備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)壓軸題訓(xùn)練專題10一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象及性質(zhì))(全題型壓軸題)(學(xué)生版+解析)

專題10一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象及性質(zhì)）目錄TOC\o"1-1"\h\u一、圖象識(shí)別題 1二、函數(shù)切線條數(shù)問(wèn)題 3三、不等式整數(shù)解問(wèn)題 4四、函數(shù)零點(diǎn)，方程根，兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題 5五、不等式恒成立問(wèn)題 7一、圖象識(shí)別題1．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的圖象大致為（

）A． B． C． D．2．（2024·寧夏固原·一模）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則的解析式可能為（

）A． B．C． D．3．（2024·天津·一模）如圖是函數(shù)的部分圖象，則的解析式可能為（

）

A． B．C． D．4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的大致圖像是（

）A．B．C．D．二、函數(shù)切線條數(shù)問(wèn)題1．（23-24高三上·廣東汕頭·階段練習(xí)）若過(guò)點(diǎn)可作曲線三條切線，則（

）A． B．C．或 D．2．（23-24高三上·廣東佛山·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的直線有三條，則（

）A． B． C． D．或3．（23-24高二下·安徽安慶·期末）若過(guò)點(diǎn)可以作曲線的三條切線，則（）A． B．C． D．4．（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·期末）過(guò)直線上一點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為（

）A． B．C． D．四、函數(shù)零點(diǎn)，方程根，兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題1．（23-24高二下·四川樂(lè)山·期末）已知函數(shù)和有相同的最小值．(1)求；(2)若直線與和的圖象共有四個(gè)不同的交點(diǎn)，試探究：從左到右四個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)之間的等量關(guān)系．2．（23-24高二下·廣東深圳·階段練習(xí)）用數(shù)學(xué)的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)之“美”．現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇．衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的曲率為(1)已知函數(shù)，①求函數(shù)在點(diǎn)處的曲率的平方；②求函數(shù)的曲率的最大值．(2)函數(shù)，若在兩個(gè)不同的點(diǎn)處曲率為0，求實(shí)數(shù)的取值范圍．3．（2024·北京房山·一模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)設(shè)，求函數(shù)的極大值；(3)若，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．4．（23-24高三下·上?！るA段練習(xí)）已知函數(shù)和(1)若函數(shù)是定義域上的嚴(yán)格減函數(shù)，求的取值范圍.(2)若函數(shù)和有相同的最小值，求的值(3)若，是否存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列5．（2023·黑龍江·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；(2)若過(guò)點(diǎn)可以作曲線的3條切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍．五、不等式恒成立問(wèn)題1．（2024·湖南·一模）若不等式對(duì)恒成立，其中，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．2．（2024·山東菏澤·一模）關(guān)于的不等式恒成立，則的最小值為．3．（23-24高三上·山東臨沂·期末）已知函數(shù)，若關(guān)于x的不等式（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）在R上恒成立，則a的取值范圍．4．（23-24高二下·廣東東莞·階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若恒成立，求的最小值.專題10一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象及性質(zhì)）目錄TOC\o"1-1"\h\u一、圖象識(shí)別題 1二、函數(shù)切線條數(shù)問(wèn)題 5三、不等式整數(shù)解問(wèn)題 9四、函數(shù)零點(diǎn)，方程根，兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題 13五、不等式恒成立問(wèn)題 24一、圖象識(shí)別題1．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的圖象大致為（

）A． B． C． D．【答案】A【優(yōu)尖升-分析】根據(jù)時(shí)的單調(diào)性可排除BC；再由奇偶性可排除D.【詳解】，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，都為增函數(shù)，所以，單調(diào)遞增，故B，C錯(cuò)誤；又因?yàn)椋圆皇瞧婧瘮?shù)，即圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故D錯(cuò)誤.故選：A2．（2024·寧夏固原·一模）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則的解析式可能為（

）A． B．C． D．【答案】A【優(yōu)尖升-分析】利用在上的值排除B，利用奇偶性排除排除C，利用在上的單調(diào)性排除D，從而得解.【詳解】對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，易知，，則，不滿足圖象，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，定義域?yàn)?，又，則的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤；檢驗(yàn)選項(xiàng)A，滿足圖中性質(zhì)，故A正確.故選：A.3．（2024·天津·一模）如圖是函數(shù)的部分圖象，則的解析式可能為（

