備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)壓軸題訓(xùn)練專題01集合、常用邏輯用語、不等式(新定義高觀點(diǎn)壓軸題)(學(xué)生版+解析)

專題01集合、常用邏輯用語、不等式（新定義，高觀點(diǎn)，壓軸題）目錄TOC\o"1-2"\h\u一、集合的新定義（高觀點(diǎn)）題 1角度1：運(yùn)算封閉 1角度2：“群”運(yùn)算 2角度3：“”運(yùn)算 3角度4：“”運(yùn)算 3角度5：戴德金分割 4角度6：“類” 5角度7：差集運(yùn)算 5角度8：“勢(shì)” 6角度9：“好集” 6二、充分性與必要性 7三、不等式 8角度1：一元二次不等式 8角度2：基本不等式 9一、集合的新定義（高觀點(diǎn)）題角度1：運(yùn)算封閉1．（23-24高一上·浙江·課時(shí)練習(xí)）設(shè)是集合A上的一個(gè)運(yùn)算，若對(duì)任意，有，則稱A對(duì)運(yùn)算封閉，若集合A是由正整數(shù)的平方組成的集合，即.若分別是：①加法，②減法，③乘法，④除法，則A對(duì)運(yùn)算封閉的序號(hào)有.2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)集及定義在該數(shù)集上的某個(gè)運(yùn)算（例如記為“*”），如果對(duì)一切，都有，那么就說，集合對(duì)運(yùn)算“*”是封閉的．(1)設(shè)，判斷對(duì)通常的實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算是否封閉？(2)設(shè)，且，問對(duì)通常的實(shí)數(shù)的乘法是否封閉？試證明你的結(jié)論．角度2：“群”運(yùn)算1．（23-24高三·貴州貴陽·開學(xué)考試）“群”是代數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的概念，它的定義是：設(shè)為某種元素組成的一個(gè)非空集合，若在內(nèi)定義一個(gè)運(yùn)算“*”，滿足以下條件：①，，有②如，，，有；③在中有一個(gè)元素，對(duì)，都有，稱為的單位元；④，在中存在唯一確定的，使，稱為的逆元．此時(shí)稱（，*）為一個(gè)群．例如實(shí)數(shù)集和實(shí)數(shù)集上的加法運(yùn)算“”就構(gòu)成一個(gè)群，其單位元是，每一個(gè)數(shù)的逆元是其相反數(shù)，那么下列說法中，錯(cuò)誤的是（

）A．，則為一個(gè)群B．，則為一個(gè)群C．，則為一個(gè)群D．{平面向量}，則為一個(gè)群2．（多選）（2024·山西·一模）群的概念由法國天才數(shù)學(xué)家伽羅瓦（1811-1832）在19世紀(jì)30年代開創(chuàng)，群論雖起源于對(duì)代數(shù)多項(xiàng)式方程的研究，但在量子力學(xué)?晶體結(jié)構(gòu)學(xué)等其他學(xué)科中也有十分廣泛的應(yīng)用.設(shè)是一個(gè)非空集合，“”是一個(gè)適用于中元素的運(yùn)算，若同時(shí)滿足以下四個(gè)條件，則稱對(duì)“”構(gòu)成一個(gè)群：（1）封閉性，即若，則存在唯一確定的，使得；（2）結(jié)合律成立，即對(duì)中任意元素都有；（3）單位元存在，即存在，對(duì)任意，滿足，則稱為單位元；（4）逆元存在，即任意，存在，使得，則稱與互為逆元，記作.一般地，可簡(jiǎn)記作可簡(jiǎn)記作可簡(jiǎn)記作，以此類推.正八邊形的中心為.以表示恒等變換，即不對(duì)正八邊形作任何變換；以表示以點(diǎn)為中心，將正八邊形逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)變換；以表示以所在直線為軸，將正八邊形進(jìn)行軸對(duì)稱變換.定義運(yùn)算“”表示復(fù)合變換，即表示將正八邊形先進(jìn)行變換再進(jìn)行變換的變換.以形如，并規(guī)定的變換為元素，可組成集合，則對(duì)運(yùn)算“”可構(gòu)成群，稱之為“正八邊形的對(duì)稱變換群”，記作.則以下關(guān)于及其元素的說法中，正確的有（

）A．，且B．與互為逆元C．中有無窮多個(gè)元素D．中至少存在三個(gè)不同的元素，它們的逆元都是其本身角度3：“”運(yùn)算1．（23-24高一上·北京豐臺(tái)·期末）記為非空集合A中的元素個(gè)數(shù)，定義.若，，且，設(shè)實(shí)數(shù)a的所有可能取值組成的集合是S，則等于（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（23-24高一上·湖南懷化·階段練習(xí)）已知集合，，用符號(hào)表示非空集合A中元素的個(gè)數(shù).定義，若，則實(shí)數(shù)的所有可能取值構(gòu)成的集合為（

）A． B． C． D．角度4：“”運(yùn)算1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知集合，定義集合，則中元素的個(gè)數(shù)為（

）A．77 B．49 C．45 D．302．（23-24高一上·北京·階段練習(xí)）設(shè)表示非空集合中元素的個(gè)數(shù)，已知非空集合.定義，若，且，則實(shí)數(shù)的所有取值為（

