高中數(shù)學(xué)選修2-2課時(shí)作業(yè)3：2.3數(shù)學(xué)歸納法

人教版高中數(shù)學(xué)選修2-2PAGEPAGE1課時(shí)作業(yè)1：2.3數(shù)學(xué)歸納法1.用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1-an-21-a(a≠1)”，在驗(yàn)證n＝A．1 B．1＋aC．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a32．用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n>n2＋1對(duì)于n≥n0的自然數(shù)都成立”時(shí)，第一步證明中的起始值n0應(yīng)取()A．1 B．4C．5 D．63．下列代數(shù)式中，n∈N*，可能被13整除的是()A．n3＋5n B．34n＋1＋52n＋1C．62n－1＋1 D．42n＋1＋3n＋24．用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xn＋yn能被x＋y整除”時(shí)，第二步歸納假設(shè)應(yīng)寫成()A．假設(shè)n＝2k＋1(k∈N*)時(shí)，命題成立B．假設(shè)n＝2k－1(k∈N*)時(shí)，命題成立C．假設(shè)n＝2k(k∈N*)時(shí)，命題成立D．假設(shè)n＝k(k∈N*)時(shí)，命題成立5．某個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題，如果n＝k(k∈N*且k≥1)時(shí)，命題成立，那么一定可推得當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題也成立，現(xiàn)已知當(dāng)n＝5時(shí)，該命題不成立，那么可推得()A．當(dāng)n＝6時(shí)，該命題不成立B．當(dāng)n＝6時(shí)，該命題成立C．當(dāng)n＝4時(shí)，該命題不成立D．當(dāng)n＝4時(shí)，該命題成立6．利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,n＋n)>1314時(shí)，由k遞推到k＋1左邊應(yīng)添加的因式是()A.eq\f(1,2k＋1) B.eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋1)C.eq\f(1,2k＋1)－eq\f(1,2k＋1) D.eq\f(1,2k＋1)7．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的過程如下：①當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝20＝1，右邊＝21－1＝1，等式成立．②假設(shè)n＝k(k≥1，且k∈N*)時(shí)，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1.則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝eq\f(1－2k＋1,1－2)＝2k＋1－1，所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立．由①②知，對(duì)任意n∈N*，等式成立．上述證明中的錯(cuò)誤是________．8．用數(shù)學(xué)歸納法證明eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n＋12)>eq\f(1,2)－eq\f(1,n＋2)，假設(shè)n＝k時(shí)，不等式成立，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，應(yīng)推證的目標(biāo)不等式是________．9．證明不等式eq\f(1,2)×eq\f(3,4)×…×eq\f(2n－1,2n)<eq\f(1,\r(2n＋1))(n∈N*)．10．已知數(shù)列{xn}滿足x1＝eq\f(1,2)，xn＋1＝eq\f(1,1＋xn)，n∈N*.(1)猜想數(shù)列{x2n}的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；(2)證明：|xn＋1－xn|≤eq\f(1,6)(eq\f(2,5))n－1.[答案]1[解析]當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1＋a＋a2.[答案]C2[解析]當(dāng)n＝1時(shí)，2>2不成立；當(dāng)n＝4時(shí)，24>42＋1不成立；當(dāng)n＝5時(shí)，25>52＋1成立；當(dāng)n＝6時(shí)，26>62＋1成立．[答案]C3[解析]驗(yàn)證n＝1時(shí)，由各代數(shù)式的值知A，C不可能，在D中43＋33＝91＝13×7.故選D.[答案]D4[解析]∵當(dāng)k∈N*時(shí)，2k－1表示正奇數(shù)，故選B.[答案]B5[解析]用反證法知，假設(shè)n＝4時(shí)命題成立，則由題意知k＝5時(shí)命題成立，這與已知相矛盾，故n＝4時(shí)，命題不成立．[答案]C6[解析]f(k＋1)－f(k)＝eq\f(1,k＋2)＋eq\f(1,k＋3)＋…＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋1)－(eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋…＋eq\f(1,2k))＝eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)－eq\f(1,k＋1)＝eq\f(1,2k＋1)－eq\f(1,2k＋1).[答案]C7[解析]由證明過程知，在證從n＝k到n＝k＋1時(shí)，直接用的等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，沒有用上歸納假設(shè)，因此證明是錯(cuò)誤的．[答案]沒有用上歸納假設(shè)8[解析]觀察不等式中分母的變化便知．[答案]eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,k＋12)＋eq\f(1,k＋22)>eq\f(1,2)－eq\f(1,k＋3)9[解析](1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝eq\f(1,2)，右邊＝eq\f(1,\r(3))，顯然eq\f(1,2)<eq\f(1,\r(3))，不等式成立．(2)假設(shè)n＝k時(shí)，不等式成立，即eq\f(1,2)×eq\f(3,4)×…×eq\f(2k－1,2k)<eq\f(1,\r(2k＋1))，則n＝k＋1時(shí)，eq\f(1,2)×eq\f(3,4)×…×eq\f(2k－1,2k)×eq\f(2k＋1,2k＋2)<eq\f(1,\r(2k＋1))×eq\f(2k＋1,2k＋2)＝eq\f(\r(2k＋1),2k＋2)，要證n＝k＋1時(shí)，不等式成立，只要eq\f(\r(2k＋1),2k＋2)<eq\f(1,\r(2k＋3))成立．即證(2k＋1)(2k＋3)<(2k＋2)2即證4k2＋8k＋3<4k2＋8k＋4.該不等式顯然成立．即n＝k＋1時(shí)，不等式成立．由(1)(2)知，對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式成立．10[解析](1)由x1＝eq\f(1,2)及xn＋1＝eq\f(1,1＋xn)，得x2＝eq\f(2,3)，x4＝eq\f(5,8)，x6＝eq\f(13,21)，由x2>x4>x6猜想：數(shù)列{x2n}是遞減數(shù)列．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)當(dāng)n＝1,2時(shí)，x2＝eq\f(2,3)>x4＝eq\f(8,5)，命題成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)命題成立，即x2k>x2k＋2.易知xn>0，那么x2k＋2－x2k＋4＝eq\f(1,1＋x2k＋1)－eq\f(1,1＋x2k＋3)＝eq\f(x2k＋3－x2k＋1,1＋x2k＋11＋x2k＋3)＝eq\f(x2k－x2k＋2,1＋x2k1＋x2k＋11＋x2k＋21＋x2k＋3)>0，即x2(k＋1)>x2(k＋1)＋2.也就是說，當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立．綜合(1)和(2)知，命題成立．(2)證明：當(dāng)n＝1時(shí)，|xn＋1－xn|＝|x2－x1|＝eq\f(1,6)，結(jié)論成立；當(dāng)n≥2時(shí)，易知0<xn－1<1，∴1＋xn－1<2，xn＝eq\f(1,1＋xn－1)>eq\f(1,2).∴(1＋xn)(1＋xn－1)＝(1＋eq\f(1,1＋xn－1))(1＋xn－1)＝2＋xn－1≥eq\f(5,2).∴|xn＋1－xn|＝|eq\f(