2021年中考一輪復習九年級數(shù)學《解直角三角形的應用》自主復習達標測評（附答案）

2021春九年級數(shù)學中考一輪復習《解直角三角形的應用》自主復習達標測評（附答案）

1.如圖，豎直放置的桿4B,在某一時刻形成的影子恰好落在斜坡CZ）的。處，而此時1

米的桿影長恰好為1米，現(xiàn)量得BC為10米，CD為8米，斜坡CO與地面成30°角，

則桿的高度AB為（）米.

A

A.6+4如B.10+4百C.8D.6

2.人字折疊梯完全打開后如圖1所示，B,C是折疊梯的兩個著地點，。是折疊梯最高級踏

板的固定點.圖2是它的示意圖，AB=AC,8￡>=140c〃?，NBAC=40°,則點。離地面

的高度OE為（）

圖1

A.140sin20°cm

C.140sin40°cmD.140cos40°cm

3.某長江大橋采用低塔斜拉橋橋型（如甲圖），圖乙是從圖甲引申出的平面圖，假設你站在

橋上測得拉索AB與水平橋面的夾角是30°,拉索8。與水平橋面的夾角是60°,兩拉

索底端距離4。=20米，則立柱BC的高為（）

A.20加米B.10米C.10折eD.20米

4.如圖，一棵珍貴的樹傾斜程度越來越厲害了.出于對它的保護，需要測量它的高度，現(xiàn)

采取以下措施：在地面上選取一點C,測得NBC4=37°,AC=28米，NBAC=45°,

則這棵樹的高A8約為（）（參考數(shù)據(jù)：sin37°tan37°七2,&=1.4）

A.14米B.B米C.17米D.18米

5.如圖，一根電線桿尸。，地面垂足為。，并用兩根斜拉線以，PB固定，使點P,

O,A,8在同一平面內(nèi)，現(xiàn)測得/%0=66°,NPBO=54°,則居=（）

PB

tan66cos540

tan54cos660

sin66'sin540

sin54sin660

6.如圖，將寬為lc機的紙條沿BC折疊，使NCAB=45°,則折疊后重疊部分的面積為（）

B.

7.如圖是某貨站傳送貨物的機器的側(cè)面示意圖.AD1DB,原傳送帶AB與地面。8的夾角

為30°,為了縮短貨物傳送距離，工人師傅欲增大傳送帶與地面的夾角，使其由30。改

為45°,原傳送帶4B長為8〃?.則新傳送帶4c的長度為（）

B.W2D.無法計算

8.我們約定：如果一個四邊形存在一條對角線，使得這條對角線是四邊形某兩邊的比例中

項，那么就稱這個四邊形為“閃亮四邊形”，這條對角線為“閃亮對角線，”相關兩邊為

“閃亮邊”.例如：圖1中的四邊形A8CD中，4B=AC=A￡>,則AC2=AB?A￡>,所以四

邊形A8C。是閃亮四邊形，AC是閃亮對角線，AB,A。是對應的閃亮邊.如圖2,已知

閃亮四邊形ABC。中，AC是閃亮對角線，AD,C。是對應的閃亮邊，且NABC=90°,

/。=60°,AB=4,BC=2,那么線段AO的長為.

9.如圖是一個地鐵站入口的雙翼閘機.它的雙翼展開時，雙翼邊緣的端點A與B之間的距

離為10cm,雙翼的邊緣AC=BO=54cm,且與閘機側(cè)立面夾角NPCA=NBQQ=30°.當

雙翼收起時，可以通過閘機的物體的最大寬度為cm.

10.人字梯為現(xiàn)代家庭常用的工具（如圖）.若A8,AC的長都為2m，當a=50°時，人字

梯頂端離地面的高度AD是m.（結(jié)果精確到0.1/72,參考依據(jù)：sin50°g0.77,

cos50°^0.64,tan50°"1.19)

11.如圖是小明畫的卡通圖形，每個正六邊形的邊長都相等，相鄰兩正六邊形的邊重合，點

A,B,C均為正六邊形的頂點，A8與地面BC所成的銳角為仇則tan。的值是.