）

A． B．C． D．【答案】D【優(yōu)尖升-分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可排除C，根據(jù)在原點(diǎn)附近的函數(shù)值的正負(fù)可排除BA，即可求解.【詳解】由圖可知：的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則為偶函數(shù)，對(duì)于A，，為偶函數(shù)，但當(dāng)取一個(gè)很小的正數(shù)，例如，選項(xiàng)中的，而原圖象中值為負(fù)數(shù)，故A不符合，舍去，對(duì)于B,,為偶函數(shù)，但是處有意義，但是原函數(shù)在處無(wú)意義，故B不符合，對(duì)于C，，為奇函數(shù)，故C不符合，故選：D4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【優(yōu)尖升-分析】根據(jù)函數(shù)解析式，求函數(shù)定義域，奇偶性，特殊值利用排除法逐一判斷各個(gè)選項(xiàng).【詳解】由題意得，即，得，且，所以的定義域?yàn)?；又，所以為奇函?shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除B，C；又，所以排除D．故選：A．5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的大致圖像是（

）A．B．C．D．【答案】D【優(yōu)尖升-分析】由奇偶函數(shù)的定義可判斷A，C；由特值法可判斷B，D.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，，所以函數(shù)為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除選項(xiàng)A，C．因?yàn)?，排除選項(xiàng)B.（另解：當(dāng)時(shí)，，所以，排除選項(xiàng)B）．故選：D．二、函數(shù)切線條數(shù)問(wèn)題1．（23-24高三上·廣東汕頭·階段練習(xí)）若過(guò)點(diǎn)可作曲線三條切線，則（

）A． B．C．或 D．【答案】D【優(yōu)尖升-分析】設(shè)出切點(diǎn)，求導(dǎo)，得到切線方程，將代入切線方程，得到，故有三個(gè)實(shí)數(shù)根，令，求導(dǎo)，得到其單調(diào)性和極值點(diǎn)情況，從而得到不等式，求出答案.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，則，，故，且切線方程為，因?yàn)樵谇芯€上，故，整理得，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)可作曲線三條切線，故有三個(gè)實(shí)數(shù)根，設(shè)，則，由得，或，因?yàn)椋傻没?，此時(shí)單調(diào)遞增，由得，此時(shí)單調(diào)遞減，所以的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為，故要有三個(gè)實(shí)數(shù)根的充要條件為，即，解得.故選：D【點(diǎn)睛】應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切點(diǎn)處切線的斜率，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：(1)已知切點(diǎn)求斜率,即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；(2)已知斜率求切點(diǎn)即解方程；(3)已知切線過(guò)某點(diǎn)(不是切點(diǎn))求切點(diǎn),設(shè)出切點(diǎn)利用求解.2．（23-24高三上·廣東佛山·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的直線有三條，則（

）A． B． C． D．或【答案】A【優(yōu)尖升-分析】設(shè)切點(diǎn)為，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合兩點(diǎn)間的斜率公式可得有3個(gè)解，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析單調(diào)性與極值可得的取值范圍.【詳解】，設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的切點(diǎn)為，則.又切線經(jīng)過(guò)，故由題意有3個(gè)解.化簡(jiǎn)有，即有3個(gè)解.設(shè)，則，令有或，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.又，，且，，故要有3個(gè)解，則.故選：A【點(diǎn)睛】已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解3．（23-24高二下·安徽安慶·期末）若過(guò)點(diǎn)可以作曲線的三條切線，則（）A． B．C． D．【答案】D【優(yōu)尖升-分析】設(shè)切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及條件可得關(guān)于的方程有三個(gè)不同的解，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)利用數(shù)形結(jié)合即得.【詳解】由題可得，設(shè)切點(diǎn)，則，整理得，由題意知關(guān)于的方程有三個(gè)不同的解，設(shè)，，由，得或，又，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，且，，函數(shù)的大致圖像如圖所示，因?yàn)榈膱D像與直線有三個(gè)交點(diǎn)，所以，即.故選：D.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)問(wèn)題：（1）確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可用導(dǎo)數(shù)知識(shí)確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖像；（2）方程的有解問(wèn)題就是判斷是否存在零點(diǎn)的問(wèn)題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題處理.可以通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方法，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究構(gòu)造的函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題；（3）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形結(jié)合思想研究；③構(gòu)造輔助函數(shù)研究.4．（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·期末）過(guò)直線上一點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【優(yōu)尖升-分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線方程，再將方程的根的個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，結(jié)合圖象，即可得出答案.【詳解】解：由題意得，設(shè)切點(diǎn)為，，，，則過(guò)點(diǎn)的切線方程為，整理得，由點(diǎn)在切線上，則，即，因?yàn)檫^(guò)直線上一點(diǎn)可以作曲線兩條切線，所以關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，時(shí)，；時(shí)，，則函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，，故選：C.三、不等式整數(shù)解問(wèn)題1．（23-24高一上·上海嘉定·期末）已知函數(shù)，若關(guān)于的的方程有且僅有兩個(gè)不同的整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【優(yōu)尖升-分析】根據(jù)絕對(duì)值的應(yīng)用尋找方程成立的條件，再利用數(shù)形結(jié)合求解參數(shù)即可.【詳解】若關(guān)于的的方程有且僅有兩個(gè)不同的整數(shù)解，則必有且同時(shí)成立，即圖象夾在和之間，易知，函數(shù)的圖象大致如圖，結(jié)合圖形可知的整數(shù)解只有兩個(gè)，則其中一個(gè)為，另一個(gè)為，所以，且，解得，故選：B2．（23-24高一上·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式恰有兩個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【優(yōu)尖升-分析】畫出函數(shù)的圖像，然后對(duì)于不等式，分和以及和進(jìn)行分析說(shuō)明得實(shí)數(shù)的最小值.【詳解】函數(shù)的圖像如下：