）A．0 B．0， C．0， D．，0，角度5：戴德金分割1．（多選）（2024高三·全國·專題練習(xí)）由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì)，直到1872年，德國數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)(史稱戴德金分割)，并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，才結(jié)束了無理數(shù)被認(rèn)為“無理”的時(shí)代，也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī)．所謂戴德金分割，是指將有理數(shù)集劃分為兩個(gè)非空的子集M與N，且滿足，，M中的每一個(gè)元素小于中的每一個(gè)元素，則稱為戴德金分割．試判斷下列選項(xiàng)中，可能成立的是（

）A．，是一個(gè)戴德金分割B．M沒有最大元素，N有一個(gè)最小元素C．M有一個(gè)最大元素，N有一個(gè)最小元素D．M沒有最大元素，N也沒有最小元素2．（多選）（23-24高一上·浙江杭州·期中）19世紀(jì)戴德金利用他提出的分割理論，從對(duì)有理數(shù)集的分割精確地給出了實(shí)數(shù)的定義，并且該定義作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)實(shí)數(shù)理論的基礎(chǔ)之一可以推出實(shí)數(shù)理論中的六大基本定理.若集合A、B滿足：，則稱為的二劃分，例如，，則就是的一個(gè)二劃分，則下列說法正確的是（

）A．設(shè)，則為的二劃分B．設(shè)，則為的二劃分C．存在一個(gè)的二劃分，使得對(duì)于；對(duì)于D．存在一個(gè)的二劃分，使得對(duì)于，則；，則3．（23-24高一·全國·課時(shí)練習(xí)）戴德金分割，是指將有理數(shù)集Q劃分為兩個(gè)非空子集A與B，且滿足Q，，A中的每一個(gè)元素都小于B中的每一個(gè)元素．請(qǐng)給出一組滿足A中無最大元素且B中無最小元素的戴德金分割．角度6：“類”3．（23-24高一上·江西南昌·階段練習(xí)）在整數(shù)集中，被4除所得余數(shù)為的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”，記為，即，．給出下列四個(gè)結(jié)論，①；②；③；④“整數(shù)a，b屬于同一‘類’”的充要條件是“”．其中正確的結(jié)論是（填所有正確的結(jié)論的序號(hào)）．4．（23-24高一上·全國·課時(shí)練習(xí)）在整數(shù)集中，被除所得余數(shù)為的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”，記為，即．給出如下三個(gè)結(jié)論：①；②；③．其中，正確結(jié)論的序號(hào)是．角度7：差集運(yùn)算1．（23-24高一上·上海浦東新·開學(xué)考試）定義集合運(yùn)算且稱為集合A與集合B的差集；定義集合運(yùn)算稱為集合A與集合B的對(duì)稱差，有以下4個(gè)等式：①；②；③；④，則4個(gè)等式中恒成立的是（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④2．（多選）（23-24高一上·四川成都·階段練習(xí)）定義集合運(yùn)算且，稱為集合與集合的差集；定義集合運(yùn)算稱為集合與集合的對(duì)稱差，有以下4個(gè)命題：則4個(gè)命題中是真命題的是（

）A．B．C．D．3．（23-24高一上·全國·課前預(yù)習(xí)）設(shè)M，P是兩個(gè)非空集合，定義集合M，P的差集運(yùn)算3．（23-24高三上·北京海淀·階段練習(xí)）已知為所有元有序數(shù)組所組成的集合.其中（）.對(duì)于中的任意元素，定義，的距離：若，為的子集，且有個(gè)元素，并且滿足任意，都存在唯一的，使得，則稱為“好集”.(1)若，，，，，，求，及的值；(2)當(dāng)時(shí)，求證：存在“好集”，且“好集”中不同元素的距離為5；(3)求證：當(dāng)時(shí)，“好集”不存在.二、充分性與必要性1．（23-24高一下·湖南長(zhǎng)沙·開學(xué)考試）命題“對(duì)任意的，總存在唯一的，使得”成立的充分必要條件是（

）A． B． C． D．2．（23-24高一上·福建泉州·階段練習(xí)）是函數(shù)且在是減函數(shù)的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2023·新疆烏魯木齊·三模）定義表示不超過的最大整數(shù)，.例如：，.①；②存在使得；③是成立的充分不必要條件；④方程的所有實(shí)根之和為，則上述命題為真命題的序號(hào)為（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①④4．（23-24高一上·廣東佛山·階段練習(xí)）已知集合點(diǎn)不在第一、三象限，集合，若“”是“”的必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.5．（2014·四川·高考真題）以表示值域?yàn)镽的函數(shù)組成的集合，表示具有如下性質(zhì)的函數(shù)組成的集合：對(duì)于函數(shù)，存在一個(gè)正數(shù)，使得函數(shù)的值域包含于區(qū)間.例如，當(dāng)，時(shí)，，.現(xiàn)有如下命題：①設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，則“”的充要條件是“，，”；②函數(shù)的充要條件是有最大值和最小值；③若函數(shù)，的定義域相同，且，，則；④若函數(shù)（，）有最大值，則.其中的真命題有.（寫出所有真命題的序號(hào)）三、不等式角度1：一元二次不等式1．（23-24高一下·浙江溫州·開學(xué)考試）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，若，且，都有成立，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．2．（23-24高一上·貴州銅仁·期末）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函數(shù)，記集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.4．（23-24高一上·江蘇常州·期中）若，且不等式的解集中有且僅有四個(gè)整數(shù)，則的取值范圍是.角度2：基本不等式1．（23-24高三上·浙江紹興·期末）已知x為正實(shí)數(shù)，y為非負(fù)實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．2．（23-24高三下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知，，則的最大值為（