12.圖2、圖3是起重機平移物體示意圖.在固定機架BAM中，AB=5m,tanZBAM=^.吊

3

桿BCE由伸縮桿BC與6m長的直桿CE組成,在機架BAM與直桿CE間有一根9in長的

支撐桿AO,且C￡>=2m.假設起重機吊起物體準備平移時，點E、C、B恰好在同一水

平線上（圖2）,在物體平移過程中始終保持（4M處在水平位置）.

（1）如圖2,當準備平移物體時，伸縮桿BC=m.

（2）在物體沿EB方向平移過程中，當NAE>E=60°時，物體被平移的距離為m.

圖1圖2圖3

13.如圖，某景區(qū)門口的柱子上方掛著一塊景點宣傳牌C。，宣傳牌的一側(cè)用繩子AO和BC

牽引著兩排小風車，經(jīng)過測量得到如下數(shù)據(jù)：AM=2米，AB=4米，ZMAD=45°,Z

MBC=30°,則CD的長度約為米.（?仁1.73,結(jié)果精確到0.1米）

C

\3沁、

MAB

14.如圖，兩面平行墻之間的距離為19.1米，兩邊留出等寬的行車道，中間劃出停車位，

每個停車位是長5.4米，寬2.2米的矩形，矩形的邊與行車道邊緣成45°角，則行車道寬

等于米.（A/2^1.4）

15.如圖，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，經(jīng)測量得到如下數(shù)據(jù)：AM=4米,

48=8米，NM4D=45°,NMBC=30°,則警示牌的高8為米（結(jié)果精確到

0.1,參考數(shù)據(jù)：&=1.41,73=1-73)

名II路葭

謹慎駕駛

D

30°

B

16.某飛機模型的機翼形狀如圖所示，其中A8〃OC,ZBAE=90Q,根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)計算

CD的長為麗（精確到1cm）（參考數(shù)據(jù)：sin37°^0.60,cos37°g0.80,tan37°

心0.75）

17.圖1是一種折疊式晾衣架.晾衣時，該晾衣架左右晾衣臂張開后示意圖如圖2所示，兩

支腳OC=O￡>=10分米，展開角/CO￡>=60°,晾衣臂。4=08=10分米，晾衣臂支架

HG=FE=6分米，且〃0=尸0=4分米.當NAOC=90°時，點A離地面的距離AM為

分米；當08從水平狀態(tài)旋轉(zhuǎn)到。在（在CO延長線上）時，點E繞點尸隨之旋轉(zhuǎn)至。8'

上的點E處，則B'E-BE為分米.

18.如圖，一個鋼結(jié)構支柱AB被鋼纜C。固定于地面.已知AO=2米，QC=5米，sinN

DCB=2-,鋼結(jié)構的頂端E距離A處2.6米，且NEAB=120°,則鋼結(jié)構的頂端E距離

5

19.如圖1為放置在水平桌面/上的臺燈，底座的高AB為5cm,長度均為22c,”的連桿BC、

CD與AB始終在同一平面上.

(1)轉(zhuǎn)動連桿BC,CQ,使/BCD成平角，ZABC=150°,如圖2,求連桿端點。離

桌面/的高度DE.

(2)將(1)中的連桿CD再繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，經(jīng)試驗后發(fā)現(xiàn)，如圖3,當NBCD=

1500時臺燈光線最佳.求此時連桿端點。離桌面/的高度比原來降低了多少厘米？

20.石室聯(lián)合中學金沙校區(qū)位于三環(huán)跨線橋旁邊，為了不影響學生上課，市政在橋旁安裝了

隔音墻，交通局也對此路段設置了限速，九年級學生為了測量汽車速度做了如下實驗：

在橋上依次取8、C、。三點，再在橋外確定一點A,使得測得A8之間15米,

使得/4￡)C=30°,NACB=60°.

(1)求CD的長(精確到0.1,V3^1.73,72^1-41).

(2)交通局對該路段限速30千米/小時，汽車從C到D用時2秒，汽車是否超速？說明

理由.

