：∵∠ACF=∠A+∠ABF，∠ECF=∠BPC+∠DBF，∴∠ABF=∠ACF-78°，∠DBF=∠ECF-39°，∵CE平分∠ACF，∴∠ACF=2∠ECF，∴∠ABF=2∠ECF-78°=2（∠ECF-39°）=2∠DBF，∴BD平分∠ABC；（2）解：連接AQ，CQ，過點Q作BA的垂線交BA的延長線于N，∵QG垂直平分AC，∴AQ=CQ，∵BD平分∠ABC，QM⊥BC，QN⊥BA，∴QM=QN，∴Rt△QNA≌Rt△QMC（HL），∴NA=MC，∵QM=QN，BQ=BQ，∴Rt△QNB≌Rt△QMB（HL），∴NB=MB，∴BC=BM+MC=BN+MC=AB+AN+MC，∴7=4+2MC，∴MC=1.5．【點睛】本題主要考查了角平分線的定義和性質，三角形外角的性質，線段垂直平分線的性質，全等三角形的判定與性質等知識，作輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．【過關檢測】一、選擇題1．（2023春·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，是邊的垂直平分線，分別交于D、E兩點，連接，，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用垂直平分線的性質，可得，根據(jù)三角形內角和定理，可得的度數(shù)．【詳解】解：是邊的垂直平分線，，根據(jù)三角形內角和定理，可得，故選：D．【點睛】本題考查了垂直平分線的性質，三角形內角和定理，熟練利用垂直平分線的性質是解題的關鍵．2．（2023春·四川達州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點P為定角平分線上的一個定點，且與互補．若在繞點P旋轉的過程中，其兩邊分別與、相交于M、N兩點，則以下結論中，不正確的是（

）

A．的值不變 B．C．的長不變 D．四邊形的面積不變【答案】C【分析】如圖作于E，于F，于，可證，所以，由平分，得證，于是，所以，同時，所以，，推出，進一步得到，，所以，故B正確；因為，故A正確；由三角形全等可知，所以定值，故D正確；M，N的位置變化，所以的長度是變化的，故C錯誤．【詳解】解：如圖作于E，于F．

∵，∴，∵，∴，∴，∵平分，于E，于F，∴，在和中，，∴，∴，在和中，∴，∴，，∵，，∴，∴定值，故D正確，∵，故A正確，∵M，N的位置變化，∴的長度是變化的，故C錯誤．∵，∴，∵與互補，∴，∵，∴，∵，∴，∵平分，∴∴，故B正確，故選：C【點睛】本題主要考查角平線的性質定理、全等三角形的判定和性質；能夠結合角平分線的性質定理作出角平分線上點到兩邊的垂線段，構建全等三角形是解題的關鍵．二、填空題3．（2023春·山東青島·七年級山東省青島實驗初級中學校考期末）如圖，是的角平分線，，垂足為，是的中線，，，．則的面積為．【答案】【分析】過點作，垂足為，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得，然后根據(jù)三角形的面積公式可得，，可得，然后由三角形的中線得，根據(jù)求解即可．【詳解】解：過點作，垂足為，∵是的角平分線，，，，，∴，∴，，∴，∵是的中線，∴，∴，∴的面積為．故答案為：．【點睛】本題考查角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，三角形中線的性質，三角形的面積，作輔助線并利用角平分線的性質是解題的關鍵．4．（2023春·湖南衡陽·七年級校聯(lián)考期末）如圖，在銳角三角形ABC中，，的面積為18，平分，若E、F分別是上的動點，則的最小值為．

【答案】6【分析】過點C作于點P，交于點E，過點E作于F，則即為的最小值，再根據(jù)三角形的面積公式求出的長，即為的最小值．【詳解】解：過點C作于點P，交于點E，過點E作于F，

∵平分，，，∴，∴的最小值．∵的面積為18，，∴，∴．即的最小值為6，故答案為：6．【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，關鍵是將的最小值為轉化為，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目．三、解答題5．（2023春·河南商丘·七年級統(tǒng)考階段練習）如圖，，平分，點D，E在射線，上，點P是射線上的一個動點，連接交射線于點F，設．(1)如圖1，若．①的度數(shù)是，當時，；②若，求x的值；(2)如圖2，若，是否存在這樣的x的值，使得？若存在，求出x的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)①，；②；(2)存在這樣的x的值，使得．當或時，．【分析】（1）①運用平行線的性質以及角平分線的定義，可得的度數(shù)，根據(jù)求出的值；②根據(jù)三角形內角和求出，根據(jù)平行的性質的度數(shù)，相減即可得的值；（2）分兩種情況進行討論:在左側，在右側，分別根據(jù)三角形內角和定理，可得的值．【詳解】（1）解：①∵，平分，∴，∵，∴；∵，∴，，當時，，即，故答案為：，；②∵，，∴，又∵，∴，∴；（2）存在這樣的x的值，使得．分兩種情況：①如圖2，若在左側，∵，∴，∵，∴，當時，，解得；②如圖3，若在右側，∵，，∴當時，，解得；綜上所述，當或時，．【點睛】本題考查了三角形的內角和定理和三角形的外角性質的應用，三角形的內角和等于，三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角之和．解題時注意分類討論思想的運用．6．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級統(tǒng)考期末）在中，，線段、分別平分、交于點G．