不等式恰有兩個(gè)整數(shù)解，①當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，由于恰有兩個(gè)整數(shù)解，又，則整數(shù)解為和，又，因?yàn)榍笞钚≈?，此時(shí)就不用考慮了，的最小值為，②當(dāng)時(shí)，對(duì)于，則，只考慮，則又時(shí)有兩個(gè)整數(shù)解，則不等式的解集中含有多于個(gè)整數(shù)解，故舍去，綜上，實(shí)數(shù)的最小值是.故選：A.3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于x的不等式恰有一個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【優(yōu)尖升-分析】第一步：將不等式進(jìn)行合理變形，關(guān)于x的不等式恰有一個(gè)整數(shù)解．第二步：構(gòu)造函數(shù)，研究新函數(shù)的性質(zhì)，作出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象求解；【詳解】設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)x趨近于時(shí)，趨近于0，，直線過(guò)點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系中作出直線和函數(shù)的圖象如圖所示．由圖象知，要使關(guān)于x的不等式恰有一個(gè)整數(shù)解，則，解得，故選：D．4．（23-24高二下·河南鄭州·期末）若關(guān)于的不等式恰好有個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【優(yōu)尖升-分析】數(shù)形結(jié)合可知，進(jìn)而可得個(gè)整數(shù)解分別為，，，，所以，即可解得的取值范圍.【詳解】

函數(shù)與的圖像如圖所示，可知當(dāng)時(shí)，兩函數(shù)的圖像有個(gè)交點(diǎn)，不等式有無(wú)數(shù)個(gè)整數(shù)解，當(dāng)，兩函數(shù)的圖像無(wú)交點(diǎn)，不等式無(wú)整數(shù)解，當(dāng)時(shí)，兩函數(shù)的圖像有個(gè)交點(diǎn)，不等式無(wú)整數(shù)解，當(dāng)時(shí)，兩函數(shù)的圖像有個(gè)交點(diǎn)，不等式有無(wú)數(shù)個(gè)整數(shù)解，所以，則，所以不等式的個(gè)整數(shù)解分別為，，，，，解得，解得，故選：C.5．（23-24高二下·江蘇揚(yáng)州·期末）已知偶函數(shù)滿足，，且當(dāng)時(shí)，.若關(guān)于的不等式在上有且只有個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【優(yōu)尖升-分析】分析可知，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，由題意可得關(guān)于的不等式在上有且只有個(gè)整數(shù)解，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)榕己瘮?shù)滿足，則，即，所以，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，令，可得.由可得，由可得.所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)殛P(guān)于的不等式在上有且只有個(gè)整數(shù)解，則關(guān)于的不等式在上有且只有個(gè)整數(shù)解，如下圖所示：