21.如圖1,圖2分別是網(wǎng)上某種型號拉桿箱的實物圖與示意圖，根據(jù)商品介紹，獲得了如

下信息：滑桿OE、箱長BC、拉桿AB的長度都相等，即。E=BC=AB,點B、尸在線段

AC上，點C在DE上,支桿。F=30c〃?，CE-.CD=\-.3,ZDCF=45°,ZCDF=30°.

圖1圖2

請根據(jù)以上信息，解決下列問題；

（1）求AC的長度（結(jié)果保留根號）；

（2）求拉桿端點A到水平滑桿的距離（結(jié)果保留到1C7”）.

參考數(shù)據(jù)：72^1.41,?心1.73,遍產(chǎn)2.45.

22.如圖，四邊形鋼板是某機器的零部件，工程人員在設計時慮到飛行的穩(wěn)定性和其他保密

性原則，使得邊沿AO的長度是邊沿3c長度的三倍，且它們所在的直線互相平行，檢測

員王剛參與了前期零件的基礎設計，知道/A8C=45°,邊沿CZ）所在直線與邊沿8c所

在直線相交后所成的銳角為30°（即P在8c的延長線上，/?！?30°）,經(jīng)測量BC

的長度為7米，求零件的邊沿C。的長.（結(jié)果保留根號）

23.如圖1是一種手機平板支架，由托板、支撐板和底座構成，手機放置在托板上，圖2

是其側(cè)面結(jié)構示意圖.量得托板長AB=\20mm,支撐板長。力=80叩”，底座長DE=

90/nw.托板A8固定在支撐板頂端點C處，且CB=40〃》n,托板A8可繞點C轉(zhuǎn)動，支

撐板C?？衫@點。轉(zhuǎn)動.(結(jié)果保留小數(shù)點后一位)

(1)若NDCB=80°,ZCDE=60°,求點A到直線OE的距離；

(2)為了觀看舒適，在(1)的情況下，把A8繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)10°后，再將C。繞

點。順時針旋轉(zhuǎn)，使點8落在直線。E上即可，求C￡＞旋轉(zhuǎn)的角度.(參考數(shù)據(jù)：sin40°

Q0.643,cos40°七0.766,tan400弋0.839,sin26.6°-0.448,cos26.6°弋0.894,tan26.6°

—0.500,1.732)

24.如圖1是某工廠生產(chǎn)的多功能兒童滑板車示意圖，已知前后車輪半徑相同，車桿AB的

長為lOOtrc,點。是AB的中點，前支撐板QE=50cm,支撐點E在水平線8C上，NB

=53°.(參考數(shù)據(jù)：sin53°七0.80,cos53°七0.60,lan53°F.33)

(1)求支撐點E與前輪軸心B之間的距離BE的長；

(2)根據(jù)需要，滑板車可變形為如圖2所示的自行車，前支撐板。E變形為座板后與水

平面8c平行，后支撐板EC=60a〃，求變形后兩軸心之間的距離BC的長.

圖1圖2

25.圖①②分別是某種型號跑步機的實物圖與示意圖，己知跑步機的手柄AB平行于地面

且離地面的高度〃約為1.05m踏板C。與地面。E的夾角NCDE為10°,支架（線段

AC）的長為08”，NACD為82°.求跑步機踏板C。的長度（精確到0.1加）.

（參考數(shù)據(jù)：sinl0°=cos80°-0.17,sin720=cosl8°^0.95,tan72°-3.1）

26.如圖1,一扇窗戶打開一定角度，其中一端固定在窗戶邊OM上的點A處，另一端B

在邊ON上滑動，圖2為某一位置從上往下看的平面圖，測得/A80為37°,NAOB為

45°,0B長為35厘米，求A5的長（參考數(shù)據(jù)：sin37°^0.6,cos37°-0.8,tan37°

-0.75）

參考答案

1.解：如圖，延長AB交。T的延長線于E.