）A． B． C． D．3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，若對(duì)任意的，不等式恒成立，則的最小值為.4．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為.專題01集合、常用邏輯用語、不等式（新定義，高觀點(diǎn)，壓軸題）目錄TOC\o"1-2"\h\u一、集合的新定義（高觀點(diǎn)）題 1角度1：運(yùn)算封閉 1角度2：“群”運(yùn)算 2角度3：“”運(yùn)算 4角度4：“”運(yùn)算 5角度5：戴德金分割 7角度6：“類” 9角度7：差集運(yùn)算 10角度8：“勢(shì)” 13角度9：“好集” 14二、充分性與必要性 17三、不等式 21角度1：一元二次不等式 21角度2：基本不等式 24一、集合的新定義（高觀點(diǎn)）題角度1：運(yùn)算封閉1．（23-24高一上·浙江·課時(shí)練習(xí)）設(shè)是集合A上的一個(gè)運(yùn)算，若對(duì)任意，有，則稱A對(duì)運(yùn)算封閉，若集合A是由正整數(shù)的平方組成的集合，即.若分別是：①加法，②減法，③乘法，④除法，則A對(duì)運(yùn)算封閉的序號(hào)有.【答案】③【分析】舉反例判斷①②④，由當(dāng)a，b是正整數(shù)時(shí)，也是正整數(shù)可判斷③.【詳解】設(shè)a，b是兩個(gè)正整數(shù)，則的和不一定屬于A，如；的差也不一定屬于A，如；的商也不一定屬于A，如；但由于，并且當(dāng)a，b是正整數(shù)時(shí)，也是正整數(shù)，所以，故③滿足條件.故答案為：③【點(diǎn)睛】本題考查集合新定義，屬于基礎(chǔ)題.2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)集及定義在該數(shù)集上的某個(gè)運(yùn)算（例如記為“*”），如果對(duì)一切，都有，那么就說，集合對(duì)運(yùn)算“*”是封閉的．(1)設(shè)，判斷對(duì)通常的實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算是否封閉？(2)設(shè)，且，問對(duì)通常的實(shí)數(shù)的乘法是否封閉？試證明你的結(jié)論．【答案】(1)數(shù)集對(duì)通常的實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算封閉．(2)數(shù)集對(duì)通常的實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算不封閉，證明見解析．【分析】（1）根據(jù)“*”運(yùn)算的定義進(jìn)行判斷即可；（2）舉出反例證明即可.【詳解】（1）設(shè)是A中任意兩個(gè)元素，其中，那么．因?yàn)?，所以，故?shù)集A對(duì)通常的乘法運(yùn)算封閉．（2）數(shù)集對(duì)通常的乘法運(yùn)算不封閉，證明如下：取，則，但，故數(shù)集對(duì)通常的乘法運(yùn)算不封閉.角度2：“群”運(yùn)算1．（23-24高三·貴州貴陽·開學(xué)考試）“群”是代數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的概念，它的定義是：設(shè)為某種元素組成的一個(gè)非空集合，若在內(nèi)定義一個(gè)運(yùn)算“*”，滿足以下條件：①，，有②如，，，有；③在中有一個(gè)元素，對(duì)，都有，稱為的單位元；④，在中存在唯一確定的，使，稱為的逆元．此時(shí)稱（，*）為一個(gè)群．例如實(shí)數(shù)集和實(shí)數(shù)集上的加法運(yùn)算“”就構(gòu)成一個(gè)群，其單位元是，每一個(gè)數(shù)的逆元是其相反數(shù)，那么下列說法中，錯(cuò)誤的是（