因?yàn)?，且，又因?yàn)椋?，要使得不等式在上有且只有個(gè)整數(shù)解，則這五個(gè)整數(shù)解分別為、、、、，所以，，即，故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用不等式的整數(shù)解的個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，解題的關(guān)鍵在于作出函數(shù)的圖象，明確整數(shù)解是哪些整數(shù)，再結(jié)合圖形求解.四、函數(shù)零點(diǎn)，方程根，兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題1．（23-24高二下·四川樂(lè)山·期末）已知函數(shù)和有相同的最小值．(1)求；(2)若直線與和的圖象共有四個(gè)不同的交點(diǎn)，試探究：從左到右四個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)之間的等量關(guān)系．【答案】(1)(2)答案見解析【優(yōu)尖升-分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性，從而可得相應(yīng)的最小值，根據(jù)最小值相等可求a，注意分類討論.（2）根據(jù)（1）可得，，結(jié)合大致圖象分兩種情況進(jìn)行分析探究即可.【詳解】（1）因?yàn)椋裕?，則，此時(shí)無(wú)最小值，故.當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，故.因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，故.因?yàn)楹陀邢嗤淖钚≈担?，整理得到，其中，設(shè)，則，故為上的減函數(shù)，而，故的唯一解為，故的解為.綜上，.（2）由（1）知，，故，，且在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，且，所以直線與和的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn)，存在以下兩種情況：第一種情況，如圖：

設(shè)直線與的圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)從左到右依次為，直線與的圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)從左到右依次為．由圖可知且．∵且．∴．同理，且．∴．∴，，又∵，即：．∴．∴．第二種情況，如圖：

設(shè)直線與的圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)從左到右依次為，直線與的圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)從左到右依次為．由圖可知，，且，，∵且．∴．同理，且．∴．∴，，又∵，即：．∴．∴．綜上所述，若直線與和的圖象共有四個(gè)不同的交點(diǎn)，從左到右四個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)之間的等量關(guān)系為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)的最值問(wèn)題，往往需要利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，此時(shí)注意對(duì)參數(shù)的分類討論，注意利用方程的特征找到兩類根之間的關(guān)系.2．（23-24高二下·廣東深圳·階段練習(xí)）用數(shù)學(xué)的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)之“美”．現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇．衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的曲率為(1)已知函數(shù)，①求函數(shù)在點(diǎn)處的曲率的平方；②求函數(shù)的曲率的最大值．(2)函數(shù)，若在兩個(gè)不同的點(diǎn)處曲率為0，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)①；②(2)【優(yōu)尖升-分析】（1）首先求得，，①代入得，結(jié)合曲率公式即可求解；②首先得曲率表達(dá)式，進(jìn)一步通過(guò)換元法，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)即可得解；（2）通過(guò)計(jì)算得，從而在兩個(gè)不同的點(diǎn)處曲率為0，等價(jià)于有兩個(gè)大于0的實(shí)數(shù)解，進(jìn)一步證明在上單調(diào)遞增，從而原問(wèn)題等價(jià)于有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)即可求解．【詳解】（1），，，①由題意，，②由定義知為非負(fù)數(shù)，由題意得，，∴，令，∴，令，則在上恒成立，在上單調(diào)遞增，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到，所以曲率的最大值為．（2），，，因?yàn)樵趦蓚€(gè)不同的點(diǎn)處曲率為0，有兩個(gè)大于0的實(shí)數(shù)解，有兩個(gè)大于0的實(shí)數(shù)解．令，在上單調(diào)遞增，且值域?yàn)?，有兩個(gè)大于0的實(shí)數(shù)解有兩個(gè)實(shí)數(shù)解．令，則，令得，時(shí)，，即單調(diào)遞增；時(shí)，，即單調(diào)遞減；，又時(shí)，；時(shí)，；圖象如下圖所示：有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，．所以的取值范圍為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決（2）的關(guān)鍵是通過(guò)同構(gòu)將原問(wèn)題轉(zhuǎn)換為有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，由此即可順利得解.3．（2024·北京房山·一模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)設(shè)，求函數(shù)的極大值；(3)若，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】(1)(2)答案見解析(3)【優(yōu)尖升-分析】（1）求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解；（2）求導(dǎo)，分，和三種情況討論，再結(jié)合極大值的定義即可得解；（3）令，則，再分的正負(fù)討論，當(dāng)時(shí)，分離參數(shù)可得，則函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其單調(diào)區(qū)間和極值，作出函數(shù)的大致圖象，結(jié)合圖象即可得解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，則，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2），則，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，令，則或，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的極大值為；當(dāng)時(shí)，令，則或，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而函數(shù)的定義域?yàn)?，所以此時(shí)函數(shù)無(wú)極值.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)極大值；當(dāng)時(shí)，的極大值為；（3）令，則，當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由，得，所以，則時(shí)，函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又當(dāng)時(shí)，且，當(dāng)時(shí)，，如圖，作出函數(shù)的大致圖象，