???1米的桿影長恰好為1米，

：.AE=DE,

?..四邊形BC7E是矩形，

.?.8C=ET=10米，BE=CT,

在RtZXCDT中，VZCTO=90°,CD=8米，ZCDT=30°,

：.DT=CD-cos30°=8X返=4百（米），CT=1JCD=4（米）,

22

：.AE=DE=ET+DT=（10+4^3）（米），BE=CT=4（米），

：.AB=AE-BE^（10+4V3）-4=（6+45/3）（米），

故選：A.

2.解：VZBAC=40°,AB=AC,

：.ZACB=ZABC=10°,

"：DEVBC,

AZDEB=90°,

；.NBDE=90°-70°=20°,

：.DE=BD-cos20°=140cos20°,

故選：B.

3.解：,：ZBDC^ZA+ZABD,/A=30°,ZBDC=60Q,

；.NABO=60°-30°=30°,

ZA=ZABD,

：.BD=AD=20^z,

：.BC=BD'sm600=10次（米）,

故選：c.

4.解：如圖，作B”_LAC于

VZBC//=37°,NBHC=90°,

設BH=xm,

：.CH=——=去=絲，

tan37033

4

VZA=45°,

:.AH=BH=x,

；.x+_^x=28,

3

：.x=l2,

：.AB=yf2AH=yf2x12=17(m)

故選：C.

R

5.解：如圖，在直角△外。中，NPOA=90°,ZPAO=66°,則以=—四——

sin660

如圖，在直角△PBO中，NPOB=90°,NPBO=54°,則P8=—再工—.

sin540

P0

rr.PA_sin660_sin540

//TrkA——"r.?

PBPOsm66

sin540

6.解：如圖，'：CE//AB,

：.ZECB=/ABC,

NECB=NACB,

：.ZACB=ZABC,

：.AC=AB,

作COJ_AB,垂足為。,

則CD=1.

VsinZA=^5.,

AC

；?AC==&=4B,

si.n4Lb

：.SMBC=^XABXCD=^,

22

折疊后重疊部分的面積為返O?2.

2

故選：D.

在RtZXAC。中，VZACZ)=45°,

.?.AC=&AC=4揚?,

故選：B.

8.解，如圖，作CH_LAO于".

圖2

：AC2=a4,OC時

'：DH=CD^cosZD,CH=CD，sinND,AH^AD-CD.cosZD,

：.AC2=AH2+CH2=(AD-CD'COSZD)2+(CD.sinZD)2

=AD2+CD2-2AD-CD'cosZD

=AD2+CD2-AD-CD,

"：AC2=AD-CD,

：.AD2-2AD'CD+CD2=Q,

：.(AD-CD)2=0,

：.AD=CD,

：N￡>=60°,

/\ACD是等邊三角形，

AD=AC=?AB?+BC2=722+42=2后

故答案為：

9.解：如圖，連接AB,CD,過點A作AE_LC￡）于E,過點8作B凡LC。于凡

閘機箱卜固機箱

,JAB//EF,AE//BF,

四邊形ABFE是平行四邊形，

VZAEF=90°,

二四邊形AEFB是矩形，

：.EF=AB=\0(cm),

'：AE//PC,

.?./PC4=NC4E=30°,

，CE=4C?sin30°=27(cm),

同法可得OF=27(cm),

ACD=CE+EF+DF=27+10+27=64(CM),

故答案為64.

10.解:*：AB=AC=2m9AD1.BC,

：.ZADC=9Q°,

???AQ=AC?sin50°=2X0.77^1.5(機)，

故答案為1.5.

II.解：如圖，作AT〃BC,過點B作B，_L4T于，，設正六邊形的邊長為m則正六邊形

的半徑為小邊心距=西,.

2

觀察圖象可知：旦，AH=至返/,

22

'JAT//BC,

：.ZBAH=^,

19

Ta

15

a

2

故答案為型號.