）A．，則為一個(gè)群B．，則為一個(gè)群C．，則為一個(gè)群D．{平面向量}，則為一個(gè)群【答案】B【分析】對(duì)于選項(xiàng)A,C,D分別說明它們滿足群的定義，對(duì)于選項(xiàng)B,不滿足④，則不為一個(gè)群，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.【詳解】A.，兩個(gè)有理數(shù)的和是有理數(shù)，有理數(shù)加法運(yùn)算滿足結(jié)合律，為的單位元，逆元為它的相反數(shù)，滿足群的定義，則為一個(gè)群，所以該選項(xiàng)正確；B.，為的單位元，但是，當(dāng)時(shí)，不存在唯一確定的，所以不滿足④，則不為一個(gè)群，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.，滿足①②，為的單位元滿足③，是-1的逆元，1是1的逆元，滿足④，則為一個(gè)群，所以該選項(xiàng)正確；D.{平面向量}，滿足①②，為的單位元，逆元為其相反向量，則為一個(gè)群，所以該選項(xiàng)正確.故選：B2．（多選）（2024·山西·一模）群的概念由法國天才數(shù)學(xué)家伽羅瓦（1811-1832）在19世紀(jì)30年代開創(chuàng)，群論雖起源于對(duì)代數(shù)多項(xiàng)式方程的研究，但在量子力學(xué)?晶體結(jié)構(gòu)學(xué)等其他學(xué)科中也有十分廣泛的應(yīng)用.設(shè)是一個(gè)非空集合，“”是一個(gè)適用于中元素的運(yùn)算，若同時(shí)滿足以下四個(gè)條件，則稱對(duì)“”構(gòu)成一個(gè)群：（1）封閉性，即若，則存在唯一確定的，使得；（2）結(jié)合律成立，即對(duì)中任意元素都有；（3）單位元存在，即存在，對(duì)任意，滿足，則稱為單位元；（4）逆元存在，即任意，存在，使得，則稱與互為逆元，記作.一般地，可簡(jiǎn)記作可簡(jiǎn)記作可簡(jiǎn)記作，以此類推.正八邊形的中心為.以表示恒等變換，即不對(duì)正八邊形作任何變換；以表示以點(diǎn)為中心，將正八邊形逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)變換；以表示以所在直線為軸，將正八邊形進(jìn)行軸對(duì)稱變換.定義運(yùn)算“”表示復(fù)合變換，即表示將正八邊形先進(jìn)行變換再進(jìn)行變換的變換.以形如，并規(guī)定的變換為元素，可組成集合，則對(duì)運(yùn)算“”可構(gòu)成群，稱之為“正八邊形的對(duì)稱變換群”，記作.則以下關(guān)于及其元素的說法中，正確的有（

）A．，且B．與互為逆元C．中有無窮多個(gè)元素D．中至少存在三個(gè)不同的元素，它們的逆元都是其本身【答案】ABD【分析】根據(jù)題意，對(duì)選項(xiàng)逐一運(yùn)算可得結(jié)果.【詳解】我們有：由于兩次軸對(duì)稱等價(jià)與不變換，故；由于旋轉(zhuǎn)施行8次等價(jià)于旋轉(zhuǎn)也就是不變，故；由于先旋轉(zhuǎn)再關(guān)于對(duì)稱和先關(guān)于對(duì)稱再旋轉(zhuǎn)等效，故.一共是16個(gè)元素，變換后逆時(shí)針排列的有8個(gè)，順時(shí)針排列的有8個(gè).這就說明：，A正確；，B正確；一共是16個(gè)元素，C錯(cuò)誤；中，，D正確.故選：ABD角度3：“”運(yùn)算1．（23-24高一上·北京豐臺(tái)·期末）記為非空集合A中的元素個(gè)數(shù)，定義.若，，且，設(shè)實(shí)數(shù)a的所有可能取值組成的集合是S，則等于（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)給定條件可得或，再根據(jù)集合中的方程的根的個(gè)數(shù)，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論即可求得實(shí)數(shù)的所有可能取值，即可得出結(jié)果.【詳解】由定義得，又，則或，由方程，得或，當(dāng)時(shí)，方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，而方程有一根為0，則另一根必為0，，此時(shí)無實(shí)根，因此；當(dāng)時(shí)，必有，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，并且都不是方程的根，顯然方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，且異于，于是，解得或，當(dāng)時(shí)，方程的根為，滿足題意，當(dāng)時(shí)，方程的根為，滿足題意，因此或，所以，.故選：C2．（23-24高一上·湖南懷化·階段練習(xí)）已知集合，，用符號(hào)表示非空集合A中元素的個(gè)數(shù).定義，若，則實(shí)數(shù)的所有可能取值構(gòu)成的集合為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)中元素個(gè)數(shù)及新定義得或.分類討論，根據(jù)元素個(gè)數(shù)研究方程的根即可求解的取值集合.【詳解】因?yàn)?，，所以?當(dāng)時(shí)，或.當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的方程有3個(gè)實(shí)數(shù)解，所以關(guān)于x的方程只有一個(gè)解且不為1和，則，解得.當(dāng)時(shí)，的解為1，不符合題意；當(dāng)時(shí)，的解為，符合題意.綜上，a的所有可能取值為0，1，，即所求集合為.故答案為：角度4：“”運(yùn)算1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知集合，定義集合，則中元素的個(gè)數(shù)為（

）A．77 B．49 C．45 D．30【答案】C【分析】根據(jù)題意作出圖示表示集合A、B所表示的點(diǎn)，由數(shù)形結(jié)合思想可得出表示的點(diǎn)集的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的范圍，從而可得出中元素的個(gè)數(shù).【詳解】，則集合中有5個(gè)元素，即5個(gè)點(diǎn)，如下圖中黑點(diǎn)所示，集合中有25個(gè)元素（即25個(gè)點(diǎn)），即下圖中正方形內(nèi)部及正方形邊上的整點(diǎn)，所以或或或或或或，共7個(gè)值；所以或或或或或或，共7個(gè)值，所以集合中的元素可看作下圖中正方形內(nèi)部及正方形邊上除去四個(gè)頂點(diǎn)外的整點(diǎn)，共（個(gè)）．故選：C.2．（23-24高一上·北京·階段練習(xí)）設(shè)表示非空集合中元素的個(gè)數(shù)，已知非空集合.定義，若，且，則實(shí)數(shù)的所有取值為（