(1)如圖1，求的度數(shù)；(2)如圖2，求證：；(3)如圖3，過點C作交延長線于點D，連接，點N在延長線上，連接交于點，使，若，，求線段的長．【答案】(1)(2)見解析(3)5【分析】（1）根據(jù)三角形內角和定理求出，根據(jù)平分、平分，得出，，求出，根據(jù)三角形內角和得出，即可求出結果；（2）作平分交于點，證明，得出，證明，得出，即可證明結論；（3）作交延長線于點，作交延長線于點，作于點，證明平分，根據(jù)，，得出，根據(jù)平分，，，得出，證明，證明，得出，證明，得出，作于點，于點，于點，根據(jù)，，得出，求出即可得出答案．【詳解】（1）解：在中，，∵∴，∵平分、平分，∴，，∴，在中，，∴．（2）解：作平分交于點，如圖所示：

∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴；（3）解：作交延長線于點，作交延長線于點，作于點，如圖所示：∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴平分，∵，，∴，∵平分，，，∴，∴，∴平分，∵，∴，∴，由（1）得，∴，∵，，，∴，∵，∴，由（2）得，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，作于點，于點，于點，∵，∴，，，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質，角平分線的判定和性質，三角形面積的計算，三角形內角和定理的應用，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形全等的判定方法．7．（2023春·八年級課時練習）如圖，OF是的平分線，點A在射線上，P，Q是直線ON上的兩動點，點Q在點P的右側，且，作線段OQ的垂直平分線，分別交直線OF，ON于點B，點C，連接AB，PB．(1)如圖1，請指出AB與PB的數(shù)量關系，并說明理由．(2)如圖2，當P，Q兩點都在射線ON的反向延長線上時，線段AB，PB是否還存在（1）中的數(shù)量關系？若存在，請寫出證明過程；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，理由見解析(2)存在，理由見解析【分析】（1）連接BQ，根據(jù)BC垂直平分OQ，可知，則，根據(jù)OF平分，則，即，根據(jù)，可知，則可知；（2）如圖，連接，根據(jù)垂直平分，可知，結合條件可證，則，根據(jù)平分，，可知，則，進而可知，由此可證（），則．【詳解】（1）解：理由如下：連接BQ∵BC垂直平分OQ∴∴∵OF平分∴∴∵∴∴；（2）存在，理由：如圖，連接，∵垂直平分，∴，在和中，∴（）∴，∵平分，，∴，∴，∴，在△AOB和△PQB中，∴（），∴．【點睛】本題考查了線段垂直平分線，全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學會用轉化的思想思考問題，本題屬于中考?？紗栴}．8．（2023春·浙江寧波·七年級校考期末）角平分線性質定理描述了角平分線上的點到角兩邊距離的關系，小儲發(fā)現(xiàn)將角平分線放在三角形中，有一些新的發(fā)現(xiàn)，請完成下列探索過程：

【知識回顧】（1）如圖1，是的平分線上的一點，于點，作于點，試證：【深入探究】（2）如圖2，在中，為的角平分線交于于點，其中，求．【應用遷移】（3）如圖3，中，的角平分線與的中線交于點為中點，連接，若，則的長度為__________．【答案】（1）見解析；（2）；（3）10【分析】（1）根據(jù)證明即可；（2）作于點，作于點，由角平分線的性質得，由三角形的面積公式可得，結合即可求解；（3）過E作于G，連接，由P為中點，設，根據(jù)是邊上的中線，設，根據(jù)三角形的面積的計算得到，根據(jù)角平分線的性質得到，于是得到結論．【詳解】（1）證明：，，在和中，，，（2）解：如圖，過點作于點，作于點，

平分，，，，同理可證，∴．，，設，則，，；（3）解：過E作于G，連接，

∵P為中點，∴，設，∵是邊上的中線，∴設，∵，∴，∴，∵，∴，∵是的角平分線，，∴，∴，∴，故答案為：10．【點睛】本題考查了三角形的面積的計算，全等三角形的判定與性質，角平分線的性質，三角形中線的性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．9．（2023·貴州遵義·?？既＃┮阎狣是Rt△ABC斜邊AB的中點，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，過點D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，連接CE并延長CE到P，使EP＝CE，連接BE，F(xiàn)P，BP，設BC與DE交于M，PB與EF交于N．（1）如圖1，當D，B，F(xiàn)共線時，求證：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如圖2，當D，B，F(xiàn)不共線時，連接BF，求證：∠BFD+∠EFP＝30°．【答案】（1）①見解析②30°（2）見解析【分析】（1）①本題主要考查通過角度計算求證平行，繼而證明△CBP是直角三角形，根據(jù)直角三角形斜邊中線可得結論．②本題以上一問結論為解題依據(jù)，考查平行線以及垂直平分線的應用，根據(jù)同位角相等可得BC∥EF，由平行線的性質得BP⊥EF，可得EF是線段BP的垂直平分線，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質可得∠PFE＝∠BFE＝30°．（2）本題主要考查輔助線的做法以及垂直平分線性質的應用，需要延長DE到Q，使EQ＝DE