15

12.解：（1）過點4作4G_LBC于G,如圖1,

圖1

在RtZXABG,ZXBG=ZBAM,AB=5,

???翳tan/ABG=tanNAB吟

設AG=4xm,則BG=3xm,

AB=7AG2+BG2=5X,

?-5x=5,

??x=1,

**?AG=4/?2,BG=3m,

?**GD=VAD2-AG2~(-

ABC=BG+GD-CD=3+A/65-2=V65+1(w),

故答案為：(A/65+1)；

(2)連接BE,過4作A尸_LBE于R過E作EG_LA。于G,如圖2,

?：BE〃AM,

：.NABF=NBAM,

tanNABF=tanZBAM=國，

3

設AF=4xm,則3/=3初z,

.\AB=5x=5,

??x=1,

.\AF=4mfBF=3fn,

在Rt/XOEG中，DE=4m,ZEDG=60°,

二。G=/DE=2〃?，EG=^-X4=2V^n,

：.AG=AD-DG=9-2=7m,

:/AFH=NEGH=90°,NAHF=NEHG,

：./\AFH<^/\EGH,

?AFAHPnAH42

??疏海麗革77礪，

設AH=2y,則EH=My,

HG=VEH2-EG2T3y2-12,

：.AG=AH+GH=2y+^3y2_12=7,

解得，y=14-35/15，或產(chǎn)14+30^>7(舍)，

A￡H=Va?=1473-975(M,AH=2y=2S-6^/15(加，

GH=AG-A//=6^/15-21,

△AFHsMGH,

?FHAF2

??~~~U">

GHEGV3

:.FH=2GH=12遙-14我,

77

BE=BF+FH+EH=3+12遙-14我+14a-照=3+3代,

,物體平移的距離為：（J茁+1+6）-（3+3娓）=倔+4-3娓.

故答案為：W65+4-3y[s）.

圖2

13.解：在RtZ\AM￡）中，ZMAD=45a,

：.DM=AMtan450=2（/??）,

在中，ZMBC=30°,

.\CA/=BMtan300,

BM=AM+AB=2+4=6（，〃），

；.CM=6X返七3.46（M,

3

：.CD=CM-DM=3.46-2?=1.5（米），

答:警示牌的高CO為1.5米.

14.解：由題意：△ACE,△SC尸都是等腰直角三角形.

?〃/〃/〃〃〃//〃〃〃〃/〃“

行車道

SJC<<SWXWXW<SWXXXXXXXW

VEC=5.4+2.2=7.6nz,

：.AC=AE=1±-X7.6七5.32m,

2

VCF=5.4,

BC=BF=返X5.4=3.78,“，

2

，AB=AC+BC=5.32+3.78=9.1,

.?.行車道寬=1"1=5m.

2

故答案為5.

15.解：由題意可得：,；AM=4米，ZMAD=45°,

：.DM=4m,

：AM=4米，AB=8米，

米，

VZA/BC=30°,

：.BC=2MC,

：.MC2+MB2^(2MC)2,

MC2+122=(2A/C)2,

；.MC=4?,

則DC=4百-4七2.9(米)，

故答案為：2.9.

16.解：作DW_LA8于M,如圖所示：在RtZ\BCN中，BC=CN+cos37°=50+0.8=62.5

(cm),

：.BN=BC^in37°=62.5X0.80弋37.5(cm),

：.AN=AB+BN=34+37.5=11.5cm,

VZZ)AE=45°,ZBAE=90Q,

???ND4M=45°,

???△ADM是等腰直角三角形，

：.AM=DM=50cm,

：.CD=MN=AN-AM=7l,5-50^22(cm)；故答案為：22.

AE

17.解：如圖，作OPJ_C。于P,OQ_LAM于Q,FK人OB于K,E/J_OC于人

VAMICD,

???NQMP=/MPO=NOQM=90。,

???四邊形OQMP是矩形，

JQM=OP,

???OC=OO=10,NCOQ=60°，

?**/\COD是等邊三角形，

OP工CD,

???NCOP=JLNCOO=30。,

2

???QM=。尸=OC?cos30°=5^3（分米），

VZAOC=ZQOP=9O0,

AZAOQ=ZCOP=30°，

.'.AQ=-^OA=5（分米），

2

：.AM=AQ+MQ=5+5y/3.