）A．0 B．0， C．0， D．，0，【答案】D【分析】由題意可得集合中的元素個(gè)數(shù)為1個(gè)或3個(gè)，分集合中的元素個(gè)數(shù)為1和集合中的元素個(gè)數(shù)為3兩種情況，再結(jié)合一元次方程根的個(gè)數(shù)求解即可.【詳解】解：由可得或，又因?yàn)?，，所以集合中的元素個(gè)數(shù)為1個(gè)或3個(gè)，當(dāng)集合中的元素個(gè)數(shù)為1時(shí)，則有兩相等的實(shí)數(shù)根，且無解，所以，解得；當(dāng)集合中的元素個(gè)數(shù)為3時(shí)，則有兩不相等的實(shí)數(shù)根，且有兩個(gè)相等且異于方程的根的解，所以，解得或，綜上所述，或或.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出集合中的元素個(gè)數(shù)為1個(gè)或3個(gè).角度5：戴德金分割1．（多選）（2024高三·全國·專題練習(xí)）由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì)，直到1872年，德國數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)(史稱戴德金分割)，并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，才結(jié)束了無理數(shù)被認(rèn)為“無理”的時(shí)代，也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī)．所謂戴德金分割，是指將有理數(shù)集劃分為兩個(gè)非空的子集M與N，且滿足，，M中的每一個(gè)元素小于中的每一個(gè)元素，則稱為戴德金分割．試判斷下列選項(xiàng)中，可能成立的是（

）A．，是一個(gè)戴德金分割B．M沒有最大元素，N有一個(gè)最小元素C．M有一個(gè)最大元素，N有一個(gè)最小元素D．M沒有最大元素，N也沒有最小元素【答案】BD【分析】根據(jù)戴德金分割的定義，結(jié)合選項(xiàng)，分別舉例，判斷正誤.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)，，滿足戴德金分割，此時(shí)沒有最大元素，有一個(gè)最小元素為0，故B正確；對(duì)于C，若有一個(gè)最大元素，有一個(gè)最小元素，則不能同時(shí)滿足，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，，滿足戴德金分割，此時(shí)沒有最大元素，也沒有最小元素，故D正確．故選：BD.2．（多選）（23-24高一上·浙江杭州·期中）19世紀(jì)戴德金利用他提出的分割理論，從對(duì)有理數(shù)集的分割精確地給出了實(shí)數(shù)的定義，并且該定義作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)實(shí)數(shù)理論的基礎(chǔ)之一可以推出實(shí)數(shù)理論中的六大基本定理.若集合A、B滿足：，則稱為的二劃分，例如，，則就是的一個(gè)二劃分，則下列說法正確的是（

）A．設(shè)，則為的二劃分B．設(shè)，則為的二劃分C．存在一個(gè)的二劃分，使得對(duì)于；對(duì)于D．存在一個(gè)的二劃分，使得對(duì)于，則；，則【答案】BCD【分析】舉反例結(jié)合“二劃分”的定義判斷A；利用“二劃分”的定義判斷B；找出兩集合符合二劃分定義判斷C，D.【詳解】對(duì)于A，由于，故，不是的二劃分，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，顯然，由于任意一個(gè)正整數(shù)M，都可寫成形式，其中為素?cái)?shù)，，則M必為形式，其中k為正奇數(shù)，，故可得，故B正確；對(duì)于C，存在滿足，對(duì)于；對(duì)于，C正確；對(duì)于D，選項(xiàng)B中集合，使得對(duì)于，則；，比如取3，5，則，D正確，故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是理解二劃分的含義，并按照其定義去判斷每個(gè)選項(xiàng).3．（23-24高一·全國·課時(shí)練習(xí)）戴德金分割，是指將有理數(shù)集Q劃分為兩個(gè)非空子集A與B，且滿足Q，，A中的每一個(gè)元素都小于B中的每一個(gè)元素．請(qǐng)給出一組滿足A中無最大元素且B中無最小元素的戴德金分割．【答案】，（答案不唯一）【分析】依題意,以無理數(shù)為分解寫出符合題意的兩個(gè)集合即可.【詳解】解：以無理數(shù)分界寫出一組即可，如，．（答案不唯一）；故答案為：，．（答案不唯一）角度6：“類”3．（23-24高一上·江西南昌·階段練習(xí)）在整數(shù)集中，被4除所得余數(shù)為的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”，記為，即，．給出下列四個(gè)結(jié)論，①；②；③；④“整數(shù)a，b屬于同一‘類’”的充要條件是“”．其中正確的結(jié)論是（填所有正確的結(jié)論的序號(hào)）．【答案】①②③④【分析】根據(jù)“類”的定義可判斷①②③的正誤；根據(jù)“類”的定義結(jié)合充分條件、必要條件的定義可判斷④的正誤.【詳解】對(duì)于①，，則，①正確；對(duì)于②，，則，②正確；對(duì)于③，任意整數(shù)除以，余數(shù)可以且只可以是四類，則，③正確；對(duì)于④，若整數(shù)、屬于同一“類”，則整數(shù)、被除的余數(shù)相同，可設(shè)，，其中、，，則，故，若，不妨令，則，顯然，于是得，，即整數(shù)屬于同一“類”，“整數(shù)屬于同一“類””的充要條件是“”，④正確．正確的結(jié)論是①②③④.故答案為：①②③④.4．（23-24高一上·全國·課時(shí)練習(xí)）在整數(shù)集中，被除所得余數(shù)為的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”，記為，即．給出如下三個(gè)結(jié)論：①；②；③．其中，正確結(jié)論的序號(hào)是．【答案】①③【分析】根據(jù)題目所給的定義分別驗(yàn)證各個(gè)結(jié)論即可.【詳解】對(duì)于①：因?yàn)?，所以故①正確；對(duì)于②：因?yàn)?，所以，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：因?yàn)檎麛?shù)集中的數(shù)被5除的數(shù)可以且只可以分成五類，所以，故③正確．故答案為：①③.角度7：差集運(yùn)算1．（23-24高一上·上海浦東新·開學(xué)考試）定義集合運(yùn)算且稱為集合A與集合B的差集；定義集合運(yùn)算稱為集合A與集合B的對(duì)稱差，有以下4個(gè)等式：①；②；③；④，則4個(gè)等式中恒成立的是（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】B【分析】利用題設(shè)中的新定義，可判定①正確；利用集合運(yùn)算的韋恩圖法，可判定②正確、④錯(cuò)誤；利用題設(shè)中的定義與集合的運(yùn)算方法，可判定③正確.【詳解】對(duì)于①中，由，所以①正確；對(duì)于②中，由且，同理可得：,則，所以，所以表示的集合為圖（1）中陰影部分所表示的集合，如圖所示，同理，也表示圖（1）中陰影部分所表示的集合，所以，所以②正確；對(duì)于③中，由，所以③正確；對(duì)于④中，如圖（2）所示，可得，所以④錯(cuò)誤.故選：B.2．（多選）（23-24高一上·四川成都·階段練習(xí)）定義集合運(yùn)算且，稱為集合與集合的差集；定義集合運(yùn)算稱為集合與集合的對(duì)稱差，有以下4個(gè)命題：則4個(gè)命題中是真命題的是（