又，由圖可知，所以函數(shù)的圖象只有個(gè)交點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)只有個(gè)零點(diǎn)；綜上所述，若，函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的方法：（1）直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問(wèn)題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題.4．（23-24高三下·上?！るA段練習(xí)）已知函數(shù)和(1)若函數(shù)是定義域上的嚴(yán)格減函數(shù)，求的取值范圍.(2)若函數(shù)和有相同的最小值，求的值(3)若，是否存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列【答案】(1)(2)1(3)存在【優(yōu)尖升-分析】（1）求導(dǎo)，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)不大于零恒成立，轉(zhuǎn)化為最值求解即可；（2）分別求出兩函數(shù)的最值，根據(jù)最值相等構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)研究函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而可得的值；（3）求導(dǎo)研究函數(shù)和的單調(diào)性，及最值，設(shè)出其交點(diǎn)，進(jìn)而求出三個(gè)不同的交點(diǎn)，根據(jù)等式可證明等差數(shù)列.【詳解】（1）恒成立，因?yàn)椋?，則的取值范圍為；（2）定義域?yàn)椋?，，若，則，單調(diào)遞增，無(wú)最小值，故，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，的定義域?yàn)椋?，，令，解得，?dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，函數(shù)和有相同的最小值，，化為，令，，則，，恒成立，在上單調(diào)遞增，又，僅有此一解，；（3）（2）知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，恒成立，即在時(shí)恒成立，所以時(shí)，，因?yàn)?，函?shù)在上單調(diào)遞增，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)與函數(shù)的圖象在上存在唯一交點(diǎn)，設(shè)該交點(diǎn)為,，此時(shí)可作出函數(shù)和的大致圖象，由圖象知當(dāng)直線與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，直線必經(jīng)過(guò)點(diǎn),，即，因?yàn)?，所以，即，令得，解得或，由，得，令得，解得或，由，得，所以?dāng)直線與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為，，，因?yàn)椋?，所以，，成等差?shù)列．存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問(wèn)關(guān)鍵點(diǎn)是找到兩函數(shù)的交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的相關(guān)等式，才能求出3個(gè)交點(diǎn)時(shí)的橫坐標(biāo).5．（2023·黑龍江·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；(2)若過(guò)點(diǎn)可以作曲線的3條切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是(2)【優(yōu)尖升-分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解不等式，即可求得函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，推出方程有三個(gè)不等實(shí)數(shù)根，構(gòu)造函數(shù)，將方程根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點(diǎn)問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的性質(zhì)，作出函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合，即可求解.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，解得，所以函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（2）由題意可得，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線斜率，所以切線方程為，將代入得．因?yàn)榇嬖谌龡l切線，即方程有三個(gè)不等實(shí)數(shù)根，方程有三個(gè)不等實(shí)數(shù)根等價(jià)于函數(shù)的圖像有三個(gè)交點(diǎn)，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；在和上，在和上單調(diào)遞減，，；當(dāng)或時(shí)，，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，畫出的圖象如圖，要使函數(shù)的圖像有三個(gè)交點(diǎn)，需，即，即實(shí)數(shù)的取值范圍.【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的難點(diǎn)在于根據(jù)過(guò)點(diǎn)可以作曲線的3條切線，求解參數(shù)的范圍，解答時(shí)要利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，即要使得方程有三個(gè)不等實(shí)數(shù)根，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像的交點(diǎn)問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，即可求解.五、不等式恒成立問(wèn)題1．（2024·湖南·一模）若不等式對(duì)恒成立，其中，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【優(yōu)尖升-分析】先討論的范圍，當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求最值，根據(jù)最小值大于等于0可得，然后將二元化一元，令，利用導(dǎo)數(shù)求最值可解.【詳解】令，即，當(dāng)時(shí)，由函數(shù)與的圖象可知，兩函數(shù)圖象有一個(gè)交點(diǎn)，記為，則當(dāng)時(shí)，，即，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，令，則，令，則，因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以時(shí)，有最小值，又對(duì)