■:OB//CD,

：.ZBOD=ZODC=6Q°

在Rt/XOFK中，K0=。＞cos60°=2（分米），F(xiàn)K=O尸sin600=2?（分米）,

在Rt△尸KE中，EK=加「2-尸1（2=2^6（分米）

.\BE=10-2-2V6=（8-2加）（分米），

在RtZXOE/中，OJ=OF?cos60°=2（分米），々=2料（分米）,

在RtZ\E/E'中，E'J=正-）2=2遙,

：.B'E'=10-（2代-2）=12-2返，

：.B'E'-BE=4.

故答案為5+5\/§,4.

18.解：在RtZYDCB中，

：sin/￡）CB=^=3,

DC5

設。B=3x,則。C=5x,

由勾股定理，得C8=4x,

；OC=5x=5,

??X=1.

:.DB=3.

如圖，過點E作EELA8于點反

VZ￡AB=120°,

：.ZEAF=60°,

AAF=AE*cosZE/1F=2.6XA=1.3（米），

2

AFB=AF+AD+DB^1.3+2+3=63（米）,

鋼結(jié)構的頂端E距離地面6.3米.

故答案為：6.3.

VZOEA^ZBOE^ZBA￡=90°,

???四邊形A80E是矩形,

：.ZOBA=W°,

：.ZDBO=150°-90°=60°,

???00=30?sin600=22?(cm),

：.DE=OD+OE=OD+AB^(22傷5)cm,

答：連桿端點。離桌面/的高度。E為(22/左5)cm；

(2)過點。作。。1/于￡：,過點C作CG_LBH于G,CKLDE于K,如圖3所示：

由題意得：BC=CD=22cm,HE=AB=5cm,CG=KH,NCBG=NABC-ZABH=150°

=90°=60°,

在RtZXCGB中，sin/C8G=^=^=返，

BC222

:.CG=11M(cm),

VZBCG=90Q-60°=30°,

：.ZDCK=\50°-90°-30°=30°,

在RtADCK中，$皿/。。長=邁=地=工，

DC222

，QK=11(.cm),

：.(225/34-5)-(11+11731-5)=(I1V3-11)(cm),

答：連桿端點。離桌面/的高度比原來降低了厘米.

圖3圖2

20.解：(1)在RtZXABC中，NABC=90°,NACB=60°,AB=15米,

BC=—_=4L=5V3?K-

tan60V3

在RtZ\AB。中，ZAB￡>=90°,NA￡>B=30°,

二8。=揚8=15百米，

.?.CZ)=8。-BC=10百和17.3米，

.?.CD的長為17.3X;

(2)V30千米/小時=30000+3600=空米/秒，

3

而10百+2-8.66＞空，

3

汽車超速.

21.解：(1)過尸作F〃_LDE于，.:.NFHC=/FHD=90°.

VZFDC=30°,DF=30,

-FH-|DF=15^DH=2y-DF=15V3,

VZFCH=45°,

；.CH=FH=15,

/.CD=CH+DH=15+15V3，

VCE：CD=1：3,

?*-DE-|€D=20+20V3,

o

:AB=BC=DE,

AAC=(40+40/3)cir；

(2)過4作AGJLE。交E￡＞的延長線于G,

VZACG=45°,

，AG乎AC=20M+20V^=20X1.41+20X2.45=77*77(cm)

答：拉桿端點A到水平滑桿ED的距離為Fem.

圖2

22.解：如圖，過點B作交D4的延長線于點M,過點。作。N_L8C,交BC的

延長線于點N,

'：BC//AD,

AZABC=ZMAB=45°,

又,..NM8A=90°-NABC=45°,

:.MA=MB=DN,

又：A￡>=3BC,BC=7,

：.AD=2\,

在Rt^CCN中，NDCN=30°,

：.CD=2DN,CW=FDN,

由MD=BN得,ON+21=7+A/^DN,

解得，￡W=7揚7,

：.CD=2DN=14^14(米)

23.ft?：(1)如圖2,過A作AMLOE,交的延長線于點M,過點C作CFLAM,垂足

為F,過點C作CNJ_OE,垂足為N,

由題意可知，AC=80,CD=80,ZDCB=80°,ZCDE=6Q°,

在RtZXCDN中，CN=CD,stnNCDE=80xB-=4W^nm=FM,