）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】A選項(xiàng)，通過題意得到；BCD選項(xiàng)，通過韋恩圖進(jìn)行推理求解.【詳解】A選項(xiàng)，由題意得，，故，，A正確；B選項(xiàng)，由題意，表示的運(yùn)算為集合與的并集中去掉與的交集部分，不妨設(shè)均有交集，如圖所示，

故表示①②⑥⑦部分的并集，表示①②⑥⑦與③④⑥⑦的并集去掉兩者的交集，即表示①②③④部分的并集，表示②③⑤⑥部分的并集，表示②③⑤⑥與①④⑤⑥的并集去掉兩者的交集，即表示①②③④部分的并集，故，B正確；C選項(xiàng)，通過推理均表示⑤⑥部分的并集，C正確；D選項(xiàng)，通過推理得到表示①②③④⑤⑥部分的并集，表示①②④⑤⑥⑦部分的并集，表示①③④⑤⑥⑦部分的并集，表示①②④⑤⑥⑦與①③④⑤⑥⑦的并集去掉兩者的交集，即②③部分的并集，D錯(cuò)誤.故選：ABC3．（23-24高一上·全國·課前預(yù)習(xí)）設(shè)M，P是兩個(gè)非空集合，定義集合M，P的差集運(yùn)算為且設(shè)集合請(qǐng)你寫出一個(gè)集合A，使得則集合A=.【答案】(答案不唯一)【分析】由集合的新定義轉(zhuǎn)化條件為，且A中不再含中的其他任何元素，即可得解.【詳解】由題意，知，且A中不再含中的其他任何元素，而是否再含中的元素則不影響等式，因此符合題意.故答案為：(答案不唯一)角度8：“勢(shì)”1．（23-24高一上·上海浦東新·期中）設(shè)全集，對(duì)其子集引進(jìn)“勢(shì)”的概念：①空集的“勢(shì)”最?。虎诜强兆蛹脑卦蕉?，其“勢(shì)”越大；③若兩個(gè)子集的元素個(gè)數(shù)相同，則子集中最大的元素越大，子集的“勢(shì)”就越大，最大的元素相同，則第二大的元素越大，子集的“勢(shì)”就越大，依次類推．若將全部的子集按“勢(shì)”從小到大的順序排列，則排在第12位的子集是．【答案】/【分析】逐個(gè)列舉出來.【詳解】元素個(gè)數(shù)為0的1個(gè)，；元素個(gè)數(shù)為1的5個(gè)，，，，，；元素個(gè)數(shù)為2的10個(gè)，，，，，，，，，，.所以，排在第12位的子集是.故答案為：.2．（23-24高一上·浙江·期中）設(shè)全集，對(duì)其子集引進(jìn)“勢(shì)”的概念：①空集的“勢(shì)”最小；②非空子集的元素越多，其“勢(shì)”越大；③若兩個(gè)子集的元素個(gè)數(shù)相同，則子集中最大的元素越大，子集的“勢(shì)”就越大，最大的元素相同，則第二大的元素越大，子集的“勢(shì)”就越大，依次類推.若將全部的子集按“勢(shì)”從小到大的順序排列，則排在第位的子集是.【答案】【分析】寫出包含元素個(gè)數(shù)從小到大的子集個(gè)數(shù)，發(fā)現(xiàn)含有小于等于2個(gè)元素的子集的個(gè)數(shù)為16個(gè)，含有小于等于3個(gè)元素的子集的個(gè)數(shù)為26個(gè)，故判斷出第位的子集在含有3個(gè)元素的子集中，由于第23位離第26位較近，所以從后面往前找，最終求得結(jié)果【詳解】不含任何元素的子集個(gè)數(shù)有1個(gè)，含有一個(gè)元素的子集個(gè)數(shù)有5個(gè)，含有兩個(gè)元素的子集個(gè)數(shù)有10個(gè)，含有3個(gè)元素的子集個(gè)數(shù)有10個(gè)，因?yàn)?+5+10+10=26>23，故排在第位的子集在含有3個(gè)元素的子集中，第26位的子集為，第25位的子集為，第24位的子集為，第23位的子集為故答案為：角度9：“好集”1．（23-24高一上·江蘇連云港·期中）若三個(gè)非零且互不相等的實(shí)數(shù)a，b，c滿足，則稱a，b，c是調(diào)和的；若滿足，則稱a，b，c是等差的．若集合P中元素a，b，c既是調(diào)和的，又是等差的，則稱集合P為“好集”．若集合，集合，則這樣的“好集”P的個(gè)數(shù)為．【答案】1010【分析】由題設(shè)條件得出，再由得出“好集”P的個(gè)數(shù).【詳解】由，整理得，解得（舍），.即好集形如，由得，因?yàn)椋?，所以樣的“好集”P的個(gè)數(shù)為.故答案為：10102．（23-24高一上·河南洛陽·期中）若集合A具有①，，②若，則，且時(shí)，這兩條性質(zhì)，則稱集合A是“好集”．(1)分別判斷集合，有理數(shù)集Q是否是“好集”，并說明理由．(2)設(shè)集合A是“好集”，求證：若，則．(3)對(duì)任意的一個(gè)“好集”A，判斷命題“若，，則”的真假，并說明理由．【答案】(1)有理數(shù)集Q是“好集”，集合B不是“好集”，理由見解析(2)證明見解析(3)命題“若，則”為真命題，理由見解析【分析】利用“好集”的定義，結(jié)合元素與集合的關(guān)系解決即可.【詳解】（1）集合B不是“好集”，理由如下：因?yàn)?，，，所以集合B不是“好集”．有理數(shù)集Q是“好集”，理由如下：因?yàn)?，，?duì)任意，，都有，且時(shí)，，所以有理數(shù)集Q是“好集”．（2）因?yàn)榧螦是“好集”，所以．若，則，即，所以，即，命題得證．（3）命題“若，則”為真命題，理由如下：當(dāng)x，y中有0或1時(shí)，顯然有．當(dāng)x，y中不存在0，1時(shí)，由“好集”的定義得，，，所以，所以．所以由（2）可得，同理得，當(dāng)或時(shí)，顯然有．當(dāng)或時(shí)，顯然有，所以，所以，由（2）得，所以．綜上得時(shí)，．3．（23-24高三上·北京海淀·階段練習(xí)）已知為所有元有序數(shù)組所組成的集合.其中（）.對(duì)于中的任意元素，定義，的距離：若，為的子集，且有個(gè)元素，并且滿足任意，都存在唯一的，使得，則稱為“好集”.(1)若，，，，，，求，及的值；(2)當(dāng)時(shí)，求證：存在“好集”，且“好集”中不同元素的距離為5；(3)求證：當(dāng)時(shí)，“好集”不存在.【答案】(1)，，(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意直接代入運(yùn)算求解；（2）對(duì)任意，定義，可得，結(jié)合“好集”的定義分析證明；（3）先證對(duì)于任意，可知均存在，使得，對(duì)的以為基礎(chǔ)，結(jié)合定義分析證明.【詳解】（1）因?yàn)?，，，則，，，，所以.（2）對(duì)任意，定義，對(duì)任意，因?yàn)?，則，可得，對(duì)于任意，可得有2個(gè)元素，若，則，滿足“好集”的定義；若，則，滿足“好集”的定義；綜上所述：為“好集”，且，即當(dāng)時(shí)，存在“好集”，且“好集”中不同元素的距離為5.（3）顯然，先證：當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，含有的“好集”只能是，反證：假設(shè)存在“好集”，則對(duì)于任意，可得，則，可得，不滿足“好集”的定義，例如，則，可取，則，即存在，使得，結(jié)合可得：就相當(dāng)于對(duì)0，1的順序進(jìn)行重組，對(duì)于任意，可知均存在，使得，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，定義，其中，可知：對(duì)任意，其中，可知，反證：假設(shè)存在“好集”，則對(duì)任意，以為基礎(chǔ)構(gòu)建“好集”，對(duì)任意，對(duì)任意的，均有，與之對(duì)應(yīng)的項(xiàng)只能是和，每個(gè)均有2種選擇，共有種組合可能，按照以上構(gòu)建方法得到的元素，可知對(duì)任意，均存在，使得，，所以必然存在，使得，故假設(shè)不成立，所以當(dāng)時(shí)，“好集”不存在.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：新定義問題要充分理解定義，可以通過舉例和推理去理解定義，對(duì)于本題可以利用反證法來分析證明.二、充分性與必要性1．（23-24高一下·湖南長(zhǎng)沙·開學(xué)考試）命題“對(duì)任意的，總存在唯一的，使得”成立的充分必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將方程整理為；當(dāng)時(shí)，解方程可確定其符合題意；當(dāng)和時(shí)，將問題轉(zhuǎn)化為與在時(shí)，有且僅有一個(gè)交點(diǎn)的問題，采用數(shù)形結(jié)合的方式可構(gòu)造不等式組求得的范圍，由此可得原命題成立的充要條件.【詳解】由得；①當(dāng)時(shí)，，則，解得，因?yàn)椋?，滿足題意；②當(dāng)時(shí)，，若存在唯一的，使得成立，則與有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中作出在上的圖象如下圖所示，由圖象可知：當(dāng)時(shí)，與有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，所以，，解得，此時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，，由②同理可得，解得：，則.綜上所述：原命題成立的充要條件為.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.2．（23-24高一上·福建泉州·階段練習(xí)）是函數(shù)且在是減函數(shù)的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】令，，圖象的對(duì)稱軸為直線，判斷在上單調(diào)遞減，若要滿足且在單調(diào)遞減，則單調(diào)遞增，進(jìn)而得到不等式組，求出的范圍，利用邏輯推理判斷選項(xiàng).【詳解】令，，則圖象的對(duì)稱軸為直線，所以在上單調(diào)遞減，若要滿足且在單調(diào)遞減，則單調(diào)遞增，則，解得,故，則是函數(shù)且在單調(diào)遞減的必要不充分條件.故選：B3．（2023·新疆烏魯木齊·三模）定義表示不超過的最大整數(shù)，.例如：，.①；②存在使得；③是成立的充分不必要條件；④方程的所有實(shí)根之和為，則上述命題為真命題的序號(hào)為（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①④【答案】D【分析】易于判定①正確，②錯(cuò)誤，③錯(cuò)誤，④不易判定，可以繞開，利用排除法得到只有答案正確.也可用分離函數(shù)法，借助于數(shù)形結(jié)合思想判定④正確.【詳解】,故①正確；由可知，可知，所以，故②錯(cuò)誤，故AC錯(cuò)誤；,,，故③錯(cuò)誤，故B錯(cuò)誤；對(duì)于，顯然不是方程的解，可化為，考察函數(shù)和的圖象的交點(diǎn)，除了(-1,0)外，其余點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱，從而和為零，故總和為，故④正確.故D正確.故選：D【點(diǎn)睛】選擇題中有些問題不易確定時(shí)，常常要嘗試使用排除方法，本題就是一個(gè)典型的例子.4．（23-24高一上·廣東佛山·階段練習(xí)）已知集合點(diǎn)不在第一、三象限，集合，若“”是“”的必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】【分析】由必要條件得，進(jìn)而有A可能為，，，結(jié)合集合A的描述列不等式組求對(duì)應(yīng)x范圍，根據(jù)可能集合情況確定參數(shù)范圍即可.【詳解】由“”是“”的必要條件，即，由A中元素為整數(shù)，故A只可能為，，，由點(diǎn)不在第一、三象限，得：或，即①或②，當(dāng)時(shí)，①無解，由②得，此時(shí)，故，有；當(dāng)時(shí)，由①②得，此時(shí)，因，只須，有；綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由必要條件確定集合A的可能情況，根據(jù)其描述求集合A中元素的范圍，再綜合所得考慮參數(shù)范圍.5．（2014·四川·高考真題）以表示值域?yàn)镽的函數(shù)組成的集合，表示具有如下性質(zhì)的函數(shù)組成的集合：對(duì)于函數(shù)，存在一個(gè)正數(shù)，使得函數(shù)的值域包含于區(qū)間.例如，當(dāng)，時(shí)，，.現(xiàn)有如下命題：①設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，則“”的充要條件是“，，”；②函數(shù)的充要條件是有最大值和最小值；③若函數(shù)，的定義域相同，且，，則；④若函數(shù)（，）有最大值，則.其中的真命題有.（寫出所有真命題的序號(hào)）【答案】①③④【詳解】試題分析：若f（x）∈A，則f（x）的值域?yàn)镽，于是，對(duì)任意的b∈R，一定存在a∈D，使得f（a）＝b，故①正確．取函數(shù)f（x）＝x（－1＜x＜1），其值域?yàn)椋ǎ?，1），于是，存在M＝1，使得f（x）的值域包含于[－M，M]＝[－1，1]，但此時(shí)f（x）沒有最大值和最小值，故②錯(cuò)誤．當(dāng)f（x）∈A時(shí)，由①可知，對(duì)任意的b∈R，存在a∈D，使得f（a）＝b，所以，當(dāng)g（x）∈B時(shí)，對(duì)于函數(shù)f（x）＋g（x），如果存在一個(gè)正數(shù)M，使得f（x）＋g（x）的值域包含于[－M，M]，那么對(duì)于該區(qū)間外的某一個(gè)b0∈R，一定存在一個(gè)a0∈D，使得f（a0）＝b－g（a0），即f（a0）＋g（a0）＝b0?[－M，M]，故③正確．對(duì)于f（x）＝aln（x＋2）＋（x＞－2），當(dāng)a＞0或a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）都沒有最大值．要使得函數(shù)f（x）有最大值，只有a＝0，此時(shí)f（x）＝（x＞－2）．易知f（x）∈[－]，所以存在正數(shù)M＝，使